Algorithmisches Denken. Ein mathematischer Einstieg für die Mittelstufe

Inhalt

1. Einleitung

2. Was ist ein Algorithmus?
2.1 Die Charakteristika eines Algorithmus

3. Algorithmen im Lehrplan

4. Algorithmisches Denken (unplugged)

5. Einführung einiger Algorithmen in der Schule
5.1 Berechnung der Summe zweier Brüche

6. Gauß`scher Algorithmus

7. Euklidischer Algorithmus

8. Das Heronverfahren

9. Algorithmen im Alltag

10. Schlusswort

11. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Der Begriff Algorithmus stammt vom arabischen Mathematiker Al-Chwarizmi (gesprochen: el Harezmi) der etwa um 783-850 n.Chr. lebte.^[1] Das Wort Algorithmus leitet sich von seinem Namen ab. Der Gebrauch des Begriffs wird uns in der Regel viel später bekannt, obwohl wir mit Algorithmen sowohl im Alltag als auch in der Schule immer wieder konfrontiert wurden. „ lgorithmisches Denken (unplugged)“ nehmen einen sehr großen und wichtigen Abschnitt in der Mathematik bzw. in den Naturwissenschaften ein.

Die Anwendung von Algorithmen findet nicht nur in den Wissenschaften gebrauch. Auch viele alltägliche Handlungen sind Algorithmen, die den meisten Menschen kaum bewusst sind. Hierzu gehören zum Beispiel das faire Teilen eines Kuchens, die Suche des Ausgangs eines Labyrinths oder das Stricken eines Pullovers.

Ein klassisches und sehr bekanntes Beispiel in der Mathematik ist der Gauß`sche Algorithmus und der Euklidischer Algorithmus. Aber was ist eigentlich ein Algorithmus? Wann spricht man von einem Algorithmus? Der Umgang mit diesem Begriff ist uns geläufig, jedoch erschwert es uns diese Fragen zu beantworten, da wir nicht die Definition und die Charakteristika eines Algorithmus kennen. Im ersten Kapitel werden wir uns ausführlich mit diesen Leitfragen beschäftigen und zwei Definitionen angeben.

Nachdem wir die Frage geklärt haben, werde ich kurz auf die schulische Einführung der Addition von Brüchen eingehen.

Danach werden zwei bekannte Algorithmen vorgestellt: Gauß`scher Algorithmus und der Euklidische Algorithmus, die im Lehrplan ihnren Platz einnehmen.

Zuletzt werden zwei Algorithmen vorgestellt, die uns öfter im Alltag begegnen.

2. Was ist ein Algorithmus?

Obwohl wir mit vielen Werkzeugen bestimmter Algorithmen anvertraut sind, stellte sich nie die Frage was überhaupt ein Algorithmus sei. Sowohl in der Schule als auch an der Universität wurde nicht näher auf die Begrifflichkeit des Algorithmus eingegangen. Vielmehr wurden sie bewiesen, angewandt bzw. wurde vieles vorausgesetzt. Erst bei der Themenverteilung stellte sich zum ersten Mal die Frage nach der Definition und Substanz eines Algorithmus. Literaturen und elektronische Medien lieferten uns hierfür vielfältige Ergebnisse, jedoch führen sie alle zur einer Kernaussage.

Wir sprechen erst von einem Algorithmus, wenn eine Rechenvorschrift aus elementaren Anweisungen nach endlichen Schritten zu einem Ergebnis führt, bzw. eine Lösung für ein bestimmtes Problem liefert.

Die Definition für einen Algorithmus lautet:

„ lgorithmen sind eindeutige und endliche Handlungsvorschriften.“^[2] Eine weitere Definition ist:

„Ein Algorithmus ist eine Verarbeitungsvorschrift zur Lösung eines Problems, die so präzise formuliert ist, dass sie (zumindest im Prinzip) auch von einer Maschine abgearbeitet werden kann.“^[3]

Wir können die Anzahl der Definitionen erweitern, aber wir befriedigen uns mit den zwei oben genannten Definitionen. Schließlich beschreiben alle Definitionen dasselbe, nur die Formulierung und die Art und Weise der Definition weisen kleine Unterschiede auf.

Da wir nun einen Algorithmus definiert haben, wollen wir im nächsten Kapitel auf die Charakteristika eingehen und diese näher erläutern.

2.1 Die Charakteristika eines Algorithmus

Ein Algorithmus weist vier Charakteristika auf. Wir werden die vier Charakteristiken aufzählen und sie gleich darunter durch Erklärungen verdeutlichen.

