In der vorliegenden Bachelorarbeit wurden Summenmuster in der Folge der natürlichen Zahlen untersucht. Mithilfe eines Computerprogrammes, das im ersten Teil dieser Bachelorarbeit dargestellt wird, wurden sämtliche Darstellungsmöglichkeiten natürlicher Zahlen, als Summe von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, für ein vorher festgelegtes Intervall ermittelt. Bei der Auswertung, der durch das Computerprogramm gewonnenen Datenblätter, wurden ausschließlich solche Sequenzen betrachtet, die sich in aufeinanderfolgende summengleiche Abschnitte halbieren lassen. Dabei wurden unterschiedliche Variationen dieser Sequenzen untersucht, sowie Muster und Ähnlichkeiten gefunden, deren Beweis und Verallgemeinerung Gegenstand dieser Bachelorarbeit sein wird. Ihren Ursprung hat die Thematik in der folgenden Knobelaufgabe, die der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan (1887-1920), der für seine außergewöhnlichen Fähigkeiten im Umgang mit zahlentheoretischen Problemen bekannt war, ohne zu zögern mithilfe von Kettenbrüchen löste: "Die durchnummerierten Häuser eines Straßendorfes stehen alle auf einer Seite. Jemand wohnt in einem Haus mit einer Hausnummer, für welches die Summe der Hausnummern vor und hinter diesem Haus gleich ist. Wie viele Häuser hat das Dorf? Welche Hausnummer ist dies?".
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- 1. Teil: Das Computerprogramm
- Der Programmablaufplan
- Die graphische Benutzeroberfläche
- Die Ausgabe
- 2. Teil: Das Ausgangsproblem
- 3. Teil: Verallgemeinerungen des Ausgangsproblems
- Beliebige Startzahlen der Sequenzen
- Die Differenz der Summandenanzahl variiert
- Die Lücke zwischen den summengleichen Abschnitten einer Sequenz variiert
- Sequenzen ohne Lücke
- Sequenzen mit einer Doppellücke
- Ausblick und Anschlussfragen
- Persönliches Fazit
- Literaturverzeichnis
- Abbildungsverzeichnis
- Eidesstattliche Erklärung
- Anhang
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Bachelorarbeit befasst sich mit der Untersuchung von Summenmustern in der Folge der natürlichen Zahlen. Ziel ist es, mithilfe eines Computerprogramms alle möglichen Summendarstellungen natürlicher Zahlen als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen zu ermitteln und anschließend die gefundenen Sequenzen zu analysieren. Dabei werden insbesondere Sequenzen betrachtet, die sich in summengleiche Abschnitte teilen lassen.
- Entwicklung und Anwendung eines Computerprogramms zur Ermittlung von Summendarstellungen
- Analyse von Sequenzen, die sich in summengleiche Abschnitte teilen lassen
- Verallgemeinerung des Ausgangsproblems durch Variation der Startzahlen, der Differenz der Summandenanzahl und der Lücke zwischen summengleichen Abschnitten
- Entwicklung von Mustern und Ähnlichkeiten in den untersuchten Sequenzen
- Beweis und Verallgemeinerung der gefundenen Muster
Zusammenfassung der Kapitel
Die Einleitung stellt das Thema der Arbeit vor und erläutert das Ausgangsproblem, welches sich an einer Knobelaufgabe des indischen Mathematikers Srinivasa Ramanujan orientiert. Im ersten Teil wird das eigens entwickelte Computerprogramm beschrieben, welches zur Ermittlung aller möglichen Summendarstellungen natürlicher Zahlen für ein vorgegebenes Intervall dient. Der zweite Teil behandelt das Ausgangsproblem, indem nach Sequenzen gesucht wird, die sich in zwei summengleiche Abschnitte teilen lassen. Der dritte Teil befasst sich mit verschiedenen Verallgemeinerungen des Ausgangsproblems, indem die Startzahlen, die Differenz der Summandenanzahl und die Lücke zwischen den summengleichen Abschnitten variiert werden. Abschließend wird ein Ausblick auf weitere Verallgemeinerungsmöglichkeiten gegeben und Anschlussfragen an die Problembearbeitung thematisiert.
Schlüsselwörter
Summenmuster, natürliche Zahlen, Sequenzen, summengleiche Abschnitte, Computerprogramm, Verallgemeinerung, Ramanujan, Knobelaufgabe.
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- M. Ed. Julia Lüddecke (Autor), 2013, Auf Ramanujans Spuren. Summenmuster in der Folge der natürlichen Zahlen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/287549
