Nachhilfe Mathematik - Teil 1: Grundrechnungsarten und Zahlenraum bis zur Billion

Vorwort – Teil 1: Grundrechnungsarten – Gesamtband

Liebe Schülerinnen und Schüler, liebe Eltern, liebe Lehrerinnen und Lehrer!

Die neue Reihe „Nachhilfe – Mathematik“ wendet sich an alle Schülerinnen und Schüler, die ihre schulischen Leistungen im Fach Mathematik verbessern und vertiefen wollen, um bessere Noten zu erzielen und fit für den Übergang in eine andere Schulart zu werden.

Eltern haben mit diesen pädagogisch erprobten Aufgaben die Möglichkeit, die schulischen Leistungen ihrer Kinder zu verbessern, sie für das Fach Mathematik zu motivieren, so dass auch der Übergang in eine andere Schulform leichter fällt.

Die Reihe „Nachhilfe – Mathematik“ wendet sich aber auch an Lehrerinnen und Lehrer, die die einzelnen Arbeitsblätter einfach kopieren und für ihren Einsatz im Unterricht (auch für Vertretungsstunden) einsetzen können. Auf diese Weise brauchen sie sich nicht die Mühe machen, selbst Aufgaben so zusammenzustellen, dass sie ihre Schülerinnen und Schüler auch verstehen und sie ihren Erfolg selbst sehen.

Die Seiten sind so gestaltet, dass die Aufgaben direkt bearbeitet werden können. Selbstverständlich können die einzelnen Bände dieser Reihe ganz alleine durchgearbeitet werden, aber besser ist es sicherlich, wenn jemand den Fortschritt kontrolliert. Alle Aufgaben werden in kleinen Schritten erklärt und erarbeitet, so dass es leicht ist, zu verstehen, wie das „Rechnen“ geht. Die verschiedenen Aufgaben können dann selbst nachvollzogen und angewandt werden. Der Lösungsteil dient der Kontrolle. Im Anhang werden jeweils verschiedene wichtige Grundlagen für das Fach Mathematik angegeben.

Die Reihe „Nachhilfe – Mathematik“ ist unabhängig von Jahrgangsstufe, Schulart und Schulbuch und bietet in konzentrierter Form jeweils einen Teilbereich des Faches Mathematik an.

Jeder einzelne Teil der Reihe gliedert sich in zwei Einzelbände (Band 1 und Band 2) und einen Gesamtband, der die beiden Bände 1 und 2 enthält.

Teil 1 dieser Reihe behandelt die Grundrechnungsarten, die Grundlagen des Faches Mathematik sind. Das sichere Beherrschen der Grundrechnungsarten ist eine wichtige Voraussetzung für die anderen Rechenarten und für den Übertritt in eine andere Schulart.

Dabei werden die einzelnen Teilgebiete (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, Übungen mit den vier Grundrechnungsarten mit Regeln) in kleinen Schritten behandelt und ausführlich erklärt. Somit ergibt sich eine echte Nachhilfe, um sicher mit den Grundrechnungsarten umzugehen. Die Aufgaben sind so aufgebaut, dass sie alleine und ohne fremde Hilfe gelöst werden können.

Ausgehend von „leichten“ Aufgaben werden die Schüler auch an schwierigere Aufgaben und Sachaufgaben herangeführt. Die Lösungsschritte werden erklärt und am Ende zeigen die Lösungen, ob richtig gerechnet worden ist.

Wir sind sicher, dass diese neue Reihe eine echte Nachhilfe ist. Die jeweiligen Arbeitshefte sind so angelegt, dass in das Heft geschrieben werden kann.

Zum Schluss noch ein Tipp: Arbeite das Heft sorgfältig durch, dann bekommst du die Sicherheit, die du für das Fach Mathematik brauchst. Wir wünschen dir viel Spaß dabei.

Empfehle diese Reihe auch deinen Mitschülerinnen und Mitschülern, die Schwierigkeiten im Fach Mathematik haben und sich verbessern wollen.

