Untersuchung der Stabilität des Wirbelnachlaufs eines Rechteckflügels mit voreingestellten Rudern

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Ausgangslage
1.2 Lösungsansätze
1.3 Ziel der Arbeit und Vorgehensweise

2 Theoretischer Hintergrund
2.1 Wirbelbildung im Nachlauf von Flügeln
2.2 Gefährdung folgender Flugzeuge durch den Wirbelnachlauf
2.3 Elementare Größen wirbelbehafteter Strömungen
2.3.1 Zirkulation
2.3.2 Drehung und Rotation
2.4 Wirbelmodelle
2.4.1 Einleitung
2.4.2 Der Potentialwirbel
2.4.3 Der Rankine-Wirbel
2.4.4 Der Lamb-Oseen-Wirbel
2.5 Stabilitätsanalyse
2.5.1 Einleitung
2.5.2 Modell des Wirbelsystems
2.5.3 Herleitung der Stabilitätsgleichungen
2.5.4 Lösung der Stabilitätsgleichungen
2.5.5 Formen der Instabilität

3 Versuchsmethodik
3.1 Angewendetes Verfahren
3.2 Particle Image Velocimetry
3.3 Versuchsaufbau
3.3.1 Wasserschleppkanal
3.3.2 Modell
3.4 Versuchsdurchführung
3.4.1 Anzahl der Versuche
3.4.2 Ablauf der Versuche
3.4.2.1 Experimente zur Particle Image Velocimetry
3.4.2.2 Experimente zur Strömungssichtbarmachung
3.4.3 Versuchsparameter

4 Aufbereitung der Rohdaten
4.1 Vorgehen
4.1.1 Generierung der Geschwindigkeitsvektorfelder
4.1.2 Umstrukturierung zur Weiterverarbeitung
4.2 Qualität der Daten

5 Referenzfall

6 Auswertung der Messergebnisse
6.1 Datenbasis
6.2 Abstand der Messebenen von der Flügelhinterkante
6.3 Bestimmung der Rotationsverteilung
6.4 Schwertstörung
6.5 Nullpunktkorrektur
6.6 Auftriebsbeiwert
6.7 Identifikation der Wirbelparameter
6.7.1 Wirbelschwerpunkt
6.7.2 Modellierung des Wirbelsystems
6.7.3 Trajektorien der Wirbelzentren
6.7.4 Wirbelkernradius
6.7.5 Zirkulation
6.8 Rollmoment
6.9 Axialgeschwindigkeit
6.10 Beeinflussung durch äußere Faktoren
6.10.1 Einleitung
6.10.2 Boden- und Wandeffekte
6.10.3 Beschleunigungs- und Abbremsvorgang des Schlittens
6.11 Reproduzierbarkeit der Ergebnisse
6.11.1 Einleitung
6.11.2 Qualität von Messung und Auswertung
6.11.3 Qualität des Strömungsbildes

7 Stabilitätsanalyse
7.1 Eingangsdaten
7.2 Ergebnisse der Stabilitätsanalyse

8 Strömungssichtbarmachung
8.1 Einleitung
8.2 Ermittlung der Wellenlänge
8.3 Aufplatzen des Randwirbels

9 Zusammenfassung

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Literaturverzeichnis

1 Einleitung

1.1 Ausgangslage

In den vergangenen Jahrzehnten ist das Luftverkehrsaufkommen beständig ange- stiegen. Trotz des Einbruchs in den letzten Jahren wird für die Zukunft von einer Fortsetzung des Wachstums ausgegangen. Die folgende Abbildung zeigt die bisherige und prognostizierte Entwicklung des weltweiten Personen-Luftverkehrsaufkommens in Passagierkilometern (Revenue Passenger-Kilometres - RPK). Nach [1] liegt die durch- schnittliche jährliche Wachstumsrate in den nächsten 20 Jahren bei über 5 Prozent. Für den Frachtverkehr wird im selben Zeitraum ein durchschnittliches Wachstum von über 6 Prozent erwartet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.1: Entwicklung des Personenluftverkehraufkommens. Aus: [1]

