Leseprobe
U
NIVERSITÄT
W
IEN
F
AKULTÄT FÜR
M
ATHEMATIK
Lösungen zu den Beispielen aus Stochastik für LAK
abgetippt von:
Birgit B
ERGMANN
Sommersemester 2013
Erstellt mit L
A
TEX
Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
Die Angaben der Beispiele sind unter http://www.mat.univie.ac.at/~peter/psstl13.pdf zu finden.
1. Lösung:
mögliche: 37 Felder (18 schwarz, 18 rot, 1 grün)
günstige: 18 Felder
2. Lösung:
6 Kugeln (AN AN AS 3 × A, 2 × N, 1 × S)
P (AN N A) =
3
6
·
2
5
·
1
4
·
2
3
=
1
30
3.
a) Lösung:
P (5er) =
6
5
39
1
45
6
=
6 · 39
8145060
2.873 · 10
-5
b) Lösung:
P (3er) =
6
3
39
3
45
6
=
20 · 9139
8145060
=
1
50
0.0244
4. Lösung:
P(C gewinnt gegen ABA) = P (g, g, g) + P (g, g, v) + P (v, g, g) =
1
3
·
2
3
·
1
3
+
1
3
·
2
3
·
2
3
+
2
3
·
2
3
·
1
3
=
2
27
+
4
27
+
4
27
=
10
27
oder P (A) =
2
3
1 -
2
3
2
=
10
27
P (B) =
1
3
1 -
1
3
2
=
8
27
d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass das Kind gewinnt ist größer, wenn es zuerst gegen A spielt
5. Lösung:
Augensumme 9:
1,2,6:
6 Möglichkeiten
1,3,5:
6 Möglichkeiten
2,2,5:
3 Möglichkeiten
1,4,4:
3 Möglichkeiten
2,3,4:
6 Möglichkeiten
3,3,3:
1 Möglichkeit
= 25 günstige und 6
3
= 216 mögliche
P (Augensumme 9) =
25
216
0.01157
Augensumme 10:
Birgit Bergmann
2
Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
1,3,6:
6 Möglichkeiten
1,4,5:
6 Möglichkeiten
2,2,6:
3 Möglichkeiten
2,3,5:
6 Möglichkeiten
2,4,4:
3 Möglichkeiten
3,3,4:
3 Möglichkeiten
= 27 günstige
P (Augensumme 10) =
27
216
= 0.125
6. Lösung:
klar, weil es für 10er mehr Möglichkeiten gibt ((3, 3, 3) sieht gleich aus)
Mittelwert 10.5
näher beim Erwartungswert
7. Lösung:
P (mind. 1) = 1 -
2
100
·
5
100
= 0.999
8.
a) Lösung:
Mögliche: 37 (18 r, 18 s, 1g)
P (6 × 23) =
1
37
6
3.8975 · 10
-10
b) Lösung:
P (23|5 × 23) =
1
37
6
1
37
5
=
1
37
c) Lösung:
P (16|5 × 23) =
1
37
6
1
37
5
=
1
37
9. Lösung:
P(stammt aus Italien | isst Spaghetti) =
=
0.7·0.18
0.7·0.18+0.1·0.22+0.2·0.06+0.3·0.08+0.1·0.15+0.2·0.14+0.1·0.06+0.1·0.03+0.1·0.04+0.3·0.04
=
0.126
0.252
=
1
2
10. Lösung:
P (Einbruch|Alarm) =
0.01 · 0.97
0.01 · 0.97 + 0.99 · 0.04
0.1968
11.
a) Lösung:
P (bestehen) = P (X 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5)
P (X = 3) =
5
3
·
1
3
3
·
2
3
2
= 0.1646
Birgit Bergmann
3
Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
P (X = 4) =
5
4
·
1
3
4
·
2
3
1
= 0.0412
P (X = 4) =
5
5
·
1
3
4
·
2
3
0
= 0.0041
P (X 3) = 0.1646 + 0.0412 + 0.0041 = 0.2099
b) Lösung:
p = 0.2099 q = 1 - p = 0.7901
P (X 1) = 1 - P (X = 0)
3
= 1 -
3
0
· 0.2099
0
· 0.7901
3
= 1 - 0.4932 = 0.5068
c) Lösung:
mindestens 3 Punkte: 4 richtig + 1 falsch 3 Punkte bzw. 5 richtig + 0 falsch 5 Punkte
p(richtige Antwort) =
1
3
p(f alsche Antwort) =
2
3
P (X 3) = P (X = 4) + P (X = 5) = 0.0412 + 0.0041 = 0.0453
d) Lösung:
p(besteht) = 0.0453 q = 1 - p = 0.9547
P (X 1) = 1 - P (X = 0) = 1 -
3
0
· 0.0453
0
· 0.9547
3
= 1 - 0.8702 = 0.1298
12. Lösung:
1. Runde:
A gewinnt:
P =
2
6
= 13
3. Runde:
¬A, ¬B, A:
P =
4
6
·
3
6
·
2
6
=
2
18
=
1
9
5. Runde:
¬A, ¬B, ¬A, ¬B, A:
P =
4
6
·
3
6
·
4
6
·
3
6
·
2
6
=
2
54
=
1
27
P (A gewinnt) =
1
3
+
2
3
·
1
2
·
1
3
+
2
3
·
1
2
·
2
3
·
1
2
·
1
3
+ ... =
1
3
1 +
1
3
+
1
3
2
+ ... =
1
3
·
1
1 -
1
3
=
1
2
13.
