Stochastische Unternehmensbewertung. Mehrwert, Theorie & ein Modell

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1. Einleitung
1.1. Problemstellung
1.2. Forschungsfrage und Abgrenzung
1.3. Gang der Untersuchung

2. Mehrwert der stochastischen Unternehmensbewertung
2.1. Stochastische & deterministische Unternehmensbewertung im Vergleich
2.1.1. Rahmenbedingungen der Unternehmensbewertung
2.1.2. Qualitätskriterien der Unternehmensbewertung
2.1.3. Charakterisierung der Modellierungsalternativen
2.1.4. Bewertung der Modellierungsalternativen
2.2. Risikomanagement & wertorientierte Unternehmensführung
2.2.1. Risikomanagementprozess & -methoden
2.2.2. Wertschaffung durch Risikomanagement

3. Theorie & ein Modell der stochastischen Unternehmensbewertung
3.1. Theorie der stochastischen Unternehmensbewertung
3.1.1. Adjusted Present Value-Methode & Bewertungsmodul
3.1.2. Stochastikmodul
3.1.3. Makroökonomikmodul
3.1.4. Mikroökonomikmodul
3.1.5. Rechnungslegungsmodul
3.2. Modell der stochastischen Unternehmensbewertung für die K GmbH
3.2.1. Parameter der K GmbH
3.2.2. Auswertung der Simulationsergebnisse

4. Zukunft der stochastischen Unternehmensbewertung
4.1. Zusammenfassung
4.2. Ausblick

Anhang
A. Modellierungsprozess
B. Simulationsübersicht h=0
C. Simulationsübersicht h=0,5

Literaturverzeichnis

Tabellenverzeichnis

2.1. Risikobewertung & Analysierbarkeit des Ergebnisses

3.1. Parameter der Zinsstrukturkurve

3.2. Parameter des Eigenkapitalmarkts

3.3. Parameter des makroökonomischen Strukturmodells

3.4. Sensitivitätsparameter ω

3.5. Parameter der GBM

3.6. Korrelationsmatrix P

3.7. Konsummatrix C

3.8. Parameter der Bilanzpostenentwicklung

3.9. Rating & zehnjährige Ausfallhäufigkeit

3.10.Endogene Parameter für die Eigenkapitalkosten

3.11.Endogene Parameter für Fremdkapitalkosten und Risikomanage- ment

Abbildungsverzeichnis

2.1. Risikomanagementprozess

3.1. Handelsbilanz

3.2. Gewinn- und Verlustrechnung

3.3. Kapitalflussrechnung

3.4. Investitions- und Finanzplanung

3.5. Wertbilanz

3.6. Module der stochastischen Unternehmensbewertung

3.7. Kapitalmarktlinie

3.8. Ratingskalen und Ausfallwahrscheinlichkeiten

3.9. Bilanz der K GmbH in t = 0

3.10.Wertverteilungen der Unternehmensbewertung

3.11.Box Plot h 0

3.12.Box Plot h 0 , 5

3.13.Wertverteilungen des Risikomanagements

3.14. EF (0) für h 0

3.15. EF (0) für h 0 , 5

A. Modellierungsprozess

B. Simulationsübersicht h 0

C. Simulationsübersicht h 0 , 5

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

1.1. Problemstellung

Unternehmensbewertung ist der Prozess an dessen Ende ein Unternehmens- wert ermittelt sein soll. Dabei ist Unternehmensbewertung nie Selbstzweck, sondern muss nach Auffassung des Instituts der Wirtschaftsprüfer (IDW) einem zu determinierendem Zweck dienen (IDW, 2008, 7). Ein solcher Zweck für den sich die, nicht selten aufwändige, „Quest for Value“ (Stewart, 1991, 1) lohnt, ist die wertorientierte Unternehmensführung. Der Unternehmenswert als Zielgröße des Managements hat dabei viele Vorteile gegenüber anderen Konzepten (Cope- land et al., 2002, 12).

