Was bietet dieses Buch?
319 Seiten, 520 Formeln, 149 Zeichnungen und Bilder, 15 Tabellen
Geometrische Grundlagen, Zusammenhänge, Herleitungen, mathematische Erläuterungen.
Die Formeln vieler geometrischer Figuren und Körper sind in diesem Buch zusammengefasst und erläutert.
Es handelt sich in der Hauptsache um Kreise, Dreiecke, Vierecke und andere Polygone in der Ebene und in räumlichen Gebilden.
Hier werden die mathematischen und geometrischen Hintergründe angegeben, die den Formeln zugrunde liegen.
Aus Platzgründen können nicht alle allgemein bekannten Formeln erwähnt werden, hier werden insbesondere die Formeln aufgeführt, deren mathematischer Hintergrund erläutert werden muss.
Zur Erläuterung der Formeln werden die Grundlagen, Lehrsätze, Begriffe und Definitionen der ebenen Geometrie und der Trigonometrie sowie die Berechnungsmethoden der Vektorrechnung, der sphärischen Trigonometrie und der räumlichen Geometrie erläutert und in der praktischen Anwendung gezeigt.
Herleitungen und Beweise werden mit allen Zwischenrechnungen ausführlich dargestellt.
Dieses Buch soll kein mathematisches Lehrbuch ersetzen, deshalb werden nur die für das Verständnis der Formeln unbedingt erforderlichen Grundlagen erläutert.
Die zwangsläufig verbleibenden Lücken in der Darstellung der Grundlagen werden bewusst in Kauf genommen.
Wer tiefer einsteigen will, schlage in der mathematischen Literatur nach.
Welche Vorkenntnisse sind erforderlich?
Voraussetzung zum Verständnis des Inhalts ist ein gutes mathematisches Grundwissen.
Bei den Herleitungen der Formeln werden bekannte Lehrsätze und Formeln verwendet, die vorher schon irgendwo nachvollziehbar bewiesen worden sind.
Sie werden als bekannt vorausgesetzt. Für einige Herleitungen wird die Integralrechnung benutzt, die aber für die Anwendung der Formeln nicht nötig ist.
Wie findet man die Formeln?
Eine Kapitelübersicht und ein ausführliches Inhaltsverzeichnis am Anfang des Buches und die Verzeichnisse der Bilder,
Formeln und das alphabetische Stichwortverzeichnis (Index) im Anhang bieten eine gute Übersicht und ermöglichen
das schnelle Finden der gewünschten Formeln und Texte.
Außerdem sind im Text zahlreiche Querverweise mit Seitenangaben eingestreut, die das Arbeiten mit dem Buch erleichtern sollen.
Das Literaturverzeichnis enthält Hinweise auf grundlegende Literatur zu den behandelten Themen.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1.1. Anmerkung zu Beweis und Herleitung von Formeln
1.2. Abkürzungen, Bezeichnungen und Formelzeichen
1.2.1. Bemerkungen zur Schreibweise
1.2.2. Tabelle der Formelzeichen mit Erläuterungen
1.3. Berechnungshilfsmittel
1.3.1. Zahlensysteme
1.3.1.1. Zahlarten
1.3.1.2. Genauigkeit
1.3.1.3. Rundung der Zahlen
1.3.2. Geräte und Maschinen für die Zahlenrechnung
1.3.2.1. Abakus
1.3.2.2. Rechenschieber, Rechenmaschinen, Logarithmentafeln
1.3.2.3. Wissenschaftliche Grafik-Taschenrechner
1.3.2.4. HP-Prime mit Geometrie-Apps
1.3.2.5. Computer (PC-Systeme)
1.4. Mittelwerte
1.4.1. Arithmetisches Mittel
1.4.2. Geometrisches Mittel
1.4.3. Quadratisches Mittel
1.4.4. Harmonisches Mittel
1.4.5. Gewogenes (gewichtetes) Mittel
1.5. Lage von Schwerpunkten
1.5.1. Formelansatz für die Lage eines Flächenschwerpunktes
1.5.2. Formelansatz für die Lage eines Körperschwerpunktes
1.5.3. Zeichnerische Bestimmung durch Schwerelinien
2. Maßeinheiten für das Winkelmaß
2.1. Winkel in Altgrad
2.2. Winkel in Neugrad (Gon)
2.3. Winkel im Bogenmaß (Radiant)
2.4. Gebrauch des Bogenmaßes
2.5. Raumwinkel (Steradiant)
2.6. Ausgezeichnete Winkel
2.6.1. Winkelwerte
2.6.2. Beispiel: Sonderfall 18°
2.7. Der Goldene Schnitt
2.7.1. Definition Goldener Schnitt
2.7.2. Rechnerische Lösung
2.7.3. Zeichnerische Lösung mit Beweis
2.7.4. Nachprüfung durch Rechnung
3. Trigonometrische Funktionen
3.1. Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