Allerdings operieren nahezu alle größeren deutschen und europäischen Flughäfen zu- mindest während der täglichen Spitzenzeiten an ihrer Kapazitätsgrenze. Das limi- tierende Element ist hierbei in den meisten Fällen die Kapazität des Start- und Lande- bahnsystems. Diesbezügliche Erweiterungen stoßen jedoch aufgrund von Lärm-, Umwelt- und Sicherheitsproblemen auf zunehmenden Widerstand, was zu langwie- rigen Genehmigungsverfahren und hohen Kosten führt. Daher besteht ein großes Interesse an der Optimierung des bestehenden Bahnsystems. Dessen Kapazität ergibt sich neben der Anzahl der Bahnen, deren Lage und den angewendeten Verfahren ins- besondere durch den zeitlichen Abstand an- und abfliegender Flugzeuge. Der Mindestabstand zweier aufeinander folgender Flugzeuge ist durch internationale Bestimmungen festgelegt. Dieser als räumliche Separation definierte Abstand ergibt sich aus Sicherheitsgründen:

Von voraus fliegenden Flugzeugen generierte Wirbelschleppen induzieren auf nach- folgende Flugzeuge Rollmomente. Gerade in der Start- und Landephase können diese Rollmomentbelastungen aufgrund der geringen Flughöhe zum Absturz eines Folgeflugzeuges führen, wenn sie nicht durch den maximalen Querruderausschlag ausgeglichen werden können oder dem Piloten nicht genügend Reaktionszeit zum Gegensteuern bleibt.

Sowohl die Stärke der Wirbel als auch die Empfindlichkeit des nachfolgenden Flugzeugs sind gekoppelt an das jeweilige Flugzeuggewicht, so dass sich eine gewichtsabhängige Staffelungsvorgabe ergibt. Die verschiedenen Flugzeugtypen sind dazu von der ICAO ¹ in Gewichtsklassen eingeteilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1.1: ICAO-Gewichtsklassen

Die Mindeststaffelungsabstände für den Landeanflug sind von der IACO abhängig von der Kombination aus vorausfliegendem und nachfolgendem Flugzeug festgelegt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1.2: ICAO-Wirbelschleppen-Mindestseparation [2]

1.2 Lösungsansätze

Zur Verringerung der oben erläuterten Staffelungsabstände und damit zur Erhöhung der Bahnkapazität werden zur Zeit zwei Ansätze verfolgt:

Da eine verlässliche Aussage über die tatsächliche Wirbelsituation im An- und Abflug- bereich zur Zeit noch nicht möglich ist, sind die Staffelungswerte aus Sicherheits- gründen unabhängig von der vorherrschenden Wettersituation relativ hoch angesetzt. Daher werden besondere Anstrengungen unternommen, die Gestalt und das zeitliche Verhalten des Wirbelnachlaufs auch in Abhängigkeit der herrschenden Wetterverhält- nisse, insbesondere des Seitenwinds, verlässlich vorauszusagen. In Verbindung mit entsprechenden Monitoring-Systemen kann damit eine begründete, wetterabhängige Verringerung der Staffelungsabstände vorgenommen werden, ohne die Flugsicherheit zu beeinträchtigen.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, durch konstruktive Maßnahmen am Flügel den Wirbelnachlauf zu beeinflussen. Maßgeblich für die Gefährlichkeit eines Wirbels im Hinblick auf die von ihm verursachte Rollmomentbelastung eines Folgeflugzeuges ist die Verteilung der Zirkulation im Nachlauf. Diese konzentriert sich besonders im Bereich der starken Flügelspitzenwirbel, wo dementsprechend hohe Rollmomentbelas- tungen auftreten. Allerdings kann die gesamte vom Tragflügel erzeugte Zirkulation nicht beeinflusst werden, da sie direkt an den vom Flugzustand bestimmten Auftrieb gekoppelt ist. Passive Maßnahmen wie Finnen an den Flügelspitzen [3] oder eine Variation der Flügelgeometrie [4] zielen daher auf eine Verteilung der am Flügel erzeugten Zirkulation entlang der Spannweite zur Vermeidung starker Wirbelbildung an den Spitzen. Allerdings führen aerodynamische Maßnahmen, welche erfolgreich bezüglich Reduzierung der Wirbelstärke im Nachlauf sind, in vielen Fällen zu starken Einbußen in der Flugleistung.

