Erläuterte Formeln der ebenen und räumlichen Geometrie

Ausführliches Inhaltsverzeichnis

Impressum

Vorwort

Kapitelübersicht

Ausführliches Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
1.1. Anmerkung zu Beweis und Herleitung von Formeln
1.2. Abkürzungen, Bezeichnungen und Formelzeichen
1.2.1. Bemerkungen zur Schreibweise
1.2.2. Tabelle der Formelzeichen mit Erläuterungen
1.3. Berechnungshilfsmittel
1.3.1. Zahlensysteme
1.3.1.1. Zahlarten
1.3.1.2. Genauigkeit
1.3.1.3. Rundung der Zahlen
1.3.2. Geräte und Maschinen für die Zahlenrechnung
1.3.2.1. Abakus
1.3.2.2. Rechenschieber, Rechenmaschinen, Logarithmentafeln
1.3.2.3. Wissenschaftliche Grafik-Taschenrechner
1.3.2.4. HP-Prime mit Geometrie-Apps
1.3.2.5. Computer (PC-Systeme)
1.4. Mittelwerte
1.4.1. Arithmetisches Mittel
1.4.2. Geometrisches Mittel
1.4.3. Quadratisches Mittel
1.4.4. Harmonisches Mittel
1.4.5. Gewogenes (gewichtetes) Mittel
1.5. Lage von Schwerpunkten
1.5.1. Formelansatz für die Lage eines Flächenschwerpunktes
1.5.2. Formelansatz für die Lage eines Körperschwerpunktes
1.5.3. Zeichnerische Bestimmung durch Schwerelinien

2. Maßeinheiten für das Winkelmaß
2.1. Winkel in Altgrad
2.2. Winkel in Neugrad (Gon)
2.3. Winkel im Bogenmaß (Radiant)
2.4. Gebrauch des Bogenmaßes
2.5. Raumwinkel (Steradiant)
2.6. Ausgezeichnete Winkel
2.6.1. Winkelwerte
2.6.2. Beispiel: Sonderfall 18°
2.7. Der Goldene Schnitt
2.7.1. Definition Goldener Schnitt
2.7.2. Rechnerische Lösung
2.7.3. Zeichnerische Lösung mit Beweis
2.7.4. Nachprüfung durch Rechnung

3. Trigonometrische Funktionen
3.1. Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
3.2. Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
3.3. Funktionen eines Winkels und seines Komplementwinkels
3.4. Additionstheoreme
3.4.1. Addition und Subtraktion zweier Winkel
3.4.2. Addition und Subtraktion der sin und cos zweier Winkel
3.4.3. Addition und Subtraktion der tan und cot zweier Winkel
3.4.4. Doppelte und halbe Winkel
3.4.5. Summen und Differenzen von Winkelfunktionen
3.5. Arkusfunktionen für trigonometrische Funktionen
3.6. Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen
3.7. Kehrwerte der trigonometrischen Funktionen

4. Der Kreis in der Ebene
4.1. Geometrie des Kreises
4.2. Die Kreiszahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
4.2.1. Geometrische Ermittlung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
4.2.2. Mathematische Berechnung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
4.3. Definitionen und Begriffe
4.3.1. Geometrischer Ort
4.3.2. Definition des Kreises
4.3.3. Radius und Durchmesser
4.3.4. Zentriwinkel, Kreisbogen, Umfang
4.3.5. Sehne, Sekante und Tangente
4.4. Satz über die Peripheriewinkel (Umfangswinkel)
4.5. Der Satz des Thales
4.6. Der Sehnensatz und seine Anwendung
4.6.1. Der Sehnensatz
4.6.2. Beweis des Sehnensatzes
4.6.3. Abstand der Sehne vom Mittelpunkt
4.6.4. Länge der Sehne
4.6.5. Potenz des Sehnenschnittpunktes
4.6.6. Anwendung des Sehnensatzes
4.6.7. Sehnenviereck und Tangentenviereck (Hinweis)
4.7. Sekantensatz und Sekantentangentensatz
4.7.1. Der Sekantensatz
4.7.2. Beweis des Sekantensatzes
4.7.3. Potenz des Sekantenschnittpunktes
4.7.4. Der Sekantentangentensatz
4.7.5. Anwendungen des Sekantentangentensatzes
4.7.5.1. Erdkrümmung und geometrische Sichtweite
4.7.5.2. Näherungsformel für die Sichtweite
4.7.5.3. Beispiel für die Berechnung der Sichtweite
4.7.5.4. Zusammengesetzte Sichtweiten

5. Kreis-Berechnungen
5.1. Umfang des Vollkreises
5.2. Umfangvergrößerung des Kreises
5.3. Fläche des Vollkreises
5.4. Kreisbogen
5.4.1. Die Länge des Kreisbogens
5.4.2. Winkel des Kreisbogens
5.4.3. Länge der Sehne
5.4.4. Schwerpunktlage des Kreisbogens
5.5. Kreissektor (Kreisausschnitt)
5.5.1. Definition des Kreissektors
5.5.2. Fläche des Kreissektors
5.5.3. Schwerpunktlage in der Kreissektorfläche
5.6. Kreissegment (Kreisabschnitt)
5.6.1. Bezeichnungen
5.6.2. Definition
5.6.3. Kreissegment aus Zentriwinkel und Radius
5.6.3.1. Teilfläche Kreissektor
5.6.3.2. Sehnenlänge s des Kreissegments
5.6.3.3. Stichhöhe h des Kreissegments
5.6.3.4. Dreiecksfläche zwischen Sehne und dem Mittelpunkt
5.6.3.5. Kreissegmentfläche
5.6.3.6. Gültigkeitsbereich der Formeln
5.6.4. Kreissegment aus Sehnenlänge und Stichhöhe
5.6.4.1. Zentriwinkel
5.6.4.2. Radius
5.6.5. Tabellenwerte für das Kreissegment
5.6.5.1. Formeln für die Parameterwerte
5.6.5.2. Programmierung der Kreissegment-Tabelle
5.6.5.3. Einschränkungen
5.6.5.4. Ganz flache Kreissegmente
5.6.5.5. Eignung der Formel für das Problem prüfen
5.6.5.6. Taschenrechnerprogramm
5.6.6. Schwerpunktlage in der Kreissegmentfläche
5.6.6.1. Abstand des Schwerpunkts vom Kreismittelpunkt
5.6.6.2. Abstand des Schwerpunkts von der Sehne
5.6.7. Schwerpunktlage aus Sehne, Stichhöhe und µ
5.6.7.1. Abstand des Schwerpunkts vom Kreismittelpunkt
5.6.7.2. Abstand des Schwerpunkts von der Sehne
5.7. Halbkreis
5.7.1. Fläche des Halbkreises
5.7.2. Umfang der Halbkreislinie (Halbkreisbogen)
5.7.3. Schwerpunktlage der Halbkreislinie
5.7.4. Schwerpunktlage in der Halbkreisfläche
5.7.4.1. Herleitung der Formel aus Kreissektor
5.7.4.2. Herleitung der Formel aus Kreissegment
5.7.4.3. Formel aus Kugelvolumen und Halbkreisfläche
5.8. Kreisring und Kreisringausschnitt
5.8.1. Definition des Kreisrings
5.8.2. Mittlerer Radius des Kreisrings
5.8.3. Umfang U des Kreisrings
5.8.4. Breite B des Kreisrings
5.8.5. Fläche A des Kreisrings
5.8.6. Kreisringausschnitt (Kreisringsektor)
5.8.6.1. Länge b des Kreisringausschnitts
5.8.6.2. Fläche des Kreisringausschnitts
5.9. Kreiszone und Kreiskeil
5.9.1. Kreiszone
5.9.2. Kreiskeil

6. Zwei Kreise in der Ebene
6.1. Fallunterscheidungen
6.2. Schnitt zweier Kreise
6.2.1. Winkel, Sehne und Höhen
6.2.1.1. Winkel
6.2.1.2. Länge der gemeinsamen Sehne
6.2.1.3. Stichhöhen der Segmente
6.2.2. Durchschnitt zweier Kreise
6.2.2.1. Winkel
6.2.2.2. Segmentflächen
6.2.3. Tangenten an zwei sich nicht berührende Kreise
6.2.3.1. Äußere Tangenten
6.2.3.2. Technische Anwendung: Gerader Riemenantrieb
6.2.3.3. Innere Tangenten
6.2.3.4. Technische Anwendung: Gekreuzter Riemenantrieb

7. Quadratur des Kreises
7.1. Geometrische Lösung unmöglich
7.2. Mathematische Lösung
7.2.1. Flächengleichheit von Kreis und Quadrat
7.2.2. Überlagerung des Kreises mit flächengleichem Quadrat
7.2.2.1. Sehnenlänge und Stichhöhe
7.2.2.2. Verhältnis der Sehnenlänge zur Quadratseite
7.2.2.3. Winkel
7.2.2.4. Segmentfläche
7.2.2.5. Nachweis, dass A = E

8. Kreise in der analytischen Geometrie
8.1. Koordinatensysteme
8.1.1. Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten
8.1.2. Orthogonales Rechtssystem
8.1.3. 3D-Koordinaten
8.2. Koordinatentransformation
8.2.1. Koordinaten aus Radius und Winkel
8.2.2. Winkel aus Koordinaten x und y
8.2.3. Tangens des halben Winkels aus Koordinaten
8.3. Kreisgleichungen
8.3.1. Abstand zweier Punkte
8.3.2. Kreisgleichungen
8.3.3. Gültigkeitsbereich der Kreisgleichungen
8.3.4. Quadratwurzeln haben immer zwei Lösungen
8.3.5. Die Mittelpunktsgleichung des Kreises
8.3.6. Die allgemeine Kreisgleichung
8.3.7. Die Scheitelgleichung des Kreises
8.3.8. Die Parametergleichung
8.3.8.1. Berechnung von Kreiskleinpunkten
8.3.8.2. Näherungsformel
8.3.8.3. Beispiel
8.4. Der Kreis im Polarkoordinatensystem
8.4.1. Allgemeines zu Polarkoordinaten
8.4.2. Kreisgleichungen im Polarkoordinatensystem
8.4.2.1. Pol im Mittelpunkt des Kreises
8.4.2.2. Pol in beliebiger Lage
8.4.2.3. Polarachse geht durch den Mittelpunkt des Kreises
8.4.2.4. Pol auf der Kreislinie
8.5. Kreis durch drei gegebene Punkte
8.5.1. Bezeichnungen
8.5.2. Herleitung der Vektorgleichungen
8.5.3. Beispiel der Kreisberechnung aus drei Punkten

9. Hilfsmittel zum Zeichnen von Kreisen
9.1. Der Zirkel
9.2. Kreis- und Bogenschablonen
9.3. Schnur und Latte als Zirkelersatz
9.4. Zeichnen von Kreisen in der Werkstatt
9.4.1. Zeichnen eines Kreises durch zwei gegebene Punkte
9.4.1.1. Vorgang
9.4.1.2. Abmaß
9.4.2. Zeichnen eines Kreises durch drei gegebene Punkte
9.4.2.1. Vorgang
9.4.2.2. Abmaß
9.4.2.3. Theoretische Grundlage des Verfahrens

10. Geometrie der ebenen Dreiecke
10.1. Ungleichungen des Dreiecks
10.1.1. Behauptung
10.1.2. Beweis
10.1.3. Anschaulicher Beweis:
10.2. Ähnlichkeit
10.3. Die Summe der Innenwinkel im Dreieck
10.3.1. Mathematischer Beweis für ein n-Eck (Polygon)
10.3.2. Zeichnerischer Beweis für das Dreieck
10.4. Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
10.4.1. Schnittpunkt der drei Höhen
10.4.1.1. Schnittwinkel der Höhen
10.4.1.2. Grundlagen weiterer Formeln
10.4.2. Umkreismittelpunkt: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
10.4.3. Inkreismittelpunkt: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
10.4.4. Schwerpunkt: Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
10.4.4.1. Mathematischer Beweis der Schwerpunktlage
10.4.4.2. Zeichnerische Ermittlung des Schwerpunkts
10.5. Der Feuerbachkreis (Neunpunktekreis)
10.5.1. Die Punkte des Feuerbachkreises
10.5.2. Die Beziehungen der Punkte zueinander
10.5.3. Sonderpunkte des Feuerbachkreises
10.5.4. Vertiefung des Themas (Hinweise)

