Mathematik und Mathematiker im Film

Inhalt

1. Einleitung

2. Spielfilme mit und ohne biographischen Hintergrund
2.1 „A Beautiful Mind“
2.1.1 Inhalt
2.1.2 Mathematische Hintergründe
2.1.3 Das Leben des John Nash
2.1.4 John Nash und das Leben mit seiner Krankheit
2.1.5 Kritik am Film
2.2 „Good Will Hunting“
2.2.1. Inhalt
2.2.2. Mathematische Hintergründe
2.2.3 Kritik am Film

3. Dokumentation
3.1. „Die Musik der Primzahlen“
3.1.1. Inhalt
3.1.2. Mathematische Hintergründe

4. Kurzfilm
4.1 Möbius Transformationen beleuchtet
4.1.1 Die Mathematik der Möbiustransformation
4.1.2 Die Darstellung der Möbiustransformation im Film

5.Schluss

Definitionsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Anhang 1

Bibliographie

1. Einleitung

In Film und Fernsehen kommt die Mathematik häufig vor. Oft wird bereits in den Filmtiteln ein Bezug zur Mathematik hergestellt. Es stellt sich jedoch die Frage: Ist die Mathematik in den Filmen ausführlich und fachlich richtig dargestellt? Oder spekulieren die Filmemacher auf das Unwissen der Bevölkerung? Hoffen sie, die Zuschauer würden eine unkorrekte Darstellung der Mathematik nicht erkennen? Diese Fragen sind Thema der folgenden Arbeit.

Die Auswahl der Filme basiert auf einer persönlichen Entscheidung. „A Beautiful Mind“ und „Good Will Hunting“ sind zwei Spielfilme mit mathematischem Grundstock. Die Handlung in „A Beautiful Mind“ ist sehr umfangreich und deshalb ist es zunächst nicht leicht, die Mathematik in dem Film zu erkennen. Mit ausreichend Hintergrundwissen jedoch, treten die mathematischen Szenen in den Vordergrund. In „Good Will Hunting“ ist die Mathematik an vielen Stellen deutlich sichtbar. Doch stellt sich hier die Frage, ob dies „echte“ Mathematik ist. Dieser Frage nachzugehen, war schon lange ein Wunsch meinerseits.

Neben zahlreichen Spielfilmen gibt es auch Dokumentationen über Mathematik oder Mathematiker. Für den Zuschauer ist es hier deutlich einfacher, die mathematischen Probleme zu erkennen. „Die Musik der Primzahlen“ ist eine Dokumentationsreihe, welche sich dem Geheimnis der Primzahlen widmet. Die Primzahlen haben schon immer einen Reiz auf die Menschen und auch auf mich ausgeübt. Deshalb ist diese Dokumentation Teil der Arbeit.

Weiterhin fiel mein Blick auf eine Reihe von Kurzfilmen. Ist es möglich einen komplizierten mathematischen Sachverhalt in einem Film mit einer Dauer von wenigen Minuten verständlich zu erklären? Wie wird die Mathematik hierbei dargestellt? Unter diesem Gesichtspunkt wird der Film „Möbius-Transformationen beleuchtet“ analysiert.

Nach allgemeinen Informationen bezüglich der Filme folgt zunächst einmal zu jedem der Werke eine Inhaltsangabe. Danach werden die mathematischen Sachverhalte dargestellt. Dabei gibt die Arbeit immer einen Einblick in das entsprechende Teilgebiet der Mathematik, bevor die in den Filmen präsentierte Mathematik genauer betrachtet wird. Dies ist wichtig, um den mathematischen Erläuterungen aus den Filmen folgen zu können.

Der Film „A Beautiful Mind“ hat einen autobiographischen Hintergrund. Deshalb finden sich in der Arbeit Angaben zu Person und Leben des Mathematikers John Nash.

Zum Abschluss greift die Arbeit den Gedanken einer möglichen Anwendung von Filmen mit mathematischem Hintergrund im Unterricht auf.

2. Spielfilme mit und ohne biographischen Hintergrund

2.1 „A Beautiful Mind“

Ausgezeichnet mit vier Golden Globes und vier Oscars, zählt „A Beautiful Mind“ zu einem der erfolgreichsten Mathematik­filme. Der Film basiert auf der 1998 erschienenen schriftli­chen Biographie, verfasst von Sylvia Nasar. Das Buch erzählt die Lebensgeschichte des geni­alen Mathematikers John Nash

(vgl. [13]).

Die Verfilmung erfolgte drei Jahre nach dem Erscheinen des Buches. Die Biographie und der Film haben den identischen Titel „A Beautiful Mind“. Dem Regisseur Ron Howard ist es gelungen, dem Zuschauer durch seinen Film die bewegende Lebensgeschichte des John Nash nahe zu bringen. Nashs Erfolge als talentierter, junger Mathematiker, der Ausbruch seiner Krankheit, der Schizophrenie, sowie sein Umgang mit dieser und letztendlich die unglaubliche Tatsache der Erholung seines Geistes werden in der Verfilmung umfassend dargestellt. Howard erklärt durch geeignete Filmszenen einfach und plausibel einige der mathematischen Ideen von John Nash. Dabei hebt er besonders Nashs Überlegungen bezüglich der Spieltheorie hervor, welche bis heute entscheidend zur Entwicklung der Mathematik in besagtem Bereich beigetragen haben. Hierdurch kommt auch der Zusammenhang zwischen der Mathematik und der Wirtschaft zum Ausdruck. Neben diesen fachlichen Sachverhalten spiegelt „A Beautiful Mind“ auch die Person John Nash mit all ihren charakterlichen Facetten wieder. Der Zuschauer bekommt einen Eindruck von einem Leben, welches von einer Geisteskrankheit wie der para­noiden Schizophrenie geprägt ist. Die Verfilmung verdeutlicht somit wie nahe Genie und Wahnsinn tatsächlich beieinander liegen können (vgl. [1] & [13]).