Unabhängig von der Zielgröße sind bei der Unternehmensführung die zahl- reichen gesetzlichen Anforderungen u.a. an die externe Risikokommunikation (Marten et al., 2011, 286f.) und an ein internes Risikomanagement zu erfül- len (Cottin und Döhler, 2008, 14ff.). Das Risikomanagement im Unternehmen kann durch geeignete Maßnahmen den Unternehmenswert steigern und muss sich, ganz im Sinne der Wertorientierung, an seinem Wertbeitrag messen las- sen (Gleißner, 2011, 314ff.). Dies wird durch risikopolitische Maßnahmen, wie Diversifikation, Versicherung und Hedging erreicht (Servaes et al., 2009, 63). So werden bewertungsrelevante Cash Flows (CF) und Diskontierungssätze beeinflusst, damit das gewünschte Risikoprofil zu erreicht wird. Um die Wertori- entierung wirksam zu gestalten, ist eine umfassende Risikoanalyse notwendig. Nur nach präziser Analyse der wesentlichen Risiken und des Gesamtrisikos, sind die Auswirkung der Risikomanagementmaßnahmen auf den Unternehmenswert quantifizierbar (Gleißner, 2011, 111f.).

Der Unternehmensbewertung und dem quantitativen Risikomanagement ist die intensive mathematische Beschäftigung mit der Zukunft des Unternehmens gemein. Der Unterschied besteht jedoch in der Modellierung der zukünftigen bewertungsrelevanten Cash Flows. Den bisher überwiegend deterministischen Berechnung der Unternehmensbewertung stehen die stochastischen Modelle der Risikoanalyse gegenüber. Jedoch weist MO X T E R schon 1983 mit dem Mehr- wertigkeitsprinzip darauf hin, dass es notwendig ist, die Mehrwertigkeit der Ergebnisse der Unternehmensbewertung aufzuzeigen (Moxter, 1983, 122ff.). Dieses Prinzip ist mit deterministischen Bewertungsmodellen nicht erfüllbar, da nur einwertige Ergebnisse berechnet werden können. Das führt zu folgender Definition: Ein stochastisches Unternehmensbewertungsmodell sei definiert als ein Unternehmensbewertungsmodell, dessen Ergebnis ein mehrwertiger Unternehmenswert - eine Unternehmenswertverteilung - ist. Zudem könnte durch die stochastische Erweiterung die Qualität der Planungen, der Unterneh- mensbewertung und des Risikomanagement steigen. Gelingt die Integration der stochastischen Aspekte der Risikoanalyse in die präzise den Unternehmenswert ermittelnde Bewertung ist zusätzlich ein Effizienzgewinn zu erwarten.

Für ein stochastisches Unternehmensbewertungsmodell müssen die üblichen deterministischen Planungen des Unternehmens innerhalb eines integrierten Finanzmodells durch stochastische Prozesse ersetzt und deren Interdependenzen berücksichtigt werden. Im deutschsprachigen Raum mangelt es dafür nicht an Vorschlägen. Die von M O S E R U N D S C H I E S Z L, W E I Z S Ä C K E R U N D K R E M P E L, JÖDICKE, KLEIN und FÖRSTER vorgeschlagenen Modelle weisen allerdings auf eine deutliche Forschungslücke hin. Die Interdependenzen von Inputprei- sen, Outputpreisen und Mengen innerhalb einer Periode, deren Zusammenhang über mehrere Perioden, sowie der Einfluss makroökonomischer Entwicklungen werden ungenügend modelliert. Die Herausforderung bei der stochastischen Unternehmensbewertung besteht also nicht darin, einzelne Werte durch Vertei- lungen zu ersetzen, sondern in der Modellierung der Interdependenzen. Damit ist ein stochastisches Modell deutlich komplexer und aufwändiger.

1.2. Forschungsfrage und Abgrenzung

Die aufgezeigte Forschungslücke und die Synthese der obigen Überlegungen führt zu der Forschungsfrage dieser Arbeit: Besteht ein hoher Mehrwert der stochastischen Unternehmensbewertung und wie muss innerhalb bestimmter Rah- menbedingungen ein qualitativ hochwertiges Unternehmensbewertungsmodell dafür erweitert werden?