3.2. Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
3.3. Funktionen eines Winkels und seines Komplementwinkels
3.4. Additionstheoreme
3.4.1. Addition und Subtraktion zweier Winkel
3.4.2. Addition und Subtraktion der sin und cos zweier Winkel
3.4.3. Addition und Subtraktion der tan und cot zweier Winkel
3.4.4. Doppelte und halbe Winkel
3.4.5. Summen und Differenzen von Winkelfunktionen
3.5. Arkusfunktionen für trigonometrische Funktionen
3.6. Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen
3.7. Kehrwerte der trigonometrischen Funktionen
4. Der Kreis in der Ebene
4.1. Geometrie des Kreises
4.2. Die Kreiszahl
4.2.1. Geometrische Ermittlung von
4.2.2. Mathematische Berechnung von
4.3. Definitionen und Begriffe
4.3.1. Geometrischer Ort
4.3.2. Definition des Kreises
4.3.3. Radius und Durchmesser
4.3.4. Zentriwinkel, Kreisbogen, Umfang
4.3.5. Sehne, Sekante und Tangente
4.4. Satz über die Peripheriewinkel (Umfangswinkel)
4.5. Der Satz des Thales
4.6. Der Sehnensatz und seine Anwendung
4.6.1. Der Sehnensatz
4.6.2. Beweis des Sehnensatzes
4.6.3. Abstand der Sehne vom Mittelpunkt
4.6.4. Länge der Sehne
4.6.5. Potenz des Sehnenschnittpunktes
4.6.6. Anwendung des Sehnensatzes
4.6.7. Sehnenviereck und Tangentenviereck (Hinweis)
4.7. Sekantensatz und Sekantentangentensatz
4.7.1. Der Sekantensatz
4.7.2. Beweis des Sekantensatzes
4.7.3. Potenz des Sekantenschnittpunktes
4.7.4. Der Sekantentangentensatz
4.7.5. Anwendungen des Sekantentangentensatzes
4.7.5.1. Erdkrümmung und geometrische Sichtweite
4.7.5.2. Näherungsformel für die Sichtweite
4.7.5.3. Beispiel für die Berechnung der Sichtweite
4.7.5.4. Zusammengesetzte Sichtweiten
5. Kreis-Berechnungen
5.1. Umfang des Vollkreises
5.2. Umfangvergrößerung des Kreises
5.3. Fläche des Vollkreises
5.4. Kreisbogen
5.4.1. Die Länge des Kreisbogens
5.4.2. Winkel des Kreisbogens
5.4.3. Länge der Sehne
5.4.4. Schwerpunktlage des Kreisbogens
5.5. Kreissektor (Kreisausschnitt)
5.5.1. Definition des Kreissektors
5.5.2. Fläche des Kreissektors
5.5.3. Schwerpunktlage in der Kreissektorfläche
5.6. Kreissegment (Kreisabschnitt)
5.6.1. Bezeichnungen
5.6.2. Definition
5.6.3. Kreissegment aus Zentriwinkel und Radius
5.6.3.1. Teilfläche Kreissektor
5.6.3.2. Sehnenlänge s des Kreissegments
5.6.3.3. Stichhöhe h des Kreissegments
5.6.3.4. Dreiecksfläche zwischen Sehne und dem Mittelpunkt
5.6.3.5. Kreissegmentfläche
5.6.3.6. Gültigkeitsbereich der Formeln
5.6.4. Kreissegment aus Sehnenlänge und Stichhöhe
5.6.4.1. Zentriwinkel
5.6.4.2. Radius
5.6.5. Tabellenwerte für das Kreissegment
5.6.5.1. Formeln für die Parameterwerte
5.6.5.2. Programmierung der Kreissegment-Tabelle
5.6.5.3. Einschränkungen
5.6.5.4. Ganz flache Kreissegmente
5.6.5.5. Eignung der Formel für das Problem prüfen
5.6.5.6. Taschenrechnerprogramm
5.6.6. Schwerpunktlage in der Kreissegmentfläche
5.6.6.1. Abstand des Schwerpunkts vom Kreismittelpunkt
5.6.6.2. Abstand des Schwerpunkts von der Sehne
5.6.7. Schwerpunktlage aus Sehne, Stichhöhe und µ
5.6.7.1. Abstand des Schwerpunkts vom Kreismittelpunkt
5.6.7.2. Abstand des Schwerpunkts von der Sehne
5.7. Halbkreis
5.7.1. Fläche des Halbkreises
5.7.2. Umfang der Halbkreislinie (Halbkreisbogen)
5.7.3. Schwerpunktlage der Halbkreislinie
5.7.4. Schwerpunktlage in der Halbkreisfläche
5.7.4.1. Herleitung der Formel aus Kreissektor
5.7.4.2. Herleitung der Formel aus Kreissegment
5.7.4.3. Formel aus Kugelvolumen und Halbkreisfläche
5.8. Kreisring und Kreisringausschnitt
5.8.1. Definition des Kreisrings
5.8.2. Mittlerer Radius des Kreisrings
5.8.3. Umfang U des Kreisrings
5.8.4. Breite B des Kreisrings
5.8.5. Fläche A des Kreisrings
5.8.6. Kreisringausschnitt (Kreisringsektor)
5.8.6.1. Länge b des Kreisringausschnitts
5.8.6.2. Fläche des Kreisringausschnitts
5.9. Kreiszone und Kreiskeil
5.9.1. Kreiszone
5.9.2. Kreiskeil
6. Zwei Kreise in der Ebene
6.1. Fallunterscheidungen
6.2. Schnitt zweier Kreise
