Die Arbeit beginnt mit der Definition des Goldenen Schnitts. Im weiteren Verlauf wird der Autor zunächst die Irrationalität von ϕ zeigen und sich dann näher mit der Approximation dieser Zahl auseinandersetzen. Dabei wird hauptsächlich die Approximation durch Kettenbrüche in den Blick genommen, da diese nach dem Satz von Lagrange beste Approximationen liefern.
Um diesen Satz nachzuvollziehen, zu beweisen und die Approximation durchführen zu können, greift der Autor die Theorie der Näherungs- und Kettenbrüche auf und überträgt dann schließlich seine Ergebnisse auf ϕ. In diesem Zusammenhang kann man sehen, dass ϕ so irrational wie möglich ist. Letztlich wird als zweiter Ansatz die Annäherung des Goldenen Schnitts durch Fibonacci-Zahlen betrachtet.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Definition des goldenen Schnitts
3 Approximation des Goldenen Schnitts
3.1 Goldener Schnitt als irrationale Zahl
3.2 Approximation durch Kettenbrüche
3.3 Fibonacci-Zahlen
Zielsetzung und Themen der Arbeit
Die vorliegende Arbeit untersucht die mathematische Bedeutung und die irrationalen Eigenschaften des Goldenen Schnitts. Ziel ist es, die Irrationalität dieser Zahl aufzuzeigen und fundierte Methoden zu erarbeiten, um sie durch rationale Zahlen – insbesondere durch Kettenbrüche und die Fibonacci-Folge – bestmöglich zu approximieren.
- Historische Entwicklung und mathematische Definition des Goldenen Schnitts
- Beweis der Irrationalität von Phi (φ)
- Theorie der Kettenbrüche und deren Anwendung zur Approximation
- Das Gesetz der besten Approximationen nach Lagrange
- Zusammenhang zwischen der Fibonacci-Folge und dem Goldenen Schnitt
Auszug aus dem Buch
3.2 Approximation durch Kettenbrüche
Ausgehend von der Irrationalität des Goldenen Schnitts stellt sich nun die Frage, wie und durch welche (unkurzbaren) Brüche p/q (p, q ∈ Z, q > 0 und ggT(p, q) = 1), ϕ gut approximiert, also angenähert werden kann. Die Zahl ϕ ist beispielsweise neben der Kreiszahl π (Pi) oder der Eulerschen Zahl e eine der eingehend untersuchten „besonderen Zahlen“ innerhalb der Mathematik. Es wurden dementsprechend viele verschiedene Möglichkeiten entwickelt, die Zahl und insbesondere die Dezimalstellen dieser Zahl anzunähern. Das gesamte Spektrum der mathematischen Möglichkeiten, die Zahl ϕ zu approximieren, kann im Rahmen dieser Arbeit nicht vollständig dargestellt werden, stattdessen sollen zwei Möglichkeiten der Approximation ausgewählt, systematisch erarbeitet und auf ϕ übertragen werden.
Vor der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die Pythagoreer, galt die Überzeugung, dass jede Zahl in Verhältnissen ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Die Pythagoreer kannten also nur sogenannte kommensurable Proportionen. Dass das Verhältnis der Seiten und der Diagonale eines Quadrates nicht in ganzen Zahlen dargestellt werden kann, also inkommensurabel sein muss, war der Beweis für die Existenz der irrationalen Zahlen [7]. Diese Entdeckung der Irrationalität war die Geburtsstunde der sogenannten Approximationstheorie für inkommensurable Verhältnisse.
