Kapitalkostenschätzung auf Basis des Capital Asset Pricing Model (CAPM) nach Sharpe, Lintner und Mossin

Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildungsverzeichnis / Tabellenverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Problemstellung
1.2 Ziel und Aufbau der Arbeit

2 Das CAPM
2.1 Modellannahmen
2.2 Eigenkapitalkosten und CAPM
2.3 Bisherige empirische Testergebnisse zum CAPM

3 Schätzung des β - Faktors
3.1 Das lineare Regressionsmodell
3.1.1 Modellannahmen
3.1.2 Kleinste Quadrate Methode (OLS)
3.1.3 Varianz der Residuen
3.1.4 Signifikanztest (t - Test)
3.1.5 Bestimmtheitsmaß
3.2 Annahmenverletzungen
3.2.1 Heteroskedastizität
3.2.1.1 White Teste
3.2.1.2 Lösungsmöglichkeiten bei Heteroskedastizität
3.2.2 Autokorrelation
3.2.2.1 Durbin - Watson Test
3.2.2.2 Lösungsmöglichkeiten
3.2.3 Stationarität
3.2.3.1 Dickey - Fuller - Test

4 Empirische Anwendungen
4.1 Die Schätzung des Betafaktors der Commerzbank AG
4.2 Die Schätzung des Betafaktors der BMW AG

5 Schlussfolgerung und kritische Würdigung des CAPM

Literaturverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis / Tabellenverzeichnis

Abb. 2.1. - 1 Das Capital Asset Pricing Model

Abb. 3.1. - 1 Das Capital Asset Pricing Model

Abb. 3.2.2.1. - 1 Bereiche der Durbin - Watson - Statistik d

Abb. 4.1. - 1 Schätzoutput der Commerzbank AG

Abb. 4.1. - 2 White Test auf Heteroskedastizität

Abb. 4.1. - 3 Dickey - Fuller - Test auf Stationarität der DAX-Zeitreihe

Abb. 4.1. - 4 Dickey - Fuller - Test auf Stationarität der Zeitreihe der Aktienrendite

Abb. 4.2. - 1 Schätzoutput der BMW AG

Abb. 4.2. - 2 White Test auf Heteroskedastizität

Abb. 4.2. - 3 Dickey - Fuller - Test auf Stationarität der Zeitreihe der Aktienrendite

1. Einleitung

Mehr als vierzig Jahren sind seit der Veröffentlichung eines der wichtigsten Modelle der Finanzmarktökonomie, nämlich das Capital Asset Pricing Modell (CAPM), vergangen. Ausgehend von seinen Modellannahmen über das Verhalten der Investoren und die Kapitalmarktstruktur gelingt es ihm eine intuitive Erklärung über die erwarteten Renditen risikobehafteter Investitionsanlagen zu liefern. Abgesehen von der Kritik in Bezug auf die Problematik seiner Anwendung, leistet es einen guten Beitrag zur Bestimmung von Kapitalkosten und damit auch zur Bewertung von Investitionen oder Unternehmen

1.1 Problemstellung

Praktisch verursacht die Anwendung des CAPM kontroverse Diskussionen sowohl in Bezug auf die Annahmen, die weder mit der Realität noch mit dem Marktportefeuille vereinbar sind. Darüber hinaus lassen sich die zukünftigen Werte der erwarteten Renditen nicht einfach berechnen und müssen deshalb auf Basis Vergangenheitsdaten geschätzt werden. Die bisherigen empirischen Studien stützen wenig dieses Modell. Aus diesem Grund werden in der Literatur unterschiedlichen Faktor - Modelle vorgeschlagen, die zur Operationalisierung des CAPM im Rahmen einer praxisorientierten Anwendung beitragen sollen.

1.2 Ziel und Aufbau der Arbeit

Das Hauptziel der folgenden Arbeit liegt darin, eine möglichst präzise Erklärung erwarteter Renditen anhand empirischer Untersuchungen zu liefern. Dazu werden als erstes die Grundidee des CAPM und die daraus folgenden Implikationen für Schätzung der Kapitalkosten erläutert. Weiterhin wird die Methode der Kleinsten Quadrate als geeignetes Schätzverfahren zukünftiger Betafaktoren vorgestellt. Es werden die zentralen Annahmen dieser Methode, deren möglichen Verletzungen und die sich daraus ergebende Folgen für das geschätzte Modell näher betrachtet. Anschließend werden zwei praktischen Fallstudien zur Schätzung des Betafaktors durchgeführt und das CAPM auf seine Gültigkeit überprüft.