6.2.1. Winkel, Sehne und Höhen
6.2.1.1. Winkel
6.2.1.2. Länge der gemeinsamen Sehne
6.2.1.3. Stichhöhen der Segmente
6.2.2. Durchschnitt zweier Kreise
6.2.2.1. Winkel
6.2.2.2. Segmentflächen
6.2.3. Tangenten an zwei sich nicht berührende Kreise
6.2.3.1. Äußere Tangenten
6.2.3.2. Technische Anwendung: Gerader Riemenantrieb
6.2.3.3. Innere Tangenten
6.2.3.4. Technische Anwendung: Gekreuzter Riemenantrieb
7. Quadratur des Kreises
7.1. Geometrische Lösung unmöglich
7.2. Mathematische Lösung
7.2.1. Flächengleichheit von Kreis und Quadrat
7.2.2. Überlagerung des Kreises mit flächengleichem Quadrat
7.2.2.1. Sehnenlänge und Stichhöhe
7.2.2.2. Verhältnis der Sehnenlänge zur Quadratseite
7.2.2.3. Winkel
7.2.2.4. Segmentfläche
7.2.2.5. Nachweis, dass A = E
8. Kreise in der analytischen Geometrie
8.1. Koordinatensysteme
8.1.1. Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten
8.1.2. Orthogonales Rechtssystem
8.1.3. 3D-Koordinaten
8.2. Koordinatentransformation
8.2.1. Koordinaten aus Radius und Winkel
8.2.2. Winkel aus Koordinaten x und y
8.2.3. Tangens des halben Winkels aus Koordinaten
8.3. Kreisgleichungen
8.3.1. Abstand zweier Punkte
8.3.2. Kreisgleichungen
8.3.3. Gültigkeitsbereich der Kreisgleichungen
8.3.4. Quadratwurzeln haben immer zwei Lösungen
8.3.5. Die Mittelpunktsgleichung des Kreises
8.3.6. Die allgemeine Kreisgleichung
8.3.7. Die Scheitelgleichung des Kreises
8.3.8. Die Parametergleichung
8.3.8.1. Berechnung von Kreiskleinpunkten
8.3.8.2. Näherungsformel
8.3.8.3. Beispiel
8.4. Der Kreis im Polarkoordinatensystem
8.4.1. Allgemeines zu Polarkoordinaten
8.4.2. Kreisgleichungen im Polarkoordinatensystem
8.4.2.1. Pol im Mittelpunkt des Kreises
8.4.2.2. Pol in beliebiger Lage
8.4.2.3. Polarachse geht durch den Mittelpunkt des Kreises
8.4.2.4. Pol auf der Kreislinie
8.5. Kreis durch drei gegebene Punkte
8.5.1. Bezeichnungen
8.5.2. Herleitung der Vektorgleichungen
8.5.3. Beispiel der Kreisberechnung aus drei Punkten
9. Hilfsmittel zum Zeichnen von Kreisen
9.1. Der Zirkel
9.2. Kreis- und Bogenschablonen
9.3. Schnur und Latte als Zirkelersatz
9.4. Zeichnen von Kreisen in der Werkstatt
9.4.1. Zeichnen eines Kreises durch zwei gegebene Punkte
9.4.1.1. Vorgang
9.4.1.2. Abmaß
9.4.2. Zeichnen eines Kreises durch drei gegebene Punkte
9.4.2.1. Vorgang
9.4.2.2. Abmaß
9.4.2.3. Theoretische Grundlage des Verfahrens
10. Geometrie der ebenen Dreiecke
10.1. Ungleichungen des Dreiecks
10.1.1. Behauptung
10.1.2. Beweis
10.1.3. Anschaulicher Beweis:
10.2. Ähnlichkeit
10.3. Die Summe der Innenwinkel im Dreieck
10.3.1. Mathematischer Beweis für ein n-Eck (Polygon)
10.3.2. Zeichnerischer Beweis für das Dreieck
10.4. Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
10.4.1. Schnittpunkt der drei Höhen
10.4.1.1. Schnittwinkel der Höhen
10.4.1.2. Grundlagen weiterer Formeln
10.4.2. Umkreismittelpunkt: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
10.4.3. Inkreismittelpunkt: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
10.4.4. Schwerpunkt: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
10.4.4.1. Mathematischer Beweis der Schwerpunktlage
10.4.4.2. Zeichnerische Ermittlung des Schwerpunkts
10.5. Der Feuerbachkreis (Neunpunktekreis)
10.5.1. Die Punkte des Feuerbachkreises
10.5.2. Die Beziehungen der Punkte zueinander
10.5.3. Sonderpunkte des Feuerbachkreises
10.5.4. Vertiefung des Themas (Hinweise)
11. Das rechtwinklige Dreieck
11.1. Benennungen
11.2. Das Thalesdreieck
11.2.1. Definition
11.2.2. Teilung des rechtwinkligen Dreiecks
11.3. Der Satz des Pythagoras
11.3.1. Der Lehrsatz
11.3.2. Beweise
11.3.2.1. Beweis durch Parallelverschiebung von Flächenelementen
11.3.2.2. Indische Beweise (1) und (2)
11.3.2.3. Arithmetischer Beweis
11.4. Pythagoreische Tripel
11.4.1. Definition
11.4.2. Praktische Anwendung
11.5. Der Satz des Euklid
11.6. Der Höhensatz
11.7. Der Hauptsatz des Euklid
