Extrait
1
Einleitung
"
Geometrie besitzt zwei große Sch¨
atze: einer ist das Theorem des Pythagoras; der andere
ist die Teilung einer Linie in das ¨
außere und mittlere Verh¨
altnis. Die erste m¨
ogen wir mit
dem Wiegen des Goldes vergleichen, die zweite verdiente den Namen eines Edelsteins."
Johannes Kepler (1571-1630)
Ein Ganzes wird so geteilt, dass der kleinere Teil sich zum gr¨
oßerem so verh¨
alt, wie der
gr¨
oßere zum Ganzen. Dies ist die als Goldener Schnitt bezeichnete asymmetrische Auftei-
lung einer Strecke, die jahrhundertelang viele Menschen, darunter vor allem die Mathema-
tiker besch¨
aftigt hat. So befassten sich bereits die griechischen Mathematiker der Antike
mit dem Teilungsverh¨
altnis, da es in ihren geometrischen Untersuchungen h¨
aufig vorkam.
Der Goldene Schnitt wird meist mit dem griechischen Buchstaben (Phi) bezeichnet. Diese
Bezeichnung geht auf den griechischen Bildhauer und Mathematiker Phidias (490 - 430 v.
Chr.) zur¨
uck, der den Goldenen Schnitt als erster auf seine Skulpturen angewandt haben
soll. Nach ihm haben sich sehr viele andere wichtige Mathematiker mit der Goldenen Zahl
besch¨
aftigt [7, 9, 15]:
Platon (427 - 347 v. Chr.) beschrieb in seinem Werk Timaios die f¨
unf platonischen K¨
orper.
Hierbei spielte der Goldene Schnitt eine herausragende Rolle. Erstmals wurde der Goldene
Schnitt (vermutlich) von Euklid (325 - 262 v. Chr.) mathematisch formuliert und festge-
halten. Euklid verfolgte haupts¨
achlich das Interesse, den Goldenen Schnitt geometrisch zu
interpretieren und wandte ihn bei der Konstruktion des Pentagramms an. Ein wichtiger
H¨
ohepunkt in der Geschichte des Goldenen Schnitts war die Entdeckung der Fibonacci-
Folge durch den italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa (1170 - 1250), bekannt
als Leonardo Fibonacci. Fibonacci selber war unwissend von dem Zusammenhang seiner
Zahlenfolge und dem Goldenen Schnitt. Die Entdeckung dieses Zusammenhangs gelang
Johannes Kepler (1571 - 1630) bei der Untersuchung der Umlaufbahnen der Planeten. Er
zeigte eine große Faszination zu dem Goldenen Schnitt, dass er ihn als "kostbaren Edel-
stein"bezeichnete (vgl. Zitat).
Obgleich der Goldene Schnitt sehr lange Zeit die Mathematik besch¨
aftigt hat, ist der
Ursprung des Begriffs Goldener Schnitt umstritten. Er taucht als Bezeichnung als diese
erstmals bei Luca Pacioli (1445 - 1517) auf. Er f¨
uhrte den Namen "divina proportione" -
G¨
ottliche Proportion ein. Die eingangs erw¨
ahnte symbolische Bezeichnung mit ist auf
Mark Barr (20.Jh.) zur¨
uckzuf¨
uhren.
Diese wichtigen H¨
ohepunkte in der mathematischen Geschichte des Goldenen Schnitts
unterstreichen die mathematische Bedeutung und Entwicklung dieser Zahl. Es stellt sich
nun die Frage, warum einer mathematisch und geometrisch einfachen Tatsache, wie die
Teilung einer Strecke, eine derart wichtige und große Bedeutung innerhalb der Mathematik
zugeschrieben worden ist.
