"Wieviel Stoff braucht Charlotte?" Herleitung einer Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Quaders

1. Analyse der Unterrichtseinheit

1.1. Didaktische Analyse

Werden geometrische Körper in der Mittelschule behandelt, so spielt die räumliche Vorstellungskraft die entscheidende Rolle. Der Schüler ist ständig mit Dreidimensionalität konfrontiert und verwechselt die Begriffe Oberfläche und Volumen, analog zu Flächeninhalt und Flächenumfang^[1]. Ohne Anschauung ist der Schüler überfordert und schafft es nicht, die arithmetische Darstellung geometrischer Inhalte zu durchdringen und korrekt anzuwenden. Die Abstraktion ist als Endform zu betrachten, die erst nach fundierter Erarbeitung erreicht werden kann, nämlich dann, wenn zunehmende Sicherheit des formenkundlichen Wissens erreicht wurde.

Körpernetze haben für die Berechnung des Oberflächeninhalts eine herausragende Bedeutung^[2], da die Arbeit an Körpernetzen immer auf die Arbeit mit dem Flächeninhalt eines Körpers abzielt und eine Beziehung zwischen Körper und Netz hergestellt wird. Durch die Netzdarstellung wird der dreidimensionale Körper in die Zweidimensionalität überführt. Dieser Vorgang des Aufschneidens muss auch praktisch ausgeführt werden, damit der Schüler es konkret nachvollziehen kann. Den umgekehrten Ablauf kennt er von Bastelbögen. Diese Methoden sind bereits als Vorübungen und Vorwissen vorauszusetzen, um sich der Berechnung des Oberflächeninhalts nähern zu können. Leutenbauer^[3] empfiehlt allgemein

- die Förderung der räumlichen Vorstellungskraft durch ausgedehnte formenkundliche Betrachtungen an Körpern,
- Modellerfahrungen im tätigen Bereich durch Herstellen von Körpermodellen nach verschiedensten Angaben,
- Orientierung auf der Oberfläche des Körpers durch genaue Analyse der beteiligten Einzelflächen und ihrer Lage zueinander
- Zeichnerische Fähigkeiten durch ständige Übertragung gedanklicher Arbeit in eine grafische Form
- Exakte Kenntnis des Körpers durch formenkundliche Einzelarbeit am betroffenen Körper
- Geometrische Grundkenntnisse durch permanente Wiederholung der stofflichen Voraussetzungen aus früheren Jahren.

Wie bereits konstatiert wird diese Stunde vorentlastet, da die entsprechenden praktische Tätigkeiten (konkret-enaktives Handeln), instrumentellen Fertigkeiten (Zeichnen, Färben) und kognitiven Fähigkeiten (Kenntnis der Fachtermini) im Vorfeld durchgeführt wurden und somit ein Rückgriff auf diese Vorerfahrungen erfolgen kann.

Um den Schülern Sicherheit zu geben, wird dieses Wissen im Rahmen der Kopfgeometrie aktiviert. Durch das Erleben von Erfolg wirkt der Einstieg in die Stunde zudem motivierend. Inhaltlich bildet die Kopfgeometrie ein Fundament der Unterrichtseinheit, da Netze von Quadern thematisiert werden. Gezielt wird das Gespräch auf wesentliche Aspekte, wie das Faktum, dass gegenüberliegende Flächen am Quader gleich groß sind und dass die Flächen des Quaders Rechtecke sind, gelenkt.

Im Anschluss wird ein Problem dargeboten: Ein Mädchen namens Charlotte hat zu ihrem Geburtstag einen Sitzquader (der fälschlich als „Sitzwürfel“ deklariert wurde) geschenkt bekommen. Diesen möchte sie, da ihr die Farbe nicht gefällt, mit Stoff überziehen lassen. Die Schüler sollen die Stundenfrage formulieren: „Wieviel Stoff braucht Charlotte?“ (oder gleichwertige Formulierungen). Diese wird im Anschluss durch die Lehrkraft an der Tafel notiert, während die Schüler währenddessen bereits leise dir Arbeitsaufträge lesen.

Da nur ein Sitzquader vorhanden ist, kann dieser noch nicht nachgemessen werden, da es sonst zu Bevorzugungen und Benachteiligungen im Sozialgefüge kommen würde. Die Erarbeitung erfolgt paarweise (hier ist die Aktivität der Schüler hoch und der individuellen Sozialstruktur im Klassengefüge wird Rechnung getragen) mit kleinen quaderförmigen Salzpackungen (Lebensweltbezug; Mathematisierung des Alltags). Die Formulierung der Arbeitsaufträge zielt darauf ab, dass die Schüler gleich große Flächen als solche erkennen, die Oberfläche als Fläche wahrnehmen und Rückgriffe auf die bekannte Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks nehmen. Zur visuellen Unterstützung werden verschiedene Farben verwendet. Der Schwerpunkt dieser Phase liegt im enaktiv-konkreten Bereich entsprechend der Artikulation nach Bruner („E-I-S-Schema“). Die Arbeitsaufträge werden vom Schüler in eigenen Worten wiedergegeben. Zur Differenzierung liegen Aufgaben bereit. Die Arbeitsphase wird durch ein akustisches Signal eingeleitet und beendet.

Nach Beendigung der ersten Arbeitsphase erfolgt eine Teilsicherung an der Tafel bzw. ein Unterrichtsgespräch. Dabei werden die Quadernetze der Salzpackung sowie des Sitzquaders an die Tafel geheftet.

Durch die Demonstration eines Schülers wird nochmals gezeigt, dass es sich tatsächlich um den Aufriss des Sitzquaders handelt und das Netz die Oberfläche repräsentiert. Im Anschluss wird das Netz im Maßstab 1:5 auf ein weiteres Arbeitsblatt fixiert (diese ABs liegen umgedreht bereit). Die grafische Illustration entspricht dem zweiten Erarbeitungsschritt nach Bruner.

Im dritten Teil der Erarbeitung sollen die Schüler die praktisch und instrumentell gewonnen Erkenntnisse in eine allgemeine Form überführen. Dies entspricht der symbolischen Phase nach Bruner. Zur Visualisierung liegen Wortkarten bereit, die an der Tafel fixiert werden.

Wichtig ist in dieser Phase, dass es nicht um das Auswendiglernen einer Formel geht! Im Vordergrund steht die Einsicht, dass sich die Oberfläche des Quaders aus einzelnen Flächen zusammensetzt, von denen beim Quader jeweils drei Flächen „doppelt“ vorkommen (nämlich die gegenüberliegenden Seiten).

In der Sicherungsphase geben die Schüler den Ablauf der heutigen Stunden wieder und äußern ihren Lernzuwachs. Als Methode findet die Meldekette Anwendung.

Im Transfer sollen die Schüler eine weitere Aufgabe mit Lebensweltbezug selbstständig lösen und die gewonnenen Erkenntnisse erproben.

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^[1] Leutenbauer, H. (1997): Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht der 5. Bis 10. Jahrgangsstufe. Band 2 Geometrie. Auer Verlag. Donauwörth. S.202ff.

^[2] Ebd. S.213ff.

^[3] Ebd. S.214