2. Das CAPM

Das in den sechziger Jahren von Sharpe¹, Lintner² und Mossin³ entwickelte Capital Asset Pricing Model (CAPM) ist von zentraler Bedeutung für die moderne Kapitalmarkttheorie. Es handelt sich um ein Zwei - Zeitpunkte - Modell, das auf die Prämissen der Portefeuilletheorie von Harry Markowitz basiert. Die Hauptzielsetzung des Modells ist es eine möglichst präzise Bewertung risikobehafteter Wertpapiere im Kapitalmarktgleichgewicht zu liefern.

2.1 Modellannahmen

In seiner Originalversion geht das CAPM von den wesentlichen Annahmen der Portefeuilletheorie aus, zu denen weitere ergänzende Annahmen über die Natur des Kapitalmarktes und das Anlegerverhalten getroffen werden. Folgende zentrale Annahmen⁴, die eine Vereinfachung der Realität darstellen, werden unterstellt:

Vollkommener Kapitalmarkt im Gleichgewicht

Die Kapitalmärkte seien frei von Friktionen, d.h. es existieren weder Transaktionskosten noch Steuern, die den Handelsverkehr auf den Kapitalmärkten beschränken können.

Die Kapitalmärkte seien informationseffizient, d.h. alle Informationen stehen den Anleger gleichzeitig kostenlos zur Verfügung

Die Investoren können den Wertpapierkurs beim Kauf oder Verkauf nicht beeinflussen (Preisnehmerverhalten)

Alle Anleger können zu einem gegebenen risikolosen Zinssatz unbeschränkt finanzielle Mittel investieren oder Kredite aufnehmen

Die Markteilnehmer verhalten sich risikoscheu und versuchen den erwarteten Nutzen ihres Vermögens zu maximieren

Die Investoren treffen ihre Entscheidungen über die Zusammensetzung ihres Portefeuilles anhand der Parameter: Erwartungswert und Standardabweichung der Rendite

Alle Investoren haben homogene Erwartungen im Hinblick auf Erwartungswert, Standardabweichung und Kovarianz aller Wertpapiere

Vorgegebene Anzahl der Wertpapiere, die beliebig teilbar sind Keine Existenz von persönlicher Einkommenssteuer Unbegrenzte Möglichkeit zum Leerverkauf

Alle Wirtschaftsgüter, einschließlich Humankapital sind marktfähig

Aufgrund der Annahme homogener Erwartungen werden die Kapitalanleger im Gleichgewicht ein in der gleichen Art und Weise zusammengesetztes risikobehaftetes Portefeuille halten. Dieses wird als Marktportefeuille bezeichnet und besteht aus allen riskanten Wertpapieranlagen, die am Kapitalmarkt angeboten werden. Da eine risikolose

Kapitalanlage - und Aufnahmemöglichkeit existiert, stellen die Investoren ihre Portefeuilles durch eine Kombination aus risikoloser Anlage und dem Marktportefeuille zusammen. Die risikobehafteten Assets der Anleger werden im gleichen Verhältnis, wie sie im Marktportefeuille enthalten sind, gehalten. Die unterschiedlichen Nutzenfunktionen der Investoren haben einen Einfluss nur auf das Verhältnis zwischen risikoloser Anlage und die Anlage im Marktportefeuille. Diese Unabhängigkeit zwischen den Nutzenfunktionen der Investoren und der Zusammenstellung des Marktportefeuilles wird als Separationstheorem bezeichnet.⁵

Ohne auf die Herleitung⁶ näher einzugehen, lässt sich aus den erwähnten Annahmen die zentrale Bewertungsgleichung des CAPM, die auch als Wertpapierlinie bezeichnet wird, wie folgt berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieser Zusammenhang veranschaulicht die nächste Abbildung:

Das CAPM besagt, dass die erwartete Rendite einer Anlage im Kapitalmarktgleichgewicht sich aus der risikolosen Rendite und der Risikoprämie zusammensetzt. Die Risikoprämie stellt das Produkt aus dem Marktpreis für das Risiko und das Risikomaß Beta dar. Das Beta ergibt sich aus der Kovarianz der Erwartungswerte der Renditen des Wertpapiers ܧሺܴ௜ሻ und des Marktportefeuilles [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dividiert durch die Varianz der Renditeerwartung des Marktportefeuilles.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die risikolose Anlage weist definitionsgemäß ein Beta von Null auf, weil die Kovarianz dieser mit dem Marktportefeuille Null beträgt. Weiterhin entspricht die Kovarianz des Marktportefeuilles mit sich selbst der Varianz des Marktportefeuilles. Demzufolge nimmt das

Beta des Marktportefeuilles den Wert 1 an. Für die Investoren bedeutet ein höheres Beta eine höhere erwartete Rendite.⁷

Das Gesamtrisiko einzelner Wertpapieranlagen teilt sich in systematisches und unsystematisches Risiko auf. Das unsystematische Risiko kann mit Hilfe einer Diversifikation beseitigt werden und hat daher keine Bedeutung für die Anleger. Das Beta ist ein Maß für das systematische Risiko, das das marktbezogene Risiko eines Wertpapiers im Marktportefeuille darstellt. Dieses Risiko kann nicht eliminiert werden. Demzufolge ist den Anleger eine Risikoprämie zu entrichten.⁸

2.2 Eigenkapitalkosten und CAPM

Entscheidend für die Bewertung von Investitionsmöglichkeiten und Unternehmen ist die Bestimmung der Eigenkapitalkosten, weil sich Änderungen des Eigenkapitalkostensatzes stark auf das Bewertungsergebnis des Unternehmens auswirken können. Die Kernproblematik besteht darin, dass die Eigenkapitalkosten nicht am Kapitalmarkt gegeben sind und daher geschätzt werden müssen. Zur Lösung dieses Problems wird in der Praxis der am weitesten verbreitete Ansatz des CAPM verwendet. Wie schon weiter oben erläutert wurde, formuliert das CAPM die Renditeforderungen, d. h. die Kapitalkosten individueller Anlagemöglichkeiten in Abhängigkeit vom systematischen Risiko Beta. Für die Eigenkapitalkosten gilt dann der folgende lineare Zusammenhang:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Berechnung der Renditeforderungen durchführen zu können, werden die Eingangsgrößen der risikofreien Rendite, die erwartete Marktrisikoprämie und das Risikomaß β benötigt. Die risikofreie Rendite lässt sich relativ einfach über Staatsanleihen bester Bonität approximieren. In der Literatur wird die Verwendung von Marktindizes zur Approximation der Marktrisikoprämie vorgeschlagen. Der einzige fehlende Faktor, also das Beta muss nun ermittelt werden.⁹

2.3 Bisherige empirische Testergebnisse zum CAPM

Seit der Veröffentlichung des CAPM wurden zahlreiche empirische Tests von vielen Wissenschaftlern sowohl in den USA als auch in Deutschland durchgeführt, um die Aussagekraft des Modells zu bestätigen oder abzulehnen. Bisher liefern die Ergebnisse keine endgültige Beweise oder Gegenbeweise. Es treten methodisch Schwierigkeiten selbst bezüglich der Annahmen, die die Testbarkeit des CAPM in Frage stellen, auf. In der Realität existieren Steuern, Transaktionskosten sowie Informationsasymmetrie, die im Rahmen des Modells nicht berücksichtigt werden.¹⁰

Weiterhin weist Richard Roll darauf hin, dass das wahre Marktportefeuille nicht getestet werden kann. Der Grund liegt an der Tatsache, dass das Marktportefeuille nicht direkt beobachtbar ist und daher für die empirischen Tests approximiert werden muss. Er hat als Proxy für das Marktportefeuille effiziente bzw. ineffiziente Portefeuilles zur Bestimmung des Betas benutzt. Eine lineare Beziehung zwischen Rendite und Risiko kann nur für den Fall, das dem Test ein effizientes Portefeuille zugrunde gelegt wird, nachgewiesen werden. Im Fall eines ineffizienten Portefeuilles können die Ergebnisse zu keinen exakten linearen Zusammenhang führen. Deshalb ist Roll der Meinung, dass beim CAPM nur die Risikoeffizienz des Marktportefeuilles getestet werden kann.¹¹