11.7.1. Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras
11.7.2. Beweis des Hauptsatzes des Euklid
11.7.3. Beispiel mit Halbkreisen
11.7.4. Beispiel mit Vollkreisen
11.7.5. Die Möndchen des Hippokrates
12. Lehrsätze für ebene Dreiecke
12.1. Spitzwinkliges und stumpfwinkliges Dreieck
12.2. Der Sinussatz
12.2.1. Herleitung des Sinussatzes
12.2.2. Sätze des Euklid zum Sinussatz
12.3. Der Kosinussatz
12.4. Umfang und halber Umfang
12.5. Die Heronische Formel
12.6. Gleichseitiges Dreieck (Sonderfall)
12.6.1. Umfang und halber Umfang
12.6.2. Höhe
12.6.3. Fläche
13. Anwendung der Dreieckformeln
13.1. Berechnungsfälle
13.2. Berechnungsablauf und Formeln
13.3. SSS – Drei Seitenlängen
13.4. ASA – Eine Seitenlänge und zwei anliegende Winkel
13.5. SAA – Eine Seitenlänge und zwei Winkel
13.6. SAS – Zwei Seiten und dazwischenliegender Winkel
13.7. Dreiecksberechnung mit dem Taschenrechner
13.7.1. Auswahlmenü DREIB
13.7.2. Ergebnisse
14. Vorwärts- und Rückwärtseinschneiden
14.1. Einleitung
14.2. Vorwärtseinschneiden
14.2.1. Prinzip
14.2.2. Formeln
14.2.3. Voraussetzungen und Einschränkungen
14.2.3.1. Messungen in der Horizontalebene
14.2.3.2. Triangulationsnetze
14.2.3.3. Einfluss der Erdkrümmung bei Triangulationsnetzen
14.3. Rückwärtseinschneiden
14.3.1. Prinzip
14.3.2. Aufgabenstellung
14.3.3. Winkelsummen
14.3.4. Herleitung
14.3.5. Zusammenstellung der Aufgabenstellung und der Lösung
14.3.6. Gültigkeitsgrenzen
14.3.6.1. Bei α + β + γ 180° Problem lösbar
14.3.6.2. Bei α + β + γ = 180° keine Lösung des Problems
14.3.7. Taschenrechnerprogramm
15. Geometrie der Vierecke in der Ebene
15.1. Formen der Vierecke
15.2. Teildreiecke im Viereck
15.3. Innenwinkel im Viereck
15.4. Ungleichungen für das Viereck
15.4.1. Behauptung
15.4.2. Beweis
16. Das Sehnenviereck im Kreis
16.1. Summe der Gegenwinkel im Sehnenviereck
16.1.1. Beweis des Satzes über die Zentriwinkel
16.1.2. Beweis des Satzes über die Peripheriewinkel
16.2. Umfang des Sehnenvierecks
16.3. Fläche des Sehnenvierecks aus den vier Seitenlängen
16.3.1. Herleitung der Formel für das Sehnenviereck:
16.4. Fläche aus Radius und vier Zentriwinkeln
16.5. Seitenlängen aus Radius und vier Zentriwinkeln
16.6. Eckwinkel des Sehnenvierecks aus den Seitenlängen
16.6.1. Aus Diagonale f
16.6.2. Aus Diagonale e
16.7. Diagonalenlängen aus den Seitenlängen
16.8. Umkreisradius aus den vier Seitenlängen
16.9. Kreuzungswinkel der Diagonalen im Sehnenviereck
16.10. Flächeninhalt aus Diagonalen und Kreuzungswinkel
16.11. Diagonalen als Sehnen
16.12. Satz von Ptolemäus für das Sehnenviereck
16.12.1. Rechnerischer Beweis mit den Formeln der Diagonalen
16.12.2. Der geometrische Beweis
16.12.2.1. Vorbereiten des geometrischen Beweises
16.12.2.2. Finden und Auswerten der ähnlichen Dreiecke
16.13. Schwerpunktlage im (Sehnen-)Viereck
16.13.1. Rechnerische Ermittlung der Schwerpunktlage
16.13.2. Zeichnerische Ermittlung der Schwerpunktlage
17. Das beliebige Viereck (Trapezoid)
17.1. Bestimmungsstücke
17.2. Flächeninhalt
17.3. Beziehung zwischen Seitenlängen und Gegenwinkeln
17.4. Berechnung der übrigen Eckwinkel
17.5. Fläche aus Seitenlängen und Gegenwinkeln
17.6. Flächenformel für das allgemeine Viereck
17.7. Ähnlichkeiten zur Heronischen Formel
17.7.1. Allgemeine Formel für beliebiges konvexes Viereck
17.7.2. Sonderfälle
18. Das Tangentenviereck am Kreis
18.1. Beweis des Satzes für das Tangentenviereck
18.2. Umfang des Tangentenvierecks
18.3. Fläche aus den vier Seitenlängen und dem Radius
18.4. Radius aus Fläche und Summe der Gegenseiten
18.5. Fläche aus vier Seitenlängen und zwei Gegenwinkeln
18.6. Schwerpunktlage im Tangentenviereck
19. Parallelogramme und andere Vierecke
19.1. Das Quadrat
19.1.1. Umfang des Quadrats
19.1.2. Flächeninhalt des Quadrats
19.1.3. Diagonalen im Quadrat
19.2. Das Rechteck
19.2.1. Diagonalen im Rechteck
19.2.2. Kreuzungswinkel der Diagonalen
