(...) Ebenso wie in der vorherigen Arbeit wird auch in unserer Arbeit auf Themen der Linearen Algebra eingegangen, die heute in der Wirtschaftspraxis so häufig wie kein anderes Gebiet der Mathematik angewandt wird. Vor allem die Matrizenrechnung kann auf vielfältige Weise im Rechnungswesen eingesetzt werden, so z. B. in der Kostenrechnung oder im Controlling. Mit Hilfe von linearen Gleichungssystemen werden ökonomische Beziehungen beschrieben und erst durch den Einsatz der linearen Planungsrechnung können ökonomische Entscheidungsprobleme gelöst werden. Unsere Arbeit wird speziell vier Teilgebiete oder Teilaspekte der Linearen Algebra behandeln, die in einem engen Zusammenhang stehen. Als Grundlage für die späteren Ausführungen muss zunächst der Begriff der Determinante erläutert werden. Daran anschließend wird auf Ähnliche Matrizen eingegangen, die letztlich erst zum Eigenwert und zum Eigenvektor führen. Nach der theoretischen Einführung wird noch einmal ausführlicher auf den Anwendungsbezug oder die praktische Relevanz eingegangen. Denn gerade der Begriff Eigenwert kann in dreierlei Hinsicht angewandt werden. Zunächst spielt der Eigenwert quadratischer, symmetrischer Matrizen eine Rolle im Zusammenhang mit Maximierungs- und Minimierungsaufgaben bei Funktionen mit mehren Variablen. Dann benötigt man für die Behandlung und Lösung von linearen Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung grundlegende Kenntnisse über Eigenwerte quadratischer Matrizen und deren Eigenschaften. Und schließlich kann die Eigenwerttheorie von quadratischen Matrizen dazu genutzt werden, lineare Wachstums- bzw. Ausbreitungsprozesse in der Ökonomie zu beschreiben.2
Die Verbindung zu den ersten Arbeiten, die alles Themen aus der Analysis behandelten, kann erst durch diese Anwendungen gezogen werden. Oberflächlich betrachtet entdeckt man kaum Gemeinsamkeiten zwischen den Methoden der Differentialrechnung und der Linearen Algebra. Stetigkeit, Differenzierbarkeit usw. stehen Linearen Gleichungssystemen, Matrizen usw. gegenüber und man findet nur schwer einen Zusammenhang zwischen diesen Bereichen. Gemeinsam haben sie nur ihren Anwendungsbereich.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Determinanten
2.1. Begriffliche Einführung
2.2. Determinantenformeln
2.3. Eigenschaften von Determinanten
3. Ähnliche Matrizen
4. Eigenwerte und Eigenvektoren
4.1. Problemstellung und Begriffserklärung
4.2. Eigenschaften
5. Ökonomische Anwendungen
5.1. Entwicklungs- und Wachstumsprozesse
5.2. Optimierungsprobleme
5.3. Gewichtung mehrerer Ziele
6. Schlussbetrachtungen
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Die vorliegende Arbeit verfolgt das Ziel, ein tieferes Verständnis mathematischer Konzepte der Linearen Algebra, insbesondere im Kontext von Matrizen, Determinanten, Eigenwerten und Eigenvektoren, zu vermitteln. Die zentrale Forschungsfrage untersucht, wie diese theoretischen Grundlagen für ökonomische Entscheidungsprobleme, Wachstumsmodelle und Optimierungsaufgaben in der Wirtschaftspraxis effektiv eingesetzt werden können.
- Grundlagen der Determinantentheorie und deren Berechnung
- Konzept und Eigenschaften ähnlicher Matrizen
- Analyse von Eigenwertproblemen bei quadratischen Matrizen
- Anwendung der Eigenwerttheorie in ökonomischen Wachstums- und Entscheidungsprozessen
Auszug aus dem Buch
4. Eigenwerte und Eigenvektoren
Wie bereits in der Einleitung angedeutet, wird man bei zahlreichen Aufgaben zu einer Fragestellung geführt, die für die Theorie der Matrizen von der größten Bedeutung geworden und geradezu als das Kernstück dieser Theorie anzusehen ist. Um zunächst einmal eine solche ökonomische Problemstellung zu verdeutlichen, sei hier ein Beispiel angeführt.