Es resultieren auch weitere grundlegende Probleme, die die empirische Überprüfung der Gültigkeit des CAPM erschweren. Das CAPM ist ein zukunftsorientiertes Modell, das in unbekannte Erwartungswerte formuliert ist. Die Daten, die zur empirischen Untersuchung benutzt werden, beruhen auf Vergangenheitswerte und daher die empirische Untersuchung nun ex post ermöglichen. Anstatt des Erwartungswertes der Rendite wird eine auf Vergangenheitsdaten basierende Durchschnittsrendite verwendet. Der Betafaktor wird auch mittels historischen Betas gewonnen. Auf seine Stabilität wurde Beta von Robert A. Levy und Marshall E. Blume in den 70er Jahren untersucht. Sie haben Betas sowohl für einzelne Wertpapiere als auch für Portefeuilles über eine Reihe von Perioden analysiert. Das Ergebnis hat zeigt, dass die Betawerte des Portefeuilles stabiler sind, als Betas einzelner Wertpapiere. Daher werden die meisten Tests vorwiegend für Portefeuilles durchgeführt.¹²

Trotz der Kritik von Roll über die Kenntnis des wahren Portefeuilles haben Wissenschaftler weiterhin versucht das CAPM einer empirischen Prüfung zu unterziehen. Jedoch gehen die Forschungsergebnisse äußerst weit auseinander.¹³ Einige sind der Meinung, dass der Aussagehalt des CAPM empirisch bestätigt sei, während anderen generell an seine Wahrheit zweifeln. Hauptsächlich wird in den empirischen Arbeiten eine positive Risikoprämie bestätigt. Ihre Höhe ist aber im Durchschnitt kleiner als die Risikoprämie des Kapitalmarktes, was auch bedeutet, dass die Steigung der Wertpapierlinie flacher als im Modell prognostiziert ist. Die Ergebnisse des linearen Zusammenhangs zwischen der durchschnittlichen Rendite und Beta sind sehr umstritten.

Die Linearitätshypothese konnte am häufigsten in früheren Untersuchungen nachgewiesen werden. Keiner der Wissenschaftler ist zu einer endgültigen Schlussfolgerung gekommen, die die Gültigkeit des CAPM vollkommen verifizieren oder falsifizieren kann.¹⁴

3. Schätzung des Betafaktors

Bei der Anwendung des CAPM zu Ermittlung der Eigenkapitalkosten treten besondere Schwierigkeiten in der Schätzung des Betafaktors des Unternehmens auf. Zur Ermittlung dieser können historischen Renditen herangezogen werden und das Beta eines Wertpapiers mittels einer Regression geschätzt werden. Sharpe schlägt dafür ein relativ einfaches Marktmodell vor, das einen empirischen Ansatz zur Schätzung und Erklärung künftiger Wertpapierrenditen darstellt.¹⁵ Das Marktmodell geht von einem linearen Zusammenhang zwischen der Rendite eines einzelnen Wertpapiers und der Rendite des Marktportefeuilles aus. Die am weitestens verbreitete Form dieses Modells lautet wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus dieser Relation kann mit Hilfe des einfachen linearen Regressionsmodells, das im Abschnitt 3.1 näher erläutert wird, eine Schätzfunktion für die erwartete Rendite des einzelnen Wertpapiers ermittelt werden. Der Alphakoeffizient stellt einen konstanten Bestandteil der Unternehmensrendite dar, der von der Marktrendite unabhängig ist. Dies bedeutet, dass er bei einer Marktrendite in Höhe von Null erhalten bleibt. Der Regressionskoeffizient βi, der unter bestimmten Voraussetzungen dem Beta des CAPM entspricht, ergibt sich aus der Steigung der Regressionsgerade und gibt die Reaktion der Rendite eines Wertpapiers auf Kursänderungen auf dem Kapitalmarkt. Die Variable εit ist eine stochastische Störgröße, auf die wiederum die Marktrendite keinen Einfluss hat, deren Renditebestandteil aber unsicher ausfällt.¹⁶

