Nachhilfe Mathematik - Teil 2: Bruchrechnen und Dezimalzahlen

Vorwort – Teil 2: Bruchrechnen und Dezimalzahlen

Liebe Schülerinnen und Schüler, liebe Eltern, liebe Lehrerinnen und Lehrer!

Die neue Reihe „Nachhilfe – Mathematik“ wendet sich an alle Schülerinnen und Schüler, die ihre schulischen Leistungen im Fach Mathematik verbessern und vertiefen wollen, um bessere Noten zu erzielen und fit für den Übergang in eine andere Schulart zu werden.

Eltern haben mit diesen pädagogisch erprobten Aufgaben die Möglichkeit, die schulischen Leistungen ihrer Kinder zu verbessern, sie für das Fach Mathematik zu motivieren, so dass auch der Übergang in eine andere Schulform leichter fällt.

Die Reihe „Nachhilfe – Mathematik“ wendet sich aber auch an Lehrerinnen und Lehrer, die die einzelnen Arbeitsblätter einfach kopieren und für ihren Einsatz im Unterricht (auch für Vertretungsstunden) einsetzen können. Auf diese Weise brauchen sie sich nicht die Mühe machen, selbst Aufgaben so zusammenzustellen, dass sie ihre Schülerinnen und Schüler auch verstehen und sie ihren Erfolg selbst sehen.

Die Seiten sind so gestaltet, dass die Aufgaben direkt bearbeitet werden können. Selbstverständlich können die einzelnen Bände dieser Reihe ganz alleine durchgearbeitet werden, aber besser ist es sicherlich, wenn jemand den Fortschritt kontrolliert. Die Aufgaben werden in kleinen Schritten erklärt und erarbeitet, so dass es leicht ist, zu verstehen, wie das „Rechnen“ geht. Die verschiedenen Aufgaben können dann selbst nachvollzogen und angewandt werden. Der Lösungsteil dient der Kontrolle. Im Anhang werden jeweils verschiedene wichtige Grundlagen für das Fach Mathematik angegeben.

Die Reihe „Nachhilfe – Mathematik“ ist unabhängig von Jahrgangsstufe, Schulart und Schulbuch und bietet in konzentrierter Form jeweils einen Teilbereich des Faches Mathematik an.

Jeder einzelne Teil der Reihe gliedert sich in zwei Einzelbände (Band 1 und Band 2) und einen Gesamtband, der die beiden Bände 1 und 2 enthält.

Teil 2 dieser Reihe behandelt das Bruchrechnen und Dezimalzahlen, die eine Form von Brüchen sind. Das Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen ist für viele Rechenarten notwendig.

Dabei werden die einzelnen Teilgebiete (Brüche erweitern, kürzen, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, Grundrechnungsarten mit Brüchen, grundlegende Übungen mit Dezimalzahlen, mit Größen rechnen, Dezimalzahlen addieren, subtrahieren multiplizieren und dividieren, Bruch- und Dezimalzahlen) in kleinen Schritten behandelt und ausführlich erklärt. Somit ergibt sich eine echte Nachhilfe, um sicher damit umzugehen. Die Aufgaben sind so aufgebaut, dass sie alleine und ohne fremde Hilfe gelöst werden können. Die jeweiligen Arbeitshefte sind so angelegt, dass in das Heft geschrieben werden kann.

Ausgehend von „leichten“ Aufgaben werden die Schüler auch an schwierigere Aufgaben und Sachaufgaben herangeführt. Die Lösungsschritte werden erklärt und am Ende zeigen die Lösungen, ob richtig gerechnet worden ist.

Zum Schluss noch ein Tipp: Arbeite das Heft sorgfältig durch, dann bekommst du die Sicherheit, die du für das Fach Mathematik brauchst. Wir wünschen dir viel Spaß dabei.

Empfehle diese Reihe auch deinen Mitschülerinnen und Mitschülern, die Schwierigkeiten im Fach Mathematik haben und sich verbessern wollen.