Die Forschung auf dem Gebiet aktiver Nachlaufbeeinflussung zielt auf die Anregung von in Kapitel 2.5 näher erläuterten Instabilitäten von Mehrwirbelsystemen, um deren Wachstum und damit den Zerfall des Wirbelsystems zu beschleunigen. Mit derartigen Systemen ausgerüstete Flugzeuge würden eine Verringerung des Staffelungsabstands zum Folgeflugzeug erlauben und so die Bahnkapazität des Flughafens erhöhen.

Die Entdeckung von Instabilitäten im Nachlauf geht auf Crow [5]zurück. Er untersuchte 1970 ein System aus zwei gegensinnig drehenden Wirbellinien, wie sie prinzipiell durch einen auftriebserzeugenden Tragflügel ohne Klappenausschlag erzeugt werden. Hierbei identifizierte er eine sinusförmige Schwingungsform, die letztlich zu einem Zusammentreffen der Wirbellinien und einem Übergang in Wirbelringe führte, wobei die Wirbelstärke drastisch abnahm. Allerdings weist diese Form der Instabilität eine hohe Wellenlänge sowie eine sehr geringe Wachstumsrate auf, so dass die Formierung der Wirbelringe ohne zusätzliche Anregung dieser Eigenformen erst jenseits von 100 Spannweiten hinter dem Flügel auftritt.

1997 griff Crouch [6]die Überlegungen von Crow auf und untersuchte ein System aus vier paarweise gleichsinnig drehenden Wirbellinien, wie sie im Nachlauf eines Flugzeugs in Landekonfiguration durch Flügelspitzen- und äußere Klappenwirbel erzeugt werden. Die von Crow entdeckte, langwellige Instabilität zeigte sich dabei in der Bewegungsform der Wirbelschwerpunkte. Darüber hinaus identifizierte Crouch eine kurzwelligere Form der Instabilität mit wesentlich höherer Wachstumsrate, die eine deutlich effektivere Zerstörung des Wirbelsystems versprach.

Der Methodik von Crow und Crouch folgend untersuchten Fabre et al. [7] ein System aus vier paarweise gegensinnig drehenden Wirbellinien. Sie kamen zu dem Ergebnis, dass die Instabilitäten bei dieser Konfiguration noch wesentlich schneller wachsen als im Falle gleichsinnig drehender Wirbel.

Im Rahmen des Teilprojektes A1 des Sonderforschungsbereiches 401 „ Str ö mungsbe- einflussung und Str ö mungs- Struktur- Wechselwirkungen an Tragfl ü geln “ finden seit geraumer Zeit Forschungsaktivitäten des Instituts für Luft- und Raumfahrt an der RWTH Aachen zur Beeinflussung von Wirbelstrukturen im Nachlauf von Tragflügeln statt. In diesem Projekt sollen experimentelle und theoretische Untersuchungen zur Destabilisierung des Nachlaufs eines Rechteckflügelmodells durchgeführt werden.

Die Anregung der Instabilitäten im Nachlauf erfolgt dabei durch die Oszillation der geteilten Ruder an den Flügelspitzen um eine voreingestellte Grundauslenkung. Durch die gegensätzliche Auslenkung der jeweiligen Ruderhälften wird der Gesamtauftrieb des Flügels dabei weitgehend konstant gehalten.

1.3 Ziel der Arbeit und Vorgehensweise

Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung der Stabilität des Nachlaufs bei voreingestellten, nichtoszillierenden Rudern.

Hierzu wird in der ersten Phase der Arbeit der Wirbelnachlauf des Flügels expe- rimentell im Wasserschleppkanal mit Hilfe der Particle Image Velocimetry (PIV) ver- messen. Diese Rohdaten werden in einer zweiten Phase im Hinblick auf Drehungs- verteilung und maximales induziertes Drehmoment auf ein nachfolgendes Flugzeug ausgewertet. In einer dritten Phase wird basierend auf in Phase Zwei ermittelten Kern- parametern eine Stabilitätsanalyse durchgeführt, die als Ergebnis die Eigen- schwingungsformen des Wirbelsystems mit maximaler Instabilität und die Wellenzah- len der entsprechenden theoretischen Schwingungen der Wirbellinien ausgibt. Die ermittelten Wellenzahlen dienen als Grundlage für folgende Arbeiten, in denen das Wirbelsystem durch oszillierende Ruder angeregt werden soll.