2
Die Antwort auf diese Frage liegt in dem Goldenen Schnitt selber: die Teilung im goldenen
Verh¨
altnis wird als besonders harmonisch empfunden und fand deshalb beispielsweise in
der Kunst, Architektur und Musik starke Verwendung. Dar¨
uber hinaus kommt der Goldene
Schnitt mit erstaunlicher H¨
aufigkeit und Vielfalt in der Natur vor. Proportionen die dem
Goldenen Schnitt entsprechen finden wir ¨
uberall in der belebten Natur. Beispielsweise spie-
geln die charakteristische Blattstellung vieler Pflanzen oder die menschlichen Proportionen
den Goldenen Schnitt wieder. Diese Zahl wird daher als Sch¨
opfungsprinzip gesehen, da sie
die Welt mit erstaunlicher Pr¨
azision beschreibt und sie fasziniert nicht nur, weil sie unsere
Umgebung und Welt pr¨
agt: anders als die Symmetrie, die wir klar als Zweiteilung auffas-
sen, folgt der Goldene Schnitt einem mathematischen Konzept, das auf dem ersten Blick
nicht erkennbar ist. Er hat n¨
amlich sehr außergew¨
ohnliche und einzigartige Eigenschaften.
Da der Goldene Schnitt eine derart wichtige Stellung innerhalb der Mathematikgeschichte
einnimmt und besondere mathematische Eigenschaften zeigt, besch¨
aftigt sich die vorlie-
gende Arbeit mit dieser Zahl.
Darstellung des Aufbaus
Die Arbeit beginnt mit der Definition des Goldenen Schnitts. Im weiteren Verlauf werden
wir zun¨
achst die Irrationalit¨
at von zeigen und uns dann n¨
aher mit der Approximation
dieser Zahl auseinandersetzen. Dabei nehmen wir haupts¨
achlich die Approximation durch
Kettenbr¨
uche in den Blick, da diese nach dem Satz von Lagrange beste Approximationen
liefern. Um diesen Satz nachzuvollziehen, zu beweisen und die Approximation durchf¨
uhren
zu k¨
onnen, greifen wir die Theorie der N¨
aherungs- und Kettenbr¨
uche auf und ¨
ubertragen
dann schließlich unsere Ergebnisse auf . In diesem Zusammenhang werden wir sehen, dass
so irrational wie m¨
oglich ist. Letztlich betrachten wir als zweiten Ansatz die Ann¨
aherung
des Goldenen Schnitts durch Fibonacci-Zahlen.
3
2
Definition des goldenen Schnitts
Vorwissen
In der Mathematik dr¨
uckt die Proportion ein Vergleich zweier Verh¨
altnisse aus. F¨
ur den
Vergleich wird der Quotient zweier Gr¨
oßen a und b gebildet (
a
b
= a : b), diesen Quotienten
nennt man das Verh¨
altnis der beiden Gr¨
oßen a und b. So ist eine Proportion eine besondere
Gleichung, die sich aus zwei solchen Verh¨
altnissen zusammensetzt (
a
b
=
c
d
).
Wenn wir nun diese Definition der Proportion beim Goldenen Schnitt anf¨
uhren, dann ist sie
in diesem Sinne eine Bezeichnung f¨
ur eine exakt definierte Verh¨
altnisgleichung: Das Ganze
steht zum Großen genau im selben Verh¨
altnis wie das Gr¨
oßere zum Kleineren. Wir werden
sehen, dass jede gegebene Strecke genau zwei Punkte besitzt, an dem diese erf¨
ullt ist.
Außerdem wird sich in Kapitel 3.1 herausstellen, dass das Teilungsverh¨
altnis des Goldenen
Schnitts, das das griechische Symbol (Phi) tr¨
agt, eine irrationale Zahl ist, das sich nicht
als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen l¨
asst.
Wir folgen im weiteren Verlauf dieses Kapitels der Darstellung von Beutelspacher [1].
Der Goldene Schnitt wird bereits im ersten Buch der Mathematikwelt
"
Elemente des Eu-
klid" 300 vor Chr. von Euklid beschrieben, definiert und behandelt [1]. Er beschreibt den
Goldenen Schnitt als Aufgabe:
"
Eine gegebene Strecke ist so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem
einen Abschnitt dem Quadrat ¨
uber dem anderen Abschnitt gleich ist."