[…]

Inhaltsverzeichnis – Bruchrechnen: Gesamtband

Vorwort … 3

1. Brüche erweitern und kürzen … 7
Brüche erweitern … 7
Brüche kürzen … 11
Brüche ordnen … 16
Brüche verwandeln … 18

2. Brüche addieren und subtrahieren … 21
Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren … 21
Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren … 23
Sachaufgaben zur Addition und Subtraktion von Brüchen … 26

3. Brüche multiplizieren und dividieren … 28
Brüche multiplizieren … 28
Brüche dividieren … 30
Sachaufgaben zur Multiplikation und Division von Brüchen … 32

4. Die Grundrechnungsarten mit Brüchen … 34
Übungen zum Bruchrechnen mit den vier Grundrechnungsarten … 34
Sachaufgaben zu den vier Grundrechnungsarten mit Brüchen … 35

5. Grundlegende Übungen zu den Brüchen und Dezimalzahlen … 39
Brüche in Dezimalbrüche verwandeln … 39
Dezimalbrüche in Brüche verwandeln … 42
Dezimalbrüche runden … 42

6. Mit Größen rechnen … 43
Mit Geld rechnen … 43
Mit Längenmaßen rechnen … 43
Mit Gewichten rechnen … 44
Mit Hohlmaßen rechnen … 44
Mit Flächenmaßen rechnen … 44
Vermischte Aufgaben … 44

7. Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen … 45
Dezimalzahlen addieren und subtrahieren … 45
Sachaufgaben … 50

8. Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren … 53
Dezimalzahlen mit ganzen Zahlen multiplizieren … 53
Dezimalzahlen mit Dezimalzahlen multiplizieren … 54
Dezimalzahlen durch ganze Zahlen dividieren … 57
Dezimalzahlen durch Dezimalzahlen dividieren … 58
Sachaufgaben … 63

9. Aufgaben mit Dezimalzahlen … 65
Vermischte Aufgaben … 65
Sachaufgaben … 67

10. Bruch- und Dezimalzahlen … 72
Vermischte Aufgaben … 72
Flächenberechnungen mit Bruch- und Dezimalzahlen … 76
Volumenberechnung mit Bruch- und Dezimalzahlen … 78

11. Lösungen … 80

12. Anhang … 92

[…]

Brüche addieren und subtrahieren

1. Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Im vorherigen Kapitel hast du bereits mit Brüchen gearbeitet und sie auf verschiedene Art und Weise umgewandelt. Das sollst du jetzt anwenden.

1. Addiere und subtrahiere die folgenden Brüche. Wandle das Ergebnis in Ganze um und kürze wenn möglich. Schreibe wie im Beispiel.

Beispiel:
1/4 + 2/4 + 3/4 = 6/4 = 1 2/4 = 1 1/2
12/17 – 3/17 – 5/17 = 4/17

a) 3/8 + 4/8 + 7/8 = ________________

b) 9/11 – 3/11 – 5/11= ______________

c) 1/5 + 3/5 + 4/5 = ________________

d) 16/27 – 2/27 – 5/27 = _____________

e) 3/7 + 2/7 + 6/7 = _________________

f) 17/21 – 13/21 – 1/21 = _____________

[…]

2. Addiere die folgenden gemischten Zahlen. Wandle das Ergebnis in Ganze um und kürze soweit wie möglich. Schreibe wie im Beispiel.

Beispiel:
Addiere zuerst die Ganzen, dann die Brüche.
6 2/5 + 3 4/5 + 2 1/5 = 11 7/5 = 12 2/5

a) 7 3/8 + 4 5/8 + 6 7/8 = _________________________________________

b) 9 2/5 + 5 4/5 + 7 3/5 = _________________________________________

c) 12 5/11 + 2 7/11 + 3 1/11 = _____________________________________

d) 24 9/13 + 13 2/13 + 4 7/13 = ____________________________________

e) 4 7/15 + 2 13/15 + 6 11/15 = ____________________________________

f) 9 3/14 + 7 9/14 + 1 6/14 = _______________________________________

3. Subtrahiere die folgenden gemischten Zahlen. Kürze das Ergebnis soweit wie möglich. Schreibe wie im Beispiel.

Beispiel:
Subtrahiere zuerst die Ganzen, dann die Brüche.
4 2/3 - 2 1/3 = 2 1/3

Tipp: Wenn du nicht subtrahieren kannst, dann musst du ein Ganzes oder mehrere Ganze in einen Bruch umwandeln. Wie das geht, zeigt dir das folgende Beispiel.