In den folgenden Kapiteln wird auf den im Rahmen dieser Arbeit relevanten theore- tischen Hintergrunds sowie auf das Verfahren der Particle Image Velocimetry einge- gangen. Weiterhin wird die Versuchsmethodik und die Auswertung der Messdaten be- schrieben. Abschließend erfolgen Diskussion und Interpretation der gewonnenen Ergebnisse.

2 Theoretischer Hintergrund

2.1 Wirbelbildung im Nachlauf von Flügeln

Die Auftriebserzeugung eines Tragflügels wird durch eine Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite des Flügels hervorgerufen. Aufgrund dieser Druckdifferenz ent- steht an den Flügelspitzen eine druckausgleichende Strömung von der Unter- zur Oberseite, die Sekundärströmungskomponenten in Spannweitenrichtung auf der Flügeloberfläche hervorruft. Wie in Abbildung 2.1 dargestellt, wird die unterseitige Strömung mit der Geschwindigkeit v uy zur Flügelspitze hin abgelenkt, während die Strömung auf der Oberseite des Flügels eine Komponente v oy in Richtung der Flügel- mitte aufweist.

1 International Civil Aviation Organization

Abbildung 2.1: Entstehung der Wirbelschicht. Aus:[8]

An der Flügelhinterkante bildet sich beim Aufeinandertreffen der Stromlinien von Oberund Unterseite aufgrund der unterschiedlichen Geschwindigkeitsvektoren eine Drehbewegung aus. Über die Spannweite ergibt sich so eine Vielzahl von Wirbeln, die als freie Wirbelschicht bezeichnet werden. Durch Eigeninduktion rollt sich diese Wirbelschicht stromab zu zwei Flügelrandwirbeln auf.

Dieses vereinfachte Modell eines reinen Rechteckflügels berücksichtigt allerdings noch nicht den Einfluss des Klappenausschlags der im Rahmen dieser Arbeit zu untersu- chenden Flügelkonfiguration. Der über die Innenkanten der nach unten ausge- schlagenen Ruder stattfindende Druckausgleich zwischen Flügelober- und -unterseite führt hier zu einer Drehbewegung, die der oben beschriebenen Bewegung ent- gegengesetzt ist. Das Aufrollen der Wirbelschicht in diesem Bereich führt zur Entste- hung der Ruderwirbel, deren Drehrichtung der der Randwirbel entgegen gerichtet ist.

2.2 Gefährdung folgender Flugzeuge durch den Wirbelnach- lauf

Entsprechend dem Auftriebssatz von Kutta-Joukowski (Gleichung 6-4) ist der Auftrieb eines Tragflügels direkt von der Zirkulationsverteilung über dem Flügel abhängig. Da diese wiederum über Gleichung 2-6 mit der Rotation verknüpft ist, ist ein hoher Auftrieb mit der Generierung starker Wirbel im Nachlauf des Flügels verbunden ². Ein hohes Flugzeuggewicht führt daher aufgrund des entsprechenden Auftriebsbedarfs im Allgemeinen zu der Generierung starker Wirbelschleppen.

Je nach Einflugrichtung eines Flugzeuges in eine Wirbelschleppe ergeben sich die in Abbildung 2.2 erläuterten Belastungszustände.

1 International Civil Aviation Organization

Abbildung 2.2: Auswirkung von Randwirbeln. Aus:[8]

Aufgrund vorgegebener Endanflug-Gleitpfade und einzuhaltender Abflugkorridore und damit weitgehend paralleler Flugwege ist bei Start und Landung die mögliche Rollmomentbelastung eines Folgeflugzeugs im Falle des Einfliegens in den Randwirbel des Vorgängers sicherheitsrelevant.