1.) Allgemeinheit

Die Schritte bzw. die Prozesse eines Algorithmus sollen nicht nur die Lösung für einen Spezialfall sein. Der Algorithmus muss in der Lage sein alle Probleme derselben Klasse lösen zu können.

2.) Eindeutigkeit

Die Eindeutigkeit bedeutet, dass jeder einzelne Schritt unmissverständlich erklärt ist, wobei ihre Abfolge klar geregelt sein muss.

3.) Ausführbarkeit

Die Instruktion muss exakt ausführbar sein, d.h. der Mensch oder der Computer muss die einzelnen Schritte ausführen können.

4.) Endlichkeit

Die Prozesse zur Lösung eines Algorithmus müssen in endlich vielen Schritten ausführbar sein, d.h. die Schritte sind endlich.

3. Algorithmen im Lehrplan

Der Rahmenlehrplan Mathematik von Rheinland-Pfalz für die Sekundarstufe I sieht folgendes vor:

„Verfahren hinsichtlich der Merkmale eines Algorithmus analysieren.“^[4]

Dies macht deutlich, dass die Schüler und Schülerinnen in der Mathematik mit Algorithmen anvertraut werden sollen. Dabei steht im Vordergrund, dass die oben genannten Eigenschaften eines Algorithmus beherrscht werden. Dass diese Prozesse zur Lösung eines bestimmten Problems mit dem Namen Algorithmus getauft ist, findet hier vorerst keine Relevanz.

4. Algorithmisches Denken (unplugged)

Beginnend mit der Voraussetzung, dass wir jetzt wissen, was ein Algorithmus ist, können wir uns dem Thema widmen: Algorithmisches Denken (unplugged). Laut Vorgabe erwähnen wir nicht das algorithmische Denken mit dem Computer, sondern beschränken uns auf das algorithmische Denken ohne den Computer.

Zur Verfestigung und Verdeutlichung werden später auch einige Algorithmen vorgestellt wie zum Beispiel der Gauß`scher Algorithmus. Die Intension der Beispiele ist, dass Verständnis der Theorie des algorithmischen Denkens ohne den Computer zu erleichtern. Die Fähigkeit zur

Lösung von Problemen Algorithmen zu entwickeln, heißt algorithmisches Denken.

Damit solch eine Fähigkeit zur Entwicklung von Algorithmen gefördert werden kann, sind nach Roth und Vollrath^[5] einige Bedingungen notwendig. Diese können wir in vier Punkten zusammenfassen:

i. Wenn eine Lösung für ein bestimmtes Problem gefunden wird, stellt sich die Frage, ob sich für den Lösungsprozess ein Algorithmus angeben lässt.
ii. Wenn sich ein Algorithmus für den Lösungsprozess angeben lässt, wird diese in der
Programmiersprache verfasst und als Programm dargestellt.
iii. Zur Sicherheit und Kontrolle des Programms wird diese in ein Tabellenkalkulationsprogramm eingegeben. So wird das Programm auf die Richtigkeit getestet und erprobt.
iv. Ist der Algorithmus fehlerfrei, so werden die Struktur und der Aufbau näher untersucht. Ziel ist es, die Frage zu beantworten, ob Optimierungsmöglichkeiten für den Algorithmus existieren.

5. Einführung einiger Algorithmen in der Schule

Der Lehrer/in sollte bei der Einführung eines Algorithmus sehr empfindlich sein. Denn viele Schüler/innen blockieren automatisch, wenn sie eine Formel mit vielen Variablen sehen. Die meisten Schüler blockieren nicht wegen diesem speziellen Thema ab, sondern hatten in der Vergangenheit drastische Probleme mit Variablen wie x, y oder a, b. Dieser Effekt der Schüler wird in der Soziologie unter dem Namen Klassisches Konditionieren untersucht.^[6] Das bekannte Experiment mit der Glocke und dem der Einfluss des Glockentones in Abhängigkeit von Futtergabe zeigt, dass bei wiederholtem male von der unbedingten Reaktion auf die bedingte Reaktion (unbedingter Reiz bedingter Reiz) ein Wechsel stattfindet.

[...]

^[1] Cukrowicz: MatheNetz 9, S.164.

^[2] Oldenburg: Algorithmen, S.1.

^[3] http://www.informatik-lehren.de/umsetzung-wf/AlgorithmischesProblemloesen.html (eingesehen am 29.06.2012).

^[4] Rahmenlehrplan 5 - 9/10 für alle Schularten mit Sekundarstufe I. Stand: 30. Mai 2007.

^[5] Vollrath: Mathematikunterricht, S.78.

^[6] Mattheis: Didaktik Vorlesung, SoSe2012.