Die vorliegende Arbeit stellt eine Prüfungsvorbereitung für reelle Analysis in mehreren Variablen für Lehramtskandidaten dar.
Behandelt werden sowohl Funktionenfolgen sowie Differentialrechnung.
Aus dem Inhalt:
Funktionenfolge
Sei M eine Menge von Funktionen, die alle auf A ⊆ C definiert sind und Werte in R [C] annehmen. Eine Folge in M
heißt Funktionenfolge auf A. Wir schreiben für die Folge meist (fn)n∈N, (fn)n oder (fn)
Punktweise Konvergenz
Eine Funktionenfolge (fn)n auf A konvergiert punktweise gegen eine Funktion f : A → R [C], falls
∀x ∈ A ∀ε > 0 ∃N(ε, x) ∀n ≥ N : |fn(x) − f(x)| < ε
Inhaltsverzeichnis
5 FUNKTIONENFOLGEN UND -REIHEN
5.1 § 1 PUNKTWEISE UND GLEICHMÄSSIGE KONVERGENZ
5.1.1 Definitionen
5.1.2 Sätze mit Beweisen
5.2 § Z ZWISCHENSPIEL: SÄGEZAHN- UND HAIFISCHZAHNFUNKTION
5.2.1 Definitionen
5.2.2 Sätze mit Beweisen
5.3 § 2 POTENZREIHEN
5.3.1 Definitionen
5.3.2 Sätze mit Beweisen
5.4 § 3 SATZ VON
5.4.1 Definitionen
5.4.2 Sätze mit Beweisen
5.5 § 4 FOURIER-REIHEN (NICHT PRÜFUNGSRELEVANT)
5.5.1 Definitionen
6 DIFFERENTIALRECHNUNG IM Rn
6.1 § 1 TOPOLOGIE DES Rn
6.1.1 Definitionen
6.1.2 Sätze mit Beweisen
6.2 § 2 FUNTIONEN VON Rn NACH Rm: GRUNDBEGRIFFE UND STETIGKEIT
6.2.1 Definitionen
6.2.2 Sätze mit Beweisen
6.2.3 Grundideen und Veranschaulichung
6.3 § 3 DIFFERENZIERBARE FUNKTIONEN
6.3.1 Definitionen
6.3.2 Sätze mit Beweisen
6.3.3 Grundideen und Veranschaulichung
6.4 § 4 EIGENSCHAFTEN DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN
6.4.1 Mitterwertsätze
6.4.2 Satz von Taylor
6.4.3 Der Satz über implizite Funktionen
6.4.4 Umkehrsatz (Problem der Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion)
6.4.5 Extremwerte
7 INTEGRATION
7.1 § 1 WEGE UND KURVEN
7.2 § 2 KURVENINTEGRALE
7.3 § 3 MEHRFACHINTEGRALE
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit bietet eine mathematisch fundierte Einführung in die Analysis im mehrdimensionalen Raum. Sie zielt darauf ab, Studierenden der Lehramtsstudiengänge (LAK) die Konzepte der reellen Analysis in mehreren Variablen sowie der komplexen Analysis in einer Variable zugänglich zu machen, wobei der Fokus auf Definitionen, Sätzen und Beweisen liegt.
- Konvergenzverhalten von Funktionenfolgen und -reihen
- Grundlagen der Differentialrechnung im n-dimensionalen Raum (Topologie, Stetigkeit, Differenzierbarkeit)
- Eigenschaften und Anwendungen differenzierbarer Funktionen (Mittelwertsätze, Taylor-Reihen, Extrema)
- Integrationstheorie: Wege, Kurvenintegrale und Mehrfachintegrale
- Methoden zur Bestimmung von Stammfunktionen und Substitutionsverfahren
Auszug aus dem Buch
Proposition: Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit
Sei (fn) eine Folge stetiger Funktionen auf A (⊆ C). Falls fn → f gleichmäßig, dann ist f stetig auf A.
Beweis: (klassischer ε/3-Beweis)
Sei x ∈ A, z.z. f stetig in x
Sei ε > 0: fn glm → f ⇒∃N ∀x ∈ A : |fN (x) − f(x)| < ε/3 (*)
fN stetig ⇒ ∃δ > 0 ∀x ∈ A mit |x − x'| < δ ⇒ |fN (x) − fN (x')| < ε/3 (**)
⇒ ∀x' ∈ A mit |x − x'| < δ: |f(x) − f(x')| ≤ |f(x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x')| + |fN (x') − f(x')| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε
Zusammenfassung der Kapitel
5 FUNKTIONENFOLGEN UND -REIHEN: Dieses Kapitel behandelt das Konvergenzverhalten von Funktionen, einschließlich punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz sowie Potenzreihen.
6 DIFFERENTIALRECHNUNG IM Rn: Hier werden die topologischen Grundlagen des n-dimensionalen Raums sowie die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen detailliert erläutert.
7 INTEGRATION: Dieses Kapitel widmet sich der Theorie der Integration, unter anderem durch Wegintegrale, Kurvenintegrale und Mehrfachintegrale bis hin zu Substitutionsverfahren.
Schlüsselwörter
Analysis, Mehrdimensionale Analysis, Funktionenfolgen, Gleichmäßige Konvergenz, Differentialrechnung, Topologie, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Jacobi-Matrix, Gradient, Taylor-Formel, Kurvenintegral, Mehrfachintegral, Fubini, Substitutionsregel
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in diesem Lehrmaterial grundsätzlich?
Die Unterlage behandelt die mathematischen Grundlagen der Analysis im Mehrdimensionalen sowie der komplexen Analysis, speziell konzipiert für das Studium Lehramt Mathematik.
Welches sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die zentralen Themen umfassen Funktionenfolgen und -reihen, die Differentialrechnung im n-dimensionalen Raum sowie die Integrationstheorie (Kurven- und Mehrfachintegrale).
Was ist das primäre Ziel dieses Dokuments?
Das Ziel ist die strukturierte Zusammenfassung und Vermittlung von mathematischen Definitionen, Sätzen und deren Beweisen, um ein fundiertes Verständnis der Analysis zu ermöglichen.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden angewendet?
Die Arbeit basiert auf klassischer mathematischer Beweisführung, wie zum Beispiel dem ε/3-Beweis bei Grenzwertbetrachtungen oder der Anwendung des Satzes von Weierstraß.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Untersuchung von Funktionenfolgen, die Differentialrechnung im Rn (inklusive Umkehrsätze und Extrema) sowie die Integration über Gebiete und Kurven.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren diese Arbeit?
Wichtige Begriffe sind unter anderem gleichmäßige Konvergenz, Differenzierbarkeit, Gradientenfelder, Taylor-Entwicklungen sowie die Sätze von Fubini und Heine-Borel.
Wie wird das Konzept der "Sägezahnfunktion" in der Analysis eingeordnet?
Sie dient als exemplarisches Zwischenspiel, um die Unterschiede zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz bei Funktionenreihen zu veranschaulichen.
Was besagt das Prinzip von Cavalieri in Bezug auf die Volumenberechnung?
Es erlaubt die Berechnung von Volumina durch Integration von Flächeninhalten einzelner "Schnitte" des betrachteten Körpers, was häufig als "Salamitaktik" bezeichnet wird.
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- Birgit Bergmann (Autor), 2013, Reelle Analysis in mehreren Variablen und komplexe Analysis in einer Variable, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/302083