Der mathematische Kerngedanke bei der Approximation besteht darin, reelle Zahlen möglichst gut durch rationale Zahlen mit kleinem Zähler und Nenner zu approximieren. Nun gilt es zunächst eine „gute Approximation“ zu präzisieren, da die Menge der rationalen Zahlen dicht in der Menge der reellen Zahlen liegt. Das bedeutet, dass man irrationale Zahlen beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren kann. Der sogenannte Dirichletsche Approximationssatz liefert eine noch stärkere Aussage als die Aussage, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen. Dieser besagt nämlich, dass für eine beliebige Irrationalzahl unendlich viele teilerfremde rationale p/q mit p, q ∈ Z, q > 0 existieren, die die gegebene Irrationalzahl, mit einem Fehler kleiner als 1/q approximieren. Der Satz besteht aus zwei Teilen.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Dieses Kapitel gibt einen historischen Überblick über den Goldenen Schnitt und führt in die Fragestellung ein, warum dieser Teilungsverhältnis in der Mathematik eine solch herausragende Bedeutung einnimmt.
2 Definition des goldenen Schnitts: Hier wird der Goldene Schnitt mathematisch exakt als das Verhältnis definiert, bei dem sich der größere Teil einer Strecke zum kleineren so verhält wie das Ganze zum größeren Teil.
3 Approximation des Goldenen Schnitts: Dieses Hauptkapitel befasst sich mit der Irrationalität der Zahl Phi und leitet Methoden zur bestmöglichen Annäherung mittels Kettenbrüchen und Fibonacci-Zahlen her.
3.1 Goldener Schnitt als irrationale Zahl: In diesem Unterkapitel wird bewiesen, dass Phi nicht als Quotient zweier teilerfremder ganzer Zahlen darstellbar ist.
3.2 Approximation durch Kettenbrüche: Dieser Abschnitt erläutert die Theorie der Kettenbrüche und zeigt, dass die Näherungsbrüche einer Kettenbruchdarstellung die bestmöglichen rationalen Approximationen liefern.
3.3 Fibonacci-Zahlen: Dieses Kapitel zeigt den engen Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt auf und beweist, dass die Fibonacci-Quotienten gegen den Goldenen Schnitt konvergieren.
Schlüsselwörter
Goldener Schnitt, Phi, Irrationalität, Kettenbrüche, Approximation, Fibonacci-Folge, Näherungsbrüche, Satz von Lagrange, Inkommensurabilität, Approximationstheorie, Dirichletscher Approximationssatz, Mathematikgeschichte, Teilungsverhältnis, Grenzwerte, Reelle Zahlen
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit widmet sich der mathematischen Untersuchung des Goldenen Schnitts, seiner Irrationalität und den verschiedenen Methoden zu seiner numerischen Annäherung.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der algebraischen Definition des Verhältnisses, der Theorie unendlicher Kettenbrüche sowie der Rekursion der Fibonacci-Folge als Näherungsinstrument.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es zu belegen, in welchem Sinne der Goldene Schnitt als eine der „schlechtest“ approximierbaren irrationalen Zahlen gilt und wie dies mathematisch durch die Kettbruchdarstellung bewiesen wird.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt die analytische Zahlentheorie, insbesondere den verallgemeinerten euklidischen Algorithmus und Sätze zur diophantischen Approximation.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil analysiert die Eigenschaften von Kettenbrüchen, das Gesetz der besten Approximationen und die Konvergenz von Fibonacci-Quotienten gegen den Wert Phi.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die zentralen Begriffe sind Goldener Schnitt, Kettenbrüche, Irrationalität, Fibonacci-Zahlen und Approximationstheorie.
Warum wird Phi als "so irrational wie möglich" bezeichnet?
Weil seine Kettenbruchdarstellung ausschließlich aus Einsen besteht, was zu den kleinstmöglichen Nennern bei den Approximationen führt und somit eine langsamere Konvergenz als bei anderen irrationalen Zahlen bewirkt.
Welchen Beitrag leistet die Fibonacci-Folge in dieser Untersuchung?
Sie dient als zweiter, unabhängiger Ansatz zur Approximation, bei dem die Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen sukzessive gegen den Goldenen Schnitt konvergieren.
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- Sevim Toker (Author), 2015, Der Goldene Schnitt als irrationale Zahl. Eine Approximation durch Kettenbrüche und Fibonacci-Zahlen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/310582