Um den Mehrwert der nicht trivialen stochastischen Erweiterung zu erklären, sind Rahmenbedingungen und Qualitätskriterien herzuleiten. Den hohen Mehr- wert solide zu begründen, soll den Nutzen für die Praxis aufzeigen. Dazu bei- tragen soll ein noch zu bestimmendes qualitativ hochwertiges deterministisches Modell als Basis für die Erweiterungen. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der Theorie der stochastischen Zusätze und deren Integration in das Bewertungs- modell. Dabei wird der Fokus auf Rohstoffpreis-, Absatzpreis- und Absatzmen- genrisiko gelegt, denen produzierende Unternehmen typischer Weise ausgesetzt sind. Dieses sind empirisch bedeutsame Risiken (Servaes et al., 2009, 68), die den Kern der betrieblichen Leistungserstellung und seiner Rechnungslegung betreffen. Die Kosten für Eigen- und Fremdkapital sind davon abhängig. Zins- änderungen beeinflussen die gesamte Bewertung und sind dadurch auch über das Modell messbar, jedoch werden sie nicht explizit untersucht. Kreditrisiken bestehen für produzierende Unternehmen nur geringe, allerdings verursacht das Unternehmen durch die Gestaltung seiner Kapitalstruktur solche. Die sich daraus ergebenden Risikozuschläge für Fremdkapital werden berücksichtigt.

Dew Weiteren sei das Unternehmen eine Kapitalgesellschaft.

Nicht betrachtet werden u.a. strategische Risiken, operative Risiken und Wech- selkursrisiken. Letztere sind zwar empirisch besonders bedeutsam (Servaes et al., 2009, 68), allerdings beeinflussen sie lediglich den Wert eines CFs und stehen kaum mit dessen Entstehung in Verbindung. Deshalb kann ein Wechselkursrisiko nachträglich einfach in ein stochastisches Modell integriert werden. Weiter- hin wird von einem Unternehmen ausgegangen, dass ein funktionierendes RM besitzt und die in dieser Arbeit nicht betrachteten Risiken erfolgreich managt. Damit sind die drei empirisch bedeutsamsten Risikotransferinstrumente (Servaes et al., 2009, 70) - Versicherungsverträge, Wechselkursderivate und Zinsderivate - nicht Gegenstand der Untersuchung. Das ist unproblematisch, da offensichtlich die bisherigen Modelle ausreichen, um deren Einsatz zu steuern.

Das zu entwerfende Modell ist als Basis für weitere Zusätze aufzufassen. Es modelliert im Wesentlichen das Ergebnis der gewöhnlichen Geschäftstätigkeit für ein produzierendes Unternehmen stochastisch. Zusätzlich werden möglichst einfache Verteilungen, stochastische Prozesse und Abhängigkeitsmaße verwen- det. Dadurch wird die Analyse der Ergebnisse leichter und das Modell für den Praktiker anwendbar sein. Der mathematikaffine Anwender kann die vorge- schlagenen Verteilungen, stochastischen Prozesse und Abhängigkeitsmaße durch komplizierte ersetzen, so lange die Rahmenbedingungen erfüllt bleiben.

Die verwendeten Datenquellen und Softwarepakete sind so ausgewählt, dass sie dem typischen Praxisanwender zur Verfügung stehen. Die notwendigen Daten für die Schätzung der Parameter von Verteilungen und Abhängigkeiten stammen aus öffentlichen Quellen und Datastream, als gebührenpflichtige Quelle. Mit dem Tabellenkalkulationsprogramm Microsoft Excel werden die umfangreichen Berechnungen samt einiger Zirkelschlüsse durchgeführt. Ein Add-In basiertes Softwaretool sorgt für die stochastische Erweiterung des Funktionsspektrums von Excel und gibt dem Anwender die Möglichkeit Verteilungen und Abhängigkeiten in ein Spread Sheet zu integrieren (Klein, 2011a, 39). Für diese Arbeit wird @Risk verwendet. Dieses beherrscht die Methode der Monte Carlo-Simulation, die zur Ermittlung des Ergebnisses genutzt wird. Statistische und graphische Darstellungen werden ebenfalls mit @Risk erzeugt.

