Ähnliche Matrizen, Eigenwerte, Eigenvektoren

Ähnliche Matrizen, Eigenwerte, Eigenvektoren

von: Andreas Wolf

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 2

2. Determinanten 3

2.1. Begriffliche Einführung 3
2.2. Determinantenformeln 3
2.3. Eigenschaften von Determinanten 9

3. Ähnliche Matrizen 13

4. Eigenwerte und Eigenvektoren 16

4.1. Problemstellung und Begriffserklärung 16
4.2. Eigenschaften 20

5. Ökonomische Anwendungen 28

5.1. Entwicklungs- und Wachstumsprozesse 28
5.2. Optimierungsprobleme  29
5.3. Gewichtung mehrerer Ziele  30

6. Schlussbetrachtungen 31

Literaturverzeichnis  33

Symbolverzeichnis

Anhang

1 Einleitung

„Übrigens wird mir denn doch bei dieser Gelegenheit immer deutlicher, was ich schon lange im Stillen weiß, dass diejenige Kultur, welche die Mathematik dem Geiste gibt, äußerst einseitig und beschränkt ist.“ 1

Dies ist eine Passage aus dem Brief Goethes an Karl Friedrich Zelter vom 28.Februar 1811. Darin fällt Goethe ein vernichtendes Urteil über die Mathematik allgemein und die Denkhaltung, die diese beim Menschen hervorruft. Die Mathematik bietet in seinen Augen eine zu einseitige und beschränkte Sichtweise der Welt. Sie wendet sich ab von der Realität. Daraus lässt sich auch schließen, dass Sinn und Zweck der Mathematik zu oft vernachlässigt werden. Und gerade da setzt dieses Seminar an. Es soll zunächst ein tieferes Verständnis der Mathematik und der einzelnen mathematischen Konzepte vermitteln. Daher werden auch in der folgenden Arbeit jeweils Beweise angeführt, die zum Verständnis der Themen unabdingbar sind. Zusätzlich werden auch die Anwendungsbereiche der einzelnen Konzepte erwähnt, damit die Zusammenhänge zwischen den jeweiligen Konzepten – auch innerhalb der Themen des gesamten Seminars – erkennbar werden.

Ebenso wie in der vorherigen Arbeit wird auch in unserer Arbeit auf Themen der Linearen Algebra eingegangen, die heute in der Wirtschaftspraxis so häufig wie kein anderes Gebiet der Mathematik angewandt wird. Vor allem die Matrizenrechnung kann auf vielfältige Weise im Rechnungswesen eingesetzt werden, so z. B. in der Kostenrechnung oder im Controlling. Mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen werden ökonomische Beziehungen beschrieben und erst durch den Einsatz der linearen Planungsrechnung können ökonomische Entscheidungsprobleme gelöst werden. Unsere Arbeit wird speziell vier Teilgebiete oder Teilaspekte der Linearen Algebra behandeln, die in einem engen Zusammenhang stehen. Als Grundlage für die späteren Ausführungen muss zunächst der Begriff der Determinante erläutert werden. Daran anschließend wird auf Ähnliche Matrizen eingegangen, die letztlich erst zum Eigenwert und zum Eigenvektor führen. Nach der theoretischen Einführung wird noch einmal ausführlicher auf den Anwendungsbezug oder die praktische Relevanz eingegangen. Denn gerade der Begriff Eigenwert kann in dreierlei Hinsicht angewandt werden. Zunächst spielt der Eigenwert quadratischer, symmetrischer Matrizen eine Rolle im Zusammenhang mit Maximierungs- und Minimierungsaufgaben bei Funktionen mit mehren Variablen. Dann benötigt man für die Behandlung und Lösung von linearen Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung grundlegende Kenntnisse über Eigenwerte quadratischer Matrizen und deren Eigenschaften. Und schließlich kann die Eigenwerttheorie von quadratischen Matrizen dazu genutzt werden, lineare Wachstums- bzw. Ausbreitungsprozesse in der Ökonomie zu beschreiben.2

Die Verbindung zu den ersten Arbeiten, die alles Themen aus der Analysis behandelten, kann erst durch diese Anwendungen gezogen werden. Oberflächlich betrachtet entdeckt man kaum Gemeinsamkeiten zwischen den Methoden der Differentialrechnung und der Linearen Algebra. Stetigkeit, Differenzierbarkeit usw. stehen Linearen Gleichungssystemen, Matrizen usw. gegenüber und man findet nur schwer einen Zusammenhang zwischen diesen Bereichen. Gemeinsam haben sie nur ihren Anwendungsbereich. In der Wirtschaft hat vor allem das ökonomische Prinzip (Rationalprinzip) besondere Bedeutung. Dies führt dann zur Formulierung von Minimierungsaufgaben („Erreiche ein bestimmtes Ziel mit dem Einsatz möglichst geringer Mittel“) oder von Maximierungsaufgaben („Suche das größtmögliche Ergebnis unter Einsatz verfügbarer Faktoren“). Und gerade zu diesen Problemen stellen beide – Analysis und Lineare Algebra – wirksame Werkzeuge zur Lösung bereit.3

2 Determinanten

2.1 Begriffliche Einführung

Als Determinante bezeichnet man eine reelle Zahl, die jeder quadratischen Matrix A eindeutig zugeordnet werden kann, d. h. sie ist für jede Matrix dieses Typs eindeutig definiert. Und eben diese Determinante und deren Berechnung spielen in der Matrizenrechnung eine wichtige Rolle. Bezogen auf diese Arbeit ist das Wissen um die Determinante Voraussetzung für die späteren Ausführungen bzgl. der Eigenwerte und Eigenvektoren. Eine eigenständige ökonomische Bedeutung kann den Determinanten aber nur schwer zugerechnet werden. Daher ist es auch schwierig, die Determinanten anders als über eine ziemlich willkürlich erscheinende Definition einzuführen.4

2.2 Determinantenformeln

Um dieses Manko zu beseitigen und zu zeigen, dass Determinanten mehr sind als nur abstrakte mathematische Gebilde, wird die geometrischen Interpretation der Determinanten im Folgenden erläutert. 5 Dabei gehen wir von zwei Vektoren ( ) 12 11 a a T = 1 a und ( ) 22 21 a a T = 2 a aus, die ein Parallelogramm aufspannen,wie in Abb. 2.1 verdeutlicht wird.

Abb. 1: Fläche des Ursprungsparallelogramms und des verschobenen Parallelogramms [Abbildung in der Downloaddatei vorhanden]

[...]

1 Vgl. Radbruch 1997, S.VII.

2 Vgl. Opitz 1995, S.331.

3 Vgl. Ohse 2000, S.275.

4 Vgl. Ohse 2000, S.243.

5 Vgl. Rommelfanger 2002, S.171f.