In den 70er Jahren führte Benoît Mandelbrot den Begriff Fraktal ob der "gebrochenen Dimension" dieser Gebilde ein. Allerdings hat sich bis heute noch keine einheitliche Definition durchgesetzt, die alle Objekte, die klarerweise als Fraktale angesehen werden sollten, umfasst. Es wird am häufigsten verlangt, dass die fraktale Dimension – oftmals die Hausdorff-Dimension – eines Fraktals größer ist als seine topologische Dimension. Zudem wird Selbstähnlichkeit beziehungsweise Skaleninvarianz gefordert.
Fraktale können auf unterschiedliche Weise erzeugt werden. Es besteht jedoch immer die Notwendigkeit, zwischen kurzer Rechenzeit und detailgenauer Darstellung abzuwägen. Ein exaktes Verständnis für die Struktur des jeweiligen Fraktals ermöglicht es, beides zu vereinen.
In der ersten Abbildung der Arbeit ist ein Fraktal zu sehen, das durch Kreisinversionen an acht symmetrisch angeordneten Kreisen entsteht. Das sichtbare fraktale Muster ist eine Approximation der Grenzpunkte des durch die Kreisinversionen definierten iterierten Funktionensystems. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wird ein Programm entwickelt, das es ermöglicht, direkt die Grenzpunkte – das heißt den Orbit eines bestimmten Startkreises unter der Transformationsgruppe – zu erzeugen. Dies soll nicht zufällig, sondern exakt bis zu einer festgelegten Genauigkeit erfolgen. Die Genauigkeit bezieht sich dabei auf die Größe der Kreise, die die Grenzpunktmenge bilden. Das im Fraktal entstehende Muster verändert sich sehr stark in Abhängigkeit von dem Radius des mittig liegenden Kreises. Wie entsprechende spezielle Radien numerisch bestimmt werden können und in welchen Situationen der Orbit disjunkt ist, ist wesentlicher Inhalt dieser Arbeit.
In Kapitel 2 werden zunächst die mathematischen Grundlagen des projektiven Raumes CP1 sowie der Kreisinversion erörtert. Diese Grundlagen werden insbesondere für das in Kapitel 3 entwickelte Programm benötigt, das die Inversion allgemeiner Kreise an allgemeinen Kreisen sowie deren graphische Ausgabe ermöglicht. Auf diesem Programm aufbauend können mit den in Kapitel 4 entwickelten Suchalgorithmen Bilder des Orbits eines beliebigen allgemeinen Startkreises unter einer aus beliebig vielen Kreisinversionen bestehenden Transformationsgruppe in beliebiger Genauigkeit generiert werden. Solche Transformationsgruppen erweisen sich als ein wesentlicher Schlüssel für das Verständnis des oben beschriebenen Fraktals, das in Kapitel 5 analysiert wird.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Mathematische Grundlagen
2.1 Überblick über den CP1
2.2 Die Kreisinversion
3 Das Programm zur Kreisinversion
3.1 Technische Umsetzung der Kreisinversion
3.2 Die PostScript-Ausgabe: Ein Ausflug in den RP2
4 Suchalgorithmen
4.1 Der Suchbaum und Grundlagen der Suche
4.2 Tiefensuche-Algorithmen
4.3 Abbruchkriterien
4.4 Sondersuche HinHer
5 Das Inversion-7-3-Fraktal
5.1 Vorstellung des Inversion-7-3-Fraktals
5.2 Die Transformationsgruppe
5.3 Pflasterung der hyperbolischen Kreisscheibe in Abhängigkeit von rm
5.4 Ausblick: Dualität und Schnittwinkel
Zielsetzung und Themen
Das primäre Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Computerprogramms, das die effiziente und exakte Generierung von Fraktalen ermöglicht, die durch Kreisinversionen entstehen. Die Forschungsfrage konzentriert sich darauf, wie der Orbit eines Startkreises unter einer aus beliebigen Kreisinversionen bestehenden Transformationsgruppe in beliebiger Genauigkeit berechnet und visualisiert werden kann, insbesondere im Hinblick auf das Inversion-7-3-Fraktal und die damit verbundenen hyperbolischen Pflasterungen.
- Mathematische Fundierung der Kreisinversion im komplexen projektiven Raum CP1.
- Implementierung eines funktionalen Algorithmus in CindyScript zur automatisierten Kreisinversion.
- Entwicklung und Vergleich verschiedener Suchalgorithmen zur Generierung des Orbits von Kreisen.