1.3. Gang der Untersuchung

Diese Arbeit ist in vier Kapitel gegliedert.

An die Einleitung anknüpfend wird in Kapitel 2 der hohe Mehrwert einer sto- chastischen Unternehmensbewertung hergeleitet. Abschnitt 2.1 (S. 5) beginnt mit der Aufstellung gemeinsamer Rahmenbedingungen und Qualitätskriterien.

Es folgen Bewertung und Vergleich der deterministischen mit der stochastischen Unternehmensbewertung. Eine Einführung in den Risikomanagementprozess mit quantitativem Schwerpunkt und die Bedeutung des Risikomanagements für die wertorientierte Unternehmensführung finden sich in Abschnitt 2.2 (S. 19). In Kapitel 3 wird die Theorie der stochastischen Unternehmensbewertung be- sprochen und anhand eines Beispielmodells veranschaulicht. Ein qualitativ hoch- wertiges Unternehmensbewertungsmodell nach der Adjusted Present ValueMethode wird in Abschnitt 3.1 (S. 39) entwickelt. Dazu wird die Theorie in Module zerlegt und modulweise vorgestellt. Die Theorie wird in Abschnitt 3.2 (S. 95) an dem Beispiel der K GmbH veranschaulicht. Außerdem werden die Simulationsergebnisse interpretiert.

Zusammenfassung und Ausblick liefert Kapitel 4 (S. 108).

2. Mehrwert der stochastischen Unternehmensbewertung

2.1. Stochastische & deterministische Unternehmensbewertung im Vergleich

2.1.1. Rahmenbedingungen der Unternehmensbewertung

Zielstellung dieses Abschnitts ist es, die Rahmenbedingungen für die Unter- nehmensbewertungsmodelle zu beschreiben. Die Bedingungen sind von einem deterministischen oder stochastischen Unternehmensbewertungskalkül gleicher- maßen zu erfüllen. Dabei ergeben sich aus einigen Anforderungen direkt Konse- quenzen für die Kalküle und die verwendeten Verfahren.

Die erste der vier Rahmenbedingungen ist die Annahme einer mindestens mittel- strengen Informationseffizienz des Kapitalmarktes. Von einem Kapitalmarkt, im Unterschied zu einem Geldmarkt, spricht man, wenn die Kapitalbindungs- dauer größer, als ein Jahr ist (Fabozzi und Modigliani, 2009, 10f.). Damit sind alle Eigenkapitalinstrumente wegen ihrer prinzipiell ewigen Kapitalbindung den Kapitalmärkten zuzuordnen. In vielen einfachen Modellen wird ein voll- kommener Kapitalmarkt unterstellt. Die Existenz eines solchen Marktes muss schon desshalb abgelehnt werden, weil Intermediäre, z.B. Banken, existieren (Hartmann-Wendels et al., 2010, 324).

Informationseffizient ist ein Markt, wenn alle verfügbaren Informationen in den Preisen enthalten sind. Ein informationseffizienter Markt ist operational effizient, nicht bewertungseffizient und nicht allokationseffizient. Operationale Effizienz ist gegeben, sobald die Abwicklung des Tradings und Zahlungsverkehrs am Kapitalmarkt nicht zu niedrigeren Kosten durchgeführt werden kann. Dies ist, zumindest für institutionelle Anleger an den Kapitalmärkten, gegeben. Die nicht vorliegende Bewertungseffizienz bei vorliegender Informationseffizienz bedeutet, dass zwar alle Informationen eingepreist sind, allerdings nicht immer korrekt. Deshalb bestehen Arbitragemöglichkeiten, bis der Markt die Fehlbe- wertung abbaut. Die Existenz von Hedgefonds ist ein Beleg, dass tatsächlich Arbitragemöglichkeiten existieren. Deren Strategien bestehen meist darin die Arbitragemöglichkeiten auszunutzen (Hull, 2010, 90ff.). Allokationseffizenz könnte nur vorliegen, wenn neben einem bewertungseffizenten Kapitalmarkt auch Güter- und Arbeitsmarkt im gesamtwirtschaftlichen Gleichgewicht sind.