Es soll nicht weiter darauf eingegangen werden, ob der Goldene Schnitt vor Euklid auch
schon vorgekommen ist. Die heutige, viel g¨
angigere Definition des Goldenen Schnitts ist
die Folgende:
Definition 2.1. Sei AB (A = B) eine Strecke. Ein Punkt S (S = A, S = B) von AB teilt
AB im goldenen Schnitt, falls sich die gr¨
oßere Teilstrecke zur kleineren so verh¨
alt, wie die
Gesamtstrecke zum gr¨
oßeren Teil.
Dieses Verh¨
altnis heißt . Wir werden sehen, dass =
1 +
5
2
.
Bemerkung 2.2. Es existieren immer zwei Punkte, die eine gegebene Strecke AB im
goldenen Schnitt teilen k¨
onnen, je nachdem, ob der kleinere Streckenabschnitt bei A oder
B ist. Um S eindeutig zu bestimmen, wird der Teilungspunkt S so gew¨
ahlt, dass den jeweils
gr¨
oßeren Teil, die Strecke AS bildet. Mit dieser Vereinbarung kann die obige Definition
folgendermaßen umformuliert werden: Der Punkt S teilt AB im goldenen Schnitt, wenn
gilt:
4
|AS|
|SB|
=
|AB|
|AS|
Abbildung 1:
a
b
=
a+b
a
Bemerkung 2.3. Sei a die L¨
ange der Strecke AS und b die L¨
ange der Strecke SB. Ein
Punkt S von AB teilt diese Strecke im goldenen Schnitt, wenn
a
b
=
a+b
a
.
Satz 2.4. (Goldener Schnitt)
Genau dann teilt ein Punkt S die Strecke AB im goldenen Schnitt, wenn
a
b
=
1+
5
2
gilt.
Beweis. S teilt AB im goldenen Schnitt
a
b
=
a + b
a
a
b
= 1 +
b
a
a
b
- 1 -
b
a
= 0
wir setzen x =
a
b
x - 1 -
1
x
= 0
x
2
- x - 1 = 0
Mithilfe der p-q-Formel berechnen wir:
x
1/2
=
1
2
±
1
4
+ 1
So hat diese quadratische Gleichung die beiden L¨
osungen: x
1/2
=
1 ±
5
2
. Da wir nach
einem Verh¨
altnis gesucht haben, f¨
allt die negative L¨
osung aus dem Sachzusammenhang.
Daraus folgt als positive L¨
osung dieser quadratischen Gleichung:
a
b
=
1+
5
2
= 1,618 . . . = .
5
3
Approximation des Goldenen Schnitts
In diesem Kapitel der Arbeit werden die Irrationalit¨
at des Goldenen Schnitts und ausge-
hend von dieser Eigenschaft die Approximation dieses irrationalen Verh¨
altnisses, zum einen
durch Kettenbr¨
uche und zum anderen durch die Fibonacci-Zahlen, in den Blick genommen.
Schließlich werden wir anhand der entwickelten Ergebnisse beschreiben, in welchem Sinne
man sagen kann, dass die Zahl so irrational wie m¨
oglich ist.
3.1
Goldener Schnitt als irrationale Zahl
Wir orientieren uns hier an Menzer [11].
Definition 3.1. Eine reelle Zahl z R wird irrational genannt, wenn sie nicht als Quotient
zweier teilerfremder ganzer Zahlen ausgedr¨
uckt werden kann. Irrationale Zahlen haben
unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen. Es gilt z =
p
q
, f¨
ur alle p, q Z mit
q > 0 und ggT(p, q) = 1.
Satz 3.2. (Irrationalit¨
at)
Die Zahl =
1 +
5
2
ist irrational.