2.1.1 Inhalt

Es ist das Jahr 1947 und John Forbes Nash Jr. tritt sein Mathematikstudium an der Elite-Universität Princeton an. Als ein recht zurückhaltender und sonderbarer junger Mann findet Nash zu den anderen Studenten schwer Kontakt, da er kein Interesse an oberflächlichen Nettigkeiten und Gesprächen zeigt. Selbst die Lehrveranstaltungen an der Universität entsprechen nicht seinem gedanklichen Niveau und er beschließt schlicht, diese nicht weiter zu besuchen. „Vorlesungen hindern den Geist am Denken“ (Filmzitat). Als exzentrischer Mathematiker wird Nash von der fixen Idee getrieben, eine einzigartige und durchschlagende Theorie zu entwickeln und zu verfeinern. Sein Ziel ist es, sich durch herausragende Leistungen von dem gewohnten Durchschnitt der Studenten abzuheben.

Soziale Kontakte bleiben für ihn weitestgehend uninteressant und lenken ihn von seiner Arbeit ab. Einzig und allein sein Zimmergenosse wird ihm zum wahren Freund. Nash ist zwar anfangs verunsichert, da er in Princeton eigentlich in einem Einzelzimmer wohnen soll. Doch die Skepsis verfliegt schnell und die beiden verstehen sich hervorragend.

Nach anfänglichen Schwierigkeiten, und nachdem seine Mitstudenten bereits einige bahnbrechenden Dissertationen veröffentlicht hatten, gelingt schließlich auch Nash der Durchbruch. Seine Arbeit bezüglich der Spieltheorie verzeichnet, gerade auch im Bereich der Wirtschaftswissenschaft, enormen Erfolg. Er hat sein Ziel erreicht. Doch die Mathematik lässt ihn nicht los und schon bald darauf erhält er einen Ruf als Dozent an die Universität.

Als das Pentagon auf ihn aufmerksam wird und ihn um Hilfe in einer streng geheimen Staatsangelegenheit bittet, hat ihn die Mathematik völlig in den Bann gezogen. Nash soll für die Regierung komplizierte Codes knacken, welche von den Russen in Artikeln sämtlicher amerikanischer Zeitungen und Zeitschriften versteckt sind. Bald sieht Nash in beinahe jeder Zeile, und sei sie noch so kurz und nichtssagend, eine geheime Botschaft. Die Ergebnisse seiner Recherchen muss Nash regelmäßig in einen eigens dafür vorgesehenen Briefkasten werfen. Diese Arbeit beherrscht schon bald sein Leben. Und auch als er Alicia, eine seiner Studentinnen, heiratet, hört dies nicht auf. Keiner der Menschen in seinem Umfeld weiß von diesem „top-secret“ Auftrag.

Nach und nach entwickelt Nash eine Art Verfolgungswahn. Gibt er seine Ergebnisse in dem Briefkasten ab, fühlt er sich beobachtet. Die Russen scheinen hinter sein Vorhaben gekommen zu sein. Sie möchten ihn daran hindern, ihre gutverschlüsselten Codes zu knacken. Sein Verhalten wird immer merkwürdiger und schließlich ahnt Alicia, dass etwas nicht stimmt.

Nach einer erneuten „Verfolgungsjagd“ wacht John Nash in einer Klinik auf. Ein ihm bisher unbekannter Arzt stellt die Diagnose Schizophrenie. Plötzlich sollen sein Zimmergenosse und der Geheimauftrag der Regierung schlichte Einbildung gewesen sein. Nash ist verzweifelt. Die Personen, welche sein Leben bereichert und geprägt haben, sollen in der Realität nicht existieren. Eine Welt bricht für ihn zusammen. Es beginnt eine schwierige Zeit für ihn, in der er sich im ständigen Zwist zwischen Realität und Illusion befindet.

John Nash lernt mit seiner Krankheit umzugehen. Die Halluzinationen, also die eingebildeten Personen, verschwinden nicht. Er weiß aber, dass sie nicht real sind und nur in seiner Vorstellung existieren. Dies ist sein Schlüssel zum Tor aus der Krankheit. Er tritt nicht mehr mit diesen Personen in Kontakt, ignoriert sie. Bei ihm fremden Personen, die ein Gespräch mit ihm suchen, versichert sich Nash bei umstehenden Leuten. Ist derjenige für andere auch sichtbar, so kann er sich sicher sein, dass es sich nicht um eine Ausgeburt seines verdrehten Verstandes handelt.

Zum Abschluss der Geschichte erhält John Nash den Nobel-Preis für Wirtschaftswissenschaften für seine Dissertation über die Spieltheorie (vgl. [1]).