a) Lösung:
= {KK, KZ, ZK, ZZ}
b) Lösung:
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
c) Lösung:
= {ZZZ, ZZK, ZKZ, ZKK, KZZ, KZK, KKZ, KKK}
Birgit Bergmann
4
Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
d) Lösung:
diskret: abhängig von Anzahl der Felder, z.B.: 8 Felder = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
stetig: = [0, 2)
e) Lösung:
= {1, 2, x} oder = {(0, 0), (0, 1), ...} endlich
f) Lösung:
=
A
K
D
B
10
g) Lösung:
=
A
K
D
B
10
9
8
7
6
5
4
3
2
h) Lösung:
= {positiv, negativ}
14.
(a) Lösung:
A
1
= {10, B, D, K, A}
A
2
= {10, B, D, K, A}
A
3
= {10, B, D, K, A}
A
4
= {10, B, D, K, A}
b) Lösung:
A = {Ass, Ass, Ass, Ass, ¬Ass} und |A| = 16 Möglichkeiten
c) Lösung:
z.B.: A = {A, A, A, B, B}
|A| =
4
3
Asse
·
4
2
Farben
·
4
Restliche
= 4 · 6 · 4 = 96 Möglichkeiten
d) Lösung:
A = {A, K, D, B, 10}
|A| = 4
5
· 4 = 1020 Möglichkeiten
Birgit Bergmann
5
Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
e) Lösung:
3 Könige (alle Farben) und 2 Damen (Herz, Karo)
f) Lösung:
4 Karten (A,K,D,B) haben diesselbe Farbe (Pik), 1 hat andere Farbe (¬ Pik)
15. Lösung:
z.z. P (A B) + P (A B) = P (A) + P (B)
N
n
(A B) + N
n
(A B) = N
n
(A) + N
n
(B), wobei N
n
(A) =
n
k=1
X
k
(A)
1. Fall: A B tritt ein
X(A) = 1, X(B) = 1, X(A b) = 1, X(A B) = 1 X(A B) + X(A B) = X(A) = X(B)
2.Fall: A tritt ein, B nicht
X(A) = 1, X(B) = 0, X(A B) = 1, X(A B) = 0
3.Fall: A tritt nicht ein,B schon
X(A) = 0, X(B) = 1, X(A B) = 1, X(A B) = 0
4.Fall: A B tritt nicht ein
X(A) = 0, X(B) = 0, X(A B) = 0, X(A B) = 0
N
n
(A B) + N
n
(A B) =
n
k=1
X
k
(A B) +
n
k=1
X
k
(A B) =
n
k=1
(X
k
(A B) + X
k
(A B)) =
n
k=1
(X
k
(A) + X
k
(B)) =
n
k=1
X
k
(A) +
n
k=1
X
k
(B) = N
n
(A) + N
n
(B) | : n, lim
n
16. Lösung:
P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B)
A\B, B\A, A B... paarweise disjunkt
A B = (A\B) (B\A) (A B)
P (A B) - P (A B) = P (A\B) + P (A B)
P (A)
+ P (B\A) + P (A B)
P (B)
17.
a) Lösung:
= {(
1
,
2
)|
j
(E, Z)}
b) Lösung:
A = {(
1
,
2
, ...) : j N : (
j
,
j+1
) = (Z, Z)}
c) Lösung:
3 mal hintereinander kommt nicht (Z,Z,Z) und wenn nach Zahl Edelweiß kommt, darf nicht wieder Zahl
kommen (Z,Z,Z), (Z,E,Z)
d) Lösung:
3 mal hintereinander kommt nicht Zahl oder: Zahl kann höchstens 2 mal hintereinander kommen
Birgit Bergmann
6
Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
e) Lösung:
überabzählbar viele Elemente
f) Lösung:
Wahrscheinlichkeit für beschriebenes Ereignis ist 0
18.
a) Lösung:
P (ABC f unktionieren) = 0.98 · 0.99 · 0.92 = 0.8926
b) Lösung:
P (mind. 1 f unktioniert) = 1-P (alle f allen aus) = 1-(0.02·0.01·0.08) = 1-1.6·10
-5
= 0.999984
Abbildung 1: Veranschaulichung
19.
