Die Entdeckbarkeitstheorie ist eine Theorie der philosophischen Mathematik, die sich mit der Existenz derjenigen Objekte beschäftigt, mit denen Mathematik gemacht wird. In den „Grundlagen der Arithmetik“ fasst Gottlob Frege kurz und prägnant den philosophischen Kerngedanken der Entdeckbarkeitstheorie zusammen: Mathematische Objekte sind nicht von Menschenhand geschaffen, sie existieren unabhängig von menschlichem Denken. Der Mensch benennt mathematische Objekte, um mit ihnen arbeiten zu können. Das Definieren ist dabei aber kein existenzschaffender Prozess, es ist lediglich eine Taufe, eine Namensgebung für bereits Existierendes.
Grundlegend für die Definition aller mathematischen Objekte ist die Definition des Begriffs Menge. Georg Cantor definierte 1895 eine Menge als „jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“ John von Neumann lieferte ein mengentheoretisches Modell zur Definition der natürlichen Zahlen, also für die elementarsten mathematischen Objekte. Die Entdeckbarkeitstheorie basiert auf von Neumanns Definition der natürlichen Zahlen und muss daher nicht auf die Peano-Axiome eingehen. Die von Neumann’sche Definition der natürlichen Zahlen motiviert das Axiomensystem der Entdeckbarkeitstheorie, aus dem die zwei Kernresultate der Entdeckbarkeitstheorie folgen:
Alle mathematischen Objekte sind entdeckbar (Entdeckbarkeitscharakteristik).
Aus entdeckbaren mathematischen Objekten können nur entdeckbare mathematische Objekte konstruiert werden (Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie).
Aus der Entdeckbarkeitscharakteristik und dem Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie folgt, dass der Mensch keine mathematischen Objekte schafft, sondern mit a priori existenten Objekten arbeitet. Das Ziel dieser Arbeit ist es, ausgehend von der Entdeckbarkeit der natürlichen Zahlen, die unmittelbar aus dem Axiomensystem folgt, die Entdeckbarkeitscharakteristik und den Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie zu beweisen. Außerdem soll auf die philosophische Bedeutung der Entdeckbarkeitstheorie eingegangen werden.
Inhaltsverzeichnis
- Grundbegriffe und Axiomatik
- Existenz, Entdeckbarkeit und Erfundenheit
- Axiome der Entdeckbarkeitstheorie
- Entdeckbare mathematische Objekte
- Konstruktion entdeckbarer Mengen
- Entdeckbarkeit von N...
- Entdeckbarkeit von Z, Q und R
- Entdeckbare algebraische Strukturen
- Entdeckbarkeitscharakteristik und Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie
- Entdeckbarkeitscharakteristik
- Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie
- Philosophische Bedeutung der Entdeckbarkeitstheorie
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Entdeckbarkeitstheorie ist eine philosophische Theorie, die die Existenz mathematischer Objekte untersucht. Sie argumentiert, dass mathematische Objekte nicht von Menschen geschaffen werden, sondern unabhängig vom menschlichen Denken existieren. Die Arbeit zielt darauf ab, die Entdeckbarkeitscharakteristik und den Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie zu beweisen und die philosophische Bedeutung der Theorie zu erörtern.
- Die Existenz mathematischer Objekte
- Die Rolle der Definition in der Mathematik
- Die Entdeckbarkeitstheorie als alternative zur Platonismus und Konstruktivismus
- Die philosophischen Implikationen der Entdeckbarkeitstheorie
- Die Anwendung der Entdeckbarkeitstheorie auf verschiedene Bereiche der Mathematik
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Grundbegriffe und Axiomatik: Dieses Kapitel führt die zentralen Begriffe der Entdeckbarkeitstheorie ein, darunter Existenz, Entdeckbarkeit und Erfundenheit. Es stellt auch die Axiome der Theorie vor, die als Grundlage für die weiteren Ausführungen dienen.
- Kapitel 2: Entdeckbare mathematische Objekte: Dieses Kapitel untersucht die Konstruktion von entdeckbaren Mengen und die Entdeckbarkeit verschiedener mathematischer Objekte, darunter die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen.
- Kapitel 3: Entdeckbarkeitscharakteristik und Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie: Dieses Kapitel beweist die Entdeckbarkeitscharakteristik und den Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie. Es zeigt, dass alle mathematischen Objekte entdeckbar sind und dass aus entdeckbaren Objekten nur entdeckbare Objekte konstruiert werden können.
Schlüsselwörter
Entdeckbarkeitstheorie, philosophische Mathematik, Existenz von mathematischen Objekten, Gottlob Frege, Georg Cantor, John von Neumann, Mengenlehre, Entdeckbarkeitscharakteristik, Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie, axiomatisches System.
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- Daniel Janocha (Autor), 2014, Entdeckbarkeitstheorie. Eine Theorie über die Frage, ob mathematische Objekte von Menschenhand geschaffen sind, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/288625