11. Das rechtwinklige Dreieck
11.1. Benennungen
11.2. Das Thalesdreieck
11.2.1. Definition
11.2.2. Teilung des rechtwinkligen Dreiecks
11.3. Der Satz des Pythagoras
11.3.1. Der Lehrsatz
11.3.2. Beweise
11.3.2.1. Beweis durch Parallelverschiebung von Flächenelementen
11.3.2.2. Indische Beweise (1) und (2)
11.3.2.3. Arithmetischer Beweis
11.4. Pythagoreische Tripel
11.4.1. Definition
11.4.2. Praktische Anwendung
11.5. Der Satz des Euklid
11.6. Der Höhensatz
11.7. Der Hauptsatz des Euklid
11.7.1. Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras
11.7.2. Beweis des Hauptsatzes des Euklid
11.7.3. Beispiel mit Halbkreisen
11.7.4. Beispiel mit Vollkreisen
11.7.5. Die Möndchen des Hippokrates

12. Lehrsätze für ebene Dreiecke
12.1. Spitzwinkliges und stumpfwinkliges Dreieck
12.2. Der Sinussatz
12.2.1. Herleitung des Sinussatzes
12.2.2. Sätze des Euklid zum Sinussatz
12.3. Der Kosinussatz
12.4. Umfang und halber Umfang
12.5. Die Heronische Formel
12.6. Gleichseitiges Dreieck (Sonderfall)
12.6.1. Umfang und halber Umfang
12.6.2. Höhe
12.6.3. Fläche

13. Anwendung der Dreieckformeln
13.1. Berechnungsfälle
13.2. Berechnungsablauf und Formeln
13.3. SSS - Drei Seitenlängen
13.4. ASA - Eine Seitenlänge und zwei anliegende Winkel
13.5. SAA - Eine Seitenlänge und zwei Winkel
13.6. SAS - Zwei Seiten und dazwischenliegender Winkel
13.7. Dreiecksberechnung mit dem Taschenrechner
13.7.1. Auswahlmenü DREIB
13.7.2. Ergebnisse

14. Vorwärts- und Rückwärtseinschneiden
14.1. Einleitung
14.2. Vorwärtseinschneiden
14.2.1. Prinzip
14.2.2. Formeln
14.2.3. Voraussetzungen und Einschränkungen
14.2.3.1. Messungen in der Horizontalebene
14.2.3.2. Triangulationsnetze
14.2.3.3. Einfluss der Erdkrümmung bei Triangulationsnetzen
14.3. Rückwärtseinschneiden
14.3.1. Prinzip
14.3.2. Aufgabenstellung
14.3.3. Winkelsummen
14.3.4. Herleitung
14.3.5. Zusammenstellung der Aufgabenstellung und der Lösung
14.3.6. Gültigkeitsgrenzen
14.3.6.1. Bei α + β + γ  180° Problem lösbar
14.3.6.2. Bei α + β + γ = 180° keine Lösung des Problems
14.3.7. Taschenrechnerprogramm

15. Geometrie der Vierecke in der Ebene
15.1. Formen der Vierecke
15.2. Teildreiecke im Viereck
15.3. Innenwinkel im Viereck
15.4. Ungleichungen für das Viereck
15.4.1. Behauptung
15.4.2. Beweis

16. Das Sehnenviereck im Kreis
16.1. Summe der Gegenwinkel im Sehnenviereck
16.1.1. Beweis des Satzes über die Zentriwinkel
16.1.2. Beweis des Satzes über die Peripheriewinkel
16.2. Umfang des Sehnenvierecks
16.3. Fläche des Sehnenvierecks aus den vier Seitenlängen
16.3.1. Herleitung der Formel für das Sehnenviereck:
16.4. Fläche aus Radius und vier Zentriwinkeln
16.5. Seitenlängen aus Radius und vier Zentriwinkeln
16.6. Eckwinkel des Sehnenvierecks aus den Seitenlängen
16.6.1. Aus Diagonale f
16.6.2. Aus Diagonale e
16.7. Diagonalenlängen aus den Seitenlängen
16.8. Umkreisradius aus den vier Seitenlängen
16.9. Kreuzungswinkel der Diagonalen im Sehnenviereck
16.10. Flächeninhalt aus Diagonalen und Kreuzungswinkel
16.11. Diagonalen als Sehnen
16.12. Satz von Ptolemäus für das Sehnenviereck
16.12.1. Rechnerischer Beweis mit den Formeln der Diagonalen
16.12.2. Der geometrische Beweis
16.12.2.1. Vorbereiten des geometrischen Beweises
16.12.2.2. Finden und Auswerten der ähnlichen Dreiecke
16.13. Schwerpunktlage im (Sehnen-)Viereck
16.13.1. Rechnerische Ermittlung der Schwerpunktlage
16.13.2. Zeichnerische Ermittlung der Schwerpunktlage

17. Das beliebige Viereck (Trapezoid)
17.1. Bestimmungsstücke
17.2. Flächeninhalt
17.3. Beziehung zwischen Seitenlängen und Gegenwinkeln
17.4. Berechnung der übrigen Eckwinkel
17.5. Fläche aus Seitenlängen und Gegenwinkeln
17.6. Flächenformel für das allgemeine Viereck
17.7. Ähnlichkeiten zur Heronischen Formel
17.7.1. Allgemeine Formel für beliebiges konvexes Viereck
17.7.2. Sonderfälle

18. Das Tangentenviereck am Kreis
18.1. Beweis des Satzes für das Tangentenviereck
18.2. Umfang des Tangentenvierecks
18.3. Fläche aus den vier Seitenlängen und dem Radius
18.4. Radius aus Fläche und Summe der Gegenseiten
18.5. Fläche aus vier Seitenlängen und zwei Gegenwinkeln
18.6. Schwerpunktlage im Tangentenviereck

19. Parallelogramme und andere Vierecke
19.1. Das Quadrat
19.1.1. Umfang des Quadrats
19.1.2. Flächeninhalt des Quadrats
19.1.3. Diagonalen im Quadrat
19.2. Das Rechteck
19.2.1. Diagonalen im Rechteck
19.2.2. Kreuzungswinkel der Diagonalen
19.2.3. Lotpunkte auf der Diagonale
19.2.4. Umfang des Rechtecks
19.2.5. Flächeninhalt des Rechtecks
19.3. Der Rhombus (die Raute)
19.3.1. Winkel des Rhombus
19.3.2. Diagonalen und Seitenlänge im Rhombus
19.3.3. Umfang des Rhombus
19.3.4. Flächeninhalt des Rhombus
19.3.5. Höhe und Schräge des Rhombus
19.4. Das Rhomboid (gewöhnliches Parallelogramm)
19.4.1. Umfang des Rhomboids
19.4.2. Höhen des Rhomboids
19.4.3. Flächeninhalt des Rhomboids
19.4.4. Diagonalen und Winkel im Rhomboid
19.5. Das Gelenkviereck
19.5.1. Sonderfall beim Gelenkviereck
19.5.2. Getriebelehre (Kinematik)
19.6. Das Drachenviereck
19.6.1. Seiten und Winkel im Drachenviereck
19.6.2. Diagonalen des Drachenvierecks
19.6.3. Umfang des Drachenvierecks
19.6.4. Flächeninhalt des Drachenvierecks
19.7. Das Trapez
19.7.1. Umfang
19.7.2. Höhe des Trapezes
19.7.3. Flächeninhalt des Trapezes
19.7.4. Winkel und Diagonalen im Trapez

20. Körperberechnung (Stereometrie)
20.1. Räumliche Flächen
20.1.1. Krümmung
20.1.2. Gefaltete ebene Flächen
20.1.3. Eulerscher Polyedersatz
20.1.4. Einachsig gewölbt
20.1.5. Zweiachsig (doppelt) gewölbt
20.1.6. Verdrehte Flächen (Torsionsflächen)
20.1.6.1. Definition „windschief“
20.1.6.2. Windschiefe Flächen (Hypar-Flächen)
20.2. Allgemeine Regeln zur Körperberechnung
20.2.1. Prismatoidenformel
20.2.2. Guldinsche Regeln
20.2.2.1. Rotationskörper
20.2.2.2. Räumliche Rotationsflächen

21. Eckige Körper (Polyeder)
21.1. Das Prisma
21.2. Schräg abgeschnittenes Prisma
21.3. Das Prismatoid
21.3.1.1. Kugel als Prismatoid berechnen
21.3.1.2. Kegel als Prismatoid berechnen
21.4. Der Würfel (Hexaeder)
21.4.1. Oberfläche des Würfels
21.4.2. Volumen des Würfels
21.4.3. Diagonalen des Würfels
21.4.4. Einbeschriebene Sechsecke
21.4.5. Einbeschriebene und umbeschriebene Kugel
21.5. Das Parallelepiped und der Quader
21.5.1. Das Parallelepiped
21.5.2. Der Quader
21.6. Die Pyramide
21.6.1. Grundfläche
21.6.2. Höhe
21.6.3. Oberfläche
21.6.4. Volumen
21.6.5. Schwerpunkthöhe bei der Pyramide
21.7. Der Pyramidenstumpf
21.7.1. Oberfläche des Pyramidenstumpfs
21.7.2. Volumen des Pyramidenstumpfs
21.7.3. Schwerpunkthöhe beim Pyramidenstumpf
21.7.4. Ansatz für Volumenformel
21.7.5. Ansatz für statisches Moment
21.7.6. Die Schwerpunkthöhe über der Grundfläche
21.8. Das reguläre Tetraeder
21.8.1. Die Winkel des Tetraeders
21.8.2. Die Höhe des Tetraeders
21.8.3. Das Volumen des Tetraeders
21.8.4. Der Schwerpunkt des Tetraeders
21.9. Das reguläre Oktaeder
21.9.1. Länge der Diagonalen
21.9.2. Oberfläche des Oktaeders
21.9.3. Volumen des Oktaeders
21.9.4. Winkel im Oktaeder
21.10. Das reguläre Ikosaeder
21.11. Das Rhomboeder
21.12. Das Rhombendodekaeder
21.12.1. Seitenlänge des Rhombendodekaeders
21.12.2. Die Winkel im Rhombus
21.12.3. Bauanleitung für ein Karton-Modell
21.12.4. Gedankenmodell
21.12.5. Volumen des Rhombendodekaeders
21.12.6. Oberfläche des Rhombendodekaeders
21.12.7. Einbeschriebene Kugel
21.12.8. Umbeschriebene Kugel
21.12.9. Umschriebener Zylinder des Rhomben-Sechsecks
21.12.10. Kantenkugel
21.12.11. Flächenwinkel
21.12.12. Eckwinkel
21.12.13. Raumwinkel des Rhombendodekaeders
21.12.14. Interessante Betrachtungen zum Rhombendodekaeder

