Vektoren im dreidimensionalen Raum. Ein Beitrag zur Fachdidaktik der Mathematik

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Die Relevanz der Veranschaulichung als Prinzip des mathematisch­naturwissenschaftlichen Unterrichts

3. Veranschaulichung des Lerninhalts ,Vektoren im dreidimensionalen Raum[4] unter Verwendung eines Modells

4. Das Vektorbrett als dreidimensionales Modell

5. Veranschaulichung von sieben Grundaufgaben der Vektorgeometrie

6. Fazit

7. Anhang: Quellenverzeichnis

1. Einleitung

Die Mathematik-Didaktik untersucht das Lehren und Lernen mathematischer Inhalte und umfasst sowohl Lemziele, Inhalte, Methoden sowie Lehr- und Lernmittel im Mathematikunterricht als auch das Lemverhalten von Schülern. Wie Schüler unterschiedlichen Alters mathematisch denken, Mathematik lernen und ihre mathematischen Kompetenzen im Mathematikunterricht entwickeln, ist sehr unterschiedlich. Vor allem in diesem Fach stehen die Schüler meist vor größeren Verständnisproblemen als beispielsweise in anderen Naturwissenschaften, und zwar aufgrund der hauptsächlich abstrakten Inhalte, symbolischen Darstellungen und dem fehlenden Bezug zum eigenen Erlebten. Eine Weise, diesem Problem des Mathematikunterrichts zu begegnen, ist die genauere Untersuchung der Lehrmethoden von bestimmten Themen, um dem Schüler ein besseres Verständnis von Theorien auch durch andere, im Unterricht bislang nicht angewendete Methoden zu ermöglichen. In meiner Facharbeit konzentriere ich mich hauptsächlich darauf, wie man am Beispiel der Vektorgeometrie unter Zuhilfenahme eines Vektorbretts dreidimensionale Zusammenhänge veranschaulichen kann. Ich werde vorstellen, wie meine neue Veranschaulichungsmethode einen aktiveren und neuen Zugang zur analytischen Geometrie der Vektoren (Lehrinhalt der Jahrgangsstufe 11) ermöglicht.

2. Die Relevanz der Veranschaulichung als Prinzip des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts

Anhand von zwei unterschiedlichen fachdidaktischen Arbeiten soll zunächst die Wichtigkeit des exemplarischen Lernens und der Veranschaulichung von mathematischen Zusammenhängen im Mathematikunterricht herausgearbeitet werden. Das Ziel soll sein, die wichtigsten Schlussfolgerungen aus diesen zwei Arbeiten anschließend auf den schulischen Unterricht zu übertragen und somit das Vektorbrett als unterstützendes Anschauungsmaterial mathematikdidaktisch zu begründen. Dies soll eine Antwort auf die Frage geben, wieso das Modell wertvoll und hilfreich für den Mathematikunterricht sein könnte.

Erste Arbeit: „Zum Begriff des Exemplarischen Lehrens“ von Martin Wagenschein Schon seit langer Zeit wird die Stofffülle auf dem Feld des mathematisch-naturwissen­schaftlichen Unterrichts als didaktisches Problem wahrgenommen. So stellte der deutsche Physiker und Pädagoge Martin Wagenschein (1896-1988) in seinem grundlegenden Aufsatz „Zum Begriff des Exemplarischen Lehrens“ aus dem Jahr 1956 fest, dass der natur­wissenschaftliche Unterricht dem Festhalten an der Stofffülle mit Exemplarität des Lehrens, sowie Elementarität und Fundamentalität der ausgewählten reduzierten Lehrstoffe begegnen müsse, um effektiv zu sein.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hinzukommt die substanzielle Funktion, die Wagenschein dem „scharfen Zusehen“ (S.16) beimisst.