19.2.3. Lotpunkte auf der Diagonale
19.2.4. Umfang des Rechtecks
19.2.5. Flächeninhalt des Rechtecks
19.3. Der Rhombus (die Raute)
19.3.1. Winkel des Rhombus
19.3.2. Diagonalen und Seitenlänge im Rhombus
19.3.3. Umfang des Rhombus
19.3.4. Flächeninhalt des Rhombus
19.3.5. Höhe und Schräge des Rhombus
19.4. Das Rhomboid (gewöhnliches Parallelogramm)
19.4.1. Umfang des Rhomboids
19.4.2. Höhen des Rhomboids
19.4.3. Flächeninhalt des Rhomboids
19.4.4. Diagonalen und Winkel im Rhomboid
19.5. Das Gelenkviereck
19.5.1. Sonderfall beim Gelenkviereck
19.5.2. Getriebelehre (Kinematik)
19.6. Das Drachenviereck
19.6.1. Seiten und Winkel im Drachenviereck
19.6.2. Diagonalen des Drachenvierecks
19.6.3. Umfang des Drachenvierecks
19.6.4. Flächeninhalt des Drachenvierecks
19.7. Das Trapez
19.7.1. Umfang
19.7.2. Höhe des Trapezes
19.7.3. Flächeninhalt des Trapezes
19.7.4. Winkel und Diagonalen im Trapez
20. Körperberechnung (Stereometrie)
20.1. Räumliche Flächen
20.1.1. Krümmung
20.1.2. Gefaltete ebene Flächen
20.1.3. Eulerscher Polyedersatz
20.1.4. Einachsig gewölbt
20.1.5. Zweiachsig (doppelt) gewölbt
20.1.6. Verdrehte Flächen (Torsionsflächen)
20.1.6.1. Definition „windschief“
20.1.6.2. Windschiefe Flächen (Hypar-Flächen)
20.2. Allgemeine Regeln zur Körperberechnung
20.2.1. Prismatoidenformel
20.2.2. Guldinsche Regeln
20.2.2.1. Rotationskörper
20.2.2.2. Räumliche Rotationsflächen
21. Eckige Körper (Polyeder)
21.1. Das Prisma
21.2. Schräg abgeschnittenes Prisma
21.3. Das Prismatoid
21.3.1.1. Kugel als Prismatoid berechnen
21.3.1.2. Kegel als Prismatoid berechnen
21.4. Der Würfel (Hexaeder)
21.4.1. Oberfläche des Würfels
21.4.2. Volumen des Würfels
21.4.3. Diagonalen des Würfels
21.4.4. Einbeschriebene Sechsecke
21.4.5. Einbeschriebene und umbeschriebene Kugel
21.5. Das Parallelepiped und der Quader
21.5.1. Das Parallelepiped
21.5.2. Der Quader
21.6. Die Pyramide
21.6.1. Grundfläche
21.6.2. Höhe
21.6.3. Oberfläche
21.6.4. Volumen
21.6.5. Schwerpunkthöhe bei der Pyramide
21.7. Der Pyramidenstumpf
21.7.1. Oberfläche des Pyramidenstumpfs
21.7.2. Volumen des Pyramidenstumpfs
21.7.3. Schwerpunkthöhe beim Pyramidenstumpf
21.7.4. Ansatz für Volumenformel
21.7.5. Ansatz für statisches Moment
21.7.6. Die Schwerpunkthöhe über der Grundfläche
21.8. Das reguläre Tetraeder
21.8.1. Die Winkel des Tetraeders
21.8.2. Die Höhe des Tetraeders
21.8.3. Das Volumen des Tetraeders
21.8.4. Der Schwerpunkt des Tetraeders
21.9. Das reguläre Oktaeder
21.9.1. Länge der Diagonalen
21.9.2. Oberfläche des Oktaeders
21.9.3. Volumen des Oktaeders
21.9.4. Winkel im Oktaeder
21.10. Das reguläre Ikosaeder
21.11. Das Rhomboeder
21.12. Das Rhombendodekaeder
21.12.1. Seitenlänge des Rhombendodekaeders
21.12.2. Die Winkel im Rhombus
21.12.3. Bauanleitung für ein Karton-Modell
21.12.4. Gedankenmodell
21.12.5. Volumen des Rhombendodekaeders
21.12.6. Oberfläche des Rhombendodekaeders
21.12.7. Einbeschriebene Kugel
21.12.8. Umbeschriebene Kugel
21.12.9. Umschriebener Zylinder des Rhomben-Sechsecks
21.12.10. Kantenkugel
21.12.11. Flächenwinkel
21.12.12. Eckwinkel
21.12.13. Raumwinkel des Rhombendodekaeders
21.12.14. Interessante Betrachtungen zum Rhombendodekaeder
22. Körper mit gekrümmten Außenflächen
22.1. Der allgemeine Zylinder
22.1.1. Gerade Zylinder
22.1.2. Schiefe Zylinder
22.2. Der gerade Kreiszylinder
22.3. Der Zylinderabschnitt (Zylinderhuf)
22.3.1. Geometrie des Zylinderhufs
22.3.2. Die Berechnung des Volumens durch Integralrechnung
22.3.3. Volumenformel mit r, b, h aus Integral
22.3.4. Hilfsvariablen für die Berechnung des Volumens
22.3.5. Herleitung der endgültigen Volumenformel
22.3.6. Berechnung der Mantelfläche
22.3.7. Grenzfall für Zylinderhuf: b=2r
22.4. Der schräg abgeschnittene Kreiszylinder
22.4.1. Der schräge Schnitt
22.4.2. Beidseitig schräg abgeschnittene Zylinder
22.4.3. Volumen der Halbkreishufe am schrägen Schnitt