2.1.2 Mathematische Hintergründe

Die Mathematik wird in dem Film von Ron Howard nur an einigen wenigen Stellen aufgezeigt. Obwohl John Nash drei Begriffe der Spieltheorie (Nash-Gleichgewicht, Nash-Lösung, Nash-Problem), sowie zahlreiche Beiträge in der Analysis und der Geometrie hervorgebracht hat, konzentriert sich die Aufmerksamkeit der Öffentlichkeit fast ausschließlich auf das „Nash-Gleichgewicht“. Dies liegt vor allem daran, dass die Verfilmung sich hauptsächlich auf diesen einen mathematischen Sachverhalt beschränkt. Andere Mathematiker merken hierbei an, dass sie Nashs weitere Entdeckungen für mindestens genauso durchschlagend halten wie das Nash-Gleichgewicht. Sie bedauern es, dass der Name Nash durch den Medienrummel fast ausschließlich mit diesem einen mathematischen Aspekt in Verbindung gebracht wird (vgl. [4], S.185/186).

Da der Begriff des Nash-Gleichgewichts zu den zentralen Objekten der Spieltheorie zählt, wird vor der Herleitung und Erklärung des Gleichgewichtes zunächst auch allgemein auf die Spieltheorie eingegangen. Diese Vorkenntnisse dienen für weitere Definitionen und Erläuterungen als Grundlage.

2.1.2.1 Die Spieltheorie – der Grundgedanke

Bei dem Begriff Nash-Gleichgewicht handelt es sich um einen essentiellen Begriff der Spieltheorie. Was ist überhaupt die Spieltheorie? Wie erklärt man ein Spiel?

1928 legte John von Neumann durch seine Arbeit „Zur Theorie der Gesellschaftsspiele“ den Grundstein für die Spieltheorie (vgl. [3], Einleitung). Die Spieltheorie ist keineswegs ein mathematisches Verfahren, durch welches die Ausgänge eines Zufallsexperimentes vorausgesagt werden können. Niemand kann, durch welche Rechnung auch immer, die individuelle Entscheidung eines Spielers während eines Spielverlaufes vorhersagen. Die Spieltheorie beschäftigt sich auf Grund dessen hauptsächlich mit dem Modellieren und dem Analysieren von Spielen. Wissenschaftler versuchen, durch Untersuchungen von Strategien und Entscheidungen eine Antwort auf die Frage, was eigentlich rationales Handeln bedeutet, zu finden (vgl. [15]). So kann die Spieltheorie allenfalls einen Ratschlag erteilen, wie sich ein Spieler im besten Fall verhalten sollte, um seine Ziele zu erreichen. Die Spieltheorie versucht also, strategische Interaktionen zwischen rationalen Spielern mathematisch zu modellieren (vgl. [8], S. 22).

In der Spieltheorie finden sich weniger Axiome und exakte Definitionen als in anderen Teilgebieten der Mathematik. Der Spieltheoretiker geht vielmehr folgendermaßen vor: Er modelliert eine bestimmte Situation und errichtet sich mehr und mehr eine Art „Spielgerüst“ um diesen Sachverhalt. Dabei handelt es sich nicht nur um Spiele im klassischen Sinne (vgl. [6], S.12). Jede Situation in z. B. der Wirtschaft oder der Politik lässt sich in eine Spielform übertragen.

„A Game is being played whenever people have anything to do with each other“ (vgl. [2], S. 3:1).

Rasmusen (vgl. [6], S.12) nennt als unverzichtbare Bestandteile eines Spiels die Spieler, die Handlungen, mögliche Spielausgänge (z. B. Auszahlungen) und Informationen. Zusammengefasst handelt es sich hierbei um die Regeln eines Spiels. Denn ohne Regeln kann ein Spiel nicht funktionieren. Man geht in der Spieltheorie davon aus, dass jeder Spieler vernünftig und mit dem Ziel, den für ihn persönlich besten Spielausgang zu erhalten, handelt. Das heißt in den meisten Fällen, jeder Spieler möchte seinen Gewinn maximieren (vgl. [6], S.12). Rasmusen (vgl. [6], S.13) beschreibt Spieler wie folgt:

„Spieler sind Individuen, die eine Entscheidung treffen. Jeder Spieler möchte durch die Wahl seiner Handlung seinen Nutzen maximieren.“

Rasmusen führt auch den Begriff eines Pseudo-Spielers ein, wodurch noch einmal verdeutlicht wird, dass es immer Faktoren geben wird, die es einem unmöglich machen, einen bestimmten Spielausgang mit Sicherheit vorhersagen zu können. Die Natur ist beispielsweise ein solcher Pseudo-Spieler. Sie greift zu bestimmten Zeiten während eines „Spiels“ bzw. einer durch ein Spielgerüst modellierbaren Situation mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in die Handlungen ein (vgl. [6], S. 13).

Wie kann man nun mathematisch ein Spiel erklären? Schulz gibt folgende Antwort (vgl. [9], S. 5/6):

Definition 1: Die Normalform eines Spiels

Die Normalform eines Spiels mit n Spielern besteht aus:

- einer Strategiemenge für jeden Spieler , heißt Strategie von Spieler Spieler

Durch G= ist ein Spiel durch seine Normalform beschrieben.

Stellt man ein Spielmodell tabellarisch dar, so handelt es sich genau dann um eine Normalform, wenn der Tabelle zu entnehmen ist, welche Handlungsmöglichkeiten die Spieler zur Auswahl haben und wie sich ihre Entscheidungen jeweils auswirken (Auszahlungsfunktion) (vgl. [9], S. 5).