Beweis. (indirekt) Wir wissen bereits f¨
ur , dass
2
- - 1 = 0 gilt. Wir nehmen an,
sei rational, also eine Bruchzahl aus teilerfremden ganzen Zahlen p und q (mit q > 0), also
=
p
q
. So gilt
p
q
2
-
p
q
- 1 = 0
p
2
- pq - q
2
= 0
p · (p - q) = q
2
Daraus folgt, dass p | q
2
. Da p | q
2
und aufgrund der Teilerfremdheit von p und q und
somit auch von p und q
2
als gemeinsamer Teiler nur die 1 in Frage kommt, muss p = 1
sein. Analog folgt aus p
2
= p · (p - q), dass auch q = 1 ist. Jedoch f¨
uhrt = 1 zu einem
Widerspruch, womit irrational ist.
Bemerkung 3.3. Nachdem nun verifiziert wurde, dass eine irrationale Zahl darstellt,
steht fest, dass es sich als endliche Dezimalzahl der Form 1,a
1
a
2
...a
k
mit a
j
{0, 1, 2, ..., 9}
nicht exakt angeben l¨
asst; andernfalls h¨
atte eine Darstellung als Quotient aus zwei tei-
lerfremden ganzen Zahlen und w¨
are somit rational.
6
3.2
Approximation durch Kettenbr¨
uche
Ausgehend von der Irrationalit¨
at des Goldenen Schnitts stellt sich nun die Frage, wie und
durch welche (unk¨
urzbaren) Br¨
uche
p
q
(p, q Z, q > 0 und ggT(p, q) = 1), gut approxi-
miert, also angen¨
ahert werden kann. Die Zahl ist beispielsweise neben der Kreiszahl (Pi)
oder der Eulerschen Zahl e eine der eingehend untersuchten
"
besonderen Zahlen" innerhalb
der Mathematik. Es wurden dementsprechend viele verschiedene M¨
oglichkeiten entwickelt,
die Zahl und insbesondere die Dezimalstellen dieser Zahl anzun¨
ahern. Das gesamte Spek-
trum der mathematischen M¨
oglichkeiten, die Zahl zu approximieren, kann im Rahmen
dieser Arbeit nicht vollst¨
andig dargestellt werden, stattdessen sollen zwei M¨
oglichkeiten
der Approximation ausgew¨
ahlt, systematisch erarbeitet und auf ¨
ubertragen werden.
Vorwissen
Vor der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die Pythagoreer, galt die ¨
Uberzeugung,
dass jede Zahl in Verh¨
altnissen ganzer Zahlen ausgedr¨
uckt werden kann. Die Pythagoreer
kannten also nur sogenannte kommensurable Proportionen. Dass das Verh¨
altnis der Seiten
und der Diagonale eines Quadrates nicht in ganzen Zahlen dargestellt werden kann, also
inkommensurabel sein muss, war der Beweis f¨
ur die Existenz der irrationalen Zahlen [7].
Diese Entdeckung der Irrationalit¨
at war die Geburtsstunde der sogenannten Approximati-
onstheorie f¨
ur inkommensurable Verh¨
altnisse.
Der mathematische Kerngedanke bei der Approximation besteht darin, reelle Zahlen m¨
og-
lichst gut durch rationale Zahlen mit kleinem Z¨
ahler und Nenner zu approximieren. Nun gilt
es zun¨
achst eine
"
gute Approximation" zu pr¨
azisieren, da die Menge der rationalen Zahlen
dicht in der Menge der reellen Zahlen liegt. Das bedeutet, dass man irrationale Zahlen
beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren kann. Der sogenannte Dirichletsche
Approximationssatz liefert eine noch st¨
arkere Aussage als die Aussage, dass die rationalen
Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen. Dieser besagt n¨
amlich, dass f¨
ur eine beliebige
Irrationalzahl unendlich viele teilerfremde rationale
p
q
mit p, q Z, q > 0 existieren, die die
gegebene Irrationalzahl, mit einem Fehler kleiner als
1
q
approximieren. Der Satz besteht
aus zwei Teilen. Wir schauen uns nun beide genauer an. Bei der Darstellung orientieren
wir uns an Bundschuh [2].
Satz 3.4 (Dirichletscher Approximationssatz).