Beispiel 3: Eine Firma stellt zwei Güter her. Die Herstellungsmengen von den beiden Gütern im n-ten Jahr betragen x_n und y_n. Im darauf folgenden Jahr sollen die Herstellungsmengen x_{n+1} und y_{n+1} von denen des Vorjahres abhängen in der Form x_{n+1} = 0,9x_n + 0,4y_n und y_{n+1} = 0,3x_n + 0,8y_n für n = 1, 2, …
Dieses System stellen wir in der Matrizenschreibweise dar: (x_{n+1} / y_{n+1}) = A * (x_n / y_n) mit n = 1, 2, ...
Gibt man die Produktionsmengen x_1 und y_1 im ersten Jahr vor, so können nach der obigen Formel die Mengen der nachfolgenden Jahre der Reihe nach rekursiv berechnet werden. Beide Produktionsmengen wachsen jährlich gleichmäßig, wenn es einen Faktor λ > 1 gibt mit (x_{n+1} / y_{n+1}) = λ * (x_n / y_n).
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Diese Einleitung motiviert die Beschäftigung mit der Linearen Algebra in der Wirtschaft und skizziert die vier behandelten Teilgebiete sowie deren praktische Anwendungsfelder.
2. Determinanten: Es werden der Begriff der Determinante, Berechnungsmethoden sowie deren zentrale Eigenschaften und der Zusammenhang zu linearen Gleichungssystemen erläutert.
3. Ähnliche Matrizen: Dieses Kapitel definiert die Ähnlichkeit von Matrizen und leitet daraus wichtige Sätze für die weitere Matrizenrechnung ab.
4. Eigenwerte und Eigenvektoren: Hier wird das Kernstück der Arbeit behandelt, inklusive der Problemstellung, der mathematischen Herleitung der Eigenwerte und Eigenvektoren sowie deren spezifischer Eigenschaften.
5. Ökonomische Anwendungen: Der theoretische Teil wird genutzt, um ökonomische Wachstumsprozesse, Optimierungsprobleme und die Gewichtung von Zielen mittels Paarvergleichsmatrizen praktisch zu veranschaulichen.
6. Schlussbetrachtungen: Das Fazit fasst die Bedeutung der untersuchten Konzepte zusammen und hebt die Vielseitigkeit der Eigenwertmethode für ökonomische Fragestellungen hervor.
Schlüsselwörter
Lineare Algebra, Matrizen, Determinanten, Eigenwerte, Eigenvektoren, Ökonomische Anwendungen, Wachstumsprozesse, Optimierungsprobleme, Input-Output-System, Markovprozess, Symmetrische Matrizen, Lineare Abbildung, Paarvergleichsmatrix, Entscheidungsfindung, Charakteristisches Polynom.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit thematisiert zentrale Konzepte der Linearen Algebra wie Matrizen, Determinanten sowie Eigenwerte und Eigenvektoren und deren konkrete Anwendung in wirtschaftswissenschaftlichen Modellen.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die Schwerpunkte liegen auf der theoretischen Fundierung der Matrizenrechnung und deren praktischer Nutzung in der Ökonomie, insbesondere für Wachstumsmodelle und Entscheidungstheorien.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, ein tieferes Verständnis für mathematische Konzepte zu schaffen und zu demonstrieren, wie diese zur Lösung wirtschaftlicher Entscheidungsprobleme, Maximierungs- oder Minimierungsaufgaben beitragen können.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt mathematische Herleitungen, Beweise von Sätzen sowie die Veranschaulichung durch ökonomische Beispiele (wie das Input-Output-System), um die Konzepte methodisch zu fundieren.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Einführung von Determinanten, die mathematischen Grundlagen ähnlicher Matrizen sowie die detaillierte Analyse von Eigenwerten und Eigenvektoren.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Kernbegriffe sind Lineare Algebra, Matrizen, Eigenwerte, Eigenvektoren, Determinanten und ökonomische Anwendungen wie Wachstumsprozesse und Optimierung.
Warum sind ähnliche Matrizen für diese Arbeit wichtig?
Ähnliche Matrizen ermöglichen es, Matrizen in eine einfachere Form (Diagonalmatrix) zu transformieren, wodurch Eigenwerte direkt abgelesen werden können.
Wie wird die "Eigenwertmethode" in der Entscheidungstheorie angewandt?
Bei der Entscheidung zwischen mehreren Alternativen wird eine Paarvergleichsmatrix erstellt; der normierte Eigenvektor zum größten Eigenwert dieser Matrix liefert den gesuchten Gewichtungsvektor für die Unterziele.
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- Andreas Wolf (Author), 2002, Ähnliche Matrizen, Eigenwerte, Eigenvektoren, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/28770