22. Körper mit gekrümmten Außenflächen
22.1. Der allgemeine Zylinder
22.1.1. Gerade Zylinder
22.1.2. Schiefe Zylinder
22.2. Der gerade Kreiszylinder
22.3. Der Zylinderabschnitt (Zylinderhuf)
22.3.1. Geometrie des Zylinderhufs
22.3.2. Die Berechnung des Volumens durch Integralrechnung
22.3.3. Volumenformel mit r, b, h aus Integral
22.3.4. Hilfsvariablen für die Berechnung des Volumens
22.3.5. Herleitung der endgültigen Volumenformel
22.3.6. Berechnung der Mantelfläche
22.3.7. Grenzfall für Zylinderhuf: b=2r
22.4. Der schräg abgeschnittene Kreiszylinder
22.4.1. Der schräge Schnitt
22.4.2. Beidseitig schräg abgeschnittene Zylinder
22.4.3. Volumen der Halbkreishufe am schrägen Schnitt
22.4.3.1. Herleitung über Halbkreis und Halbkreisschwerpunkt
22.4.3.2. Mantelfläche des Halbkreishufs
22.5. Der gerade und der schiefe Kegel
22.6. Der gerade und der schiefe Kegelstumpf
22.7. Kegelschnitte
22.8. Die Ellipse
22.8.1. Kreisgleichung (Grundgleichung)
22.8.2. Ellipsengleichungen
22.8.3. Ellipsenkonstruktion auf dem Papier
22.8.4. Exzentrizität und Brennpunkte der Ellipse
22.8.5. Fadenkonstruktion der Ellipse
22.8.6. Polarkoordinaten für einen Brennpunkt der Ellipse
22.8.7. Die Fläche der Ellipse
22.8.8. Umfang der Ellipse
22.8.9. Die Ellipse als Planetenbahn
22.9. Das Ellipsoid
22.9.1. Rotationsellipsoide
22.9.2. Die Erde als Rotationsellipsoid
22.9.2.1. Das Geoid
22.9.2.2. Das Referenzellipsoid
22.9.2.3. Geografische und geozentrische Breite
22.9.2.4. Umrechnung der geografischen in die geozentrische Breite
22.9.2.5. Anwendung der geozentrischen Breite
22.9.2.6. Erdradius
22.9.2.7. Berechnung des Erdradius
22.9.2.8. Berücksichtigung der Höhe über NN
22.9.3. Echtes Ellipsoid
22.10. Die Kugel
22.10.1. Oberfläche der Kugel
22.10.2. Volumen der Kugel
22.10.3. Kugelzweieck
22.10.4. Kugelabschnitt, Kugelsegment
22.10.5. Kugelkappe
22.10.6. Kugelsegment
22.10.6.1. Volumen V1
22.10.6.2. Volumen V2
22.10.7. Kugelausschnitt, Kugelsektor
22.10.8. Kugelschicht (Kugelzone)
22.10.8.1. Vorkommende Formen
22.10.8.2. Festlegungen
22.10.8.3. Parallele Kugelschichten (Kugelzonen)
22.10.8.4. Berechnungsgrundsatz
22.10.8.5. Parallele Kugelschicht aus Kugelradius und Stichhöhen
22.10.8.6. Parallele Kugelschicht aus Kleinkreisradien und Schichthöhe
22.10.8.7. Nicht parallele Kugelschichten (Kugelzonen)
22.11. Kugelring
22.11.1. Geometrische Zusammenhänge
22.11.2. Definition des Kugelrings
22.11.3. Bezeichnungen und Formeln
22.11.4. Herleitung als Rotationskörper
22.11.5. Herleitung aus Kugelschichtvolumen minus Bohrung
22.11.6. Lehrsatz für alle Kugelringe
22.11.7. Verhältnis der Volumina von Kugelring und Kugel
22.11.8. Flankenwinkel der Ringkante
22.11.9. Oberfläche des Kugelrings
22.11.10. Berechnung der Ringaußenfläche
22.11.11. Berechnung der Ringinnenfläche
22.11.12. Gesamtoberfläche des Kugelrings
22.12. Ring mit kreisförmigem Querschnitt (Torus)
22.12.1. Oberfläche des Torus
22.12.2. Volumen des Torus

23. Vektorrechnung
23.1. Notation der Vektoren
23.1.1. Vektornamen
23.1.2. Punktnamen
23.1.3. Vektordarstellung und Komponentenschreibweise
23.2. Geometrische Begriffe
23.2.1. Definition des Vektors
23.2.2. Vektorkomponenten
23.2.3. Gegenvektor
23.2.4. Nullvektor
23.2.5. Einheitsvektor
23.2.6. Betrag eines Vektors
23.2.7. Freie Vektoren oder Richtungsvektoren
23.2.8. Gebundene Vektoren (Ortsvektoren)
23.3. Vektorformeln
23.3.1. Vektoren im dreidimensionalen Koordinatensystem (3D)
23.3.2. Definierte Operationen mit Vektoren
23.3.2.1. Addition und Subtraktion
23.3.2.2. Multiplikation
23.3.2.3. Division
23.3.3. Addition und Subtraktion zweier Vektoren
23.3.4. Halbe Summe und halbe Differenz zweier Vektoren
23.3.5. Vektorketten und Vektorgleichungen
23.3.6. Schwerpunktlage eines Dreiecks über Vektorkette
23.3.7. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
23.3.8. Skalarprodukt zweier Vektoren
23.3.9. Winkel zwischen zwei Vektoren aus dem Skalarprodukt
23.3.10. Drehung eines Vektors um 90°
23.3.11. Beweis des Pythagoras mit dem Skalarprodukt
23.3.12. Kreuzprodukt zweier Vektoren
23.3.13. Eigenschaften des Normalenvektors
23.3.14. Normalenvektor aus Kreuzprodukt
23.3.15. Kollineare Vektoren
23.3.16. Komplanare Vektoren
23.3.17. Berechnung des Kreuzprodukts aus den Vektorkomponenten
23.3.17.1. Schema 1
23.3.17.2. Schema 2
23.3.17.3. Manuelle Berechnung des Kreuzprodukts als Beispiel
23.3.17.4. Kreuzprodukt mit dem Taschenrechner HP 50g
23.3.18. Flächeninhalt eines Dreiecks aus Kreuzprodukt
23.3.19. Positiver Umlaufsinn der Eckpunkte des Dreiecks
23.3.20. Spatprodukt dreier Vektoren
23.3.21. Erläuterung des Spatprodukts
23.3.22. Volumen eines Tetraeders aus Spatprodukt
23.3.23. Ortsvektor zum Schwerpunkt eines Tetraeders im Raum
23.3.24. Schnittlinie und Schnittwinkel zweier Ebenen

24. Das ebene Dreieck im Raum
24.1. Bezeichnungen der Punkte und Vektoren
24.2. Vektoren der Dreieckseiten
24.3. Elemente im Dreieck
24.3.1. Seitenlängen
24.3.2. Innenwinkel im Dreieck
24.4. Flächeninhalt
24.5. Schwerpunktlage
24.6. Flächenneigung und Falllinie
24.6.1. Neigung einer Ebene
24.6.2. Falllinie einer geneigten Ebene
24.7. Sonstige Dreieckswerte
24.8. Das schräg abgeschnittene Dreikantprisma
24.8.1. Deckfläche
24.8.2. Grundfläche
24.8.3. Volumen des Dreikantprismas
24.8.3.1. Mathematischer Beweis für die mittlere Höhe
24.8.3.2. Anschaulicher Beweis für die mittlere Höhe

25. Räumliche Dreiecksnetze
25.1. Einleitung
25.2. Punkte im Raum
25.3. Koordinatensystem
25.4. Dreiecke im Raum
25.5. Erzeugung von Dreiecksnetzen
25.6. Anwendungsverfahren in der Praxis
25.6.1. Dreiecksnetze und Bezugsebene
25.6.2. Berechnungsgebiet
25.6.2.1. Horizonte
25.6.2.2. Bezugsebene
25.6.3. Prinzip der Volumenberechnung aus Prismen
25.6.4. Berechnungsmethode
25.6.4.1. Vorbereitung (Datenerfassung)
25.6.4.2. Berechnung
25.6.4.3. Ergebnisausgabe

26. Sphärische Trigonometrie
26.1. Bezeichnungen und Bedingungen
26.2. Begriffe der sphärischen Trigonometrie
26.2.1. 3D-Koordinaten auf der Kugel
26.2.2. Oberflächenkoordinaten auf der Kugel
26.2.3. Die Erdoberfläche, ein Geoid und Rotationsellipsoid
26.2.4. Großkreise und Kleinkreise
26.2.5. Winkelmessungen
26.2.6. Der sphärische Abstand
26.2.7. Die sphärische Längenmessung
26.2.8. Das sphärische Zweieck
26.3. Das allgemeine Kugeldreieck (sphärisches Dreieck)
26.3.1. Eulersches Dreieck
26.3.2. Scheiteldreieck und Nebendreiecke
26.3.3. Umfang des Eulerschen Dreiecks
26.3.3.1. Herleitung des Grenzwerts
26.3.3.2. Anschauliche Erklärung der Grenzwerte
26.3.4. Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks
26.4. Hauptsätze zur Berechnung des Kugeldreiecks
26.4.1. Vorbemerkungen
26.4.2. Der Sinussatz
26.4.3. Der Seitenkosinussatz
26.4.4. Der Winkelkosinussatz
26.5. Das rechtwinklige Kugeldreieck
26.5.1. Die Gleichungen des rechtwinkligen Kugeldreiecks
26.5.2. Die Nepersche Regel
26.6. Großkreisbögen auf der Erdoberfläche
26.6.1. Einleitung
26.6.2. Begriffe und Bezeichnungen
26.6.3. Erdradius für Großkreisbogen
26.6.4. Bogenlänge zwischen zwei Punkten
26.7. Kurswinkel
26.8. Beispiele mit dem Taschenrechner
26.8.1. Beispiel Großkreisbogen München-London
26.8.2. Beispiel Großkreisbogen an der Datumsgrenze
26.8.3. Beispiel Direktflug Paris-München und München-Paris

27. Der Raumwinkel
27.1. Definition des Raumwinkels
27.2. Bezeichnungen
27.3. Mathematische Zusammenhänge beim Raumwinkel

27.4. Beliebige Form der Teilfläche einer Kugel
27.5. Raumwinkel einer Kugelkappe (Kugelkalotte)
27.6. Kugelrechteck (herausgeschnittene Pyramide)
27.6.1. Definition eines Kugelrechtecks
27.6.2. Raumwinkel des Kugelrechtecks (Pyramide)
Beispiel für Kugeldreieck
27.7. Beispiel für Kugelrechteck
27.8. Anmerkungen zur Berechnung des Raumwinkels
27.8.1. Berechnung der Teilflächen einer Kugel

28. Kreissegment-Tabelle

29. Anhang
29.1. Literaturverzeichnis
29.2. Das griechische Alphabet
29.3. Verzeichnis der Formeln
29.4. Verzeichnis der Bilder
29.5. Tabellenverzeichnis
29.6. Alphabetisches Stichwortverzeichnis (Index)

Impressum

Verfasser:

Otto Praxl

Titel des Buches:

Erläuterte Formeln der ebenen und räumlichen Geometrie

Untertitel:

Praxelius-Formelsammlung

Internetseite des Verfassers:

http://www.praxelius.de (Praxelius-Homepage) ist eine Internetseite mit wissenschaftlichen In- halten. Außerdem sind dort die aktuellen Kontaktdaten des Verfassers zu finden.

Urheberrecht:

Dieses Buch ist urheberrechtlich geschützt (Urheberrechtsgesetz UrhG vom 9. September 1965 in der Fassung vom 13. September 2003).

Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich zugelassenen Fälle bedarf einer vorherigen schriftlichen Vereinbarung mit dem Verfasser.

Sämtliche Werknutzungsrechte liegen beim Verfasser. Alle Rechte vorbehalten! Layout und Gestaltung (mit Microsoft WORD™ 2007):

Otto Praxl.

Veröffentlichung:

Bei GRIN Verlag GmbH, Nymphenburger Str. 86, D-80636 München,

Haftungsausschluss:

Das Buch wurde sehr sorgfältig zusammengestellt. Trotzdem können Fehler enthalten sein. Für evtl. Fehler und daraus resultierende Nachteile übernimmt der Verfasser keine Haftung.

Fehlerberichtigung:

Fehlerhinweise bitte an den Verfasser senden zur Ergänzung der Fehlerberichtigungsdatei auf der Praxelius-Homepage.

Internet-Quellen:

Die Fundstellen im Internet (Internet-Links) werden ohne Gewähr angegeben, weil sie sich schnell ändern können.

Bildnachweise:

Alle Bilder stammen vom Verfasser (Urheber).