2.1.2.2 Darstellung der Mathematik im Film

Da der Leser bisher keine Informationen bezüglich des Nash-Gleichgewichts erhalten hat, ist es sinnvoll, an dieser Stelle vorerst eine allgemeine Erklärung dieses Sachverhaltes aufzuführen. Dadurch ist es dem Leser möglich, die entsprechende Filmszene besser verstehen und deuten zu können. Auf tiefergehende und damit natürlich weitaus mathematischere Beschreibungen dieses Gleichgewichts wird natürlich nicht verzichtet. Das anschließende Kapitel 2.1.2.3 geht darauf selbstverständlich ein.

Ein System befindet sich genau dann im Gleichgewicht, wenn es aus sich selbst heraus keine Kräfte entwickelt, um diesen Zustand zu ändern (vgl. [12]). Diese allgemeine Aussage soll nun bereits ein Ansatz für die Erläuterung des Nash-Gleichgewichts sein. Denn auch ein Nash-Gleichgewicht ist gewissermaßen ein Zustand eines Systems, welches in gewisser Weise stabil zu sein scheint. Herrscht in einem Spiel ein Nash-Gleichgewicht, so spielen alle Spieler die jeweils beste Antwort auf das Verhalten der Gegenspieler (ohne sich vorher abgesprochen zu haben). Ein Nash-Gleichgewicht ist also eine Strategienkombination, in der kein Spieler einen Anreiz hat, als Einziger von der Gleichgewichtskombination abzuweichen. Wenn sich also keiner der Spieler durch einen Strategiewechsel einen Vorteil verschaffen kann, so herrscht hier ein Nash-Gleichgewicht. Ein Spieler kann sich durch ein Abweichen von seiner Strategie höchstens verschlechtern, also z. B. seinen Gewinn verringern, was natürlich keinen Anreiz darstellt, dies auch tatsächlich zu tun (vgl. [12]).

Ron Howard hat dem Nash-Gleichgewicht in seinem Film eine eigene Szene gewidmet. Die hierzu relevante Filmszene zeigt Nash mit seinen Studienfreunden in einer Bar. Fünf Frauen betreten den Raum, unter ihnen eine sehr hübsche Blondine und vier, für die Männer weniger interessante, Brünette. Die Männer haben es sofort alle auf die Blondine abgesehen und überlegen wie sie vorgehen. Sie scherzen und zitieren Adam Smith, den Vater der Wirtschaftswissenschaften: „Im Wettbewerb kommt der individuelle Ehrgeiz dem Allgemeinwohl zu Gute“ (vgl. [1]). Für die Studenten bedeutet dies: „Man erzielt das beste Resultat, wenn jeder in der Gruppe das tut, was für ihn am besten ist“ (vgl. [1]). So geht es hin und her, bis Nash im Film plötzlich glaubt, die Lösung für ihr Problem erkannt zu haben. Er hält Smiths Annahme für unvollständig und plädiert dafür, dass das beste Resultat erzielt wird, wenn jeder in der Gruppe das tut, was für ihn und die Gruppe am besten ist.

Er erklärt seinen Gedankengang wie folgt. Umwerben alle Männer die Blondine, kann am Ende nur einer gewinnen. Wenden sie sich nach einer Abfuhr der Blondine dann ihren braunhaarigen Freundinnen zu, so kommen sie ebenfalls nicht zum Ziel. „Keiner ist gerne zweite Wahl“(vgl. [1]). Die Lösung des Problems ist, dass sich alle vier Männer jeweils einer Brünetten zuwenden. Dann kommt jeder von ihnen zum Zug. Keiner riskiert von der Blondine zurückgewiesen zu werden. Am Ende der Szene verlässt Nash völlig begeistert die Bar, um möglichst schnell seine neugewonnene Erkenntnis zu verfeinern. Als er an der Blondine vorbei kommt, bedankt er sich flüchtig. Zu diesem Zeitpunkt ist er sich womöglich noch nicht bewusst, dass seine Erkenntnisse Jahrhunderte altes Gedankengut in Frage stellen (vgl. [16]).

Versucht man nun, um dieses Modell ein Spielgerüst zu formulieren, so steht am Anfang die Menge der Spieler, welche sich durch i=1,2,…,n darstellen lässt. Es wählt nun jeder Spieler eine Strategie aus der Strategiemenge . Der Vektor gibt hierbei einen Spielausgang c an. Jeder Spieler ordnet diesem einen Nutzen zu. Da nun eine Funktion des Vektors ist, kann man statt u(c(s)) auch u(s) schreiben. Für alle fünf Spieler gilt nun dieselbe Nutzenfunktion. Diese Funktion schreibt dem Ereignis „erfolgreiches Umwerben der Blondine“ einen Wert , dem „erfolgreichen Umwerben einer Brünetten“ den Wert und dem Fall einer „Zurückweisung“ den Wert („Null“) zu, mit (vgl. [4], S. 187). Jetzt bleibt letztendlich nur noch die Frage offen, für welche Strategie sich die jeweiligen Spieler entscheiden. Natürlich schwebt jedem der fünf Studenten das für sie beste Ergebnis vor Augen. Der Erfolg in diesem Spiel ist den einzelnen Spielern jedoch nur garantiert, falls es für sie keinen Mitstreiter gibt, d.h. falls keine zwei Spieler die Blondine begehren. Deshalb ist laut Nash die beste Strategie: Jeder Mann sucht sich ein braunhaariges Mädchen aus. So wird für jeden der größtmögliche Nutzen erzielt. Keine zwei Spieler stehen in Konkurrenz zueinander (vgl. [1]).