Bedingt durch die vom Wirbel induzierten vertikalen Strömungsgeschwindigkeiten ergibt sich hierbei ein über die Spannweite veränderlicher induzierter Anstellwinkel und damit eine asymmetrische Auftriebsverteilung. Durch den aus der Flugzeuglängsachse wandernden Angriffspunkt des Gesamtauftriebs entsteht so ein Rollmoment, dessen Stärke wesentlich von der Position des Folgeflugzeugs im Nachlauf abhängig ist. Im Falle paralleler Flugbahnen ergibt sich die stärkste Rollmomentbelastung beim Einfliegen in das Wirbelzentrum, da aufgrund der unterschiedlichen Vertikalgeschwin- digkeiten der effektive Anstellwinkel auf der einen Tragfläche erhöht wird, während er auf der anderen abnimmt.

Eine extreme Gefährdung des Folgeflugzeugs besteht dann, wenn das induzierte Rollmoment eine Höhe erreicht, die nicht mehr durch den maximalen Querruderausschlag kompensiert werden kann. Allerdings können auch geringere Momentenbelastungen trotz eines ausreichenden Steuerpotentials kritisch werden, beispielsweise wenn sich das Flugzeug in Bodennähe befindet und daher die dem Piloten zum Gegensteuern zur Verfügung stehende Zeit sehr gering ist.

2.3 Elementare Größen wirbelbehafteter Strömungen

2.3.1 Zirkulation

Die Zirkulation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist definiert als Linienintegral der Strömungsgeschwindigkeit entlang einer geschlossenen Kurve C. Mit dem Geschwindigkeitsvektor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ergibt sich die Zirkulation zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.3.2 Drehung und Rotation

Der Drehungsvektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist definiert als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Rahmen dieser Arbeit wird jedoch der im internationalen Sprachgebrauch übliche Begriff der Rotation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (engl. Vorticity) benutzt. Diese ist mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

doppelt so groß wie der jeweilige Drehungsvektor.

Unter Verwendung eines rechtwinkligen Koordinatensystems ergibt sich die Rotation zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Drehung und Zirkulation stehen über den Stokes'schen Satz in Zusammenhang. Dieser besagt:

„ Die Zirkulation um die Randkurve einer beliebigen ebenen Fl ä che entspricht dem doppelten Wirbelfluss durch diese Fl ä che. “ ³

Drehung und Zirkulation sind somit durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ineinander überführbar. Entsprechendes gilt mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]=2[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für die Rotation.

2.4 Wirbelmodelle

2.4.1 Einleitung

Im Rahmen der in Kapitel 2.5 und 7 ausführlich erläuterten Stabilitätsanalyse sowie bei der Auswertung der Messergebnisse in Kapitel 6 werden unterschiedliche Wirbelmodelle verwendet, die im Folgenden beschrieben werden sollen.

2.4.2 Der Potentialwirbel

Die Wirbel des Nachlaufs werden bei der Stabilitätsanalyse als dünne Wirbellinien modelliert und das resultierende Geschwindigkeitsfeld entsprechend dem Gesetz von Biot-Savart berechnet. Dies setzt eine inkompressible, reibungsfreie und drehungsfreie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Strömung voraus. Die auftretenden Wirbellinien haben hier die Gestalt eines Potentialwirbels, dessen Geschwindigkeitsverteilung mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

eine Funktion des Radius ist. Die Stromlinien des ebenen Potentialwirbels bestehen damit aus konzentrischen Kreisen um das Wirbelzentrum, eine radiale Geschwindigkeitskomponente liegt also nicht vor. Nach Gleichung 2-6 ist die Zirkulation über einen Umlauf mit Radius R konstant und unabhängig von R:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit ist eine notwendige Bedingung für die Drehungsfreiheit der Strömung erfüllt. Die gesamte Zirkulation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des Wirbels ist demnach im Ursprung konzentriert.

Entsprechend Gleichung 2-7 ergibt sich allerdings eine Singularität im Ursprung, die dort zu einer unendlich hohen Geschwindigkeit führt. Daher ist dieses Wirbelmodell im Bereich seines Zentrums für die Beschreibung realer Wirbel unbrauchbar.

2.4.3 Der Rankine-Wirbel

Um das oben angesprochene Problem der Singularität im Wirbelzentrum bei der Stabilitätsanalyse zu umgehen, wird für die Ermittlung des Selbstinduktionsanteils eines Wirbels das Rankine-Wirbelmodell verwendet.

