In den 70er Jahren führte Benoît Mandelbrot den Begriff Fraktal ob der "gebrochenen Dimension" dieser Gebilde ein. Allerdings hat sich bis heute noch keine einheitliche Definition durchgesetzt, die alle Objekte, die klarerweise als Fraktale angesehen werden sollten, umfasst. Es wird am häufigsten verlangt, dass die fraktale Dimension – oftmals die Hausdorff-Dimension – eines Fraktals größer ist als seine topologische Dimension. Zudem wird Selbstähnlichkeit beziehungsweise Skaleninvarianz gefordert.
Fraktale können auf unterschiedliche Weise erzeugt werden. Es besteht jedoch immer die Notwendigkeit, zwischen kurzer Rechenzeit und detailgenauer Darstellung abzuwägen. Ein exaktes Verständnis für die Struktur des jeweiligen Fraktals ermöglicht es, beides zu vereinen.
In der ersten Abbildung der Arbeit ist ein Fraktal zu sehen, das durch Kreisinversionen an acht symmetrisch angeordneten Kreisen entsteht. Das sichtbare fraktale Muster ist eine Approximation der Grenzpunkte des durch die Kreisinversionen definierten iterierten Funktionensystems. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wird ein Programm entwickelt, das es ermöglicht, direkt die Grenzpunkte – das heißt den Orbit eines bestimmten Startkreises unter der Transformationsgruppe – zu erzeugen. Dies soll nicht zufällig, sondern exakt bis zu einer festgelegten Genauigkeit erfolgen. Die Genauigkeit bezieht sich dabei auf die Größe der Kreise, die die Grenzpunktmenge bilden. Das im Fraktal entstehende Muster verändert sich sehr stark in Abhängigkeit von dem Radius des mittig liegenden Kreises. Wie entsprechende spezielle Radien numerisch bestimmt werden können und in welchen Situationen der Orbit disjunkt ist, ist wesentlicher Inhalt dieser Arbeit.
In Kapitel 2 werden zunächst die mathematischen Grundlagen des projektiven Raumes CP1 sowie der Kreisinversion erörtert. Diese Grundlagen werden insbesondere für das in Kapitel 3 entwickelte Programm benötigt, das die Inversion allgemeiner Kreise an allgemeinen Kreisen sowie deren graphische Ausgabe ermöglicht. Auf diesem Programm aufbauend können mit den in Kapitel 4 entwickelten Suchalgorithmen Bilder des Orbits eines beliebigen allgemeinen Startkreises unter einer aus beliebig vielen Kreisinversionen bestehenden Transformationsgruppe in beliebiger Genauigkeit generiert werden. Solche Transformationsgruppen erweisen sich als ein wesentlicher Schlüssel für das Verständnis des oben beschriebenen Fraktals, das in Kapitel 5 analysiert wird.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Mathematische Grundlagen
- Uberblick ¨ uber den ¨ CP1
- Die Kreisinversion
- Das Programm zur Kreisinversion
- Technische Umsetzung der Kreisinversion
- Die PostScript-Ausgabe: Ein Ausflug in den RP2
- Suchalgorithmen
- Der Suchbaum und Grundlagen der Suche
- Tiefensuche-Algorithmen
- Abbruchkriterien
- Sondersuche HinHer
- Das Inversion-7-3-Fraktal
- Vorstellung des Inversion-7-3-Fraktals
- Die Transformationsgruppe
- Pflasterung der hyperbolischen Kreisscheibe in Abh¨angigkeit von rm
- Ausblick: Dualit¨at und Schnittwinkel
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Diplomarbeit befasst sich mit der Erzeugung von Kreisinversionsfraktalen mit Hilfe eines iterierten Funktionensystems und der Analyse ihrer Struktur. Hierzu wird ein Programm entwickelt, welches die iterative Kreisinversion von Kreisen an beliebigen Kreisen ermöglicht. Die Arbeit konzentriert sich auf das Inversion-7-3-Fraktal, ein Fraktal, das durch die Inversion an acht Kreisen (sieben Kreise mit Mittelpunkten an den Eckpunkten eines regulären Siebenecks und einem achten Kreis im Mittelpunkt des Siebenecks) entsteht. Die Arbeit untersucht die Abhängigkeit des Musters der Fraktalpunktmenge von dem Radius des achten Kreises und zeigt, dass für bestimmte Radien das Muster einer verallgemeinerten apollonischen Kreispackung ähnelt.- Die mathematischen Grundlagen der projektiven Geometrie und der Kreisinversion im CP1
- Die Entwicklung eines Programmes zur Berechnung und graphischen Ausgabe iterativer Kreisinversionen
- Die Entwicklung und Analyse von Suchalgorithmen zur Erzeugung des Orbits eines Startkreises unter einer Transformationsgruppe aus Kreisinversionen
- Die Untersuchung des Inversion-7-3-Fraktals in Abhängigkeit von dem Radius des achten Kreises
- Die Analyse des Musters der Fraktalpunktmenge in Bezug auf hyperbolische Pflasterungen und apollonische Kreispackungen
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 2 führt die mathematischen Grundlagen der projektiven Geometrie im CP1 und der Kreisinversion ein.
- Kapitel 3 beschreibt die Implementierung des Programmes zur Kreisinversion, welches die Inversion von Kreisen an beliebigen Kreisen und deren graphische Ausgabe ermöglicht.
- Kapitel 4 stellt verschiedene Suchalgorithmen vor, mit denen der Orbit eines Startkreises unter einer Transformationsgruppe aus Kreisinversionen generiert werden kann, und analysiert die Effizienz der Algorithmen in Bezug auf verschiedene Abbruchkriterien.
- Kapitel 5 untersucht das Inversion-7-3-Fraktal in Abhängigkeit von dem Radius des achten Kreises. Es werden die Beziehungen zwischen der Fraktalpunktmenge und hyperbolischen Pflasterungen sowie apollonischen Kreispackungen analysiert.
Schlüsselwörter
Die Diplomarbeit beschäftigt sich mit dem Gebiet der Fraktalen Geometrie und verwendet insbesondere die Kreisinversion als Werkzeug zur Erzeugung fraktaler Muster. Die Arbeit konzentriert sich auf das Inversion-7-3-Fraktal, ein Fraktal, das durch die Inversion an acht Kreisen entsteht. Die Arbeit befasst sich mit der Untersuchung der Struktur des Inversion-7-3-Fraktals in Abhängigkeit von dem Radius des achten Kreises und den Beziehungen zwischen der Fraktalpunktmenge und hyperbolischen Pflasterungen sowie apollonischen Kreispackungen.- Quote paper
- Gunther Kraut (Author), 2007, Hyperbolische Strukturen in Kreisinversionsfraktalen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/309286