Man kann die fundamentalen, nur exemplarisch zu gewinnenden, Erfahrungen eines Faches danach einteilen, ob sie unsere Geborgenheit erschüttern oder stärken. Die Naturwissenschaften vermögen beides: die rationale Verstehbarkeit gewisser natürlicher Abläufe erweckt Vertrauen, die damit verbundene Entzauberung erschüttert wieder. Wir können vieles, was nur dem Missverstehenden eine Verlorenheit zu sein scheint, retten durch 1. scharfes Zusehen, 2. ständige wissenschaftstheoretische Wachsamkeit. (S. 16)

Daraus resultiert für den mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht nicht nur die Orientierung an den Geboten der Exemplarität, Elementarität und Fundamentalität der Stofflichkeit, sondern auch die Erfordernis der Veranschaulichung durch Bilder und Modelle. Es soll demnach versucht werden, die Elemente, welche den naturwissenschaftlichen Unterricht auszeichnen, wie z. B. Modelle oder Realexperimente auf den Mathematikunter­richt und im besonderen Maße auf die analytische Geometrie zu übertragen. Wagenschein charakterisiert des Weiteren das exemplarische Verfahren im Mathematikunterricht als „stellvertretend, abbildend, repräsentativ, prägnant, Modellfall, mustergültig, beispielhaft, paradigmatisch“ (S. 4). Hieraus lässt sich auch ablesen, dass das exemplarische Lernen im Mathematikunterricht anhand eines Modells eine Stütze für den Schüler sein kann, da es einen guten, beispielhaften Blick auf den größeren, dahinterstehenden Sachverhalt wirft und einen Schwerpunkt darstellt, welcher aber das Verständnis des Ganzen trägt und spiegelt.

Zweite Arbeit: „Paradoxien des Verstehens von Mathematik“ von Hans-Joachim Vollrath Der deutsche Mathematiker Hans-Joachim Vollrath beschäftigt sich hier mit dem „Verstehen als eine(r) fundamentale(n) Kategorie der Mathematikdidaktik“ (S. 1), doch geht er nicht nur auf das Verstehen von der Seite der Schüler aus, sondern er beschreibt und untersucht Methoden des Lehrens auf ihre Wirksamkeit und Treffsicherheit. Vollrath beginnt mit der Definition des Verstehens und stellt fest, dass der Begriff und der Prozess des Verstehens mehr erfordert als einfache Theorie. Im Mathematikunterricht ist die Theorie natürlich stets gegenwärtig, doch schafft sie vor allem bei Schülern manchmal Probleme.^[1]Diesem erwünschten Verständnis mathematischer Zusammenhänge stehen im Schulunterricht jedoch Probleme gegenüber, welche oftmals Frustration und Resignation bei dem Schüler auslösen, der nicht folgen kann. Vollrath beschreibt dies als ein „Spannungsverhältnis zwischen Verstehen durch und Verstehen von Mathematik“ (S. 5). Damit weist er darauf hin, dass es nicht möglich ist, ein mathematisches Problem einfach an Theorien zu erklären, und dass es so viel mehr notwendig ist, dem Schüler das Verständnis eines Sachverhalts näher zu bringen, denn „für den Mathematikunterricht sind keine einfachen, rezeptartigen Antworten auf die Fragen des Verstehens zu erwarten“ (S. 5). Auch wenn die Theorie dem Wissenden klar und verständlich scheint, braucht der Schüler Anhaltspunkte, um einen Denkprozess in Bewegung zu setzen; wenn der Lernende einen Sachverhalt jedoch nicht versteht, so fühlt er sich gezwungen, die Denkweise des Lehrers anzunehmen, ohne jedoch selbst darauf zu kommen.

Bildlich gesprochen verliert der Lernende durch die Allgemeinheit der Darstellung ,den Boden unter den Füßen‘, die Lückenlosigkeit der Argumentationskette zwingt ihn ,sich blind Schritt für Schritt voran zu tasten[4]. (S. 6)

So beschreibt Vollrath die Lage des Schülers im Mathematikunterricht, wenn die Theorie nur vorgesetzt wird. Um das Verständnis der Theorie zu erlangen, gibt Vollrath den Hinweis, dass der Schüler sich das Wissen selbst erarbeiten müsse, sonst trete zwangsläufig die ,Boden- unter-den-Füßen-weg[4]-Wirkung ein und der Schüler verstehe ein Problem nur oberflächlich, was ihm dann bei Leistungserhebungen schaden könne, denn was er an Theorie mitgenommen habe, könne er durch das fehlende, nicht selbst erarbeitete Verständnis nicht in einer anderen Situation des Fachgebietes anwenden. Um das nötige Wissen und Verständnis eines mathematischen Problems zu erlangen, bedarf es eines weitgefächerten Prozesses, welcher nach persönlichen Erfahrungen im Mathematikunterricht eher selten eine Rolle spielt. Vollrath beschreibt diesen Prozess des Verstehens wie folgt:

Man trennt die verschiedenen Seiten, die ein Gegenstand mathematischer Untersuchung darbietet, auf natürliche Weise, macht jede für sich von einer eigenen, relativ engen und leicht überblickbaren Gruppe von Voraussetzungen aus zugänglich und kehrt dann in der Vereinigung der passend spezialisierten Teilresultate zum komplexen Ganzen zurück. (S. 7)

Vollrath betont, dass erst durch einen solchen Prozess Strukturen sichtbar werden und Zusammenhänge erkannt werden können. Auf den Schulunterricht übertragen kann man sagen, dass der Schüler erst alle Seiten eines Problems beleuchtet und einzeln berücksichtigt haben muss, bevor ein Gesamtbild des Problems erkennbar wird. Dieser wichtige Verstehensprozess fehlt komplett, wenn der Unterricht nur aus blanken Theorien besteht. Dies wirft auch in Vollraths Arbeit die Frage auf:

Lassen sich z.B. Strukturbegriffe wie (...) der Vektorraum in ihrer Allgemeinheit überhaupt verstehen, ohne die Modelle und Fragestellungen zu kennen, aus denen sie erwachsen sind? (S. 8) Der Meinung Vollraths nach, kann man im Mathematikunterricht nur dann von Verstehen reden, wenn dies einen Prozess umfasst, in dem sich der Lernende selbst mit der Mathematik auseinandersetzt. Dies erfordert nach Vollrath Freiräume zu eigenem Probieren, eigenen Zielsetzungen und Wertungen. Ein weiterer wichtiger Aspekt der Mathematik findet sich seiner Meinung nach in der Anschaulichkeit wieder. Durch Modelle und exemplarisches Lernen kann der Schüler sich selbst ein Bild von bestimmten Problemen schaffen, um das Verständnis zu erlangen, denn, wie schon aus anderen Unterrichtsfächer bekannt, ist es unmöglich, nur einen Lemtypen zu berücksichtigen, um den Schülern ein Thema näher zu bringen. Wo in sprachlichen Fächern moderne Medien angewendet werden, kann genauso im Mathematikunterricht auf Modelle oder andere visuelle Verdeutlichungen zurückgegriffen werden. In Vollraths wissenschaftlicher Arbeit findet sich auch eine Brücke zwischen der Mathematik-Didaktik und dem aktiven Unterricht der Oberstufe: Er ist der Meinung, dass sich aus dieser Theorie über das Verständnis von Sachverhalten beim Schüler bestimmte Regeln für den Unterricht ableiten:

(5) Alles mathematische Denken und Handeln im Unterricht muß sich auf Anschauung gründen. (6) Mathematikunterricht darf nicht einer bloßen Anschaulichkeit verhaftet bleiben, sondern Begriffsbildungen und Begründungen bedürfen angemessener Strenge. (S. 19)

Wie hieraus erkennbar wird, schlägt Vollrath vor, die visuelle Partie des Unterrichts, welche z. B. für die räumliche Anschauung eines Koordinatensystems vorstellbar ist, mit der nötigen Theorie und dem erforderlichen Sachwissen zu ergänzen, um die optimale Wirkung zum Verstehen bei den Schülern zu erreichen.

Auch ich schließe mich dieser Auffassung an und habe in meiner Arbeit versucht, ein dementsprechendes, der Veranschaulichung dienendes Lehr- und Lernmittel zu konzipieren. Das Modell allein ist nach Vollrath noch nicht ausreichend. Es bedarf der Theorie, um die gesamte mathematische Komplexität zu erfassen und es ist unmöglich dem Schüler einen Sachverhalt ohne eine gewisse mathematische Strenge der Begriffe und ihrer Strukturen zu verdeutlichen

[...]

^[1]„Und doch besteht bei vielen Menschen, ungeachtet der Stufe der Ausbildung, der Wunsch nach einem Verständnis dessen, was die Mathematik (...) bedeutet.“ (S. 4)