3.1 Das lineare Regressionsmodell

Eine Einfachregression wird in der Ökonometrie die Erklärung einer endogenen Variable Yi durch eine exogene Variable Xi bezeichnet. Es wird dabei angenommen, dass der Zusammenhang zwischen Xi und Yi folgende lineare Gestalt hat:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Realität wird so ein Zusammenhang in der Regel durch unbekannte Störfaktoren gehindert. Deshalb wird das Modell um eine stochastische Störvariable εi erweitert, die alle zufälligen Einflussgrößen auf die zu erklärende Variable Yi berücksichtigt. Durch diese Störvariable wird das ökonomische Modell zum ökonometrischen Modell

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In unserem Marktmodell werden als abhängige Variable (Regressand) Yi die Rendite des betrachteten Wertpapiers i und als unabhängige Variable Xi (Regressor) die Rendite des Marktportefeuilles unterstellt. Man beachte, dass die Beziehung zwischen den beiden Variablen nach wie vor linear ist. Aufgrund der Existenz der Störvariable εi, die nicht direkt beobachtbar ist und keinen systematischen Einfluss auf Y hat, ist diese Linearität nicht perfekt. Graphisch lässt sich dieser Zusammenhang in einem x - y - Koordinatensystem mit Hilfe eines Streudiagramms veranschaulichen. In dem folgenden Diagramm werden die Werte der unabhängigen Variable X an der Abszisse und die beobachtete Ausprägungen der abhängigen Variable Y an der Ordinate abgetragen. Ein Wertepaar (Xt, Yt) korrespondiert genau zu einem Beobachtungszeitpunkt. Die Koeffizienten α und β sind unbekannte konstante Parameter, die in der Praxis als Regressionskoeffizienten bezeichnet werden. Dabei ist die Regressionskonstante α der Schnittpunkt mit der Ordinate und β ein Steigungskoeffizient.¹⁷

Im Rahmen der Regressionsanalyse wird versucht eine lineare Schätzgerade durch die Punktewolke im Streudiagramm so anzulegen, dass der Abstand der Beobachtungspunkte zur Schätzgerade möglichst minimal ist. In der Ökonometrie wird von einem Schätzer gesprochen, der der wahren Gerade sehr nahe kommt. Dafür sind numerische Schätzwerte für die Parameter α und β zu ermitteln. Zur Schätzung dieser existieren mehrere Methoden, die sich hinsichtlich der Optimierungsziele unterscheiden. Im Folgenden soll auf die am weitesten verbreitete Schätzverfahren, die Methode der kleinsten Quadrate, eingegangen werden.

3.1.1 Kleinste Quadrate Methode (Ordinary Least Squares)

Das Grundprinzip der Kleinsten Quadrate Methode oder auch OLS - Methode ist eine Minimierung der Summe der quadrierten Abstände ߝi der wahren Y - Werte von der Anpassungsgerade (Regressionsgerade):

[...]

¹ Vgl. Sharpe (1964), S. 425 ff.

² Vgl. Lintner (1965), S.13 ff.

³ Vgl. Mossin (1966), S. 768 ff.

⁴ Vgl. Elton / Gruber (1995), S. 295

⁵ Vgl. Perridon / Steiner / Rathgeber (2009), S. 262 ff.

⁶ Zur Herleitung des CAPM sei auf Elton / Gruber (1995), S. 296 ff. verwiesen

⁷ Vgl. Copeland / Weston / Shastri (2005), S. 151 f.

⁸ Vgl. Copeland / Weston / Shastri (2005), S. 152

⁹ Vgl. Copeland / Koller / Murrin / McKinsey & Company (2002), S. 264 f.

¹⁰ Vgl. Zimmermann (1997), S. 41 ff.

¹¹ Vgl. Perridon / Steiner / Rathgeber (2009), S. 273 f.

¹² Vgl. Brigham / Gapenski (1996), S. 83

¹³ Zur näheren Betrachtung einzelner empirischen Tests sei auf Elton / Gruber (1995), S. 341 ff. hingewiesen

¹⁴ Vgl. Perridon / Steiner / Rathgeber (2009), S. 273 f.

¹⁵ Vgl. Sharpe (1970)

¹⁶ Vgl. Zimmermann (1997), S 19 ff.

¹⁷ Vgl. von Auer (2007), S. 15 ff.