Sei a R und n N, n 2. Dann existiert ein gek¨urzter Bruch
p
q
(p, q Z, q > 0,
ggT(p, q) = 1) mit 1 q n und
a -
p
q
<
1
n
.
(3.1)
Wenn a irrational ist, dann gibt es unendlich viele
p
q
mit p, q Z, q > 0, ggT(p, q) = 1 und
a -
p
q
<
1
q
.
(3.2)
7
Bevor wir diesen Satz beweisen, wollen wir zun¨
achst eine Definition formulieren und uns
dazu Beispiele anschauen.
Definition 3.5. Wir schreiben a f¨
ur die gr¨
oßte ganze Zahl, die kleiner oder gleich einer
reellen Zahl a ist. Zudem ist {a} der gebrochene Anteil einer Zahl a R, also a = a +{a}
mit {a} [0, 1).
Beispiel 3.6. Hier zwei Beispiele f¨
ur a :
24
5
= 4, -
3
2
= -2 und f¨
ur {a} :
24
5
=
4
5
, -
3
2
=
1
2
Beweis. Wir betrachten zun¨
achst (3.1) und zerlegen das Einheitsintervall [0, 1) in n Teilin-
tervalle 0,
1
n
,
1
n
,
2
n
. . .
n-1
n
,1 . Jeder der gebrochenen Anteile {0} , {a} , {2a} ... {na} liegt
in einem der n Teilintervalle
i
n
,
i+1
n
mit i = 0, . . . n - 1.
Das Schubfachprinzip besagt, dass wenn wir n + 1 Zahlen und n Intervalle haben, min-
destens zwei der Zahlen im selben Teilintervall liegen m¨
ussen. Diese beiden Zahlen seien
{ax
1
} und {ax
2
}, wobei o.B.d.A. x
1
< x
2
sei. D.h. wir finden 0 x
1
< x
2
n mit
|{ax
2
} - {ax
1
}| <
1
n
.
und mit der Definition 3.5 folgt
(x
2
- x
1
) · a = ax
2
- ax
1
+ {ax
2
} - {ax
1
} .
(3.3)
Wir setzen p := ax
2
- ax
1
und q := x
2
- x
1
. Wegen 0 x
1
< x
2
n folgt 1 q n.
(Wenn der Bruch
p
q
ungek¨
urzt sein sollte, kann man ihn k¨
urzen, so dass die Ungleichung
1 q n richtig bleibt.) Ferner folgt, aus (2.3)
a -
ax
2
- ax
1
x
2
- x
1
=
{ax
2
} - {ax
1
}
x
2
- x
1
, also a -
p
q
<
1
n
(da |{ax
2
} - {ax
1
}| <
1
n
und x
2
- x
1
1) mit 1 q n.
Damit haben wir den ersten Teil des Satzes bewiesen. Wir schauen uns nun die zweite
Aussage, also (3.2) an, wobei die Zahl a jetzt irrational ist.
Zu jedem n = 2,3,... existiert nach (3.1) ein Paar (p(n), q(n)) Z × N mit
a -
p(n)
q(n)
<
1
n
, q(n) n
wir setzen p(n) und q(n) als teilerfremd voraus. Wenn wir nur endlich viele verschiedene
Paare (p(n), q(n)), n = 2,3,...h¨
atten, dann m¨
usste es f¨
ur ein (p
0
,q
0
) Z × N unendlich viele
n mit p(n) = p
0
, q(n) = q
0
und f¨
ur diese nach (3.1)
a -
p
0
q
0
<
1
n
gelten. Daraus w¨
urde a =
p
0
q
0
, also die Rationalit¨
at von a folgen, was zu einem Widerspruch
zur Annahme f¨
uhrt, womit auch der zweite Teil des Satzes bewiesen ist.
8
Fin de l'extrait de 26 pages
- Citation du texte
- Sevim Toker (Auteur), 2015, Der Goldene Schnitt als irrationale Zahl. Eine Approximation durch Kettenbrüche und Fibonacci-Zahlen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/310582
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