Der Rankine-Wirbel entspricht außerhalb seines Kernradius r c einem Potentialwirbel, im Inneren wird das Fluid als zylindrischer Festkörper des Radius r c mit der Winkelgeschwindigkeit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

modelliert. Die Tangentialgeschwindigkeit ergibt sich damit zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Rotationsverteilung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]⁴ lässt sich in Polarkoordinaten mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bestimmen zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dadurch ergibt sich bei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine Unstetigkeit der Tangentialgeschwindigkeit.

2.4.4 Der Lamb-Oseen-Wirbel

Zur Bestimmung der relevanten Wirbelparameter der gemessenen Nachlaufströmung wird diese entsprechend Kapitel 6.7.2 mit der eines Wirbelmodells verglichen, das die reale Strömung möglichst gut abbildet. Als Wirbelmodell findet hier der Lamb-Oseen- Wirbel Anwendung. Dieser ist im Gegensatz zu den meisten anderen Modellen viskoser Strömungen analytisch lösbar.

Wie die oben beschriebenen Wirbelmodelle stellt der Lamb-Oseen-Wirbel eine zweidimensionale, inkompressible und kreissymmetrische Strömung dar. Die Rotation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist eine Funktion des radialen Abstands r zum Zentrum sowie der Zeit t. Sie ergibt sich als exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen für die Anfangsbe- dingungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist hierbei die Zirkulation des Wirbels zum Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] stellt die DiracFunktion dar. Damit vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen zu einer einzelnen Gleichung für die Rotation:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Laplace-Transformation in der Zeit erhält man das exakte Ergebnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die tangentiale Geschwindigkeitskomponente beträgt hierbei

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hieraus lässt sich der Radius der maximalen Tangentialgeschwindigkeit ermitteln, der als Wirbelkernradius [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bezeichnet wird:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hiermit lässt sich die Rotation in Abhängigkeit des radialen Abstands r zum Wirbelzentrum darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abschließend zeigen die folgenden Abbildungen Tangentialgeschwindigkeit und Rota- tion in Abhängigkeit des Radius für die hier vorgestellten Wirbelmodelle im Vergleich.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.3: Tangentialgeschwindigkeit verschiedener Wirbelmodelle. Aus:[11]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.4: Rotationsverteilung verschiedener Wirbelmodelle. Aus:[11]

2.5 Stabilitätsanalyse

2.5.1 Einleitung

Die Analyse der Dynamik eines Wirbelsystems geht im Wesentlichen auf Crow [5] zurück, der ein aus zwei Flügelspitzenwirbeln bestehendes Nachlaufsystem untersuch- te. Die Wirbel werden hierbei als dünne Wirbellinien angesehen. Durch das Gleichsetzen der kinetischen Wirbelgeschwindigkeiten, die sich einerseits durch die mittels Linearisierung des Biot-Savart'schen Gesetzes ermittelbaren induzierten Geschwindigkeiten am Ort des Wirbels ergeben und andererseits aus der Differentia- tion der Wirbelpositionen nach der Zeit berechnen lassen, leitete Crow Stabilitätsglei- chungen für das Wirbelsystem ab, die er analytisch als Eigenwertproblem löste. Hieraus ergab sich vorrangig eine langwellige sinusartige Form der Instabilität des Wir- belsystems, durch die die Amplituden der Schwingungen der Wirbellinien ein recht geringes Wachstum erfahren, das aber letztlich zum Zerfall der Wirbelstrukturen führt. Diese langwellige Instabilität wird gemeinhin als „Crow-Instabilität“ bezeichnet.

1997 nutzte Crouch [6] die Methode Crows zur Analyse eines Wirbelsystems aus zwei Paaren gleichsinnig drehender Wirbel, wie es im Aussenbereich eines Flügels durch Flügelspitzenwirbel und äußeren Klappenwirbel entsteht, wobei er das Eigenwertpro- blem mit Hilfe der Floquet-Theorie [10] löste. Crouch identifizierte neben der Crow- Instabilität zwei weitere Formen der Eigendynamik des Wirbelsystems. Hierbei handelt es sich um eine kurzwellige Instabilität mit einer gegenüber der Crow-Instabilität etwa doppelten Wachstumsrate.