22.4.3.1. Herleitung über Halbkreis und Halbkreisschwerpunkt
22.4.3.2. Mantelfläche des Halbkreishufs
22.5. Der gerade und der schiefe Kegel
22.6. Der gerade und der schiefe Kegelstumpf
22.7. Kegelschnitte
22.8. Die Ellipse
22.8.1. Kreisgleichung (Grundgleichung)
22.8.2. Ellipsengleichungen
22.8.3. Ellipsenkonstruktion auf dem Papier
22.8.4. Exzentrizität und Brennpunkte der Ellipse
22.8.5. Fadenkonstruktion der Ellipse
22.8.6. Polarkoordinaten für einen Brennpunkt der Ellipse
22.8.7. Die Fläche der Ellipse
22.8.8. Umfang der Ellipse
22.8.9. Die Ellipse als Planetenbahn
22.9. Das Ellipsoid
22.9.1. Rotationsellipsoide
22.9.2. Die Erde als Rotationsellipsoid
22.9.2.1. Das Geoid
22.9.2.2. Das Referenzellipsoid
22.9.2.3. Geografische und geozentrische Breite
22.9.2.4. Umrechnung der geografischen in die geozentrische Breite
22.9.2.5. Anwendung der geozentrischen Breite
22.9.2.6. Erdradius
22.9.2.7. Berechnung des Erdradius
22.9.2.8. Berücksichtigung der Höhe über NN
22.9.3. Echtes Ellipsoid
22.10. Die Kugel
22.10.1. Oberfläche der Kugel
22.10.2. Volumen der Kugel
22.10.3. Kugelzweieck
22.10.4. Kugelabschnitt, Kugelsegment
22.10.5. Kugelkappe
22.10.6. Kugelsegment
22.10.6.1. Volumen V1
22.10.6.2. Volumen V2
22.10.7. Kugelausschnitt, Kugelsektor
22.10.8. Kugelschicht (Kugelzone)
22.10.8.1. Vorkommende Formen
22.10.8.2. Festlegungen
22.10.8.3. Parallele Kugelschichten (Kugelzonen)
22.10.8.4. Berechnungsgrundsatz
22.10.8.5. Parallele Kugelschicht aus Kugelradius und Stichhöhen
22.10.8.6. Parallele Kugelschicht aus Kleinkreisradien und Schichthöhe
22.10.8.7. Nicht parallele Kugelschichten (Kugelzonen)
22.11. Kugelring
22.11.1. Geometrische Zusammenhänge
22.11.2. Definition des Kugelrings
22.11.3. Bezeichnungen und Formeln
22.11.4. Herleitung als Rotationskörper
22.11.5. Herleitung aus Kugelschichtvolumen minus Bohrung
22.11.6. Lehrsatz für alle Kugelringe
22.11.7. Verhältnis der Volumina von Kugelring und Kugel
22.11.8. Flankenwinkel der Ringkante
22.11.9. Oberfläche des Kugelrings
22.11.10. Berechnung der Ringaußenfläche
22.11.11. Berechnung der Ringinnenfläche
22.11.12. Gesamtoberfläche des Kugelrings
22.12. Ring mit kreisförmigem Querschnitt (Torus)
22.12.1. Oberfläche des Torus
22.12.2. Volumen des Torus
23. Vektorrechnung
23.1. Notation der Vektoren
23.1.1. Vektornamen
23.1.2. Punktnamen
23.1.3. Vektordarstellung und Komponentenschreibweise
23.2. Geometrische Begriffe
23.2.1. Definition des Vektors
23.2.2. Vektorkomponenten
23.2.3. Gegenvektor
23.2.4. Nullvektor
23.2.5. Einheitsvektor
23.2.6. Betrag eines Vektors
23.2.7. Freie Vektoren oder Richtungsvektoren
23.2.8. Gebundene Vektoren (Ortsvektoren)
23.3. Vektorformeln
23.3.1. Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem (3D)
23.3.2. Definierte Operationen mit Vektoren
23.3.2.1. Addition und Subtraktion
23.3.2.2. Multiplikation
23.3.2.3. Division
23.3.3. Addition und Subtraktion zweier Vektoren
23.3.4. Halbe Summe und halbe Differenz zweier Vektoren
23.3.5. Vektorketten und Vektorgleichungen
23.3.6. Schwerpunktlage eines Dreiecks über Vektorkette
23.3.7. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
23.3.8. Skalarprodukt zweier Vektoren
23.3.9. Winkel zwischen zwei Vektoren aus dem Skalarprodukt
23.3.10. Drehung eines Vektors um 90°
23.3.11. Beweis des Pythagoras mit dem Skalarprodukt
23.3.12. Kreuzprodukt zweier Vektoren
23.3.13. Eigenschaften des Normalenvektors
23.3.14. Normalenvektor aus Kreuzprodukt
23.3.15. Kollineare Vektoren
23.3.16. Komplanare Vektoren
23.3.17. Berechnung des Kreuzprodukts aus den Vektorkomponenten
23.3.17.1. Schema 1
23.3.17.2. Schema 2
23.3.17.3. Manuelle Berechnung des Kreuzprodukts als Beispiel
23.3.17.4. Kreuzprodukt mit dem Taschenrechner HP 50g
23.3.18. Flächeninhalt eines Dreiecks aus Kreuzprodukt
23.3.19. Positiver Umlaufsinn der Eckpunkte des Dreiecks
23.3.20. Spatprodukt dreier Vektoren
