Die Entdeckbarkeitstheorie ist eine Theorie der philosophischen Mathematik, die sich mit der Existenz derjenigen Objekte beschäftigt, mit denen Mathematik gemacht wird. In den „Grundlagen der Arithmetik“ fasst Gottlob Frege kurz und prägnant den philosophischen Kerngedanken der Entdeckbarkeitstheorie zusammen: Mathematische Objekte sind nicht von Menschenhand geschaffen, sie existieren unabhängig von menschlichem Denken. Der Mensch benennt mathematische Objekte, um mit ihnen arbeiten zu können. Das Definieren ist dabei aber kein existenzschaffender Prozess, es ist lediglich eine Taufe, eine Namensgebung für bereits Existierendes.
Grundlegend für die Definition aller mathematischen Objekte ist die Definition des Begriffs Menge. Georg Cantor definierte 1895 eine Menge als „jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“ John von Neumann lieferte ein mengentheoretisches Modell zur Definition der natürlichen Zahlen, also für die elementarsten mathematischen Objekte. Die Entdeckbarkeitstheorie basiert auf von Neumanns Definition der natürlichen Zahlen und muss daher nicht auf die Peano-Axiome eingehen. Die von Neumann’sche Definition der natürlichen Zahlen motiviert das Axiomensystem der Entdeckbarkeitstheorie, aus dem die zwei Kernresultate der Entdeckbarkeitstheorie folgen:
Alle mathematischen Objekte sind entdeckbar (Entdeckbarkeitscharakteristik).
Aus entdeckbaren mathematischen Objekten können nur entdeckbare mathematische Objekte konstruiert werden (Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie).
Aus der Entdeckbarkeitscharakteristik und dem Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie folgt, dass der Mensch keine mathematischen Objekte schafft, sondern mit a priori existenten Objekten arbeitet. Das Ziel dieser Arbeit ist es, ausgehend von der Entdeckbarkeit der natürlichen Zahlen, die unmittelbar aus dem Axiomensystem folgt, die Entdeckbarkeitscharakteristik und den Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie zu beweisen. Außerdem soll auf die philosophische Bedeutung der Entdeckbarkeitstheorie eingegangen werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe und Axiomatik
1.1 Existenz, Entdeckbarkeit und Erfundenheit
1.2 Axiome der Entdeckbarkeitstheorie
2 Entdeckbare mathematische Objekte
2.1 Konstruktion entdeckbarer Mengen
2.2 Entdeckbarkeit von ℕ
2.3 Entdeckbarkeit von ℤ, ℚ und ℝ
2.4 Entdeckbare algebraische Strukturen
3 Entdeckbarkeitscharakteristik und Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie
3.1 Entdeckbarkeitscharakteristik
3.2 Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie
3.3 Philosophische Bedeutung der Entdeckbarkeitstheorie
Zielsetzung & Themen
Das primäre Ziel dieser Arbeit ist der Beweis der Entdeckbarkeitscharakteristik und des Hauptsatzes der Entdeckbarkeitstheorie, ausgehend von der Entdeckbarkeit natürlicher Zahlen, um zu zeigen, dass mathematische Objekte a priori existieren und nicht von Menschenhand geschaffen werden.
- Philosophische Begründung der Existenz mathematischer Objekte
- Axiomatische Fundierung der Entdeckbarkeitstheorie
- Konstruktion und Entdeckbarkeit mathematischer Zahlenbereiche (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ)
- Analyse algebraischer Strukturen hinsichtlich ihrer Entdeckbarkeit
- Untersuchung der Unabhängigkeit mathematischer Existenz von menschlichen Rechenregeln
Auszug aus dem Buch
3.2 Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie
Die Entdeckbarkeitscharakteristik motiviert uns zu folgender Vorstellung: Wenn wir ein mathematisches Objekt konstruieren wollen, schöpfen wir beliebige Male die leere Menge aus ent und verpacken das Erhaltene. Dies wiederholen wir so oft, wie wir wollen. Die Entdeckbarkeitscharakteristik sichert schließlich, dass das am Ende erhaltene Objekt in dieser Gestalt schon selbst entdeckbar ist. Das heißt aber, dass das konstruierte Objekt in ent enthalten ist. Man hätte es also auch gleich erhalten können, ohne zu schöpfen und zu konstruieren. Also: Alle mathematischen Objekte, die man aus ent nimmt und konstruiert, sind entdeckbar. Es können mit Objekten aus ent keine Objekte geschaffen werden, die nicht schon selbst in ent enthalten sind.