Titelbild: Das ebene Dreieck im Raum (Seite 255).

Letztes Bearbeitungsdatum: 27.05.2015

Bearbeitungskennzeichen: Fo-496545-137

Vorwort

Was wird in der Praxis gebraucht?

In der täglichen Praxis benötigen die Anwender von Formeln, vom Schüler bis zum Wissenschaftler, nicht nur die Formeln allein, sondern auch die mathematischen Grundlagen und Zusammenhänge, wenn sie die Eignung einer Formel für ein bestimmtes Problem überprüfen wollen.

Was bietet dieses Buch?

Die Formeln vieler geometrischer Figuren und Körper sind in diesem Buch zusammengefasst und erläutert. Es handelt sich in der Hauptsache um Kreise, Dreiecke, Vierecke und andere Polygone in der Ebene und in räumlichen Gebilden. Hier werden die mathematischen und geometrischen Hintergründe angegeben, die den Formeln zugrundeliegen. Aus Platzgründen können nicht alle allgemein bekannten Formeln erwähnt werden, hier werden insbesondere die Formeln aufgeführt, deren mathematischer Hintergrund erläutert werden muss.

Zur Erläuterung der Formeln werden die Grundlagen, Lehrsätze, Begriffe und Definitionen der ebe- nen Geometrie und der Trigonometrie sowie die Berechnungsmethoden der Vektorrechnung, der sphärischen Trigonometrie und der räumlichen Geometrie erläutert und in der praktischen Anwen- dung gezeigt. Herleitungen und Beweise werden mit allen Zwischenrechnungen ausführlich darge- stellt.

Dieses Buch soll kein mathematisches Lehrbuch ersetzen, deshalb werden nur die für das Verständnis der Formeln unbedingt erforderlichen Grundlagen erläutert. Die zwangsläufig verbleibenden Lücken in der Darstellung der Grundlagen werden bewusst in Kauf genommen. Wer tiefer einsteigen will, schlage in der mathematischen Literatur nach.

Welche Vorkenntnisse sind erforderlich?

Voraussetzung zum Verständnis des Inhalts ist ein gutes mathematisches Grundwissen. Bei den Herleitungen der Formeln werden bekannte Lehrsätze und Formeln verwendet, die vorher schon ir- gendwo nachvollziehbar bewiesen worden sind. Sie werden als bekannt vorausgesetzt. Für einige Herleitungen wird die Integralrechnung benutzt, die aber für die Anwendung der Formeln nicht nö- tig ist.

Wie findet man die Formeln?

Eine Kapitelübersicht und ein ausführliches Inhaltsverzeichnis am Anfang des Buches und die Verzeichnisse der Bilder, Formeln und das alphabetische Stichwortverzeichnis (Index) im Anhang bieten eine gute Übersicht und ermöglichen das schnelle Finden der gewünschten Formeln und Texte. Außerdem sind im Text zahlreiche Querverweise mit Seitenangaben eingestreut, die das Arbeiten mit dem Buch erleichtern sollen. Das Literaturverzeichnis enthält Hinweise auf grundlegende Literatur zu den behandelten Themen.

Der Verfasser hofft, mit dieser erläuterten Formelsammlung eine Lücke füllen zu können.

Unterschleißheim, im Mai 2015

Otto Praxl

Quae legeris, memento.

Behalte im Gedächtnis, was du gelesen hast.

Sententiae Catonis 27

http://www.praxelius.de

1. Einleitung

1.1. Anmerkung zu Beweis und Herleitung von Formeln

Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind. Ein Axiom ist ein keines Beweises bedürfender Grundsatz. Allgemein werden die beiden Begriffe „Beweis“ und „Herleitung“ als gleichbedeutend angesehen.

Wir machen aber doch einen kleinen Unterschied: Wenn eine Formel vorliegt, beweisen wir sie, indem wir sie herleiten und das Ergebnis mit der gegebenen Formel vergleichen. Liegt für ein Problem noch keine Formel vor, muss sie aufgrund von Axiomen neu entwickelt werden. Die Herleitung zeigt nachvollziehbar den Weg vom Ansatz bis zur fertigen Formel.

Beweise und Herleitungen von Formeln stützen sich außer auf Axiome vor allem auf schon bekannte und als wahr vorausgesetzte Lehrsätze und Formeln der anschaulichen Geometrie, die nicht noch einmal bewiesen werden. Auf den üblichen mathematischen Formalismus bei der Formulierung der Voraussetzungen für die Beweise wird verzichtet, als Grundlage dienen stattdessen geometrische Figuren mit allen nötigen Bezeichnungen.

Wichtig ist vor allem, dass durch die Herleitungen, ob im Rahmen eines Beweises oder einer Neuentwicklung, die Zusammenhänge klar werden und die Voraussetzungen, unter denen die Formeln eingesetzt werden können, deutlich formuliert werden. Die Anwender können auf diese Weise die Eignung oder Nichteignung einer Formel für die Lösung ihres Problems leicht erkennen.

1.2. Abkürzungen, Bezeichnungen und Formelzeichen

Es ist sehr wichtig, dass die Bedeutung der Abkürzungen und Begriffe, die Bezeichnungen und die Schreibweise der Formelzeichen (Variable, Konstante) im gesamten Buch einheitlich sind. Es ist sehr lästig, wenn dieselbe Bezeichnung in der einen Formel etwas anderes bedeutet als in einer an- deren Formel.

Deshalb hat sich der Verfasser bemüht, die Einheitlichkeit im gesamten Text zu wahren. Bei der begrenzten Anzahl von Buchstaben lässt es sich aber nicht vermeiden, manche davon mehrfach zu verwenden. Wenn aufgrund bereits eingeführter und allgemein bekannter Formelzeichen in ver- schiedenen Fachgebieten die gleiche Bezeichnung für verschiedene Begriffe oder eine andere Be- zeichnung für die gleichen Begriffe üblich ist, wird dies in folgender Tabelle besonders angemerkt und auch im Text erläutert.

1.2.1. Bemerkungen zur Schreibweise

Die in Formeln verwendeten Variablennamen und Konstantennamen sind in kursivem Fettdruck dargestellt. Nicht kursiv dargestellte Buchstabenfolgen sind Namen von Maßeinheiten oder andere Bezeichnungen.

Vektoren werden in der mathematischen Literatur üblicherweise mit Sonderschriftzeichen (z. B. Frakturbuchstaben, Zeichen mit übergesetztem Pfeil) bezeichnet. Hier in diesem Buch werden Vek- toren durch kursive Buchstaben der im Buch verwendeten Schriftarten („Times New Roman“ und „Symbol“) mit Fettdruck und Unterstreichung (z. B. A, B, C, a, b, c, n, v) gekennzeichnet.

1.2.2. Tabelle der Formelzeichen mit Erläuterungen

Tabelle 1: Zusammenstellung der Abkürzungen, Formelzeichen, Bezeichnungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.3. Berechnungshilfsmittel

1.3.1. Zahlensysteme

Zahlensysteme (Lit.¹² ) sind Hilfsmittel zur Berechnung von Zahlenwerten. Euklid (Lit.¹⁶ ) und Archimedes (Lit.⁴ ) mussten noch mit unzulänglichen Zahlendarstellungen auskommen. Die bei uns üblichen arabischen Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9 gab es damals noch nicht.

Der Ursprung unserer heutigen Zahlzeichen (Ziffern) und unseres Zahlensystems (Stellenwertsys- tem, auch Dezimalsystem genannt) stammt aus Indien. Die Inder kannten schon im 8. Jahrhundert

n. Chr. die Ziffern 1 bis 9 und die Null, die als kleiner Kreis dargestellt wurde. Dies ermöglichte die Stellenschreibweise. Mit den Arabern kamen diese Ziffern über Spanien nach Europa (arabische Ziffern genannt). Allerdings war das Dezimalsystem schon lange vorher bekannt und wurde seit Jahrhunderten benutzt, ohne dass man unsere Ziffern brauchte. Der Abakus (Seite 24) der Römer und Chinesen ist ein Beispiel dafür.

1.3.1.1. Zahlarten

Zur Einführung in die „Geschichte des Zahlbegriffs“ und in die Rechenregeln für die verschiedenen Zahlarten wird das Buch „Elementare Grundlagen der Analysis“ von Wolfgang Rautenberg (Lit.¹⁵ ) empfohlen. Es kann manche theoretischen Zusammenhänge erläutern, für die hier in diesem Buch nicht der richtige Platz ist.

Ganze Zahlen (Integerzahlen)

Der normale Umgang mit Zahlen ist die Rechnung mit natürlichen Zahlen, die in ihrer Gesamtheit mit ℕ bezeichnet werden. Die Zahlenrechnung mit natürlichen Zahlen haben wir in der Schule ge- lernt. Mit großen natürlichen Zahlen (engl.: integer) ist die Rechnung ohne Hilfsmittel mühsam.

Reelle Zahlen (Kommazahlen)

Reelle Zahlen sind Dezimalzahlen mit Kommastellen, deren Gesamtheit mit  dargestellt wird. Die Zahl der Kommastellen hängt von der erforderlichen Genauigkeit ab. Taschenrechner rechnen mit 12 signifikanten Stellen (siehe Abschnitt 1.3.1.2 auf Seite 24).

Rationale Zahlen (Brüche)

Manchmal ist es besser, eine Zahl als Bruch hinzuschreiben, als sie durch viele Kommastellen dar- zustellen. Die Division zweier Zahlen ist stets ausführbar, wenn der Divisor (= Nenner) nicht null ist. Die Quotienten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] heißen rationale Zahlen, die in ihrer Gesamtheit mit ℚ bezeich- net werden. In der Schule haben wir gelernt, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine Teilungsanweisung ist, wobei a durch b

zu teilen ist, wenn a der Zähler und b der Nenner ist. Der Nenner darf nicht null werden, wenn die Anweisung ausführbar bleiben soll.

Die Schreibform [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nennt man Bruch, deshalb wird das Rechnen mit rationalen Zahlen auch als Bruchrechnung bezeichnet. Normalerweise verwendet man einen waagrechten Bruchstrich. Man kann auch die platzsparende Schreibform wählen, indem man a/b mit schrägem Bruchstrich oder a:b als Verhältnis schreibt. Die Brüche werden nicht immer sofort als Teilungsanweisungen ausgeführt, sondern bleiben in den Formeln meist als Brüche mit Variablen in Zähler und Nenner stehen. Erst bei der Auswertung der Formel, wenn für die Variablen Zahlenwerte eingesetzt werden, können die Teilungsanweisungen ausgeführt werden.

1.3.1.2. Genauigkeit

Genaue Berechnungen sind mit ausreichend vielen signifikanten Stellen (Ziffern) durchzuführen. Signifikant sind die Ziffern (engl.: digits), die übrig bleiben, wenn bei einer Zahl die vorderen und hinteren Nullen weggestrichen werden, das Komma wird nicht gezählt (siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Signifikante_Stellen).

Die Nullen zwischen den Ziffern zählen aber mit. Zahlenbeispiele mit 12 signifikanten Stellen:

0,000000001234560007890000 = 1,23456000789·10-⁹ ;

100,23450678900 = 1,00234506789·10².

Die auf Seite 26 abgebildeten Taschenrechner verwenden für reelle Zahlen 12 signifikante Stellen. Diese Genauigkeit ist für die meisten wissenschaftlichen Berechnungen von Ingenieuren und Wissenschaftlern ausreichend.

1.3.1.3. Rundung der Zahlen

Es hat keinen Sinn, bei den Ergebnissen einer Berechnung zu viele Stellen „mitzuschleppen“, die für ein vernünftiges und brauchbares Ergebnis nicht notwendig sind. Der Anwender sollte sich im- mer fragen, wie genau ein Ergebnis von den Eingabewerten her sein kann. Wenn die Eingabewerte schon in der fünften oder sechsten Kommastelle ungenau sind, hat es keinen Sinn, die anderen be- teiligten Variablen oder Konstanten hochgenau einzusetzen. Wenn im Ergebnis mehr signifikante Stellen als nötig vorhanden sind, dann wird die Zahl auf die gewünschte Stellenzahl gerundet.