Im Rahmen dieser Arbeit wird zur Durchführung der Stabilitätsanalyse des Wirbelsystems die Methode von Fabre [7] verwendet. Diese entspricht im Wesentlichen dem Vorgehen Crouchs und soll im Folgenden erläutert werden.

2.5.2 Modell des Wirbelsystems

Zur Beschreibung des realen Wirbelsystems des Modellflügels mit symmetrisch ausgeschlagenen Rudern wird der Nachlauf entsprechend Abbildung 2.5 durch vier dünne Wirbellinien modelliert.

Die Randwirbel werden mit den Indizes 1 und 2 bezeichnet, den Ruderwirbeln werden die Indizes 3 und 4 zugeordnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.5: Modellierung des Wirbelsystems

Mit der Annahme eines symmetrischen Modells ohne Schiebewinkel ist auch das betrachtete Wirbelsystem symmetrisch zur x − z -Ebene. Für die Zirkulation der einzelnen Wirbel gilt daher

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die gesamte Zirkulation einer Flügelhälfte ergibt sich zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als dimensionslose Eingangsgröße der Stabilitätsanalyse wird das Zirkulationsverhält- nis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

verwendet.

Der Abstand der Wirbelschwerpunkte der jeweiligen Flügelhälfte wird mit b 0 bezeichnet, der Abstand der einzelnen Wirbel einer Halbebene mit d 0 . Als weitere dimensionslose, das Wirbelsystem charakterisierende Eingangsgröße der Stabilitätsanalyse ergibt sich aus diesen Werten das Abstandsverhältnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.5.3 Herleitung der Stabilitätsgleichungen

Wie bereits erwähnt, beruht die Herleitung der Stabilitätsgleichungen eines Wirbels auf der Gleichsetzung seiner Geschwindigkeit mit der am Ort des Wirbels induzierten Geschwindigkeiten. Hierbei ergeben sich die induzierten Geschwindigkeiten aus der Anwendung des Gesetzes von Biot-Savart, während die kinematischen Gleichungen durch Differentiation des Ortsvektors nach der Zeit entstehen.

Der Ortsvektor des n -ten Wirbels wird mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

beschrieben, wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Werte von 1 bis 4 annimmt entsprechend der Anzahl der betrachteten Wirbel. Es wird davon ausgegangen, dass die Wirbel entlang der axialen Richtung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] periodischen Störungen der Amplituden [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in y - bzw. z -Rich- tung unterworfen sind. k entspricht der Wellenzahl, die sich über

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

aus der für alle Störungen als konstant angenommenen Wellenlänge [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt.

Die induzierte Geschwindigkeit an der Position [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des betrachteten Wirbels n ergibt sich dann durch das Biot-Savart'sche Gesetz aus der Summation der induzierten Geschwindigkeiten der einzelnen Wirbel m:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Ortsvektoren [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der induzierenden Wirbel entsprechen hierbei Gleichung 2-25, wobei statt n der Index m einzusetzen ist.

Mit der Annahme, dass die Störungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] klein sind gegenüber [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , lässt sich Gleichung 2-27 linearisieren und man erhält

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für eine ausführliche Behandlung der einzelnen Geschwindigkeitskomponenten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sei auf [11] verwiesen.

Das verwendete Koordinatensystem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wandert mit dem Abschwimmen der Wirbel in negativer z -Richtung mit.

Die mittlere Abschwimmgeschwindigkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt sich als durchschnittliche Abschwimmgeschwindigkeit der Vorticity [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der betrachteten Halbebene:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den im ortsfesten Koordinatensystem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestehenden Ortsvektor der Wirbellinie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt sich so

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und mit der Differentiation von Gleichung 2-31 nach der Zeit ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man nun die oben errechneten induzierten Geschwindigkeiten nach Gleichung 2- 28 und 2-29 mit den aus der Differentiation des Ortsvektors erhaltenenen Geschwindigkeiten gemäß

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gleich, so ergeben sich durch Koeffizientenvergleich die erwünschten Informationen zur Beschreibung der Dynamik des Wirbelsystems.