Satz 3.8 (Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie). Sei M eine beliebige Menge und f : ent × ent —> M eine Abbildung. Dann ist
f (ent × ent) ⊆ ent.
Dies bedeutet: Sind x, y entdeckbare mathematische Objekte, so ist bereits jede Konstruktion f (x, y) entdeckbar. Also: Aus entdeckbaren mathematischen Objekten können nur entdeckbare mathematische Objekte konstruiert werden.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Grundbegriffe und Axiomatik: Dieses Kapitel führt die grundlegende Unterteilung in existierende, entdeckbare und erfundene Objekte ein und definiert das Axiomensystem der Entdeckbarkeitstheorie.
2 Entdeckbare mathematische Objekte: Es wird gezeigt, wie durch mathematische Konstruktionen aus entdeckbaren Mengen weitere entdeckbare Objekte wie Zahlenbereiche und algebraische Strukturen abgeleitet werden können.
3 Entdeckbarkeitscharakteristik und Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie: Das Kapitel beweist die Entdeckbarkeit mathematischer Objekte mittels Fundamenten und etabliert den Hauptsatz, der besagt, dass aus entdeckbaren Objekten ausschließlich entdeckbare Objekte konstruiert werden können.
Schlüsselwörter
Entdeckbarkeitstheorie, Philosophische Mathematik, Mathematische Objekte, Existenzaxiom, Konstruktionsaxiom, Mengenlehre, Natürliche Zahlen, Algebraische Strukturen, Entdeckbarkeitscharakteristik, Hauptsatz, A priori Existenz, Mathematikphilosophie, Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Cauchy-Folgen, Fundament.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der philosophisch-mathematischen Frage, ob mathematische Objekte unabhängig vom Menschen existieren oder ob sie vom Menschen konstruiert wurden.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Themen umfassen die mengentheoretische Axiomatik, die Beweisbarkeit der Entdeckbarkeit verschiedener Zahlenbereiche sowie die philosophischen Implikationen für die Mathematik.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist der Beweis der Entdeckbarkeitscharakteristik und des Hauptsatzes der Entdeckbarkeitstheorie, um nachzuweisen, dass Mathematik auf a priori existierenden Objekten basiert.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird ein axiomatisch-deduktiver Ansatz gewählt, der auf der Mengenlehre und der von Neumann’schen Definition natürlicher Zahlen aufbaut.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil behandelt die Konstruktion entdeckbarer Mengen, die schrittweise Ausweitung auf komplexe Zahlenbereiche und algebraische Strukturen sowie die Herleitung der Kernresultate.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zentrale Begriffe sind Entdeckbarkeitstheorie, Mengen, Axiome, Entdeckbarkeitscharakteristik und die a priori Existenz mathematischer Objekte.
Was ist ein Fundament im Sinne der Theorie?
Ein Fundament ist die vollständig dekodierte Mengendarstellung eines Objekts, die ausschließlich aus der leeren Menge und Mengenklammern besteht.
Wie unterscheidet die Theorie zwischen Entdeckungen und Erfindungen?
Objekte, deren Existenz nicht durch menschlichen Einfluss begann, gelten als entdeckbar; Objekte, die durch menschliche Einflussnahme entstehen, werden als erfunden klassifiziert.
Warum spielt die Rechenregel laut dieser Theorie keine Rolle für die Existenz?
Da mathematische Objekte a priori existieren, sind Rechenregeln lediglich menschliche Erfindungen zur Benennung und Handhabung, die die Existenz der Objekte selbst jedoch nicht beeinflussen.
- Arbeit zitieren
- Daniel Janocha (Autor:in), 2014, Entdeckbarkeitstheorie. Eine Theorie über die Frage, ob mathematische Objekte von Menschenhand geschaffen sind, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/288625