Für die meisten Berechnungen genügen 12 signifikante Stellen für das Ergebnis.

1.3.2. Geräte und Maschinen für die Zahlenrechnung

Zu Zeiten der alten Mathematiker gab es außer dem Abakus keine mechanischen Hilfsmittel zur Zahlenrechnung. Genaue Berechnungen waren früher wegen dieser fehlenden Hilfsmittel kaum möglich.

Archimedes musste alles manuell oder mit dem Abakus berechnen und mit irgendwelchen Zahlensymbolen aufschreiben, denn unsere Ziffern 0 bis 9 waren zu seiner Zeit noch nicht erfunden und die römischen Zahlen eignen sich schlecht zum Rechnen. Dennoch berechnete er die Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aus einem 96-Eck von Hand und gab sie als Bruch an (siehe Abschnitt 4.2.2 auf Seite 46).

Euklid definierte alle seine Lehrsätze geometrisch, ohne Zahlenwerte zu benutzen. Wenn er welche benutzte, gab er sie als rationale Zahl (als Bruch oder als Verhältnis) an.

1.3.2.1. Abakus

Der Abakus als Hilfsgerät für die vier Grundrechenarten (Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren) ist seit Jahrtausenden bekannt. Ursprünglich wurden Steinchen (lat.: calculi) auf einem Brett (Rechenbrett) verwendet, später wurden kunstvolle Geräte daraus. Im Orient heißt er Suapan. Dort wird er heute noch verwendet.

Es gibt die verschiedensten Modelle des Abakus, die sich in Größe und Materialqualität unterscheiden. Er braucht keine Batterien und ist sehr robust.

Im Notfall zeichnet man ein paar Linien in den Sand, verwendet die besagten Steinchen (oder andere kleine Gegenstände) und man kann sofort damit rechnen. Bild 1 zeigt einen 9-stelligen chinesischen Abakus in Messingausführung, 80 × 45 mm groß.

Bild 1: Abakus (zeigt die Zahl 1986)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.3.2.2. Rechenschieber, Rechenmaschinen, Logarithmentafeln

Im Mittelalter kamen die mechanischen Rechenmaschinen, die Logarithmentafeln und der logarithmische Rechenschieber dazu. Die mechanischen Rechenmaschinen beherrschen lediglich die vier Grundrechenarten und kommen auf eine Genauigkeit von maximal 8 Stellen.

Bild 2: Rechenschieber ARISTO STUDIO 868, 12,5 cm, Vorderseite

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 3: Rechenschieber ARISTO STUDIO 868, 12,5 cm, Rückseite

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Logarithmische Rechenschieber (Bild 2 und Bild 3) bieten zwar die erforderlichen mathematischen und trigonometrischen Funktionen, erreichen aber in der Genauigkeit der Zahlen nur 3 ablesbare Ziffern, was für die erforderliche Genauigkeit mancher Berechnungen nicht ausreicht. Anweisungen zum Gebrauch des Rechenschiebers findet man in Lit.⁵, dort auf den Seiten 73 bis 75.

1.3.2.3. Wissenschaftliche Grafik-Taschenrechner

Wissenschaftliche Taschenrechner gibt es von verschiedenen Herstellern. Die in Bild 4 und Bild 5 gezeigten HP-Taschenrechner sind programmierbar und bieten die mathematischen Funktionen und Möglichkeiten, um genaue Berechnungen ohne großen Aufwand programmieren und durchführen zu können. Diese Taschenrechner können über ein USB-Kabel an ein Computersystem angeschlos- sen werden.

Die Berechnungen für die Beispiele in diesem Buch wurden mit einem programmierbaren wissenschaftlichen HP-Taschenrechner (HP 49G oder HP 50g) durchgeführt. Beschreibungen der praktischen Handhabung dieser Taschenrechner sind in Lit.¹¹, zu finden.

Mit selbst programmierten oder in den Taschenrechner geladenen (importierten) Programmen (z. B. die Bibliothek¹ LIB 902 LONGFLOAT von Gjermund Skailand ) lassen sich die Zahlenbereiche wesentlich erweitern. Die Stellenzahl der reellen Zahlen auf dem Taschenrechner lässt sich auf mehrere tausend Stellen voreinstellen.

Die Bibliothek LIB 902 ist unter http://www.hpcalc.org/hp49/math/numeric/lf393.zip zu finden. Die Dokumentation ist englischsprachig.

Bild 4: HP-Taschenrechner HP 50g

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 5: HP-Prime-Emulator

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.3.2.4. HP-Prime mit Geometrie-Apps

Der Taschenrechner HP-Prime (siehe Bild 5) ist ein neuerer wissenschaftlicher Grafiktaschen- rechner mit einem berührungssensitiven Farbbildschirm. Auf dem Rechner laufen viele mitgeliefer- te Apps (App = Applikation = Anwendungsprogramm). Man kann auch Apps selbst programmie- ren.

Der Bildschirm in Bild 5 zeigt den oberen Teil der Auflistung der mitgelieferten Apps. Die dort markierte Geometrie-App bietet u.a. die Funktionen:

- Zoom (verkleinern, vergrößern, rückgängig, Rechteck ziehen),
- Punkt und Linie,
- Polygone (Dreiecke, Vierecke usw.),
- Kurve (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel u.a.),
- Kurven beliebiger mathematischer Funktionen,
- Umwandlung (Parallelverschiebung, Spiegelung, Drehung, Streckung, Projektion, Inversi- on),

nur um einige wenige davon zu nennen.

Auf dem Bildschirm kann man mit dem Finger oder einem Stift zeichnen, Linien ziehen, klicken und Bildschirmmenüs bedienen. Selbstverständlich reagiert er auch auf Funktionsaufrufe über die Computer-Tastatur und über Cursorsteuerung per Taschenrechner-Tastatur.

Auf der Original-HP-Webseite gibt es die Emulation des HP-Prime zum Herunterladen. Sie funktioniert auf Windows-PCs. Mit dieser Emulation kann man alles machen, was mit dem Original-HP- Prime auch möglich ist, nur anstelle des Fingers nimmt man die Maus.

Mit der Emulation kann man intern mit dem PC und extern über USB-Kabel mit dem Originalgerät kommunizieren und alle Berechnungen und Zeichnungen auf den PC übernehmen.

1.3.2.5. Computer (PC-Systeme)

Wenn auf PC-Systemen Taschenrechner-Emulationen der genannten Taschenrechner oder professionelle Rechner-Apps laufen, können genaue Berechnungen durchgeführt werden.

Auch mit dem Rechner (calc.exe) des Windows-Betriebssystems lassen sich im Wissenschaftsmodus Berechnungen mit 32 signifikanten Stellen durchführen. Diese hohe Genauigkeit erreicht kein Taschenrechner im Normalbetrieb.

Bild 6 zeigt die Berechnung des Wertes sin 18°.

Bild 6: Rechner des Betriebssystems Windows

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.4. Mittelwerte

Siehe auch den Artikel „Mittelwert“ unter http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert.

Wenn man von irgendwelchen Zahlen das Mittel ausrechnen soll, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Wir verwenden für den Mittelwert hier den Kleinbuchstaben m mit entsprechendem Index. In der Statistik wird für Mittelwerte ein überstrichener Kleinbuchstabe, z. B.x, verwendet.

1.4.1. Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist der bekannteste Mittelwert: Einfach alle Zahlen addieren und durch ih- re Anzahl dividieren. Sind also n (nicht notwendig verschiedene) reelle Zahlen a1, a2, …, an gege- ben, so heißt

Formel 1: Arithmetisches Mittel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

das arithmetisches Mittel von a1, a2, …, an .

1.4.2. Geometrisches Mittel

Sind a und b zwei nicht negative Zahlen, so heißt

Formel 2: Geometrisches Mittel zweier Zahlen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

das geometrische Mittel von a und b oder auch die mittlere Proportionale von a und b.

Das geometrische Mittel zweier Zahlen a und b liefert die Seitenlänge eines Quadrates, das den gleichen Flächeninhalt hat wie das Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Diese Tatsache wird durch die geometrische Quadratur des Rechtecks veranschaulicht.

Genauso entspricht das geometrische Mittel bei drei Zahlen der Seitenlänge eines Würfels, der volumengleich ist zu dem Quader (Seite 184) mit seinen drei Seitenlängen.

Man kann auch ein Produkt aus n Zahlen bilden und daraus die n-te Wurzel ziehen, dann ist es das geometrische Mittel dieser n Zahlen:

Formel 3: Geometrisches Mittel von n Zahlen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.4.3. Quadratisches Mittel

Sind n (nicht notwendig verschiedene) reelle Zahlen a1, a2, …, an gegeben, so heißt Formel 4: Quadratisches Mittel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

das quadratische Mittel von a1, a2, …, an.

1.4.4. Harmonisches Mittel

Sind n (nicht notwendig verschiedene) reelle Zahlen a1, a2, …, an gegeben, so heißt Formel 5: Harmonisches Mittel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

das harmonische Mittel von a1, a2, …, an .

1.4.5. Gewogenes (gewichtetes) Mittel

Wenn Gegenstände nicht nur nach ihrer Anzahl, sondern auch nach ihrem einzelnen Gewicht beurteilt werden sollen, dann stellt man die Stückzahl fest und summiert die Einzelgewichte zum Gesamtgewicht auf. Dividiert man das Gesamtgewicht durch die gesamte Stückzahl, dann erhält man das gewogene Mittel, also das Durchschnittsgewicht pro Stück.

Auch die unter 1.5 aufgeführte Art, Schwerpunkte zu berechnen, fällt unter das „gewogene Mittel“. Flächen werden mit ihrem Abstand von einem festen Punkt multipliziert und diese (statischen) Momente aufsummiert. Als Resultat erhält man am Schluss nach der Division dieser Summe durch die Gesamtfläche den mittleren Abstand (Schwerpunktabstand) der Gesamtfläche von dem festen Punkt.

1.5. Lage von Schwerpunkten

Wenn in der mathematischen Literatur vereinfachend von Schwerpunkten die Rede ist, dann ist immer die Lage der Schwerpunkte gemeint. Die Kenntnis der Lage der Schwerpunkte in Flächen und Körpern in 2D- oder 3D-Systemen ist im praktischen Berufsleben der Ingenieure und Wissen- schaftler sehr wichtig, deshalb dürfen die Formeln dafür in den Formelsammlungen nicht fehlen.

Der Schwerpunkt ist die stoffmäßige Mitte eines Körpers, worin man sich die gesamte Masse des Körpers vereinigt denken kann.

1.5.1. Formelansatz für die Lage eines Flächenschwerpunktes

Für die Berechnung der Lage eines Schwerpunkts ist das statische Moment S einer Fläche in Bezug auf einen beliebigen festen Punkt erforderlich. Es ist das Produkt <Flächeninhalt mal Abstand> von diesem Punkt. Die statischen Momente aller Flächenelemente in Bezug auf den Schwerpunkt der Gesamtfläche heben sich auf. Die Drehmomente einer Fläche oder eines Körpers, der im Schwerpunkt aufgehängt ist, sind also null.

Die Schwerpunktlage in einer Figur in Bezug auf einen gewählten festen Punkt wird aus den Flächenelementen dA mit Abstand a zu diesem Punkt (= statische Momente dS) zur Summe S aufsummiert und diese durch die Summe der Flächenelemente dA dividiert.

Statisches Moment S und Fläche A können dabei durch Summierung (bei geradlinig begrenzten Figuren) oder durch Integral (bei durch Kurven begrenzten Figuren) berechnet werden.

Der allgemeine mathematische Ansatz, der den Abstand es des Schwerpunkts (Schwerpunktlage) zu einem beliebigen Bezugspunkt angibt, lautet:

Formel 6: Flächenschwerpunktlage

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erläuterungen:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], ist das statische Moment einer Teilfläche dA, die den Abstand a von einem bestimmten Drehpunkt (Bezugspunkt) hat.