Zum einen ergeben sich mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Differentialgleichungen für die Position der Wirbellinien. Die zugehörigen Randbedingungen lauten entsprechend den in Kapitel 2.5.2 vereinbarten Konventionen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weiterhin liefert der Koeffizientenvergleich ein System aus acht gekoppelten Differentialgleichungen für die Amplituden der Störungen der Wirbellinien, also die gesuchten Stabilitätsgleichungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die entsprechenden Anfangsbedingungen lauten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.5.4 Lösung der Stabilitätsgleichungen

Die Lösung der Stabilitätsgleichungen erfolgt entsprechend dem Vorgehen von Crouch [6], der hierzu die Floquet-Analyse [10] anwendete.

Hierzu wird der Störungsvektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

eingeführt. Damit lassen sich die Gleichungen 2-39 und 2-40 kompakt darstellen als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund des zeitlich periodischen Charakters der Rotationsbewegung der Wirbel einer Halbebene umeinander erfüllt Matrix [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Bedingung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit der Periodendauer der Rotationsbewegung T.

Ausgehend von dieser Bedingung erfolgt die Bestimmung der Wachstumsraten der Instabilitäten des Wirbelsystems durch Anwendung der Floquet-Analyse nach Nayfeh und Mook [10]. Eine ausführliche Erläuterung des Vorgehens für den Fall des im Rahmen dieser Arbeit relevanten Wirbelsystems ist in [11] zu finden.

2.5.5 Formen der Instabilität

Das Wirbelsystem besitzt entsprechend der freien Bewegung jedes der vier Wirbels in y - und z -Richtung acht Freiheitsgrade. Dementsprechend ergeben sich aus der Lösung der Stabilitätsgleichungen acht Eigenwerte [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sowie acht zugehörige Eigen- vektoren [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , die die Störung jedes einzelnen Wirbels nach Größe und Orientierung beschreiben. Weiterhin lässt sich für jede der ermittelten Eigenformen eine Wachs- tumsrate [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmen. Die Bedingung für Instabilität des Systems durch die jeweilige Eigenform lautet damit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . Allerdings führen lediglich vier der ermittelten Eigen- formen zur Instabilität des Systems. Diese Formen lassen sich anhand ihrer Symme- trieeigenschaften bezüglich der x − z -Ebene klassifizieren. Für die mit S bezeichneten symmetrischen Fälle gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die antisymmetrischen Fälle (A) gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]1=[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als weiteres Unterscheidungsmerkmal werden die Fälle mit den Indizes 1 bzw. 2 versehen, je nachdem, welcher der beiden folgenden Bedingungen sie erfüllen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Abbildung 2.6 sind die relativen Störungen der vier instabilen Eigenformen darge- stellt, wobei die eingezeichneten Pfeile den Vektoren der für den jeweiligen Wirbel gefundenen Amplitude [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] entsprechen. Die Eigenformen S 1 und A 1 lassen sich als Verallge-meinerungen der von Crow entdeckten Instabilitäts-formen eines Wirbelsystems aus zwei gegensinnig dre- henden Wirbeln auffassen: Die Wirbelschwerpunkte der Abbildung 2.6: Instabile Eigenformen. Aus:[11] jeweiligen Halbebene verhal-ten sich hinsichtlich der Störung genau wie einzelne Wirbel an der Position der Wirbel- schwerpunkte. In den Fällen S 2 und A 2 bleibt die Lage der Wirbelschwerpunkte im Wesentlichen unverändert, die Störung der einzelnen Wirbel erfolgt relativ zum Schwerpunkt.

[...]

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¹ International Civil Aviation Organization

² Durch eine entsprechende Vergrößerung der Spannweite ist es möglich, die Spannweitenbelastung und damit die Wirbelstärke bei einer Auftriebserhöhung weitgehend konstant zu halten. Hier sind jedoch enge konstruktive Grenzen gesetzt, so dass eine Änderung des Flügels im Hinblick auf größeren Gesamtauftrieb in der Praxis zwangsläufig zur Bildung stärkerer Wirbel führt.

³ Aus: [9], p. 201

⁴ Im Folgenden wird ausschließlich der Begriff der Rotation verwendet. Daher wird auf die formale Unterscheidung zwischen Rotation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und Drehung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verzichtet und der Betrag der Rotation mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bezeichnet.