23.3.21. Erläuterung des Spatprodukts
23.3.22. Volumen eines Tetraeders aus Spatprodukt
23.3.23. Ortsvektor zum Schwerpunkt eines Tetraeders im Raum
23.3.24. Schnittlinie und Schnittwinkel zweier Ebenen
24. Das ebene Dreieck im Raum
24.1. Bezeichnungen der Punkte und Vektoren
24.2. Vektoren der Dreieckseiten
24.3. Elemente im Dreieck
24.3.1. Seitenlängen
24.3.2. Innenwinkel im Dreieck
24.4. Flächeninhalt
24.5. Schwerpunktlage
24.6. Flächenneigung und Falllinie
24.6.1. Neigung einer Ebene
24.6.2. Falllinie einer geneigten Ebene
24.7. Sonstige Dreieckswerte
24.8. Das schräg abgeschnittene Dreikantprisma
24.8.1. Deckfläche
24.8.2. Grundfläche
24.8.3. Volumen des Dreikantprismas
24.8.3.1. Mathematischer Beweis für die mittlere Höhe
24.8.3.2. Anschaulicher Beweis für die mittlere Höhe
25. Räumliche Dreiecksnetze
25.1. Einleitung
25.2. Punkte im Raum
25.3. Koordinatensystem
25.4. Dreiecke im Raum
25.5. Erzeugung von Dreiecksnetzen
25.6. Anwendungsverfahren in der Praxis
25.6.1. Dreiecksnetze und Bezugsebene
25.6.2. Berechnungsgebiet
25.6.2.1. Horizonte
25.6.2.2. Bezugsebene
25.6.3. Prinzip der Volumenberechnung aus Prismen
25.6.4. Berechnungsmethode
25.6.4.1. Vorbereitung (Datenerfassung)
25.6.4.2. Berechnung
25.6.4.3. Ergebnisausgabe
26. Sphärische Trigonometrie
26.1. Bezeichnungen und Bedingungen
26.2. Begriffe der sphärischen Trigonometrie
26.2.1. 3D-Koordinaten auf der Kugel
26.2.2. Oberflächenkoordinaten auf der Kugel
26.2.3. Die Erdoberfläche, ein Geoid und Rotationsellipsoid
26.2.4. Großkreise und Kleinkreise
26.2.5. Winkelmessungen
26.2.6. Der sphärische Abstand
26.2.7. Die sphärische Längenmessung
26.2.8. Das sphärische Zweieck
26.3. Das allgemeine Kugeldreieck (sphärisches Dreieck)
26.3.1. Eulersches Dreieck
26.3.2. Scheiteldreieck und Nebendreiecke
26.3.3. Umfang des Eulerschen Dreiecks
26.3.3.1. Herleitung des Grenzwerts
26.3.3.2. Anschauliche Erklärung der Grenzwerte
26.3.4. Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks
26.4. Hauptsätze zur Berechnung des Kugeldreiecks
26.4.1. Vorbemerkungen
26.4.2. Der Sinussatz
26.4.3. Der Seitenkosinussatz
26.4.4. Der Winkelkosinussatz
26.5. Das rechtwinklige Kugeldreieck
26.5.1. Die Gleichungen des rechtwinkligen Kugeldreiecks
26.5.2. Die Nepersche Regel
26.6. Großkreisbögen auf der Erdoberfläche
26.6.1. Einleitung
26.6.2. Begriffe und Bezeichnungen
26.6.3. Erdradius für Großkreisbogen
26.6.4. Bogenlänge zwischen zwei Punkten
26.7. Kurswinkel
26.8. Beispiele mit dem Taschenrechner
26.8.1. Beispiel Großkreisbogen München-London
26.8.2. Beispiel Großkreisbogen an der Datumsgrenze
26.8.3. Beispiel Direktflug Paris-München und München-Paris
27. Der Raumwinkel
27.1. Definition des Raumwinkels
27.2. Bezeichnungen
27.3. Mathematische Zusammenhänge beim Raumwinkel
27.4. Beliebige Form der Teilfläche einer Kugel
27.5. Raumwinkel einer Kugelkappe (Kugelkalotte)
27.6. Kugelrechteck (herausgeschnittene Pyramide)
27.6.1. Definition eines Kugelrechtecks
27.6.2. Raumwinkel des Kugelrechtecks (Pyramide)
27.7. Beispiel für Kugelrechteck
27.8. Anmerkungen zur Berechnung des Raumwinkels
27.8.1. Berechnung der Teilflächen einer Kugel
28. Kreissegment-Tabelle
Zielsetzung und Themen
Dieses Buch bietet eine praxisorientierte Zusammenstellung erläuterter Formeln der ebenen und räumlichen Geometrie. Das primäre Ziel ist es, Anwendern – vom Schüler bis zum Wissenschaftler – nicht nur Formeln an die Hand zu geben, sondern auch die mathematischen Grundlagen, Zusammenhänge und Herleitungen zu vermitteln, damit die Eignung einer Formel für spezifische Probleme überprüft werden kann.
- Mathematische und geometrische Grundlagen sowie Herleitungen für Kreis-, Dreiecks- und Vierecksberechnungen.
- Berechnungsmethoden für die Stereometrie, einschließlich Körper mit gekrümmten Außenflächen.
- Umfassende Einführung in die Vektorrechnung zur Anwendung in der analytischen Geometrie.