S ist das statische Moment der Gesamtfläche aus der Summe oder dem Integral aller dS.

A ist die Gesamtfläche der Figur aus der Summe oder dem Integral der Teilflächen dA.

eS ist der Abstand des Schwerpunkts der Fläche vom gewählten Drehpunkt.

Für die Berechnung der Schwerpunktlagen bei Kreisbogen und Kreissektor der Abschnitte 5.4.4 (Seite 59) und 5.5.3 (Seite 62) wird der Berechnungsvorgang über das Integral nach Formel 6 ge- zeigt.

1.5.2. Formelansatz für die Lage eines Körperschwerpunktes

Das oben für Flächenschwerpunkte Gesagte gilt auch für Körperschwerpunkte, nur dass man dann anstelle von Flächenelementen mit Volumenelementen arbeitet. Beispiele findet man bei der Pyramide und beim Pyramidenstumpf ab Seite 186.

Formel 7: Körperschwerpunktlage

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erläuterungen:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], ist das statische Moment eines Volumenelements dV, das den Abstand a von einem bestimmten Drehpunkt (Bezugspunkt) hat.

S ist das statische Moment des Gesamtkörpers aus der Summe oder dem Integral aller dS.

V ist das Gesamtvolumen des Körpers aus der Summe oder dem Integral der Volumen- elemente dV.

eS ist der Abstand des Schwerpunkts des Körpers vom gewählten Drehpunkt.

1.5.3. Zeichnerische Bestimmung durch Schwerelinien

Wenn man ein Dreieck parallel zu einer Seite in parallele Streifen einteilt, so hat jeder dieser Streifen den Schwerpunkt in der Mitte. Verbindet man die Schwerpunkte dieser Linien, so erhält man eine Schwerelinie. Es ist die sogenannte Seitenhalbierende, also die Linie, die vom Eckpunkt zur Mitte der gegenüberliegenden Seite verläuft.

Teilt man das Dreieck auch in Richtung der anderen Seiten in parallele Streifen, so entstehen weitere zwei Schwerelinien. Dort, wo sich die Schwerelinien in einem Punkt schneiden, liegt der Schwerpunkt des Dreiecks.

Dieses Verfahren der Schwerelinien kann man auch bei anderen Figuren anwenden, um den Schwerpunkt zeichnerisch zu bestimmen. Die zeichnerische Bestimmung der Lage von Schwerpunkten in Vierecken wird auf Seite 160 gezeigt.

2. Maßeinheiten für das Winkelmaß

Für die praktische Anwendung von Winkeln in Formeln müssen die Einheiten für das Winkelmaß bekannt sein.

2.1. Winkel in Altgrad

Die Winkel-Maßeinheit Grad (°) (engl. degree, Abkürzung DEG) wird auch als Altgrad bezeichnet, damit im Sprachgebrauch (gegenüber der Maßeinheit Neugrad, siehe unten) eine eindeutige Unterscheidung möglich ist.

Der Gesamtwinkel einer vollen Umdrehung ist ein Vollkreis, der in 360° eingeteilt wird. Die Maßeinheit eines Winkels ist 1 Grad (°), also¹ /360 des Vollkreises. Der Halbkreis hat 180°. Der rechte Winkel ist ein Viertelkreis mit 90°.

1 Grad (°) hat 60 Minuten ('): 1°= 60';

1 Minute (') hat 60 Sekunden ("): 1' = 60";

1° = 60' = 3600".

Wenn Verwechslungsgefahr mit Zeitangaben besteht, werden anstelle der Winkelangaben Minuten und Sekunden auch die Bezeichnungen Winkelminuten und Winkelsekunden oder Bogenminuten und Bogensekunden verwendet. Gradangaben können auch mit dezimalen Bruchteilen als Dezimalzahl

geschrieben werden, z. B.:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

2.2. Winkel in Neugrad (Gon)

In der Vermessungspraxis muss sehr oft die Summe von Winkeln mit Winkelbruchteilen gebildet werden. Die Rechnung mit dem 60er-System von Grad, Minuten und Sekunden ist für die Addition von Winkeln unpraktisch. Auch die Umrechnung in dezimale Bruchteile eines Grads wäre in der Praxis umständlich. Deshalb wurde eine Maßeinheit eingeführt, bei der die Bruchteile des Kreises dezimal geteilt sind. Der rechte Winkel wird nicht in 90, sondern in 100 Teile geteilt. Diese Maß- einheit heißt Neugrad oder Gon (g), Kurzbezeichnung gon. Sie wurde bei der französischen Maßre- form eingeführt.

Die Skalen der Vermessungsgeräte (z. B. Theodolit, Tachymeter) haben meist Neugradteilung. Der Vollkreis hat also 400g oder 400 gon. 90° entsprechen 100g = 100 gon.

Die Bruchteile von 1 gon werden als Dezimalstellen hinter dem Komma angegeben. Deshalb wären auch keine Untereinheiten nötig. Trotzdem wurden die Neuminute (c) als¹ /100 gon = 0,01 gon und die Neusekunde (cc) als¹ /100c = 0,01c = 0,0001 gon definiert.

1g = 1 gon = 100c = 10000cc = 0,9°

Die hochgestellten Buchstaben g, c und cc sind in der Schreibweise sehr unpraktisch, deshalb werden sie in der Praxis kaum verwendet. Winkelangaben in Neugrad werden als Kommazahl mit 4 Nachkommastellen geschrieben.

Beispiel: 5g 33c 86cc, geschrieben als 5,3386g = 5,3386 gon = 4,80474° = 4°48'17,064".

Bei Winkelangaben dürfen für die Bruchteile keine Vorsätze wie Dezi, Zenti oder Milli verwendet werden. Die Neuminute darf also nicht als Zenti-Gon (cgon) bezeichnet werden.

Auf den wissenschaftlichen HP-Taschenrechnern ist neben „Altgrad“ (DEG = degrees) und „Bogenmaß“ (RAD = Radians) auch die Winkeleinheit „Neugrad“ (GRD = Grad) verfügbar.

2.3. Winkel im Bogenmaß (Radiant)

Die Maßeinheit für das Bogenmaß ist Radiant, Kurzzeichen: rad.

Definition:

Ein Radiant ist gleich dem ebenen Winkel, der als Zentriwinkel des Einheitskreises mit dem Radius r = 1 m aus dem Kreisumfang einen Bogen von 1 m Länge herausschneidet.

Der Kreisumfang des Vollkreises ist 2[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] r. Wird diese Bogenlänge zum Radius r des Kreises ins Verhältnis gesetzt, dann ergibt sich das Bogenmaß eines Vollkreises mit 2[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Um bei Berechnungen darauf hinzuweisen, dass ein Winkelwert im Bogenmaß vorliegt (weil die Bezeichnung rad in der Berechnung nicht mitgeschleppt wird), werden die Variablennamen für das



Bogenmaß mit einem Bogen über den Formelzeichen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder mit arc (Abkürzung von lat.: arcus, Bogen) bezeichnet. Die Maßzahl eines Winkels [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im Bogenmaß ist (wie oben definiert) als das Verhältnis von Bogenlänge b eines Winkels zum Radius r des Kreises definiert:

Formel 8: Arkus (Bogenmaß)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Deshalb wird das Bogenmaß auch als das „natürliche Winkelmaß“ bezeichnet.

Anmerkung

Man lasse sich nicht durch arc α dazu verleiten, ähnlich wie bei sin α, hinter dem Bogenmaß eine transzendente oder andere schwierige Funktion zu vermuten. Das Zeichen „arc“ ist über- haupt nur dann erforderlich, wenn in Formeln neben dem Bogenmaß auch andere Winkelein- heiten (Altgrad, Neugrad) benutzt werden. In der höheren Mathematik und in Computerpro- grammiersprachen wird allein das Bogenmaß verwendet, sodass eine Unterscheidung von Winkeleinheiten nicht erforderlich ist. Sämtliche mathematischen Funktionen (z. B. sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan) sind in Computerprogrammiersprachen für das Bogenmaß definiert. Andere Winkeleinheiten werden dann durch Umrechnung dargestellt.

Umrechnung zwischen Altgrad und Radiant:

Die Zahlenwerte, die in der Formel 9 nach arc und in der Formel 10 vor der Bezeichnung rad stehen, sind auf 12 signifikante Stellen gerundete Dezimalwerte, die sich aus der Division [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]/180° und 180°/[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergeben.

Formel 9: Umrechnung Radiant in Altgrad

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gelesen als: 1 rad ist der Bogen mit einem Zentriwinkel von 57,2957795131°

Formel 10: Umrechnung Altgrad in Radiant

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel:

Winkel in Grad: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = 30°.

Die Maßzahl im Bogenmaß ergibt sich aus: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

sin ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]/6) = 0,5 = sin 30°. [rad] wird bei Berechnungen im Argument der Funktion weggelassen.

2.4. Gebrauch des Bogenmaßes

Die Bezeichnung arc  wird verwendet, um Gradangaben ins Bogenmaß umzurechnen.

Formel 11: Altgrad ins Bogenmaß

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 12: Neugrad ins Bogenmaß

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in Formeln angegeben ist, dann kommt es darauf an, auf welche Winkeleinheit der Rechner einstellt ist. Folgende Angaben in Formeln sind dann gleichwertig:

Formel 13: Umrechnung der Zahlenwerte für verschiedene Winkeleinheiten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel: 18° = 20g = 0,15707963268 rad.

Wenn der reine Zahlenwert α ohne Maßeinheit vorliegt, ist immer die Größe des Winkels ge- meint.

2.5. Raumwinkel (Steradiant)

Steradiant (sr) ist die abgeleitete SI-Einheit des räumlichen Winkels (Raumwinkel).

1 [sr] ist gleich dem räumlichen Winkel, der als gerader Kreiskegel mit der Spitze im Mittelpunkt einer Kugel vom Radius 1 m aus der Kugeloberfläche eine Kalotte (Kugelkappe) der Flächengröße von 1 m² ausschneidet.

Der Raumwinkel Ω ist ein Verhältnismaß:

Verhältnis der Teilfläche ΔOK zur Gesamtoberfläche OK , multipliziert mit 4π , oder Flächeninhalt ΔOK dividiert durch das Quadrat des Kugelradius (R² ).

Die Maßeinheit ist die SI-Einheit² Steradiant (sr). Sie ist eine reine Maßzahl (1 m² /1 m² ) mit der Dimension 1. Bei einer Kugel mit R = 1 m schneidet 1 sr genau 1 m² von der Oberfläche heraus. Die Form dieser herausgeschnittenen Fläche kann beliebig sein.

Für die gesamte Oberfläche einer Kugel gilt definitionsgemäß der Raumwinkel

Formel 14: Raumwinkel der gesamten Kugeloberfläche

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus folgt:

Formel 15: Definition Steradiant

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Steradiant ist ein räumliches Bogenmaß. Hier besteht eine gewisse Analogie zwischen dem Bogenmaß des Kreises und dem Raumwinkel der Kugel:

Für den Raumwinkel gilt allgemein:

Der Raumwinkel der gesamten Kugel beträgt 4π Steradiant (= gesamte Kugeloberfläche).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für das Bogenmaß gilt allgemein:

Das Bogenmaß des Gesamtkreises hat 2π Radiant (= gesamter Kreisumfang).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine ausführliche Beschreibung des Raumwinkels folgt im Kapitel 27 ab Seite 284.

2.6. Ausgezeichnete Winkel

2.6.1. Winkelwerte

Manche Winkelwerte in Altgrad werden als „ausgezeichnete“ Winkel bezeichnet, weil sie sich in bestimmten Konstruktionen als Sonderfall auszeichnen. Alle diese Winkel können mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, ohne einen Winkelmesser verwenden zu müssen. Im Bogenmaß kommen nur ganzzahlige Teile von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] rad als ausgezeichnete Winkel vor:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

15° und 18° haben bei der arithmetischen Berechnung von Sinuswerten eine besondere Bedeutung.