[…]

Inhaltsverzeichnis – Teil 1: Grundrechnungsarten – Gesamtband

Vorwort … 3

Im Zahlenraum der Millionen … 6
1. Rechnen mit großen Zahlen … 6
2. Lesen und Schreiben von großen Zahlen … 6
3. Zerlegen von großen Zahlen … 7
4. Geschriebene Zahlen … 8
5. Ergänze zur Million … 9
6. Kopfrechnen mit großen Zahlen … 11
7. Addieren und Subtrahieren von großen Zahlen … 11
8. Multiplizieren und Dividieren von großen Zahlen … 12
9. Hier hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen … 13

Rechnen im Zahlenraum der Milliarden und Billionen … 14
1. Lesen und Schreiben der neuen großen Zahlen … 14
2. Zerlegen von großen Zahlen … 14
3. Geschriebene Zahlen … 15
4. Ergänzen zur Milliarde … 16
5. Mit großen Zahlen umgehen … 19
6. Rechnen mit großen Zahlen … 20

Mit Zahlen und Größen umgehen … 22
1. Zahlen ordnen … 22
2. Zahlen runden … 24
3. Wir überschlagen … 24
4. Wir rechnen mit verschiedenen Größen … 27
5. Vermischte Aufgaben … 29

Addition und Subtraktion … 30
1. Im Kopf addieren … 30
2. Im Kopf subtrahieren … 31
3. Vermischte Aufgaben … 31
4. Schriftlich addieren … 33
5. Schriftlich subtrahieren … 35
6. Vermischte Aufgaben … 38
7. Sachaufgaben … 41

Multiplikation und Division … 48
1. Im Kopf multiplizieren … 48
2. Im Kopf dividieren … 51
3. Schriftlich multiplizieren … 54
4. Schriftlich dividieren … 57
5. Vermischte Aufgaben … 59
6. Sachaufgaben … 60

Übungen mit den vier Grundrechnungsarten … 63
1. Wichtige Regeln in der Mathematik … 63
2. Rechnen mit diesen Regeln … 65

Sachaufgaben zu den vier Grundrechnungsarten … 67

Lösungen … 78

Anhang … 94

[…]

Mit Zahlen und Größen umgehen

1. Zahlen ordnen

a) Bringe folgende Zahlen in eine Reihenfolge. Schreibe wie im Beispiel.

Beispiel: 7 645 – 876 – 12 456 – 9 098 – 876

12 456 > 9 098 > 7 645 > 876 = 876 oder

876 = 876 < 7 645 < 9 098 < 12 456

(bei den Lösungen ist aber immer nur eine Möglichkeit vorgegeben)

76 897 – 34 990 – 2 345 – 875 – 9 653 – 13 574

________________________________________________________________________

198 978 – 43 – 123 475 – 653 – 2 409 – 2 410 – 653

________________________________________________________________________

34 657 – 124 – 2 560 – 9 889 – 9 890 – 12 560 – 56

________________________________________________________________________

176 876 – 98 765 – 4 567–- 36 876 – 145 000 – 546 – 67

________________________________________________________________________

434 – 5 678 – 234 876 – 32 980 – 453 – 237 987 098 – 213

________________________________________________________________________

7 645 – 43 744 – 198 700 – 56 870 – 32 – 43 744 – 557 987

________________________________________________________________________

67 650 – 345 – 987 098 – 23 130 – 4 678 – 321 – 67 650 – 3 478

________________________________________________________________________

b) Welche Zahl liegt dazwischen? Trage sie ein.

Beispiel: 654 789 < 654 790 < 654 791

653 876 < ______________ < 653 878

756 890 < ______________ < 756 892

134 987 < ______________ < 134 989

987 098 < ______________ < 987 100

854 871 < ______________ < 854 873

75 987 < ______________ < 75 989

125 871 > ______________ > 125 869

652 911 > ______________ > 652 909

737 777 > ______________ > 737 775

54 765 > ______________ > 54 763

212 654 > ______________ > 212 652

387 651 > ______________ > 387 649

343 234 > ______________ > 343 232

987 998 > ______________ > 987 996

c) Finde alle Zahlen, die in den angegebenen Zahlenraum passen und trage sie ein.

