Lösung zur Übung "Stochastik für Lehramtskandidaten"


Vorlesungsmitschrift, 2013

55 Seiten, Note: 1

Birgit Bergmann (Autor)


Leseprobe

U
NIVERSITÄT
W
IEN
F
AKULTÄT FÜR
M
ATHEMATIK
Lösungen zu den Beispielen aus Stochastik für LAK
abgetippt von:
Birgit B
ERGMANN
Sommersemester 2013
Erstellt mit L
A
TEX

Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
Die Angaben der Beispiele sind unter http://www.mat.univie.ac.at/~peter/psstl13.pdf zu finden.
1. Lösung:
mögliche: 37 Felder (18 schwarz, 18 rot, 1 grün)
günstige: 18 Felder
2. Lösung:
6 Kugeln (AN AN AS 3 × A, 2 × N, 1 × S)
P (AN N A) =
3
6
·
2
5
·
1
4
·
2
3
=
1
30
3.
a) Lösung:
P (5er) =
6
5
39
1
45
6
=
6 · 39
8145060
2.873 · 10
-5
b) Lösung:
P (3er) =
6
3
39
3
45
6
=
20 · 9139
8145060
=
1
50
0.0244
4. Lösung:
P(C gewinnt gegen ABA) = P (g, g, g) + P (g, g, v) + P (v, g, g) =
1
3
·
2
3
·
1
3
+
1
3
·
2
3
·
2
3
+
2
3
·
2
3
·
1
3
=
2
27
+
4
27
+
4
27
=
10
27
oder P (A) =
2
3
1 -
2
3
2
=
10
27
P (B) =
1
3
1 -
1
3
2
=
8
27
d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass das Kind gewinnt ist größer, wenn es zuerst gegen A spielt
5. Lösung:
Augensumme 9:
1,2,6:
6 Möglichkeiten
1,3,5:
6 Möglichkeiten
2,2,5:
3 Möglichkeiten
1,4,4:
3 Möglichkeiten
2,3,4:
6 Möglichkeiten
3,3,3:
1 Möglichkeit
= 25 günstige und 6
3
= 216 mögliche
P (Augensumme 9) =
25
216
0.01157
Augensumme 10:
Birgit Bergmann
2

Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
1,3,6:
6 Möglichkeiten
1,4,5:
6 Möglichkeiten
2,2,6:
3 Möglichkeiten
2,3,5:
6 Möglichkeiten
2,4,4:
3 Möglichkeiten
3,3,4:
3 Möglichkeiten
= 27 günstige
P (Augensumme 10) =
27
216
= 0.125
6. Lösung:
klar, weil es für 10er mehr Möglichkeiten gibt ((3, 3, 3) sieht gleich aus)
Mittelwert 10.5
näher beim Erwartungswert
7. Lösung:
P (mind. 1) = 1 -
2
100
·
5
100
= 0.999
8.
a) Lösung:
Mögliche: 37 (18 r, 18 s, 1g)
P (6 × 23) =
1
37
6
3.8975 · 10
-10
b) Lösung:
P (23|5 × 23) =
1
37
6
1
37
5
=
1
37
c) Lösung:
P (16|5 × 23) =
1
37
6
1
37
5
=
1
37
9. Lösung:
P(stammt aus Italien | isst Spaghetti) =
=
0.7·0.18
0.7·0.18+0.1·0.22+0.2·0.06+0.3·0.08+0.1·0.15+0.2·0.14+0.1·0.06+0.1·0.03+0.1·0.04+0.3·0.04
=
0.126
0.252
=
1
2
10. Lösung:
P (Einbruch|Alarm) =
0.01 · 0.97
0.01 · 0.97 + 0.99 · 0.04
0.1968
11.
a) Lösung:
P (bestehen) = P (X 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5)
P (X = 3) =
5
3
·
1
3
3
·
2
3
2
= 0.1646
Birgit Bergmann
3

Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
P (X = 4) =
5
4
·
1
3
4
·
2
3
1
= 0.0412
P (X = 4) =
5
5
·
1
3
4
·
2
3
0
= 0.0041
P (X 3) = 0.1646 + 0.0412 + 0.0041 = 0.2099
b) Lösung:
p = 0.2099 q = 1 - p = 0.7901
P (X 1) = 1 - P (X = 0)
3
= 1 -
3
0
· 0.2099
0
· 0.7901
3
= 1 - 0.4932 = 0.5068
c) Lösung:
mindestens 3 Punkte: 4 richtig + 1 falsch 3 Punkte bzw. 5 richtig + 0 falsch 5 Punkte
p(richtige Antwort) =
1
3
p(f alsche Antwort) =
2
3
P (X 3) = P (X = 4) + P (X = 5) = 0.0412 + 0.0041 = 0.0453
d) Lösung:
p(besteht) = 0.0453 q = 1 - p = 0.9547
P (X 1) = 1 - P (X = 0) = 1 -
3
0
· 0.0453
0
· 0.9547
3
= 1 - 0.8702 = 0.1298
12. Lösung:
1. Runde:
A gewinnt:
P =
2
6
= 13
3. Runde:
¬A, ¬B, A:
P =
4
6
·
3
6
·
2
6
=
2
18
=
1
9
5. Runde:
¬A, ¬B, ¬A, ¬B, A:
P =
4
6
·
3
6
·
4
6
·
3
6
·
2
6
=
2
54
=
1
27
P (A gewinnt) =
1
3
+
2
3
·
1
2
·
1
3
+
2
3
·
1
2
·
2
3
·
1
2
·
1
3
+ ... =
1
3
1 +
1
3
+
1
3
2
+ ... =
1
3
·
1
1 -
1
3
=
1
2
13.
a) Lösung:
= {KK, KZ, ZK, ZZ}
b) Lösung:
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
c) Lösung:
= {ZZZ, ZZK, ZKZ, ZKK, KZZ, KZK, KKZ, KKK}
Birgit Bergmann
4

Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
d) Lösung:
diskret: abhängig von Anzahl der Felder, z.B.: 8 Felder = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
stetig: = [0, 2)
e) Lösung:
= {1, 2, x} oder = {(0, 0), (0, 1), ...} endlich
f) Lösung:
=
A
K
D
B
10
g) Lösung:
=
A
K
D
B
10
9
8
7
6
5
4
3
2
h) Lösung:
= {positiv, negativ}
14.
(a) Lösung:
A
1
= {10, B, D, K, A}
A
2
= {10, B, D, K, A}
A
3
= {10, B, D, K, A}
A
4
= {10, B, D, K, A}
b) Lösung:
A = {Ass, Ass, Ass, Ass, ¬Ass} und |A| = 16 Möglichkeiten
c) Lösung:
z.B.: A = {A, A, A, B, B}
|A| =
4
3
Asse
·
4
2
Farben
·
4
Restliche
= 4 · 6 · 4 = 96 Möglichkeiten
d) Lösung:
A = {A, K, D, B, 10}
|A| = 4
5
· 4 = 1020 Möglichkeiten
Birgit Bergmann
5

Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
e) Lösung:
3 Könige (alle Farben) und 2 Damen (Herz, Karo)
f) Lösung:
4 Karten (A,K,D,B) haben diesselbe Farbe (Pik), 1 hat andere Farbe (¬ Pik)
15. Lösung:
z.z. P (A B) + P (A B) = P (A) + P (B)
N
n
(A B) + N
n
(A B) = N
n
(A) + N
n
(B), wobei N
n
(A) =
n
k=1
X
k
(A)
1. Fall: A B tritt ein
X(A) = 1, X(B) = 1, X(A b) = 1, X(A B) = 1 X(A B) + X(A B) = X(A) = X(B)
2.Fall: A tritt ein, B nicht
X(A) = 1, X(B) = 0, X(A B) = 1, X(A B) = 0
3.Fall: A tritt nicht ein,B schon
X(A) = 0, X(B) = 1, X(A B) = 1, X(A B) = 0
4.Fall: A B tritt nicht ein
X(A) = 0, X(B) = 0, X(A B) = 0, X(A B) = 0
N
n
(A B) + N
n
(A B) =
n
k=1
X
k
(A B) +
n
k=1
X
k
(A B) =
n
k=1
(X
k
(A B) + X
k
(A B)) =
n
k=1
(X
k
(A) + X
k
(B)) =
n
k=1
X
k
(A) +
n
k=1
X
k
(B) = N
n
(A) + N
n
(B) | : n, lim
n
16. Lösung:
P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B)
A\B, B\A, A B... paarweise disjunkt
A B = (A\B) (B\A) (A B)
P (A B) - P (A B) = P (A\B) + P (A B)
P (A)
+ P (B\A) + P (A B)
P (B)
17.
a) Lösung:
= {(
1
,
2
)|
j
(E, Z)}
b) Lösung:
A = {(
1
,
2
, ...) : j N : (
j
,
j+1
) = (Z, Z)}
c) Lösung:
3 mal hintereinander kommt nicht (Z,Z,Z) und wenn nach Zahl Edelweiß kommt, darf nicht wieder Zahl
kommen (Z,Z,Z), (Z,E,Z)
d) Lösung:
3 mal hintereinander kommt nicht Zahl oder: Zahl kann höchstens 2 mal hintereinander kommen
Birgit Bergmann
6

Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
e) Lösung:
überabzählbar viele Elemente
f) Lösung:
Wahrscheinlichkeit für beschriebenes Ereignis ist 0
18.
a) Lösung:
P (ABC f unktionieren) = 0.98 · 0.99 · 0.92 = 0.8926
b) Lösung:
P (mind. 1 f unktioniert) = 1-P (alle f allen aus) = 1-(0.02·0.01·0.08) = 1-1.6·10
-5
= 0.999984
Abbildung 1: Veranschaulichung
19.
Birgit Bergmann
7

Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
a) Lösung:
P (fehlerhaft) = 0.5 · 0.01 + 0.2 · 0.05 + 0.2 · 0.02 + 0.1 · 0.01 = 0.02
(Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
b) Lösung:
P (stammt aus B|ist fehlerhaft) =?
P (A|B) =
P (A B)
P (B)
=
0.2 · 0.05
0.5 · 0.01 + 0.2 · 0.05 + 0.2 · 0.02 + 0.1 · 0.01
=
0.01
0.02
= 0.5
20. Lösung:
P (landet in B|startet in A) =
P (startet in A und landet in B)
P (startet in A)
=
0.94
0.96
= 0.979166
21. Lösung:
P (M ¨
unze ist normal | 20 × E) =
999999
10
6
·
1
2
20
999999
10
6
·
1
2
20
+
1
10
6
· 1
20
= 0.4881
Abbildung 2: Veranschaulichung
22. Lösung:
P (defekt|Prüfverfahren zeigt Fehler) =
1
3
· 0.99
1
3
· 0.99 +
2
3
· 0.03
=
0.33
0.35
= 0.942857
23. Lösung:
P
Summe der 2 Zahlen
1
2
=?
x + y
1
2
y -x +
1
2
Abbildung 3: Veranschaulichung
Birgit Bergmann
8

Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
P =
|A|
||
=
A
A
=
1
2
2
·
1
2
1
=
1
8
24. Lösung:
Abbildung 4: Veranschaulichung
x + y t
t [0, 2]
x + y 0 y -x
x + y 2 y -x + 2
Fall 1: t 1 P =
t
2
2
Abbildung 5: Veranschaulichung
Fall 2: 1 < t < 2, t > 1 || = 1 und |A| = t
Abbildung 6: Veranschaulichung
Birgit Bergmann
9

Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
Abbildung 7: Veranschaulichung
|A| =
t
2
2
-2
(t - 1)
2
2
=
t
2
2
-(t-1)
2
=
t
2
2
-(t
2
-2t+1) =
t
2
2
-t
2
+2t-1 =
t
2
2
-
2t
2
2
+2t-1 = -
t
2
2
+2t-1
P =
|A|
||
= -
t
2
2
+ 2t - 1
Birgit Bergmann
10

Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
25. Lösung:
P (Angeklagter | gef undene Lackspuren) =
1
10
6
· 0.999
1
10
6
· +
999999
10
6
· 0.005
= 0.00019976
26. Lösung:
P (es ist dieser W ¨
urf el | 5555) =
0.002 ·
5
6
4
1
500
·
5
6
4
+
9
500
·
2
6
4
+
9
500
· 0
4
+
48
500
·
1
6
4
=
625
1250
=
1
2
27. Lösung:
P (R¨
uckseite rot | V orderseite rot) =
1
3
· 1
1
3
· 1 +
1
3
· 0 +
1
3
·
1
2
=
2
3
28.
a) Lösung:
P (1.Antwort f alsch | AssistentIn sagt 3. f alsch) =
11
30
·
1
2
11
30
·
1
2
+
3
10
· 1 +
1
3
· 0
=
11
29
0.3793
b) Lösung:
P (2.Antwort richtig | AssistentIn sagt 3, f alsch) = 1 - P (a) = 1 - 0.3793 = 0.6107
29.
a) Lösung:
5 · 3 · 6 = 90 verscheidene Typen
b) Lösung:
Basic:
4 Möglichkeiten
Comfort:
3 · 6 + 2 · 4 = 26 Möglichkeiten
Luxus:
3 · 4 + 2 · 2 = 16 Möglichkeiten
= 46 Möglichkeiten
c) Lösung:
1.5 l B
B(w,r,grün)
C(6)
l(6)
1.8 l B
C(6)
L(6)
2.2 l B
S(r,s)
2.0 l D
B(w,r,grün)
C(6)
l(6)
2.2 l D
C(b, grün, grau)
S(r,s)
= 49 Möglichkeiten
30.
a) Lösung:
4 · 3 · 2 · 1 = 4! = 24 Möglichkeiten
b) Lösung:
2 · 3 · 2 · 1 = 3! + 3! = 12 Möglichkeiten
31. Lösung:
8 Spiele pro Runde und 2×15 Runden
2 · 15 · 8 = 240 Spiele (120 Spiele pro Runde)
Birgit Bergmann
11
Ende der Leseprobe aus 55 Seiten

Details

Titel
Lösung zur Übung "Stochastik für Lehramtskandidaten"
Hochschule
Universität Wien  (Fakultät für Mathematik)
Veranstaltung
Übung Stochastik für Lehramtskandidaten
Note
1
Autor
Jahr
2013
Seiten
55
Katalognummer
V302080
ISBN (eBook)
9783668009738
ISBN (Buch)
9783668009745
Dateigröße
1500 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Stochastik, Lehramt, Raith
Arbeit zitieren
Birgit Bergmann (Autor), 2013, Lösung zur Übung "Stochastik für Lehramtskandidaten", München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/302080

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