2.6.2. Beispiel: Sonderfall 18°

Bild 7: Pentagramm und der sin(18°)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Sinus von 18° hat eine Sonderstellung.

Das reguläre Fünfeck und das dort einbeschriebene Pentagramm (fünfzackiger Stern, „Drudenfuß“, siehe Bild 7) beruhen auf den Zentriwinkeln von 72°, den Peripheriewinkeln von 36° sowie den Vielfachen von 18°.

Bild 7 zeigt diese Zusammenhänge:

Die Gleichung für den Sinus von 18° wird aus dem Pentagramm hergeleitet: Für die Höhe h des markierten Dreiecks gilt die Beziehung:

Formel 16: Gleichung für Drudenfuß

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für sin 18° wird s gesetzt, h fällt heraus. Über trigonometrische Umrechnungen werden die Tangenswerte auf sin 18° bezogen.

Daraus ergibt sich dann die kubische Gleichung:

Formel 17: Gleichung für sin(18°)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die 3 Lösungswerte der Variablen s können durch Lösung dieser kubischen Gleichung ermittelt werden. Es sind die Sinuswerte der Winkel der Zacken-Mittellinien des Pentagramms bezogen auf die x-Achse des eingezeichneten Koordinatensystems. Deshalb lassen sich die Lösungswerte auch auf folgende Weise schreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert 2·sin(18°) (Länge der Seite des Zehnecks) hat auch eine Bedeutung beim Goldenen Schnitt, siehe 2.7.

2.7. Der Goldene Schnitt

Jede Strecke kann in einem beliebigen rationalen Verhältnis geteilt werden. Der Goldene Schnitt ist ein harmonisches Teilungsverhältnis.

Der oben genannte Winkel von 18° (siehe Abschnitt 2.6.2) hat auch eine Bedeutung beim Goldenen Schnitt: Das reguläre Fünfeck wird aus dem regulären Zehneck konstruiert, dessen Seitenlänge

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

s10 ist der größere Abschnitt des nach dem Goldenen Schnitt geteilten Umkreisradius r. Auch die Seitenlängen des Drudenfußes weisen harmonische Verhältnisse auf. Nachzulesen im Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt.

2.7.1. Definition Goldener Schnitt

Definition des Goldenen Schnittes:

Die Teilung einer Strecke der Länge 1 in zwei ungleich lange Teile x und (1-x) ist dann nach dem Goldenen Schnitt durchgeführt, wenn das Verhältnis der Länge des kleineren Teiles (1-x) zur Länge des größeren Teils x identisch ist mit dem Verhältnis des größeren Teils x zur ge- samten Strecke 1.

2.7.2. Rechnerische Lösung

Formel 18: Goldener Schnitt, Ansatz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

vereinfacht:

Formel 19: Goldener Schnitt, vereinfacht

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist die quadratische Gleichung: 1xx Die beiden Lösungen lauten:

Formel 20: Lösung zum Goldenen Schnitt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

x2 ist ein negativer Wert und erfüllt zwar die Gleichung der Formel 19, ist aber für den Goldenen Schnitt nicht brauchbar, weil die Strecken in der Geometrie nur positive Werte sein dürfen. Beim Goldenen Schnitt ist also das Verhältnis des größeren Abschnitts zur ganzen Länge (siehe Formel 18).

Der Wert x1 ist aber auch der Wert des doppelten Sinus von 18°:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Obige Berechnung kann als Beweis für die Richtigkeit der Konstruktion eines Zehnecks angesehen werden, dessen Seitenlänge aus einem rechtwinkeligen Dreieck mit dem Kathetenverhältnis 1:2 konstruiert wird.

Formel 21: Sinus von 18°

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier bei dieser Probe wird gezeigt, wie man bei der Umformung von Gleichungen durch das richtige Ersetzen einer Zahl mit einem passenden Ausdruck zum gewünschten Ergebnis kommt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.7.3. Zeichnerische Lösung mit Beweis

Zeichnerische Lösung des Goldenen Schnitts erfolgt mit einem rechtwinkligen Dreieck durch innere Teilung.

Das klassische Verfahren verwendet die innere Teilung:

Bild 8: Zeichnerische Lösung des Goldenen Schnitts

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vorgehensweise:

1. Am Ende der Strecke AB wird im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C errichtet.
2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verbindung AC im Punkt Z.
3. Der Kreis um A mit dem Radius AZ teilt die Strecke AB im Verhältnis x : 1 des Goldenen Schnittes.

2.7.4. Nachprüfung durch Rechnung

Gegeben: Strecke AB = 1, Strecke BC = ½.

Gesucht: x

Nach dem Lehrsatz des Pythagoras (siehe Seite 122, Formel 186) gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieses Ergebnis entspricht dem Ergebniswert der Formel 20, die Richtigkeit der zeichnerischen Konstruktion des Goldenen Schnittes ist damit bewiesen.

3. Trigonometrische Funktionen

3.1. Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

Bild 9A zeigt die Benennungen am rechtwinkligen Dreieck:

Die Seite a ist die Gegenkathete des Winkels α,

Die Seite b ist die Ankathete des Winkels α,

Die Seite c ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.

Die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) Sinus, Kosinus und Tangens werden im ebenen rechtwinkligen Dreieck definiert. Bild 9B zeigt die Verhältnisse für den Sinus und Kosinus am Einheitskreis mit dem Radius r = 1.

Bild 9: Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 22: Definition des Sinus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 23: Definition des Kosinus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 24: Definition des Tangens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 25: Definition des Kotangens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2. Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

Bild 9B zeigt auch die Richtigkeit des auf die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus angewendeten Satz des Pythagoras³:

Formel 26: „Pythagoras“ mit Sinus und Kosinus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Tangens ist aber auch die Länge der Tangente des Winkels am Einheitskreis. Bild 9C zeigt den Zusammenhang:

Formel 27: Sinus aus Tangens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 28: Kosinus aus Tangens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Kotangens ist der Kehrwert des Tangens, Bild 9D zeigt den Zusammenhang:

Formel 29: Sinus aus Kotangens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 30: Kosinus aus Kotangens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.3. Funktionen eines Winkels und seines Komplement- winkels

Zwei Winkel, die sich zu 90° ergänzen, nennt man Komplementwinkel, α und β sind hier Komplementwinkel.

Im rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90° gilt:

Formel 31: Sinus und Kosinus der Komplementwinkel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 32: Tangens und Kotangens der Komplementwinkel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.4. Additionstheoreme

Die Additionstheoreme enthalten die arithmetischen Definitionen der trigonometrischen Funktio- nen. Sie bilden ein Bindeglied zwischen der Geometrie und Arithmetik, weil man aus ihnen rück- wärts die geometrischen Definitionen wiedergewinnen kann. Beweise, Folgerungen und geometri- sche Anwendung der Additionstheoreme findet man sehr ausführlich in den mathematischen Lehr- büchern.

Die Additionstheoreme werden hier nicht hergeleitet, dies würde das Buch nur unnötig ausweiten, denn es handelt sich um eine Fülle von Gleichungen und deren Umformungen, die alle auf den oben unter Abschnitt 3.1 genannten Formeln aufbauen.

Die gebräuchlichsten Formeln werden ohne Beweis und ohne Herleitung aus Formelsammlungen übernommen, z. B. aus: Lit.²,³,⁵,⁷,¹⁷. Es gibt verschiedene Umformungen für die einzelnen Gleichungen, hier werden nur die gebräuchlichsten Formen gezeigt.

Zum besseren Wiederfinden werden die zusammengehörenden Gleichungen in Gruppen unter einer eigenen Formelnummer zusammengefasst.

3.4.1. Addition und Subtraktion zweier Winkel

Formel 33: Addition und Subtraktion zweier Winkel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.4.2. Addition und Subtraktion der sin und cos zweier Winkel

Formel 34: Addition und Subtraktion der sin und cos

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die beiden Systeme 3.4.1 und 3.4.2 hängen zusammen und sind deshalb gleichwertig. Durch paarweise Addition und Subtraktion der Gleichungen (5) bis (8) ergeben sich die Additionstheoreme (1) bis (4) der Winkel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.4.3. Addition und Subtraktion der tan und cot zweier Winkel

Formel 35: Addition und Subtraktion der tan und cot

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.4.4. Doppelte und halbe Winkel

Formel 36: Funktionen des doppelten Winkels

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 37: Funktionen des halben Winkels

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Herleitung des Tangens des halben Winkels ist ab Seite 93 und auf Bild 36 zu finden.

Mit Hilfe des Bildes können auch die anderen Funktionen der halben Winkel hergeleitet werden.

3.4.5. Summen und Differenzen von Winkelfunktionen

Formel 38: Summen und Differenzen der Funktionswerte

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.5. Arkusfunktionen für trigonometrische Funktionen

Um den Winkelwert zu bekommen, der sich aus der Rückrechnung einer Winkelfunktion wie sin, cos oder tan ergibt, werden die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen angewendet. Sie werden Arkusfunktionen genannt.

Während die trigonometrischen Funktionen sin [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], cos [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und tan [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] jeweils einen Funktionswert x zu einer Winkelangabe [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]liefern, ergibt sich bei einer Umkehrfunktion aus dem Funktionswert x der zugehörige Winkel[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Es gelten folgende Gleichungen:

Formel 39: Definition der trig. Umkehrfunktionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mathematisch sind diese Arkusfunktionen so definiert, dass sie zu einem gegebenen Funktionswert jeweils einen Winkel im Bogenmaß liefern:

Die Indizes 1, 2 und 3 dienen hier nur zur Klarstellung, dass für dasselbe x auf- grund der entsprechenden Umkehrfunktion jeweils ein anderer Winkelwert gilt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Computerprogramme und Taschenrechner liefern bei diesen Umkehrfunktionen die Winkelgröße nicht nur im Bogenmaß, sondern auch in Altgrad oder Neugrad, je nachdem, welche Winkeleinheit auf dem Gerät vorgewählt wurde.

Deshalb wird, wie in den nachfolgenden Formeln zu sehen, eine allgemeine Winkelangabe verwen- det (also ohne Angabe der Winkeleinheit), wenn es auf die Winkeleinheit des Ergebnisses nicht an- kommt.

Für die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen gilt:

Formel 40: Umkehrfunktionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Argument x ist ein Zahlenwert ohne Maßeinheit (reine Zahl, dimensionslose Zahl). Bei diesen Umkehrfunktionen ist immer das Gültigkeitsintervall (Quadrantenrelation) der Winkelwerte zu beachten. Das Ergebnis ist immer ein Winkelwert.

Beispiel:

x sei 0,8, dann ergeben sich drei verschiedene Winkel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.6. Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen

Für Arkusfunktionen mit demselben Argument x gibt es keine Additionstheoreme, weil die Ergeb- nisse Winkelwerte sind, die direkt addiert werden können, wenn sie die gleichen Einheiten besitzen.

Dagegen können die verschiedenen Funktionen ineinander umgerechnet werden (Quelle: Lit.³, dort Seite 185):

Formel 41: Beziehungen der inversen trigonometrischen Funktionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.7. Kehrwerte der trigonometrischen Funktionen

Zu den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens wurden auch die Kehrwerte (Reziprokwerte) als Funktionen definiert:

Formel 42: Kosekansfunktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 43: Sekansfunktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 44: Kotangensfunktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Bezeichnungen Sekans (sec) und Kosekans (cosec) für die Kehrwerte sind veraltet und werden kaum mehr verwendet.

Die Erklärungen sind in jedem Mathematikbuch unter dem Stichwort „Goniometrie“ zu finden (siehe auch Lit. ⁵, dort Seite 269).

4. Der Kreis in der Ebene

4.1. Geometrie des Kreises

Die Geometrie der Ebene geht hauptsächlich auf die Griechen zurück.