Beispiel: 654 876 < 654 877 < 654 878 < 654 879 ... ·< 654 880

123 456 < __________________________________________________ < 123 260

532 790 < __________________________________________________ < 532 794

689 124 < __________________________________________________ < 689 128

334 456 < __________________________________________________ < 334 460

476 933 < __________________________________________________ < 476 937

721 127 > __________________________________________________ > 721 123

246 800 > __________________________________________________ > 246 796

818 818 > __________________________________________________ > 818 814

321 008 > __________________________________________________ > 321 004

279 126 > __________________________________________________ > 279 122

d) Setze die richtigen Zeichen ein: „<“ oder „>“ oder „=“.

345 987 ___ 345 988

765 980 ___ 765 980

123 567 ___ 123 566

765 097 ___ 755 097

346 864 ___ 346 888

32 987 ___ 32 987

997 450 ___ 997 459

807 909 ___ 807 809

435 876 ___ 435 876

674 098 ___ 674 099

435 987 ___ 54 765

234 987 ___ 234 989

907 321 ___ 907 321

865 543 ___ 129 854

98 765 ___ 100 000

2. Zahlen runden

Weißt du es noch? Entscheidend ist die letzte Ziffer. Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. Das üben wir nun.

a) Runde die folgenden Zahlen auf Zehner. Verwende dabei das Zeichen ≈. Entscheidend für das Runden ist die Einerstelle:

Beispiel: 146 ≈ 150

254 ≈ ___________

769 ≈ __________

165 ≈ __________

588 ≈ _________

3 365 ≈ ___________

75 423 ≈ __________

43 872 ≈ __________

1 931 ≈ ___________

6 976 ≈ __________

32 867 ≈ __________

b) Runde nun auf Hunderter. Jetzt entscheidet die Zehnerstelle.

Beispiel: 4 760 ≈ 4 800

6 888 ≈ ___________

8 385 ≈ ____________

15 846 ≈ ____________

189 764 ≈ ___________

4 872 ≈ ____________

289 641 ≈ ____________

4 760 ≈ ___________

65 767 ≈ ____________

89 003 ≈ ____________

c) Runde nun auf Tausender. Entscheidend ist jetzt die Hunderterstelle.

Beispiel: 12 135 ≈ 12 000

17 546 ≈ ____________

390 761 ≈ ____________

4 653 489 ≈ ____________

87 987 ≈ ____________

9 234 542 ≈ ____________

98 999 ≈ ____________

876 870 ≈ ____________

12 498 654 ≈ ____________

98 765 ≈ ____________

3. Wir überschlagen

Um schnell zu überprüfen, ob man richtig gerechnet hat, ist es sinnvoll, vorher zu überschlagen. Zum Überschlagen nimmt man am besten ganze Zahlen, die man vorher sinnvoll gerundet hat.

a) Überschlage vor dem Rechnen, dann rechne und vergleiche das Ergebnis mit dem Überschlag (= Ü).

Beispiel:

24 • 48 (Ü: 20 • 50 = 1000)
_________
960
+ 192
_________
1152

46 • 31 (Ü: _____________)
_________

_________

97 • 53: (Ü: _____________)
_________

_________

22 • 68 (Ü: _____________)
_________

_________

96 • 91 (Ü: _____________)
_________

_________

35 • 79 (Ü: _____________)
_________

_________

[…]

Addition und Subtraktion

Sicherlich kennst du schon die Begriffe „addieren“ und „subtrahieren“. Wir schreiben sie dir hier noch einmal im Zusammenhang auf.

Addition - addieren – zusammenzählen
Summand plus Summand = Summe
45 + 31 = 56

Subtraktion - subtrahieren – abziehen
Minuend minus Subtrahend = Differenz
45 – 28 = 17

1. Im Kopf addieren

Rechne die folgenden Aufgaben unbedingt im Kopf und schreibe nur das Ergebnis auf.

a) Versuche, bei diesen Aufgaben gleich vorteilhaft zu rechnen. Rechne so, dass sich möglichst ganze Zehner ergeben.