Diesen Referenzzustand nennt man auch paretoeffizent. Weil die Nicht-Existenz von Transaktionskosten und Steuern eine zusätzliche Bedingung wäre, wird die Allokationseffizienz verneint. Daraus folgt ein informationseffizienter Kapitamlmarkt. (Bank und Gerke, 2005, 492ff.)

Die Hypothese informationseffizienter Kapitalmärkte wurde durch FA M A (Fa- ma, 1970, 383ff.) aufgestellt und besagt, dass Finanzmarktakteure die wahre bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Preisfindung nutzen. Dabei be- [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den bedingten Erwartungswert des zukünftigen Marktwerts eines Vermögenswerts[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]in Periode t + 1 bei der aktuellen öffentlichen Informati- onsmenge It oder der Informationsmenge der Insider[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]gilt.Man unterscheidet drei Stufen der Informationseffizienz, wobei die höhere Stufe immer die geringere mit einschließt (Bank und Gerke, 2005, 495f.):

- Schwache Form der Effizienzthese:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit α = 0 beschreibt die Preissequenz ein Martingal, und mit α ≥ 0 ein Submartingal. Auf historischen Preisen oder Renditen basiertes Trading darf demnach keine systematischen Überrenditen erzielen. Damit müssen alle historischen Preise vollständig im Assetpreis enthalten sein.

- Mittelstrenge Form der Effizienzthese:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(2.2)

mit α ≥ 0 und[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für i = 0 ,...,t. Auf öffentlich zugängliche In- formationen basiertes Trading darf keine systematischen Überrenditen erzielen.

- Strenge Form der Effizienzthese:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(2.3)

mit α ≥ 0 und[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Demnach darf auf Insiderinformationen basiertes Trading keine systematischen Überrenditen erzielen.

Falls öffentlich verfügbare Informationen It nicht in die Unternehmensbewertung mit einbezogen werden, ist implizit ein schwach informationseffizienter Markt unterstellt. Durch die zusätzliche Auswertung von öffentlichen Informationen, lässt sich dann eine Überrendite erzielen. Daher ist als Rahmenbedingung ein mindestens mittelstreng informationseffizienter Kapitalmarkt unterstellt. Das macht die Integration von öffentlichen Informationen in die Unternehmensbe- wertung zur Notwendigkeit. Für die Berechnung der Eigenkapitalkosten über einen marktorientierten Ansatz, ist die mittelstrenge Informationseffizens Vor- aussetzung. Nur so kommen die dafür benötigten homogenen Erwartungen zustande (Steiner et al., 2012, 41). Zur Klarstellung sei auf die Schlussfolgerun- gen hingewiesen, die nicht abgeleitet werden können. Die Informationseffizienz impliziert nicht die Korrektheit der Preise, das alle Informationen durch einzelne Marktteilnehmer für ihre Erwartungsbildung verarbeitet werden oder dass alle Marktteilnehmer rational handeln (Howells und Bain, 2008, 574). Die Annah- me rationaler Investoren bleibt damit bestehen, da das andere Extrem mit nur irrationalen Investoren weit weniger überzeugend ist.