Der griechische Mathematiker Euklid lebte etwa 325 vor Chr. und wirkte in Alexandria. Er fasste das damalige Wissen über die Geometrie in seinen 13 Büchern zusammen, er nannte sein Werk „Die Elemente“ (Lit.¹⁶ ). Die Elemente der Geometrie sind Definitionen, Postulate, Axiome, Beweise. Das Werk ist die Grundlage der Euklidischen Geometrie und ist nach der Bibel das am meisten verbreitete Buch der Erde (siehe Lit.⁸ ).

Der oben genannte Mathematiker Euklid aus Alexandria hat sich sehr ausführlich mit dem Kreis be- schäftigt. Er wurde früher oft mit dem Philosophen Euklid aus Megara verwechselt, der etwa 400 vor Chr. lebte.

Auch Archimedes aus Syrakus (er lebte etwa von 287 bis 212 v. Chr.) hat in seiner Schrift „Kreismessung“ einige Lehrsätze aufgestellt, wie Umfang und Flächeninhalt eines Kreises berechnet werden können, nachzulesen in Lit.⁴.

In diesem Kapitel werden ebene Kreise behandelt, deren Innenfläche mit der Kreislinie eine Ebene bildet. Kreise mit gewölbten Innenflächen (Kugelkappen) werden bei der Körperberechnung (im Kapitel 20 ab Seite 176) und bei der „Sphärischen Trigonometrie“ (im Kapitel 26 ab Seite 268) be- handelt.

4.2. Die Kreiszahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Der Umfang U ist die Länge der geschlossenen Kreislinie (Bild 10, Seite 48). Der Umfang U hat zur Länge des Durchmessers d ein festes Zahlenverhältnis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (gesprochen: Pi). Mit diesem Zahlenverhältnis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = U/d haben sich schon die Mathematiker vor mehr als 2000 Jahren beschäftigt.

Dieses Zahlenverhältnis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , auch Kreiszahl oder Ludolphsche Zahl genannt, ist eine irrationale und transzendente Zahl. Irrational ist eine Zahl, die nicht durch rationale Zahlen, also nicht durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen, dargestellt werden kann.

Transzendent ist eine Zahl, die nicht algebraisch berechnet werden kann. Die Transzendenz der Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sagt aus, dass es mit Zirkel und Lineal allein nicht möglich ist, den Kreis in ein flächenglei- ches Quadrat zu verwandeln. Rechnerisch ist dies schon möglich, siehe „Quadratur des Kreises“ auf Seite 85.

4.2.1. Geometrische Ermittlung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Mit regelmäßigen Vielecken (reguläre Polygone), die den Kreis von außen und innen eingrenzen, die also dem Kreis umbeschrieben und einbeschrieben sind, kann der Kreisumfang annähernd berechnet werden. Je mehr Seiten diese Vielecke haben, desto mehr nähert sich der auf diese Weise berechnete Kreisumfang dem genauen Wert. Der Kreisumfang liegt immer zwischen dem Umfang des umbeschriebenen und des einbeschriebenen regelmäßigen Vielecks.

Archimedes rechnete bis zum 96-Eck. Er kam in seiner Schrift „Kreismessung“ auf das Ergebnis:

Der Umfang eines Kreises ist demnach dreimal so groß wie der Durchmesser und noch um etwas größer, nämlich um weniger als¹ /7 und um mehr als¹⁰ /71 desselben.

Der Zahlenwert von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] liegt also nach Archimedes zwischen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der heute auf Taschenrechnern angegebene Wert für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beträgt: 3,14159265359.

Die Schulmathematik rechnete jahrhundertelang näherungsweise mit dem Wert 3,14, neuerdings mit dem Taschenrechnerwert.

Hier noch einige Brüche (Quelle: Wikipedia-Artikel “Kreiszahl“), die die Kreiszahl näherungsweise als rationale Zahl angeben, rechts daneben sind die Brüche als Dezimalzahlen dargestellt (mit Taschenrechner berechnet).

Tabelle 2: Rationale Näherungen von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.2.2. Mathematische Berechnung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die Kreiszahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kann auch, unabhängig von der Geometrie, mit Hilfe der vier Grundrechenarten auf unterschiedliche Weise mathematisch beliebig genau ermittelt werden. Als Beispiel wird hier die alternierende Reihe der zyklometrischen Funktion arctan (Arkustangens) angegeben (Leibnizsche Reihe). arctan(1) ist der Bogen, bei dem der Tangens des Zentriwinkels den Wert 1 hat. Dieser Bogen ist ein Achtelkreis mit 45°, dessen Bogenmaß [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]/4 ist.

Die Reihe lautet:

Formel 45: Reihe der zyklometrischen Funktion des Arkustangens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus folgt:

Formel 46: Arkustangensreihe zur Berechnung von π

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Reihe kann mit der Summenformel (Formel 47) berechnet werden, wobei das Ungefährzeichen () angibt, dass die Reihe mit dieser Formel nur bis zur Zahl k berechnet und deshalb ein Näherungswert der Summe angegeben wird:

Formel 47: Summenformel für die Zahl π

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei gilt:

n und k sind natürliche Zahlen.

k sollte eine gerade Zahl (k mod 2 = 0) sein.

Für die genaue Summe der Reihe wird k   gesetzt.

Es gibt noch andere Reihen zur Berechnung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], die hier aber nicht angegeben werden.

Moderne mathematische Berechnungsmethoden auf Computern können diesen Wert mit vielen Kommastellen beliebig annähern. Mit dem Taschenrechner HP 50g (mit LIB 902 Langzahlarithmetik) hat der Verfasser 100 Kommastellen dieser Zahl berechnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Mathematiker haben mehr als 2 Billionen Kommastellen der Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] berechnet. Es ist noch kein Ende abzusehen, bei welcher Kommastelle die Berechnung enden und damit der genaue Wert von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] feststehen würde.

Diese hohe Genauigkeit der Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] braucht kein Mensch.

Beispiel: Selbst bei astronomischen Berechnungen genügen nur 30 Kommastellen für die Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], um den Umfang eines Kreises mit dem Radius von 2 Milliarden Lichtjahren auf 0,02 mm genau anzugeben (siehe Lit.⁵, dort auf Seite 202/203):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Lichtjahr ist kein Zeitmaß, sondern diejenige Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurück- legt; das sind ungefähr 9,5 ∙ 10¹² km.

4.3. Definitionen und Begriffe

4.3.1. Geometrischer Ort

Bei Definitionen und Lehrsätzen wird der Begriff „geometrischer Ort“ verwendet.

Geometrische Örter sind Bestimmungslinien in der Ebene oder im Raum, auf denen alle und zu- gleich nur solche Punkte liegen, die eine bestimmte geometrische Bedingung erfüllen. Außerhalb der betreffenden Bestimmungslinie gibt es keinen Punkt der Ebene oder des Raumes, der die Bedingung erfüllt und auf der Bestimmungslinie gibt es keinen Punkt, der die Bedingung nicht erfüllt.

Der Kreis (die Kreislinie, die Kreisperipherie) ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt dieser Ebene, dem Mittelpunkt M des Kreises, einen konstanten Ab- stand r (Radius) haben. Die von der Kreislinie begrenzte Fläche dieser Ebene wird Kreisfläche ge- nannt. Das Maß dieser Kreisfläche ist der Flächeninhalt A (kurz Fläche genannt) des Kreises (sie- he Bild 10).

4.3.2. Definition des Kreises

Bild 10: Elemente des Kreises

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Euklid definierte (im Buch I) den Kreis so:

Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt]⁴ umfasste Figur mit der Eigenschaft, dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkte bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufenden Strecken einander gleich sind; dieser Punkt heißt Mittelpunkt des Kreises.

4.3.3. Radius und Durchmesser

Eine vom Kreismittelpunkt ausgehende gerade Strecke (lat.: radius, Strahl), die bis zur Kreislinie reicht, heißt Halbmesser oder Radius r.

Der Durchmesser d ist die gerade Strecke, die durch den Mittelpunkt M geht und auf beiden Seiten von der Kreislinie begrenzt wird. Diese Strecke hat die doppelte Länge des Radius: d = 2r.

4.3.4. Zentriwinkel, Kreisbogen, Umfang

Ein Winkel, der durch zwei am Kreismittelpunkt M (Scheitelpunkt des Winkels) beginnende Geraden (Schenkel) gebildet wird, heißt Zentri- oder Mittelpunktswinkel[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (Bild 11).

Bild 11: Kreisbogen und Radius

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 12: Kreis-Definitionen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beim Zentriwinkel sind zwei sich ergänzende Winkel vorhanden: Der eigentliche Zentriwinkel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] liegt auf der einen Seite der beiden Schenkel und ist meist der kleinere, der zweite Winkel mit der Größe (360 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) liegt auf der anderen Seite der Schenkel und ergänzt „außenherum“ den ersten zum Vollkreis.

Ein voller Kreis hat einen Kreisbogen, dessen Zentriwinkel 360° umfasst. Die Länge dieser Kreislinie ist der Umfang des Kreises. Ist der Zentriwinkel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kleiner als 360°, dann schneiden die Schenkel dieses Zentriwinkels einen Kreisbogen aus der Kreislinie heraus, dessen Bogenlänge b mit diesem Zentriwinkel berechnet werden kann.

4.3.5. Sehne, Sekante und Tangente

Bild 12 zeigt die verschiedenen Schnittlinien des Kreises.

Eine gerade Strecke innerhalb der Kreislinie, die auf beiden Seiten von der Kreislinie begrenzt wird, heißt Sehne. Die Länge des Lotes vom Kreismittelpunkt auf die Sehne ist der Abstand z der Sehne. Eine Sehne, die durch den Mittelpunkt geht, heißt Durchmesser d.

Eine gerade Linie, die von außen kommend durch den Kreis hindurchgeht und ihn an zwei Stellen schneidet, heißt Sekante (von lat. secare, zerschneiden).

Eine gerade Linie, die den Kreis von außen nur in einem einzigen Punkt berührt, ihn aber nicht schneidet, heißt Tangente (von lat. tangere, berühren).

Eine außerhalb des Kreises vorbeilaufende Gerade heißt Passante. Sie hat keinen Punkt mit dem Kreis gemeinsam.

4.4. Satz über die Peripheriewinkel (Umfangswinkel)

Zu jedem Zentriwinkel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gehört nur ein Bogen b. Zu diesem Bogen gibt es Peripheriewinkel auf dem restlichen Bogen auf der gegenüberliegenden Seite des Zentriwinkels. Zu jedem Bogen b existieren beliebig viele gleich große Peripheriewinkel (Bild 13).

Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie der zum gleichen Bogen b gehörende Zentriwinkel . Alle Peripheriewinkel über demselben Bogen sind gleich.

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich aus gleichschenkligen Dreiecken, deren Eckpunkte im Scheitelpunkt des Peripheriewinkels, in den Endpunkten der Sehne und im Kreismittelpunkt liegen.

Den Satz über die Peripheriewinkel kannte auch schon Euklid, er nannte die Peripheriewinkel Umfangswinkel. Den Zentriwinkel nannte er Mittelpunktswinkel.

Im Kreis ist der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel, wenn die Winkel über demselben Bogen stehen.

Die Sehnentangentenwinkel (= Winkel zwischen Sehne und Tangente) direkt unterhalb der Sehne in Bild 13 sind Grenzfälle, wenn die Scheitelpunkte der Peripheriewinkel auf die Sehnenendpunkte fallen. Diese Winkel sind ebenso groß wie die Peripheriewinkel.

Bild 13: Peripheriewinkel

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Bild 14: Thaleskreis

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¹ Bibliothek (LIB, über Taste 2 beim HP 50g) wird auf dem HP-Taschenrechnern eine Sammlung von Programmen genannt, die in einem Verzeichnis unter einem Menüpunkt zusammengefasst sind.

² SI = Système International d'Unités = Internationales Einheitensystem

³ Siehe Satz des Pythagoras unter 11.3 ab Seite 107

⁴ Die Ergänzungen in eckigen Klammern wurden vom Übersetzer der „Elemente“ hinzugefügt.