Beispiel:
3 4/5 – 2 2/5 – 3/5 = 1 4/5 – 2/5 – 3/5 = 9/5 – 2/5 – 3/5 = 4/5

a) 7 3/8 – 2 5/8 – 1 7/8 = ______________________________________________

b) 13 1/4 – 8 3/4 – 7/4 = ______________________________________________

c) 9 4/7 – 2 1/7 – 3 5/7 = ______________________________________________

d) 18 9/10 – 9 3/10 – 2 7/10 = __________________________________________

e) 6 17/21 – 2 9/21 – 1 2/21 = __________________________________________

f) 65 31/49 – 32 13/49 – 9 11/49 = _______________________________________

[…]

2. Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Einige Tipps gleich zu Beginn: Wenn du ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren willst, musst du sie erst gleichnamig machen, das heißt, du brauchst einen gemeinsamen Nenner (= Hauptnenner).
Oft ist es gar nicht so leicht, diesen Hauptnenner zu finden. Deshalb zeigen wir dir hier eine Möglichkeit, wie du das einfach rechnen kannst.
Der Hauptnenner ist das „kleinste, gemeinsame Vielfache“ (kgV) der einzelnen Nenner und wird so gefunden:
Du schreibst die einzelnen Nenner untereinander und zerlegst sie in kleinstmögliche Zahlen (= Primzahlen). Dabei werden gleiche Zahlen untereinander geschrieben. Aus jeder Spalte wird jede Zahl einmal genommen und multipliziert.

4 = 2 • 2
6 = 2 • 3
9 = 3 • 3
kgV: 2 • 2 • 3 • 3 = 36 (Hauptnenner)

5 = 5
12 = 2 • 2 • 3
21 = 3 • 7
kgV: 5 • 2 • 2 • 3 • 7 = 420 (Hauptnenner)

1. Suche selbst den Hauptnenner.

a) 2 = _________________

6 = ___________________

15 = __________________

kgV: __________________ = _______

b) 5 = _________________

14 = __________________

21 = __________________

kgV: _________________ = _______

c) 8 = _________________

12 = __________________

18 = __________________

kgV: __________________ = _______

d) 4 = _________________

12 = __________________

14 = __________________

24 = __________________

kgV: __________________ = _______

e) 6 = _________________

25 = __________________

35 = __________________

40 = __________________

kgV: __________________ = _______

[…]

3. Sachaufgaben zur Addition und Subtraktion von Brüchen

1. Klaus fährt mit dem Fahrrad von Roth nach Aurau (5 1/2 km), von Aurau nach Abenberg (4 1/2 km) und von dort nach Windsbach (11 2/3 km). Welche Strecke hat er insgesamt zurückgelegt?

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: _________________________________________________________

2. Beim Metzger wurde vor Ostern Bratenfleisch bestellt: 2 1/4 kg; 3 1/2 kg und 4 3/4 kg. Der Metzger hat 12 1/2 kg vorrätig. Bleibt noch etwas übrig?

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: ________________________________________________________

3. Von einem 80 m langen Stoffballen werden folgende Längen abgeschnitten: 10 2/3 m; 15 3/4 m; 24 5/8 m; 17 4/5 m und 9 1/2 m. Reicht der Stoff?

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: ________________________________________________________

[…]

Brüche multiplizieren und dividieren

1. Brüche multiplizieren

1. Rechne die folgenden Aufgaben. Schreibe wie in den Beispielen.

Beispiel:
3 • 4/5 = (3 • 4)/5 = 12/5 = 2 7/5
4 • 3/8 = (4 • 3)/8 = (1 • 3)/2 = 3/2 = 1 1/2
5 • 27/10 = (5 • 27)/10 = (1 •27)/2 = 27/2 = 13 1/2

Regel: Brüche werden mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert wird. Ganze werden vorher umgerechnet. Kürze vor dem Ausrechnen.

a) 3 • 7/9 = ________________________

b) 2 • 4/11 = _______________________

c) 5 • 11/15 = ______________________

d) 9 • 2/27 = _______________________

e) 6 • 5/12 = _______________________

f) 10 • 2/7 = _______________________

[…]

2. Multipliziere in den folgenden Aufgaben die gemischten Zahlen miteinander. Schreibe wie in den Beispielen.

Beispiele:
4/5 • 3/8 = (4 • 3) / (5 • 8) = 3/(5 • 2) = 3/10
4 3/4 • 7 3/7 = (19 • 52) / (4 • 7) = (19 • 13)/7 = 247/7 = 35 2/7

Regel: Brüche werden mit Brüchen multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert wird. Ganze Zahlen werden vorher in Brüche umgewandelt. Kürze vor dem Ausrechnen und wandle wenn möglich wieder in Ganze oder gemischte Zahlen um.

a) 4/5 • 1/2 = _______________________________________________________

b) 9/10 • 2/3 = _______________________________________________________

c) 14/15 • 3/8 = _______________________________________________________

d) 3/7 • 1/3 = _______________________________________________________

e) 4/8 • 2/5 = _______________________________________________________

f) 9/12 • 6/10 = _______________________________________________________

[…]

Die Grundrechnungsarten mit Brüchen

1. Übungen zum Bruchrechnen mit den vier Grundrechenarten

Auf der folgenden Seite übst du die vier Grundrechenarten mit Brüchen.
Denke dabei an die Rechenregeln: Punkt vor Strich und Klammer geht vor.