- Grundlagen der sphärischen Trigonometrie und Berechnungen auf der Erdoberfläche.
- Praktische Unterstützung durch Hilfsmittel wie Taschenrechner-Programme und Tabellenwerte (z.B. Kreissegment-Tabelle).
Auszug aus dem Buch
1.1. Anmerkung zu Beweis und Herleitung von Formeln
Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind. Ein Axiom ist ein keines Beweises bedürfender Grundsatz. Allgemein werden die beiden Begriffe „Beweis“ und „Herleitung“ als gleichbedeutend angesehen.
Wir machen aber doch einen kleinen Unterschied: Wenn eine Formel vorliegt, beweisen wir sie, indem wir sie herleiten und das Ergebnis mit der gegebenen Formel vergleichen. Liegt für ein Problem noch keine Formel vor, muss sie aufgrund von Axiomen neu entwickelt werden. Die Herleitung zeigt nachvollziehbar den Weg vom Ansatz bis zur fertigen Formel.
Beweise und Herleitungen von Formeln stützen sich außer auf Axiome vor allem auf schon bekannte und als wahr vorausgesetzte Lehrsätze und Formeln der anschaulichen Geometrie, die nicht noch einmal bewiesen werden. Auf den üblichen mathematischen Formalismus bei der Formulierung der Voraussetzungen für die Beweise wird verzichtet, als Grundlage dienen stattdessen geometrische Figuren mit allen nötigen Bezeichnungen.
Wichtig ist vor allem, dass durch die Herleitungen, ob im Rahmen eines Beweises oder einer Neuentwicklung, die Zusammenhänge klar werden und die Voraussetzungen, unter denen die Formeln eingesetzt werden können, deutlich formuliert werden. Die Anwender können auf diese Weise die Eignung oder Nichteignung einer Formel für die Lösung ihres Problems leicht erkennen.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Vermittelt grundlegende mathematische Definitionen und Vorgehensweisen bei Herleitungen sowie einen Überblick über Berechnungshilfsmittel.
2. Maßeinheiten für das Winkelmaß: Erläutert die verschiedenen Maßeinheiten wie Altgrad, Neugrad und Bogenmaß sowie deren Umrechnungen.
3. Trigonometrische Funktionen: Behandelt die Definitionen der Winkelfunktionen sowie deren Beziehungen untereinander und die Additionstheoreme.
4. Der Kreis in der Ebene: Erklärt geometrische Grundlagen des Kreises, wichtige Begriffe und die Bedeutung der Kreiszahl Pi.
5. Kreis-Berechnungen: Bietet detaillierte Formeln für Umfang, Fläche, Kreisbogen und Kreissegmente sowie deren Schwerpunktlagen.
Schlüsselwörter
Geometrie, Trigonometrie, Formelsammlung, Vektorrechnung, Stereometrie, Kreisberechnung, Dreiecksgeometrie, sphärische Trigonometrie, Mathematische Herleitungen, Kreissegment, Kreisring, Körperberechnung, analytische Geometrie, Raumwinkel, Koordinatensysteme.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Das Buch dient als umfassende Formelsammlung für die ebene und räumliche Geometrie, die sowohl Formeln als auch deren mathematische Herleitungen und Hintergründe für die praktische Anwendung aufbereitet.
Welche Themenfelder werden zentral abgedeckt?
Die Arbeit deckt ein breites Spektrum ab: von den Grundlagen der Geometrie (Kreis, Dreieck, Viereck) über die Stereometrie (Körperberechnung) bis hin zur Vektorrechnung und sphärischen Trigonometrie.
Was ist das primäre Ziel des Werks?
Das Ziel ist es, Anwendern – vom Schüler bis zum Wissenschaftler – mathematische Zusammenhänge transparent zu machen, damit sie Formeln nicht nur blind anwenden, sondern deren Eignung für ihr spezifisches Problem kritisch prüfen können.
Welche wissenschaftlichen Methoden kommen zum Einsatz?
Es werden mathematische Herleitungen, Beweisführungen basierend auf Axiomen und Lehrsätzen sowie Methoden der Vektorrechnung und Integralrechnung zur Volumen- und Flächenberechnung verwendet.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in mathematische Disziplinen, beginnend bei den Grundlagen der ebenen Geometrie (Kreise, Dreiecke, Vierecke), über Körperberechnungen (Stereometrie) bis hin zu fortgeschrittenen Themen wie der Vektorrechnung im Raum und der sphärischen Geometrie.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren das Werk?
Zu den prägenden Schlagworten gehören Geometrie, Trigonometrie, Vektorrechnung, Stereometrie, Formelsammlung und mathematische Herleitungen.
Wie unterstützt das Buch bei der praktischen Anwendung?
Durch zahlreiche Querverweise, ein ausführliches Stichwortverzeichnis, eine Kreissegment-Tabelle und den Verweis auf Taschenrechner-Programme (für HP-Rechner) wird die praktische Arbeit mit den Formeln erheblich erleichtert.
Warum wird die Integralrechnung erwähnt?
Die Integralrechnung wird für einige Herleitungen komplexer Flächen oder Körper (wie beim Zylinderhuf) genutzt, ist jedoch für die reine Anwendung der fertigen Formeln im Alltag nicht zwingend erforderlich.
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- Otto Praxl (Autor), 2015, Erläuterte Formeln der ebenen und räumlichen Geometrie, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/300878