- Analyse der Strukturen des Inversion-7-3-Fraktals in Abhängigkeit von Kreisradien.
- Untersuchung von Abbruchkriterien zur Optimierung der graphischen Ausgabe.
Auszug aus dem Buch
Die Kreisinversion
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Kreisinversion. Obwohl diese Abbildung – beispielhaft in Abbildung 2.3 zu begutachten – an sich nicht kompliziert ist, will sie doch sorgfältig definiert sein.
Definition 2.18 (vgl. z. B. [MSW02, S. 55] oder [Gie82, S. 390 f.]). In der Ebene sei ein Kreis K(M, r) um einen Punkt M mit Radius r gegeben. Für alle Punkte P mit Ausnahme des Kreismittelpunktes M heißt die Abbildung ι Kreisinversion, wenn für den zugehörigen Bildpunkt P' gilt:
(i) P' liegt auf dem Strahl von M durch P.
(ii) Für den Abstand d der Punkte P und P' von M gilt: d(M,P) · d(M,P') = r²
Bezeichnung 2.19. K(M, r) aus Definition 2.18 wird als Spiegelungskreis der Kreisinversion ι bezeichnet.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in den Fraktalbegriff und Motivation für die algorithmische Erzeugung von Fraktalen mittels Kreisinversionen.
2 Mathematische Grundlagen: Erörterung der mathematischen Basis, insbesondere des projektiven Raums CP1 und der Eigenschaften der Kreisinversion.
3 Das Programm zur Kreisinversion: Detaillierte Beschreibung der technischen Implementierung in CindyScript für die Durchführung und Darstellung der Kreisinversionen.
4 Suchalgorithmen: Vorstellung und Vergleich verschiedener Suchstrategien wie Tiefensuche zur effizienten Berechnung des Orbits innerhalb einer Transformationsgruppe.
5 Das Inversion-7-3-Fraktal: Spezifische Analyse der fraktalen Muster, der Transformationsgruppen und der hyperbolischen Pflasterungen im Kontext des Inversion-7-3-Fraktals.
Schlüsselwörter
Kreisinversion, Fraktale, Transformationsgruppe, CindyScript, Inversion-7-3-Fraktal, Projektive Geometrie, CP1, Suchalgorithmen, Tiefensuche, Hyperbolische Pflasterung, Orbit, Grenzpunkte, PostScript, Apollonische Kreispackung, Computergeometrie
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit?
Die Diplomarbeit befasst sich mit der mathematischen Modellierung und algorithmischen Implementierung von Fraktalen, die durch Kreisinversionen in der Ebene erzeugt werden.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die zentralen Themen umfassen die projektive Geometrie, die Implementierung geometrischer Transformationen als Computerprogramm sowie die algorithmische Untersuchung von fraktalen Strukturen.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Ziel ist die Entwicklung eines stabilen Programms, das den Orbit eines Startkreises unter einer Transformationsgruppe von Kreisinversionen exakt bis zu einer gewählten Genauigkeit berechnet und visualisiert.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine Modellierung im komplexen projektiven Raum CP1 verwendet, um die Kreisinversion mathematisch präzise zu definieren und programmiertechnisch stabil umzusetzen.
Was ist Gegenstand des Hauptteils?
Der Hauptteil behandelt die theoretischen Grundlagen (CP1), die technische Realisierung des Algorithmus in CindyScript, diverse Suchalgorithmen zur Exploration der Transformationsgruppe sowie eine tiefgehende Analyse des Inversion-7-3-Fraktals.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich primär durch die Begriffe Kreisinversion, Fraktalgeometrie, Transformationsgruppen, projektive Geometrie und algorithmische Implementierung charakterisieren.
Wie unterscheidet sich die Arbeit von anderen Ansätzen zur Fraktalerzeugung?
Im Gegensatz zu Methoden, die auf reinen Möbiustransformationen basieren, widmet sich diese Arbeit den Kreisinversionen, die keine Möbiustransformationen sind, und bietet dafür eine spezielle algorithmische Lösung an.
Welche Rolle spielt die gewählte Programmierumgebung?
CindyScript wird für die mathematischen Operationen genutzt, während die Ausgabe über PostScript erfolgt, was eine sehr hohe Präzision bei der zeichnerischen Darstellung der Fraktale ermöglicht.
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- Gunther Kraut (Author), 2007, Hyperbolische Strukturen in Kreisinversionsfraktalen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/309286