2.1.2.3 Das Nash-Gleichgewicht

Bei den anschließenden Definitionen und Erklärungen stützt sich diese Arbeit zu einem großen Teil auf das Vorlesungsskript „Strategie und Wettbewerb I (Spieltheorie)“ von Prof. Norbert Schulz, Ph.D., Lehrstuhl für Industrieökonomie an der Universität Würzburg.

Das Nash-Gleichgewicht ist der entscheidende Begriff in der nicht-kooperativen Spieltheorie. Diese beschäftigt sich vor allem mit Spielsituationen, in denen die teilnehmenden Spieler ausschließlich auf ihren eigenen Erfolg achten und eine Kooperation völlig ablehnen. Kooperationen treten nur dann auf, wenn diese im Interesse der einzelnen Spieler liegen und sich positiv auf deren Nutzen auswirken (vgl. [9], S. 1). Innerhalb der nicht-kooperativen Spieltheorie unterscheidet man zwischen statischen Spielen und dynamischen Spielen. In einem statischen Spiel werden nur ein einziges Mal Entscheidungen von unterschiedlichen Akteuren getroffen. Dabei sind keinem der Spieler die Entscheidungen der anderen bekannt. Verglichen mit einem statischen Spiel hat ein dynamisches Spiel eine zeitliche Struktur. Unter Umständen treffen hier die Spieler mehr als einmal aufeinander. Es ist möglich, zu beobachten, was ein anderer Spieler in einem vorangegangenen Spielzug getan hat. Damit kann auch der gesamte Spielverlauf analysiert werden (vgl. [9], S. 2). Im Folgenden beziehen sich alle Erklärungen und Definitionen auf statische Spiele der nicht-kooperativen Spieltheorie.

Ein sehr beliebtes Beispiel für ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien^[1], welches sich fast in jeder spieltheoretischen Literatur findet, ist das berühmte Gefangenendilemma. Mehlmann (vgl. [7], S. 14) weist in seinem Buch auf die Anekdote von A.W. Tucker hin. Der Anekdote zufolge werden Bonnie und Clyde, nachdem sie erfolglos einen Banküberfall durchgeführt hatten, verhaftet. Auf der Polizeiwache werden sie in unterschiedliche Zellen gesperrt. Eine Kommunikation untereinander ist ihnen nicht möglich. Die beiden „Spieler“ haben nur die Möglichkeiten, zu gestehen oder die Tat abzustreiten . So erhält man die Strategiemenge für beide Spieler (vgl. [9], S.5).

Falls Bonnie und Clyde beide nicht geständig sind, so kann ihnen der Staatsanwalt nur verbotenen Waffenbesitz nachweisen. Dafür würden beide zu drei Jahren Haft verurteilt. So gilt also:

Gesteht einer der beiden Ganoven, so erhält der Geständige nur ein Jahr Haft, während der Andere, sollte dieser die Tat weiterhin abstreiten, für neun Jahre hinter Gitter kommt. Aus dieser Aussage erhalten wir:

und

Nun bleibt noch die letzte Variante offen. Gestehen beide, so kommt auf beide eine Haftstrafe von sieben Jahren zu. Also:

Die nachfolgende Tabelle veranschaulicht die gewonnenen Erkenntnisse in deutlicher Form. Die Bezeichnungen in der Tabelle sind nicht aus Mehlmann entnommen, da sich die Schreib- und Darstellungsweisen etwas von der hier genannten Erläuterung einer Normalform unterscheiden. Diese Unterschiede sind nicht wesentlich, dennoch sollte auf eine einheitliche Schreibweise geachtet werden.

Tabelle 1: Gefangenendilemma

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(vgl. [5], S.87 in [7], S. 14)

Die beiden Gefangenen stehen vor einer schweren Entscheidung. Schweigen beide, so ergäbe sich im Grunde das beste Ergebnis für alle Beteiligten (drei Jahre Haft für jeden). Ist aber nur einer von ihnen versucht, doch zu gestehen, um seine drohende Haftstrafe auf ein Jahr zu verkürzen, so erhält der Nicht-Geständige neun Jahre. Was ist also die beste Strategie? Gesucht ist die Strategie, bei der sich keiner der Spieler durch einen Strategiewechsel einen Vorteil verschaffen kann. Er würde seinen Nutzen höchstens verschlechtern. In genau solch einer Strategie liegt ein Nash-Gleichgewicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um das Nash-Gleichgewicht an Hand des Gefangenendilemmas korrekt zu erläutern, folgt hier die Definition einer strikt dominierten Strategie.

Definition 3 : strikt dominerte Strategie

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Definition einer schwach dominierten Strategie wird das strikte Ungleichheitszeichen durch ein schwaches ersetzt (vgl. [9], S. 6).