Die an der These informationseffizienter Kapitalmärkte geübte Kritik ist fun- damental und hat, wenn man ihr folgt, die Ablehnung der modernden Kapital- markttheorie zur Folge. Der gemeinsame Ansatzpunkt der Kritik, ist das Entschei- dungsverhalten der Investoren. Die Behavioral Finance-Theorie, als Gegenmodell, beschreibt seine Investoren als informationsverarbeitungsbeschränkt, situativ be- einflusst und nach Daumenregeln entscheidend (Fabozzi und Modigliani, 2009, 159ff.). Andere Kritiker beschreiben irrationales Entscheidungsverhalten, das zu schwerwiegenden Übertreibungen des Gesamtmarkts, sowie zu der eindeutigen Selektierbarkeit von Aktien in superior und inferior führt (Steiner et al., 2012, 46f.). Irrational gebildete Preise beinhalten automatisch Arbitragemöglichkeiten (Fabozzi und Modigliani, 2009, 161), die wiederum Andere ausnutzen könn- ten um dauerhaft Überrenditen zu erzielen. Dauerhafte Überrenditen konnten empirisch nicht nachgewiesen werden (Steiner et al., 2012, 45). Die institutio- nelle Investoren, wie Banken, Versicherungen und Asset Management Firmen, werden im Eigeninteresse alles tun um rationale Investmententscheidungen zu treffen und dadurch Arbitragegewinne zu realisieren. Deshalb gibt es trotz der Kritik keinen „free lunch“ an den Kapitalmärkten. Die zur Verfügung stehende Informationsmenge ist offensichtlich mindestens die öffentliche I. Damit ist dies im Kontext der Unternehmensbewertung die sinnvollste Annahme. Daher wird ein mindestens mittelstreng informationseffizienter Kapitalmarkt unterstellt und an der modernen Kapitalmarkttheorie festgehalten. Gestützt wird dies durch zahlreiche empirische Belege (Hillier et al., 2010, 357ff.).

Geht man von informationseffizienten Assetpreisen mit Martingal- oder Sub- matingaleigenschaft aus, ist eine Unternehmensbewertung für börsennotierte Unternehmen scheinbar überflüssig. So wäre der beste Schätzer für den Wert des Eigenkapitals eines Unternehmens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(2.4)

wobei N die Anzahl an ausstehenden Aktien S ist. Der Wert des Eigenkapi- tals eines Unternehmens[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist dabei die relevante Zielgröße für die Unter-nehmensbewertung, bzw. dessen Verteilung̃[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Diese sei im Folgenden auch Unternehmenswertverteilung¹ genannt. Insgesamt wäre der beste Schätzer des Unternehmenswerts für die nächste Periode die Marktkapitalisierung des Un- ternehmens. Für eine Differenz von Marktwert und Fundamentalwert des Un- ternehmens sorgen unternehmensinterne Informationen, wie Planrechungen und Kostenstrukturen, die den Investoren in mittelstreng informationseffizienten Märkten nicht zur Verfügung stehen. Diese sind Teil der Informationsmenge I *. Damit bleibt für die mittelstrenge Effizienzthese die Unternehmensbewertung notwendig. Wenn man strenge Informationseffizienz unterstellt, gibt es eine Reihe von Problemen (Bank und Gerke, 2005, 546ff.):

- empirisch beobachtete höhere Volatilitäten, als im informationseffizienten Markt zu erwarten sind,
- Existenz von beschränkt rationalen statt rationaler Investoren,
- Arbitrageversagen aufgrund systematischer Risiken und der Motive der Marktgegenseite,
- auftragsbasierte Arbitrage, z.B. bei Kurzfristigkeit der Performancemessung bei auftragsbasierten Investments,
- Pseudo-Signale, z.B. aufgrund unterschiedlich langer Reaktionslags,
- Existenz von Popular Models, z.B. technische Aktienkursanalyse,
- rationale deterministische Bubbles, z.B. Emissionskurs über Fundamental- kurs,
- rationale stochastische Bubbles, z.B. durch soziale Mechanismen die die Erwartungen der Investoren eines knappen langlaufenden Assets zu Fehl- bepreisungen koordinieren,
- rationale positive Feedback Trader, z.B. durch bewussten Kauf überbewer- teter Assets im Vertrauen darauf, dass die Überbewertung weiter zu nimmt und der Verkauf vor dem Platzen der Bubble erfolgt,
- Marktstimmungen,
- Variation in der Risikopräferenz.