1. (1/2 + 1/3 – 1/6) • 4 1/2 = ____________________________________________

2. 4 8/13 • (1 4/5 + 5 2/3 – 1 5/6) = _______________________________________

3. (4 1/2 + 2 3/4) / (9 – 1 3/4) = __________________________________________

4. (5 1/4 – 3) / (1/6 + 2 1/12) = ___________________________________________

5. (1/12 – 1/20) / 1/5 – 1/6 = _____________________________________________

[…]

2. Sachaufgaben zu den vier Grundrechnungsaufgaben

1. Dividiere die Differenz aus 3/4 und 1/6 durch 3/4.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

2. Das Produkt aus zwei Faktoren beträgt 1 4/5. Der eine Faktor heißt 4/5. Wie heißt der andere?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

3. Multipliziert man eine Zahl mit 2/3, so erhält man 5/12. Wie heißt die Zahl?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

[…]

18. Von einem 6 3/4 m langen Stoffstück werden 1 1/2 m abgeschnitten. Der Rest wird in 3 gleiche Teile geschnitten. Wie groß ist jedes Teil?

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: ___________________________________________________________

19. In einer Korbflasche sind noch 9 3/4 l Wein. Wie viele Flaschen zu je 3/4 l können abgefüllt werden? Wie viel Wein bleibt übrig?

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: ___________________________________________________________

20. Ein Wasserbehälter wird durch zwei Rohre entleert. Durch das erste Rohr fließen in zwei Minuten 2/15 des Inhalts, durch das zweite Rohr pro Minute 1/10 des Inhaltes. Wann ist der Behälter geleert, wenn beide Rohre geöffnet sind?

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: ___________________________________________________________

[…]

Grundlegende Übungen zu den Brüchen und Dezimalzahlen

1. Brüche in Dezimalbrüche verwandeln

Der Dezimalbruch ist der zehnte Teil, der hundertste Teil, der tausendste Teil, ... eines Ganzen. Um Brüche in Dezimalbrüche zu verwandeln, muss ihr Nenner deshalb auf 10, 100, 1 000, ... erweitert werden.

1. Wandle die folgenden Brüche in Dezimalbrüche um. Schreibe wie im Beispiel.

Beispiel:
(1 • 2) / (5 • 2) = 2/10 = 0,2
(1 • 25) / (4 • 25) = 25/100 = 0,25
(1 • 125) / (8 • 125) = 125/1000 = 0,125

a) 3/5 = _______________________

b) 3/4 = _______________________

c) 5/8 = _______________________

d) 7/20 = ______________________

e) 3/25 = ______________________

f) 13/40 = _____________________

[…]

2. Kürze zuerst die folgenden Brüche, dann erweitere sie und wandle sie in Dezimalbrüche um. Schreibe wie im Beispiel.

Beispiel: 16/80 = (1 • 2) / (5 • 2) = 2/10 = 0,2

a) 9/60 = ________________________

b) 45/75 = _______________________

c) 30/375 = ______________________

d) 9/120 = _______________________

e) 76/95 = _______________________

f) 24/96 = _______________________

[…]

3. Brüche kann man auch durch Dividieren in Dezimalbrüche verwandeln, denn der Bruchstrich bedeutet dividiert. Rechne drei Stellen nach dem Komma aus und runde. Schreibe wie im Beispiel.

Beispiel:
1/7 =
1 : 7 = 0,142 ≈ 0,14
10
7
30
28
20
14
6

a) 5/9 = _______________________

b) 4/11 = _______________________

c) 19/32 = _______________________

d) 16/41 = _______________________

e) 11/23 = _______________________

f) 45/103 = _______________________

[…]

2. Dezimalbrüche in Brüche verwandeln

Aus der Stellentafel kennst du auch die Stellen nach dem Komma: es sind Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, ... Das brauchst du für die nächste Aufgabe.