Laut Schulz (vgl. [9], S. 8) gelangt man durch das „Wegstreichen“ aller dominierten Strategien zur „Lösung“ eines Spiels. Er bezieht diese Erkenntnisse auf das Gefangenendilemma und kommt zu dem Ergebnis, dass das Nash-Gleichgewicht in der Strategie liegt, dass sowohl Bonnie als auch Clyde gestehen (in Tabelle1 rot markiert). Stellt Bonnie nämlich zum Beispiel folgende Überlegung an: „Wenn ich schweige, kann Clyde einen Vorteil erzielen, wenn er gesteht. Gestehe ich aber auch, so ist es für Clyde trotzdem besser zu gestehen.“ Also nehmen wir an, Clyde gesteht. Was sollte Bonnie tun? Schweigt sie, so erhält sie eine Haftstrafe von neun Jahren, während Clyde nach einem Jahr entlassen wird. Gesteht sie auch, so werden beide zu sieben Jahren verurteilt. Sieben ist besser als neun, also gesteht Bonnie auch. Gestehen beide, so liegt hier ein Nash-Gleichgewicht vor. Keiner von beiden hat einen Anreiz, von dieser Strategie abzuweichen (vgl. [4], S. 189 & [7], S. 14).

Häufig fällt in den verschiedenen spieltheoretischen Literaturen auch der Begriff der besten Antwort. Wenn also jeder Spieler eine beste Antwort auf eine Spielsituation gibt, so handelt es sich auch hier um ein Nash-Gleichgewicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit Hilfe dieser Funktion kann man ein Nash-Gleichgewicht nun folgendermaßen charakterisieren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei einem Spiel, an dem zwei Personen teilnehmen, lieg das Nash-Gleichgewicht im Schnittpunkt der Beste-Antwort-Funktionen (vgl. [9], S.9).

Es gibt auch Spiele, in denen sich mehrere Nash-Gleichgewichte finden. Schulz nennt diese „Koordinationsspiele“ (vgl. [9], S. 10). Ein nennenswertes Beispiel hierzu ist das „Chicken-Spiel“ (auch „Angsthasenspiel“ genannt). Bertrand Russel hat zur Verdeutlichung eine passende Rahmengeschichte gestrickt (vgl. [7], S. 16). In dieser Erzählung fahren zwei Autos direkt aufeinander zu. Der Fahrer, der zuerst Angst bekommt und ausweicht, verliert. In der nachfolgenden Tabelle bezeichnet a ausweichen und z zusteuern. Dies ist eine mögliche tabellarische Darstellung der beschriebenen Situation.

Tabelle 2: Angsthasen-Spiel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Nash-Gleichgewichte liegen in den zwei Fällen, in denen einer der beiden ausweicht, während der andere geradeaus weiter fährt. Hier treffen sich die jeweils besten Antworten. Keiner der beiden Spieler hat einen Anreiz, seine Strategie zu ändern, während der andere an seiner festhält.

In dem Film „Denn sie wissen nicht was sie tun“ (1955) von Nicholas Ray ist in einer Szene ein solcher Sachverhalt versteckt:

„Jimbo und sein Erzfeind Buzz rasen in ihren Autos auf eine Klippe zu und derje nige gewinnt, der als letzter aus seinem Wagen hechtet, bevor dieser über die Klippe stürzt“ (vgl. [7], S. 16: 14-18).

In solchen Situationen ist es natürlich auf Grund der Mehrdeutigkeit schwieriger, eine Vorhersage bezüglich der erwarteten Strategie des anderen Spielers zu treffen.

Neben Spielen mit mehreren Nash-Gleichgewichten gibt es auch Spiele, in denen kein solches Gleichgewicht in reinen Strategien auftritt. Dies bedeutet aber noch nicht, dass nicht etwa in solch einer Situation in gemischten Strategien^[2] ein Nash-Gleichgewicht vorliegt. Nachfolgende Tabelle veranschaulicht ein Beispiel für ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien. Hier wird eine Alltagssituation beschrieben. Der besorgte Vater muss sich entscheiden, ob er seinen Sohn finanziell unterstützen möchte oder nicht. Die Handlungsmöglichkeiten des sorglosen Sohnes hingegen sind, zu arbeiten oder arbeitslos zu sein.

Tabelle 3: Beispiel sorgloser Sohn/ besorgter Vater

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei den reinen Strategien geht es darum, dass jeder Teilnehmer eines Spiels eine Strategie für sich wählt. Die gemischten Strategien beziehen nun auch die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Spieler eine bestimmte Strategie wählt, mit ein. Man kann also bei den gemischten Strategien von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Strategien, die ein Spieler zur Auswahl hat, sprechen. Dabei werden mindestens zwei Handlungsmöglichkeiten mit positiver Wahrscheinlichkeit gewählt (vgl. [11]). Die gemischte Strategie des Vaters wird durch festgelegt, die des Sohnes durch .

In der in Tabelle 3 veranschaulichten Situation liegt kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien vor. Deshalb wenden wir uns der Untersuchung der Situation auf ein mögliches Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien zu. Mit Hilfe der Tabelle ist es möglich, den erwarteten Nutzen für den Vater und den Sohn zu berechnen.

Als erwarteter Nutzen des Vaters ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den sorglosen Sohn erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die erwartete Auszahlungsfunktion soll maximal werden.