Beispiel: 24 + 48 + 36 = 24 + 36 = 60 + 48 = 108

141 + 23 + 39 = __________

52 + 91 + 108 = __________

112 + 47 + 13 = __________

32 + 64 + 88 = __________

22 + 49 + 41 = __________

65 + 104 + 15 = __________

83 + 92 + 27 = __________

210 + 67 + 53 = __________

41 + 56 + 194 = __________

73 + 109 + 77 = __________

b) Das Ergebnis der folgenden Aufgaben soll immer 200 sein. Ergänze.

Beispiel: 35 + 23 + 45 + ___ = 200 Lösung: 97 (trage ein)

Kontrolliere, ob die Summe der 8 Ergebnisse 333 ergibt.

12 + 81 + 18 + ______= 200

33 + 59 + 47 + ______= 200

25 + 53 + 45 + ______= 200

43 + 55 + 87 + ______= 200

105 + 25 + 41 + ______= 200

119 + 25 + 31 + ______= 200

107 + 13 + 59 + ______= 200

125 + 44 + 15 + ______= 200

2. Im Kopf subtrahieren

Rechne die folgenden Aufgaben unbedingt im Kopf und schreibe nur das Ergebnis auf.

a) Versuche auch bei diesen Aufgaben gleich vorteilhaft zu rechnen. Rechne so, dass sich möglichst ganze Zehner ergeben.

Beispiel: 125 – 47 – 35 = 125 – 35 – 47 = 43

149 – 31 – 29 = __________

173 – 56 – 43 = __________

417 – 83 – 27 = __________

197 – 71 – 37 = __________

278 – 91 – 68 = __________

211 – 33 – 41 = __________

162 – 42 – 83 = __________

109 – 25 – 49 = __________

76 – 31 – 16 = __________

386 – 135 – 6 = __________

b) Das Ergebnis der folgenden Aufgaben soll immer 50 sein. Ergänze.

Beispiel: 147 – 31 – 27 – ______= 50

147 – 31 – 27 – 39 = 50

Rechne und kontrolliere dann, ob die Summe der 10 Platzhalter 377 ergibt.

157 – 75 – 17 – ______ = 50

198 – 81 – 58 – ______ = 50

151 – 32 – 11 – ______ = 50

213 – 45 – 87 – ______ = 50

240 – 43 – 62 – ______ = 50

206 – 31 – 96 – ______ = 50

165 – 45 – 37 – ______ = 50

222 – 96 – 72 – ______ = 50

288 – 93 – 48 – ______ = 50

125 – 44 – 15 – ______ = 50

[…]

7. Sachaufgaben

Im Mathematikunterricht hast du gelernt, dass es einfacher ist, Sachaufgaben nach einem bestimmten Schema zu lösen. Dafür gibt es viele Möglichkeiten.

Wir empfehlen dir das 4-Stufen-Schema:
Wir wissen – Wir fragen – Wir rechnen – Wir antworten.
Nach diesem Schema kannst du sogar bis zur Abschlussprüfung rechnen.

Dieses Schema ist eigentlich ganz einfach. Bei der ersten Aufgabe stellen wir es dir vor. Bei vielen Aufgaben erhältst du zusätzliche Tipps und Hilfen, die dir die Lösung erleichtern und das Rechnen vereinfachen.

Hier sind gleich die ersten Tipps, die für alle Sachaufgaben wichtig sind :
Tipp: Überschlage zuerst bei jeder Aufgabe deine Rechnung. Kontrolliere dann nach, ob Überschlag und tatsächliches Ergebnis in etwa übereinstimmen.
Tipp: Beim Addieren und Subtrahieren kannst du waagrecht oder senkrecht rechnen. Entscheide dich aber nicht immer nur für eine Möglichkeit. Wechsle ab, so übst du beide Rechenwege.
Tipp: Bei vielen Aufgaben gibt es verschiedene Lösungswege. Wir zeigen dir immer einen auf. Probiere aber auch andere Möglichkeiten.
Tipp: Achte immer auf die Benennung. Du kannst nur mit gleichen Benennungen rechnen. Wandle deshalb vorher um.

a) Klaus hat für ein Zeltlager in den Sommerferien 375 € gespart. So rechnet er: Fahrt: 48 €, Unterkunft·95 €, Verpflegung: 110 €, Getränke und Süßigkeiten: 60 €. Wie viel Geld hat er noch zur Verfügung?