Birgit Bergmann
7
Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
a) Lösung:
P (fehlerhaft) = 0.5 · 0.01 + 0.2 · 0.05 + 0.2 · 0.02 + 0.1 · 0.01 = 0.02
(Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
b) Lösung:
P (stammt aus B|ist fehlerhaft) =?
P (A|B) =
P (A B)
P (B)
=
0.2 · 0.05
0.5 · 0.01 + 0.2 · 0.05 + 0.2 · 0.02 + 0.1 · 0.01
=
0.01
0.02
= 0.5
20. Lösung:
P (landet in B|startet in A) =
P (startet in A und landet in B)
P (startet in A)
=
0.94
0.96
= 0.979166
21. Lösung:
P (M ¨
unze ist normal | 20 × E) =
999999
10
6
·
1
2
20
999999
10
6
·
1
2
20
+
1
10
6
· 1
20
= 0.4881
Abbildung 2: Veranschaulichung
22. Lösung:
P (defekt|Prüfverfahren zeigt Fehler) =
1
3
· 0.99
1
3
· 0.99 +
2
3
· 0.03
=
0.33
0.35
= 0.942857
23. Lösung:
P
Summe der 2 Zahlen
1
2
=?
x + y
1
2
y -x +
1
2
Abbildung 3: Veranschaulichung
Birgit Bergmann
8
Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
P =
|A|
||
=
A
A
=
1
2
2
·
1
2
1
=
1
8
24. Lösung:
Abbildung 4: Veranschaulichung
x + y t
t [0, 2]
x + y 0 y -x
x + y 2 y -x + 2
Fall 1: t 1 P =
t
2
2
Abbildung 5: Veranschaulichung
Fall 2: 1 < t < 2, t > 1 || = 1 und |A| = t
Abbildung 6: Veranschaulichung
Birgit Bergmann
9
Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
Abbildung 7: Veranschaulichung
|A| =
t
2
2
-2
(t - 1)
2
2
=
t
2
2
-(t-1)
2
=
t
2
2
-(t
2
-2t+1) =
t
2
2
-t
2
+2t-1 =
t
2
2
-
2t
2
2
+2t-1 = -
t
2
2
+2t-1
P =
|A|
||
= -
t
2
2
+ 2t - 1
Birgit Bergmann
10
Stochastik für LAK
Sommersemester 2013
25. Lösung:
P (Angeklagter | gef undene Lackspuren) =
1
10
6
· 0.999
1
10
6
· +
999999
10
6
· 0.005
= 0.00019976
26. Lösung:
P (es ist dieser W ¨
urf el | 5555) =
0.002 ·
5
6
4
1
500
·
5
6
4
+
9
500
·
2
6
4
+
9
500
· 0
4
+
48
500
·
1
6
4
=
625
1250
=
1
2
27. Lösung:
P (R¨
uckseite rot | V orderseite rot) =
1
3
· 1
1
3
· 1 +
1
3
· 0 +
1
3
·
1
2
=
2
3
28.
a) Lösung:
P (1.Antwort f alsch | AssistentIn sagt 3. f alsch) =
11
30
·
1
2
11
30
·
1
2
+
3
10
· 1 +
1
3
· 0
=
11
29
0.3793
b) Lösung:
P (2.Antwort richtig | AssistentIn sagt 3, f alsch) = 1 - P (a) = 1 - 0.3793 = 0.6107
29.
a) Lösung:
5 · 3 · 6 = 90 verscheidene Typen
b) Lösung:
Basic:
4 Möglichkeiten
Comfort:
3 · 6 + 2 · 4 = 26 Möglichkeiten
Luxus:
3 · 4 + 2 · 2 = 16 Möglichkeiten
= 46 Möglichkeiten
c) Lösung:
1.5 l B
B(w,r,grün)
C(6)
l(6)
1.8 l B
C(6)
L(6)
2.2 l B
S(r,s)
2.0 l D
B(w,r,grün)
C(6)
l(6)
2.2 l D
C(b, grün, grau)
S(r,s)
= 49 Möglichkeiten
30.
a) Lösung:
4 · 3 · 2 · 1 = 4! = 24 Möglichkeiten
b) Lösung:
2 · 3 · 2 · 1 = 3! + 3! = 12 Möglichkeiten
31. Lösung:
8 Spiele pro Runde und 2×15 Runden
2 · 15 · 8 = 240 Spiele (120 Spiele pro Runde)
Birgit Bergmann
11
Ende der Leseprobe aus 55 Seiten
- Arbeit zitieren
- Birgit Bergmann (Autor), 2013, Lösung zur Übung "Stochastik für Lehramtskandidaten", München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/302080
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