Daher ist selbst ein streng informationseffizienter Kapitalmarkt nicht bewer- tungseffizient. Dies führt zu einer Differenz von Marktwert und Fundamental- wert des Unternehmens, wenn auch nicht unbedingt dauerhaft und stark. Der Börsenwert, falls vorhanden, stellt einen wichtigen Indikator dar um das Ergeb- nis zu plausibilisieren (IDW, 2008, 6). Daraus folgt, die Sinnhaftigkeit einer Unternehmensbewertung - sogar unter der Annahme eines streng informationseffizienten Kapitalmarktes.

Zwei wichtige Eigenschaften des Kapitalmarkts, die sich aus der Martingalei- genschaft ergeben werden hier noch besprochen. Die eigentliche Herleitung der Eigenschaften erfolgt in Unterabschnitt 3.2.2 (S. 99). Da der Kursverlauf in einem mittelstreng informationseffizientem Markt einem Martingal folgt, ist für die Informationsmenge[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]der aktuelle Preis der beste Schätzer für den Preis der nächsten Periode, wie Formel 2.5 beschreibt. Die Informationen, die den Preis bestimmen können nicht vorhergesagt werden. Daher ist der aktuelle Preis die rationale Erwartung. Daraus ergibt sich erstens die Markoveigenschaft. Sie besagt, dass die gesamte vorherige Entwicklung des Preises[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]irrelevant für den

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(2.5)

da im heutigen Preis St bereits die gesamte Informationsmenge It verarbeitet ist. Diese Eigenschaft vereinfacht die Analyse der zukünftigen Preisentwicklung erheblich (Albrecht und Maurer, 2008, 172f.).

Daraus folgt die zweite Eigenschaft. Die Preise von risikobehafteten Vermögens- S sind nicht-stationär und damit der gesamte Kapitalmarkt. Da immer nur der heutige Preis[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]als Ausgangspunkt für den zukünftigen Preis̃[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dient, wirkt sich jede Preisänderung auf alle zukünftigen Preise aus (Albrecht und Maurer, 2008, 165). Wäre der Kapitalmarkt stationär, müsste jeder zusätzliche Tag für den Daten vorliegen, die Unsicherheit über die wahren Verteilungen verringern. Für alle DAX-Aktien müsste die wahre Verteilung quasi bekannt sein, da die Datenlage exzellent ist. Die Nicht-Stationarität des Kapitalmarktes ist Ausdruck der Unvorhersehbarkeit der Zukunft, indem die wahre Wahrschein- [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle Perioden t ≥ 0 unbekannt bleibt.

Die zweite Rahmenbedingung setzt Objektivität bei der Ermittlung des Unter- nehmenswertes voraus. Ein objektivierter Unternehmenswert liegt vor, wenn im Prozess mit einer nachprüfbaren Methodik ein Wert ermittelt wird, der von individuellen Vorstellungen Betroffener unabhängig ist (IDW, 2008, 5). Zwar wird Kritik an dem Aussagewert geübt (Ballwieser, 2011, 4), jedoch ist kein Lö- sungsvorschlag überzeugend. Das Ergebnis der Bewertung ist ein quasi-neutrales Wertgutachten. Dies ist notwendig, um als Zielgröße zur Beurteilung von Ma- nagemententscheidungen dienen zu können. Könnte z.B. das Management sub- jektive Einschätzungen einbringen, wäre eine wertorientierte Anreizgestaltung obsolet. Der Zweck einer objektiven Bewertung ist daher die Vorbereitung einer Entscheidung Dritter, weshalb die Anforderungen an Nachprüfbarkeit und Fehlerfreiheit hoch sind (Ballwieser, 2011, 1f.).

