Mathematische Grundlagen und klassische Physik. Die wichtigsten Themen der klassischen Mechanik und Thermodynamik

Eine Lernzusammenfassung


Zusammenfassung, 2012

29 Seiten


Leseprobe

1
Zusammenfassung
Mathematische Grundlagen der Physik
1. Vektoren
1.1. Winkel zw. Zwei Vektoren
cos( ) =
| |
| | | |
1.2. Projektion in -Richtung:
||
= ( ê ) ê
1.3. Kreuzprodukt (||:Fläche)
× =
-
-
-
weil ê × ê = ê
× =
ê
BAC-CAB: × × = ( ) - ( )
1.4. Spatprodukt (Volumen des Spats)
× = ( × ) = × =
, ,
, ,
2. Vektorfunktionen
2.1. Taylorentwicklung:
( ) =
( )
( )
!
( - )
3. Feld (Funktion von Vektoren)
3.1. Skalarfelder
() = ( , , )
3.2. Vektorfelder
() = ( , , )
3.3. Totales Differenzial
=
+
+

2
3.4. Gradient (Skalarfelder Vektorfeld)
3.4.1. Richtung der größten Steigung:
= =
3.4.2. Rechenregeln
3.4.2.1.
( + ) = +
3.4.2.2.
( ) = +
3.5. Divergenz (VektorfelderSkalarfeld)
3.5.1. Quellstärke des Feldes :
= =
+
+
3.5.2. Rechenregeln
3.5.2.1.
+ = +
3.5.2.2.
= + = grad + div
3.6. Rotation (Vektorfeld Vektorfeld)
3.6.1. Grad der Verwirbelung
= × =
, ,
ê
, ,
=
-
-
-
3.6.2. Rechenregeln
3.6.2.1.
× + = × + ×
3.6.2.2.
= ( × ) + g ×
3.7. Anwendung in der Physik:
3.7.1. Kräfte ~ - heißen konservativ, V ist ihr Potential:
+
=
.
3.7.2. Divergenz & Rotation
3.7.2.1.
= 0 Quellenfrei
3.7.2.2.
= 0 Wirbelfrei
3.8. Sonstiges:
= 0
= 0
= =

3
4. Krummlinige Koordinaten
4.1. Kkoordinaten:
= cos( ); = sin( )
4.2. Zylinderkoordinaten
= cos
= sin
=
4.3. Kugelkoordinaten
= sin
= sin sin
= cos
4.4. Einheitsvektoren:
Hier: Polarkoordinaten
ê =
1
=
= -
4.5. Partialelemente (von s (z.B. kartesisch) nach y (z.B. Kugel))
Längenelement
=
Flächenelement
=
=
Volumenelement
=
Partialelemente:
Zylinderkoordinaten:
=
,
=
,
=
=
=
Kugelkoordinaten:
=
,
=
,
= sin( )
=
= sin

4
5. Grundprobleme der Dynamik
5.1. Bewegung (Polarkoordinaten):
=
ê +
ê
= ê
( -
)
+ ê
(2
+ + )
5.2. Kinetische Energie auf einer Bewegung (Polarkoordinaten):
=
1
2
=
1
2
ê +
ê
=
1
2
(
+
) =
1
2
+
1
2
ä
=
1
2
: "
"
+
1
2
: "
"
5.3. Pendel:
+
= 0 harmonischer Oszillator
Lösung ( ) ist Schwingung mit Frequenz =
Ansatz: ( ) =
sin
+ cos
bzw. X(t) = C e
5.4. Bewegung im konservativen radialsymmetrischen Kraftfeld ( = - ):
5.4.1. =
× =
ê mit ê = ê
5.4.2. =
+ ( ) =
+
+ ( ) =
+
²
+ ( )
( ) ist gegen durch - .
( ) ist minimal bei
( ) = -
+
= 0 =
Wenn =
bildet sich eine Kreisbahn heraus. Ansonsten: Ellipsenbahn mit
(
) =
(
) =
6. Komplexe Zahlen
= +
= | | ^(arg ( ))
Argument: arg ( ) =
arctan = arcsin = arccos ;
| | = = = + ;
=
=
Also: =
+
=
= cos + sin
Komplexe Wurzel
=
| |
Gesucht: = +
N-te Wurzeln liegen auf einem Kreis mit Radius | |
haben n verschiedene, äquidistante Winkel zu reellen Achsen