Gilt oder , so entspricht dies den reinen Strategien des Vaters, nämlich „unterstützen“ und „nicht unterstützen“. Nimmt man an, es gilt , so wäre oder das Maximum der Auszahlungsfunktion des Vaters. Also muss sein. Dies lässt sich analog auf den Fall des Sohnes übertragen. Hier erhält man . Übernimmt man diese gewonnenen Erkenntnisse, so ergibt sich als erwarteter Nutzen für den Sohn, wenn er arbeitet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Arbeitet der Sohn nicht, so ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Laut Schulz ist der „Sohn indifferent zwischen ‚arbeiten‘ und ‚nichts tun‘“(vgl. [9], S. 13). Wählt der Sohn „arbeiten“ mit einer Wahrscheinlichkeit von , so ändert sich der Nutzen für ihn nicht. Fassen wir alle Erkenntnisse zusammen: Für den Fall, der Vater wählt , so ist der erwartete Nutzen bei maximal. Demzufolge handelt es sich bei und um ein NashGleichgewicht in gemischten Strategien.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hieraus ergibt sich die Definition eines Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Hauptproblem bezüglich der gemischten Strategien liegt in der Interpretationsfähigkeit. Dieser Schwierigkeit hat sich John Harsanyi angenommen und dafür zusammen mit Nash und Reinhard Selten den Nobel-Preis für Wirtschaftswissenschaften verliehen bekommen (vgl. [9], S. 15).

2.1.3 Das Leben des John Nash

John Forbes Nash wurde am 13. Juni 1928 in Bluefield, West Virginia in den Vereinigten Staaten von Amerika geboren. Sein Vater war Elektroingenieur und seine Mutter arbeitete als Lehrerin. Er wurde in eine gutsituierte Familie geboren (vgl. [22]).

Seine Studienzeit begann er mit einem Studium der Elektrotechnik an der Universität in Pittsburgh. Später wandte er sich intensiver der Mathematik zu. Ein Studium dieser Wissenschaft folgte. Sein außerordentliches mathematisches Talent ermöglichte ihm 1948 ein Studium in Princeton. Während dieser Zeit veröffentlichte er viele seiner Theorien. Seine 27 Seiten lange Dissertation über die von John von Neumann und Oskar Morgenstern begründete Spieltheorie ist auch heute noch ein herausragender Teil seiner Arbeit (vgl. [14]).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: John Nash, Jr. c. 1948 [19]

1950 erhält John Nash in Anerkennung seiner erbrachten Leistungen den Doktortitel in Princeton. Ein Jahr später tritt er der Fakultät des Massachusetts Institut for Technology bei (vgl. [19]).

Bezüglich seiner persönlichen Beziehungen ist bekannt, dass er einen unehelichen Sohn hat, um den er sich jedoch nicht kümmert. 1958 heiratete er Alicia, eine seiner Studentinnen an der Universität Princeton. Alicia ist nicht die Mutter seines Sohnes, den er zu diesem Zeitpunkt schon hatte.

In etwa zu dieser Zeit (ca. 1958) wird bei John Nash, derzeit 30 Jahre alt, die Diagnose positive paranoide Schizophrenie gestellt. Er leidet an Halluzinationen und Wahnvorstellungen. Laut der Biographie von Sylvia Nasar hielt er sich für den Auserwählten, Außerirdische bei der Rettung der Welt und des Friedens zu unterstützen. Die Krankheit beeinträchtigte ihn viele Jahre seines Lebens und stahl im teilweise wichtige Lebenszeit und zwischenmenschliche Erfahrungen. Ende der 80er Jahre gelang es Nash aus den Fängen seiner Krankheit auszubrechen. Er schaffte den Sprung in die Unabhängigkeit von seinen Halluzinationen. Er lernte, mit ihnen zu leben.

So konnte er nach einem Lehrauftrag am MIT^[4] seine Dozentenkarriere in Princeton bis heute fortsetzen (vgl. [14]).

1994 trat dann das wohl begehrenswerteste Ereignis im Leben eines Wissenschaftlers ein: Die Verleihung des Nobelpreises^[5] in Stockholm. Obwohl Alfred Nobel die Mathematik von den Wissenschaften, in welchen man für besondere Erkenntnisse einen nach ihm benannten Preis gewinnen kann, ausgeschlossen hat, ist es vielen Mathematikern gelungen, dennoch diese Auszeichnung zu erhalten. Die Mathematik hat Einfluss auf viele Bereiche, wie zum Beispiel die Wirtschaft. Folglich haben viele Mathematiker einen Nobelpreis für ihre Forschungsarbeiten in anderen wissenschaftlichen Bereichen erhalten. So auch John Nash. Nash erhielt den Nobel-Preis für Wirtschaftswissenschaften für seine 1950 veröffentlichte Analyse der Gleichgewichte in der Spieltheorie zusammen mit dem aus Ungarn stammenden John Harsanyi und dem Deutschen Reinhard Selten. Harsanyi und Selten verfeinerten Nashs Ausführungen im Nachhinein und wurden durch ihre somit gewonnenen Erkenntnisse Teilhaber des Nobelpreises (vgl. [4], S. 185).

2.1.4 John Nash und das Leben mit seiner Krankheit

2.1.4.1 Allgemeine Informationen bezüglich Schizophrenie

Was ist Schizophrenie? Durch welche Ursachen wird diese Krankheit ausgelöst? Was lässt die Betroffenen „anders“ oder gar „verrückt“ erscheinen? Antworten auf einen großen Teil dieser Fragen gibt Roberto Gil, Vorsitzender der Forschungseinheit für Schizophrenie am Psychiatrischen Institut New York State (vgl. [17]). Zunächst ist es Gil wichtig, auch besonders innerhalb der betroffenen Familien, Aufklärungsarbeit zu leisten. Personen mit psychischen Störungen tragen trotz ihrer Einschränkung ihren Teil zu der Gesellschaft bei. Man darf sie keineswegs als „unbrauchbar“ oder „störend“ ansehen. Gerade im Fall von John Nash wird deutlich, dass dies möglich ist. Trotz seiner Krankheit erzielte er im Bereich der Wirtschaftswissenschaften herausragende Leistungen. Genie und psychische Krankheit schließen sich also nicht aus (vgl. [18]). Dennoch wird die Schizophrenie als eine „chronische, schwerwiegende, außer Kraft setzende Hirnerkrankung ohne bekannte Ursachen“ betitelt (vgl. [17]).