Wir wissen:
Insgesamt hat er 375 €; Fahrt: 48 €; Unterkunft: 95 €; Verpflegung: 110 €; Getränke: 60 €

Wir fragen:
Wie viel Geld hat er noch zur Verfügung?

Wir rechnen:
48 € + 95 € + 110 € + 60 € = 313 €
375 € – 313 € = 62 €

oder:

48 €
+ 95 €
+ 110 €
+ 60 €
313 €

375 €
– 313 €
62 €

Wir antworten:
Klaus hat noch 62 € zur Verfügung.

b) Ein LKW darf 4 t zuladen. Folgende Waren sind schon auf dem Wagen: 350 kg, 210 kg, 180 kg,1 t, 670 kg. Wie viel darf noch zugeladen werden?

Wir wissen:
___________________________________________________________

Wir fragen:
___________________________________________________________

Wir rechnen:
Wir wandeln in kg um: 4 t = ________ kg; 1 t = _________ kg
Wir addieren:



Wir subtrahieren:

Wir antworten:
___________________________________________________________

c) Frieder freut sich über seinen ersten Lohn: 975,49 €. Davon zieht ihm aber der Arbeitgeber folgende Beträge ab: 56,10 € Steuern, 39,80 € Krankenversicherung, 16,25 € Arbeitslosenversicherung und für die Rentenversicherung 51 €. Wie viel Geld erhält er ausgezahlt?

Wir wissen:
___________________________________________________________

Wir fragen :
___________________________________________________________

Wir rechnen:
Wir addieren:



Wir subtrahieren:

Wir antworten:
___________________________________________________________

d) Herr Schnell kauft sich ein neues Auto, das 37 500 € kostet. Für seinen alten Wagen gibt ihm der Händler noch 9 500 €. Herr Schnell hat auf seinem Sparbuch 26 000 € gespart. Reicht das Geld?

Wir wissen:
___________________________________________________________

Wir fragen:
___________________________________________________________

Wir rechnen :
Wir addieren:



Wir subtrahieren:

Wir antworten :
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e) Die gesamte Monatsmiete für ein Mehrfamilienhaus beträgt 4 590 €. Für das Erdgeschoss wurden 780 €, für das 1. Stockwerk 1 350 € und für das 2. Stockwerk 1 490 € bezahlt. Wie hoch war die Miete für die Dachwohnung?

Wir wissen:
___________________________________________________________

Wir fragen:
___________________________________________________________

Wir rechnen:
Wir addieren:



Wir subtrahieren:

Wir antworten:
___________________________________________________________

f) Ein Getreidehändler hat einen Vorrat von 5 t Weizen. Im Laufe eines Tages werden folgende Mengen abgegeben: 650 kg, 1 t, 890 kg, 1 450 kg und 125 kg. Am Abend kommt noch ein Käufer und möchte 700 kg. Hat der Händler noch so viel Getreide?

Wir wissen:
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Wir fragen:
___________________________________________________________

Wir rechnen:
Wir wandeln in kg um: 5 t = _________ kg; 1 t = ________ kg

Wir antworten:
________________________________________________________

g) Ein Heizöllieferant hat noch 20 000 Liter Heizöl in seinem Tankwagen. Er liefert folgende Mengen aus: 7 500 l, 6 800 l und 3 900 l. Welche Menge muss er am nächsten Tag zutanken, damit er einem Großkunden 15 000 l liefern kann?