5
7. Matrizen und Tensoren
7.1. Rechenregeln:
(
) =
7.2. Drehmatrix D
7.2.1. Zeilen sind paarweise orthogonal
=
=
7.2.2. det
= 1
7.2.3. Drehachse: Alle Vektoren, die nicht verändert werden.
7.2.4. Drehwinkel: Vektor zu Drehachse. Dann drehen und Winkel bestimmen
7.3. Determinante
7.3.1. det(
) =
det( )
7.3.2. det( ) = det( ) det( ) = det( )
7.3.3. det( ) = 1
7.3.4. det
=
Wenn det( ) = 0 ex.
nicht (
= )
7.4. Eigenwerte und Eigenvektoren
7.4.1. Eigenvektoren und Eigenwerte von A:
( -
) = 0
Hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn
nicht existiert.
det( -
) = 0
Eigenvektoren sind orthogonal!
7.5. Diagonalisieren von Matrizen H: :
=
= 0
0
0
0
0
0
7.5.1. Diagonalelemente von H` sind die EW von H
7.5.2. D besteht aus den EV von H
7.6. Trägheitstensor
= mit = ( - ) =
+
-
-
-
+
-
-
-
+
= ( ) + ( ) ...
Eigenwerte von sind die Hauptträgheitsmomente, Eigenvektoren die Hauptträgheitsachsen.

6
8. Differenzialgleichungen
, ( ), ( ) ...
( )
( ) = =
.
- n heißt Ordnung
- gewöhnlich wenn nur eine Variable (hier: x) auftaucht, sonst partiell
-
= 0 homogen
8.1. Homogene DGL n-ter Ordnung:
- n linear unabhängige Lösungen
- allg. Lsg. Der hom. DGL ( ) =
( )
- sei ( ) eine Lösung der inhom. DGL allg. Lösung der inhom. DGL ist ( ) +
( )
8.2. Koeffizienten
1)
( ) =
=
.
löst die Gleichung
2)
( ) =
löst die Gleichung
8.3. Lösung einer inhom. DGL
8.3.1. Finde allg. Lsg. der hom. DGL
8.3.2. Suche spezielle Lsg. der inhomogenen DGL ( )
8.3.3. allg. Lösung der inhom. DGL ist ( ) +
( )
Beispiel: +
=
cos( )
1.Finde allgemeine Lösung der homogenen DGL.
( ) =
(
+ ) löst +
= 0
Ein phasenverschobener Cosinus kann alle Link. Komb. Von Sinus und Kosinus darstellen.
2. Suche spezielle Lösung der inhom. DGl.
Ansatz: ( ) =
( ) = -
( ) = - ( )
Einsetzen:
[-
+
- ] cos( ) = 0
=
-
3. allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist dann:
( ) =
-
cos( ) + cos (
+ )

7
Gekoppelte Schwingung:
= -
+ ( - )
= -
-
-
Mit =
ist =
= -
+
=
-
=
-
+
-
+
=
Möglicher Ansatz: =
; =
,
,
= = (-
)
= -
= -
oder =
mit = -
B=
-
-
Bestimme Eigenwerte
:
| -
| = =
ö
.
= und
=
Eigenvektoren:
Zu
: ( -
) = 0 (oder Gleichungssystem lösen)
Zu
: ( -
) = 0
Hier =
1
1
und =
-1
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Details

Titel
Mathematische Grundlagen und klassische Physik. Die wichtigsten Themen der klassischen Mechanik und Thermodynamik
Untertitel
Eine Lernzusammenfassung
Hochschule
Technische Universität Kaiserslautern
Autor
Jahr
2012
Seiten
29
Katalognummer
V301644
ISBN (eBook)
9783956873225
ISBN (Buch)
9783668004542
Dateigröße
647 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Grundlagen;, Experimentalphysik, Physik, Mechanik, Mathematik, Thermodynamik, Elektrodynamik
Arbeit zitieren
Henrik May (Autor), 2012, Mathematische Grundlagen und klassische Physik. Die wichtigsten Themen der klassischen Mechanik und Thermodynamik, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/301644

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