1. Rechne die folgenden Dezimalbrüche in Brüche um. Kürze soweit wie möglich. Schreibe wie im Beispiel.

Beispiel:
0,5 = 5/10 = 1/2
0,45 = 45/100 = 9/50
0,256 = 256/1000 = 32/125

a) 0,4 = ___________________________

b) 0,8 = ___________________________

c) 0,12 = __________________________

d) 0,350 = _________________________

e) 0,6 = ___________________________

f) 0,55 = ___________________________

[…]

3. Dezimalbrüche runden

Wie ganze Zahlen werden auch Dezimalbrüche gerundet. Von 0 bis 4 wird abgerundet, von 5 bis 9 aufgerundet.

2. Runde die folgenden Zahlen auf die Zehntelstelle.

Beispiel:
0,24 ≈ 0,2
0,47 ≈ 0,5

a) 0,41 ≈ ___________

b) 0,76 ≈ ___________

c) 0,68 ≈ ___________

d) 0,13 ≈ ___________

e) 0,38 ≈ ___________

f) 0,06 ≈ ___________

[…]

3. Runde die folgenden Zahlen auf die Hundertstelstelle.

Beispiel:
0,541 ≈ 0,54
0,978 ≈ 0,98

a) 0,356 ≈ ___________

b) 0,187 ≈ ___________

c) 0,011 ≈ ___________

d) 0,678 ≈ ___________

e) 0,328 ≈ ___________

f) 0,710 ≈ ___________

[…]

4. Runde die folgenden Zahlen auf die Tausendstelstelle.

Beispiel:
0,7532 ≈ 0,753
0,0966 ≈ 0,097

a) 0,1243 ≈ ___________

b) 0,7689 ≈ ___________

c) 0,3098 ≈ ___________

d) 0,5032 ≈ ___________

e) 0,9879 ≈ ___________

f) 0,1943 ≈ ___________

[…]

Aufgaben mit Dezimalzahlen

1. Vermischte Aufgaben

Achte bei den folgenden Aufgaben unbedingt auf die Rechenregeln. An der Seite hast du Platz für Nebenrechnungen.

Tipp: Punkt vor Strich. Klammer geht vor.

1. 4,9 • 7,8 + 0,63 =

________________________________________

________________________________________

2. 15,2 • (0,875 – 0,3) =

________________________________________

________________________________________

3. 25 – (0,025 : 0,5 + 0,05) =

________________________________________

________________________________________

4. 1,57 • 0,81 + 6,53 • 5,87 + 0,3972 =

________________________________________

________________________________________

________________________________________

5. (0,7 + 0,0085 • 1800) : 0,016 =

________________________________________

________________________________________

________________________________________

[…]

2. Sachaufgaben

1. Die Klasse 6 c verkauft auf dem Schulfest Limonade in 0,4 l Becher zu je 1,10 €. Insgesamt werden 49,2 l Limonade ausgeschenkt. Wie viel nimmt die Klasse ein?

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: ___________________________________________________________

2. Wie schwer ist eine Kabelrolle mit 60 m Kabel, wenn 1 m Kabel 0,75 kg wiegt und die Kabelrolle 4,5 kg schwer ist?

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: ___________________________________________________________

3. Herr Knurp kauft im Baumarkt ein: 14 m Holzleisten zu 1,75 € je Meter, 25 Steinplatten, das Stück zu 9,75 € und 4 Tuben Silicon zu je 11,95 €. Erstelle die Rechnung.

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: ___________________________________________________________

4. In einem Kasten Mineralwasser sind 12 Flaschen zu je 0,75 l. Wie teuer ist 1 l Mineralwasser, wenn der Kasten 14,07 € kostet. In diesem Preis ist das Pfand (6,60 €) enthalten.

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: ___________________________________________________________

5. Eine Pumpe fördert pro Minute 185 l. Wann ist ein Tank, der 92,50 hl fasst, geleert?

Wir wissen: ___________________________________________________________

Wir fragen: ___________________________________________________________

Wir rechnen:

Wir antworten: ___________________________________________________________

[…]

12. Multipliziere die Summe der Zahlen 5,60 und 7,80 mit 6,25.

_____________________________

_____________________________

_____________________________

13. Multipliziere die Differenz der Zahlen 7,25 und 5,35 mit 17,09.

_____________________________

_____________________________

_____________________________

14. Multipliziere 0,75 mit der Differenz der Zahlen 8,95 und 6,09.

_____________________________

_____________________________

_____________________________

15. Multipliziere 25,7 mit der Summe der Zahlen 12,07 und 14,8.

_____________________________

_____________________________

_____________________________

16. Multipliziere die Summe der Zahlen 9,04 und 1,08 mit der Differenz beider Zahlen.

_____________________________

_____________________________

_____________________________

[…]