Wir wissen:
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Wir fragen:
___________________________________________________________

Wir rechnen:
Wir addieren:



Wir subtrahieren:

20 000 l
– ______ l
______ l

Wir subtrahieren:

15 000 l
– ______ l
______ l

Wir antworten:
___________________________________________________________

h) Peter, Uli und Karl machen zusammen Hausaufgaben. Sie beginnen um 14 Uhr. Peter braucht 1 Std. 15 Min., Uli 1 Std. 30 Min. und Karl 1 Std. 45 Min. Wann ist jeder mit der Hausaufgabe fertig?

Tipp: Bei dieser Aufgabe musst du daran denken, dass du Stunden und Minuten nicht einfach addieren kannst, denn eine Stunde hat 60 Minuten.

Wir wissen:
___________________________________________________________

Wir fragen:
___________________________________________________________

Wir rechnen:
Peter: 14 Uhr + 1 Std. = ________ + 15 Min. = _____________
Uli: 14 Uhr + 1 Std. = ________ + 30 Min. = _____________
Karl: 14 Uhr + 1 Std. = ________ + 45 Min. = _____________

Wir antworten:
__________________________________________________________

[…]

Sachaufgaben zu den vier Grundrechnungsaufgaben

Tipp: Wenn du bei € nicht mit Komma rechnen kannst oder willst, dann rechne den Betrag in Cent um.

1) Herr Steiner bezahlt beim Metzger eine Rechnung mit einem 100 Euro-Schein. Er erhält 47,60 € Wechselgeld. Wie hoch war die Rechnung?

Wir wissen:
___________________________________________________________

Wir fragen:
___________________________________________________________

Wir rechnen:
100 € = ____________ Cent 47,60 € = ____________ Cent

Wir antworten:
______________________________________________________________

2) Hans atmet durchschnittlich 29 Mal in einer Minute. Wie viele Atemzüge sind das an einem Tag, in einem Jahr (365 Tage)?

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

Wir rechnen:
Atemzüge pro Stunde: ______ • _____ = _______
Atemzüge pro Tag: ______ • _____



Atemzüge pro Jahr: ______ • _____

Wir antworten:
___________________________________________________________

3) Eine Fabrik zahlt in einer Woche an die 875 Mitarbeiter 462 000 €. Wie hoch ist der Wochenlohn eines Mitarbeiters? Wie viel verdient ein Arbeiter im Jahr, wenn er im Dezember einen Monatslohn zusätzlich erhält?

Wir wissen:
___________________________________________________________

Wir fragen:
___________________________________________________________

Wir rechnen:
Berechnung des Wochenlohns:
_________________ € : ________ = ___________€



Berechnung des Monatslohns: ________ € • 4
_____________ €

Berechnung des Jahreslohns: ___________ € • 13
________
________
__________€

Wir antworten:
___________________________________________________________

4) Der Klassensprecher der Klasse 5c sammelt für eine Theaterfahrt pro Schüler 4,50 € für die Fahrt und 7,50 € für den Eintritt ein. Wie viele Schüler haben schon bezahlt, wenn er bereits 252 € hat?

Wir wissen:
___________________________________________________________

Wir fragen:
___________________________________________________________

Wir rechnen:
Kosten pro Schüler: _______ € + _______ € = ________ €

Berechnung der Schülerzahl:

Wir antworten:
___________________________________________________________

5) Frau Gruber kauft für den Sportunterricht ein. Petra erhält einen Trainingsanzug zu 105 € und ein Paar Sportschuhe für 61,30 €. Ihr Bruder Klaus erhält Fußballschuhe, die 125,60 € kosten. Frau Gruber hat 300 € dabei. Können die beiden Kinder noch Tischtennisbälle bekommen? Eine Packung zu 5 Stück kostet 3,50 €.

Wir wissen:
___________________________________________________________

Wir fragen:
___________________________________________________________

Wir rechnen:
Gesamtkosten: __________ € Restgeld: 300,00 €

__________ € – _______ €

+ __________ € ________ €

__________ €

Wir antworten:
Sie können noch ____ Packungen kaufen.

[…]