Gil (vgl. [17]) teilt die Symptome der Schizophrenie in positive und negative Symptome ein. Positive Symptome zeichnen sich vor allem durch Halluzinationen, Illusionen und wirres, unorganisiertes Denken aus. Die negativen Symptome sind laut Gil wesentlich schwieriger zu diagnostizieren als die positiven, da sie dem Betrachter wie normale, alltägliche Emotionen erscheinen. Teilnahmslosigkeit, mangelndes Interesse an einer Sache, fehlende Freude sind neben Spracharmut, innerer Leere und unproduktivem Denken negative Symptome der Schizophrenie. Die allgemein bekannte Auffassung, die Schizophrenie ginge mit einer gespaltenen Persönlichkeit des Betroffenen einher, ist laut der Amerikanischen Psychiatervereinigung falsch. Betrachtet man den Wortursprung, so lässt sich das griechische „scizo“ mit gespalten übersetzen. Jedoch ist hier nicht die Rede von einer multiplen Persönlichkeit, sondern eher von einer Spaltung von Verstand und Seele (vgl. [17]).

Laut Gil besteht eine geringe Chance auf Heilung. Nash konnte sich so weit von der Krankheit erholen, dass ihm ein relativ normales Leben möglich war. Dies ist jedoch nicht die Regel. Im Normalfall ist die Schizophrenie ein lebenslanger Leidensweg. John Nash war jedoch mit einem außerordentlichen Intellekt gesegnet. Das half ihm, zu verstehen, dass er krank war. Diese Erkenntnis hat er angenommen und hat gelernt mit der Krankheit umzugehen (vgl. [17]).

2.1.4.2 Symptome und Krankheitsverlauf bei Nash

Die Krankheit brach bei John Nash, anders als üblich, erst ziemlich spät aus. Erst im Alter von ca. 30 Jahren litt Nash „offiziell“ unter Schizophrenie. Dies ließ ihm die Möglichkeit, noch vor der Diagnose ein soziales Netzwerk aufzubauen. Auch einige seiner relevanten Werke verfasste er vor Krankheitsausbruch (vgl. [17]).

Nash leidet an einer positiven paranoiden Schizophrenie mit den klassischen Symptome Halluzinationen, Wahnvorstellungen und einer verzerrten Wahrnehmung der Realität (vgl. [23]). Wie auch Roberto Gil (vgl. [17]) erwähnt, ist die Persönlichkeit Nashs nicht gespalten. Vielmehr handelt es sich bei ihm um einen Bruch seiner Beziehung zur Realität. Auch der Umgang mit anderen Menschen fällt ihm schwer. Zwischenmenschliche Beziehungen kann er nur selten eingehen. Nach eigenen Angaben umgab er sich schon immer lieber mit Zahlen als mit Menschen (vgl. [18]).

Nash stand während seiner Krankheit in der Öffentlichkeit. Das unterscheidet ihn von seinen Leidensgenossen. Diese Medienpräsenz fand 1994 mit der Verleihung des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften in Stockholm ihren Anfang. 1995 fasste Sylvia Nasar Nashs Leben zunächst in einer Reihe von Artikeln für die „Times“ zusammen. Drei Jahre später erschien dann die Biographie mit dem Originaltitel „A Beautiful Mind“, ebenfalls geschrieben von Syliva Nasar. Die deutsche Übersetzung folgte 1999. Diese Taschenbuchausgabe trägt den Titel „Auf den fremden Meeren des Denkens. Das Leben des genialen Mathematikers John Nash“. Die Biographie von Nasar gewann als Bestseller den „National Book Critics Circle Award 1998“ und war sogar für den Pulitzer Preis nominiert. „Universal Pictures and Dreamworks“ sicherte sich die Rechte an dem Buch. 2001 erschien der Film „A Beautiful Mind“. Gerade für Nash selbst war es ein großes Glück, all diese Wertschätzungen um seine Person noch miterleben zu dürfen (vgl. [4], S. 185).

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^[1] Man spricht von einer reinen Strategie, wenn sich ein Spieler oder eine Spielerin direkt, also ohne zwischengeschalteten Zufallsmechanismus, für eine bestimmte Strategie entscheidet (vgl. [11])

^[2] Ein Spieler oder eine Spielerin wählt einen Zufallsmechanismus aus, welcher dann zu einer Entscheidung für eine bestimmte (reine) Strategie führt (vgl. [11]).

^[3] Die erwartete Auszahlungsfunktion von Spieler 1: , analog für Spieler 2 (vgl. [9], S. 13)

^[4] Massachusetts Institut of Technology

^[5] Der Originaltitel des Preises lautet „The Bank of Sweden Prize in Economis Sciences in Memory of Alfred Nobel“ (vgl. [4], S. 185)