Ebenso ist die Konformität des Kalküls zu fordern. Diese ist gegeben, wenn das Modell den Anforderungen des Standards IDW S1 des IDW entspricht. Der Standard legt die allgemeinen Grundsätze fest, nach denen Unternehmensbe- wertungen durch Wirtschaftsprüfer erfolgen (IDW, 2008, 1). Die im Standard festgelegten Grundsätze sind auf Grundlage der aktuellen Rechtsprechung, For- schung und Praxis der UB entwickelt (IDW, 2008, 3). Dadurch werden nicht zu lösende oder noch nicht gelöste Probleme der Bewertungstheorie durch die Anwendung des IDW S1 gleich gehandhabt. Dies führt zur Vergleichbarkeit von Bewertungen. Falls der Stand der Forschung für bestimmte Probleme eine besse- re Lösung aufzeigt, darf vom IDW S1 abgewichen werden. Der Standard stellt also die Mindestanforderung an die Unternehmensbewertung in dieser Arbeit dar. Zudem ist die Konsequenz dieser Rahmenbedingung, dass aus der Vielzahl der verschiedenen Unternehmensbewertungsverfahren (Ballwieser, 2011, 8ff.) nur noch die Gesamtbewertungsverfahren zulässig sind (IDW, 2008, 21f.). Alle Gesamtbewertungsverfahren kommen bei gleichen Annahmen und aufgeklärter Anwendung zum gleichen Ergebnis (IDW, 2008, 22).

Des Weiteren wird für das zu bewertende Unternehmen eine autonome Finan- zierungsstrategie unterstellt. Diese Annahme erlaubt es den Managern des Unternehmens den Umfang der Verschuldung nach ihren eigenen Kriterien und dem Kapitalbedarf des Unternehmens festzulegen (Drukarczyk und Schüler, 2009, 138). Bei der Festlegung befinden sich die Entscheidungsträger in einem Trade-Off. Die Erhöhung der Verschuldung erhöht den Wert der Steuervorteile, erhöht allerdings auch die Ausfallwahrscheinlichkeit und damit die Kosten des Fremdkapitals. Das Wertoptimum ist nicht einfach zu ermitteln, allerdings kann das stochastische Modell einen Beitrag zur Schätzung leisten. Im Vergleich dazu setzt die atmende Finanzierungspolitik eine festes Verhältnis von Fremdkapital zum Unternehmenswert voraus (Drukarczyk und Schüler, 2009, 185f.). Eine solche Finanzierungspolitik ist weder empirisch zu beobachten, noch stellt ein festes Kapitalverhältnis ein sinnvolles Ziel für ein Unternehmen dar (Drukarczyk und Schüler, 2009, 138; 194f.). Internationale Untersuchungen belegen empi- risch die Dominanz der autonomen Finanzierungsstrategie (Hillier et al., 2010, 456). Auch wegen der problematischen Alternative ist die autonome Finanzie- rungspolitik zu bevorzugen. Es folgt, dass das Adjusted Present Value-Verfahrens - ein Gesamtbewertungsverfahren - wegen seiner Zuverlässigkeit zu bevorzugen ist (Ballwieser, 2011, 134). Ein weiterer Vorteil des Verfahrens ist, dass nicht nur der Gesamtunternehmenswert, sondern auch seine Wertbestandteile sichtbar werden (Drukarczyk und Schüler, 2009, 149). Für die integrierte Risikoanalyse ist dies wichtig, da nur so ein synchrones Vorgehen möglich ist (Cottin und Döhler, 2008, 5).

2.1.2. Qualitätskriterien der Unternehmensbewertung

Nachdem im letzten Abschnitt vier Rahmenbedingungen festgelegt wurden, soll dieser die Qualitätskriterien für die Beurteilung der beiden Modellierungsarten beschreiben. Die Kriterien sollen innerhalb der Rahmenbedingungen die Mög- lichkeit schaffen, die unterschiedlichen Modellierungsarten zu vergleichen und zu bewerten.

Das erste Kriterium ist die Vollständigkeit des Kalküls. Voraussetzung dafür ist, dass alle wesentlichen Wert- und Risikotreiber, als Zufallsvariable beschrieben sind. Wesentliche Treiber sind alle Größen - nicht nur CFs - die einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss auf den Unternehmenswert haben und eine nicht zu vernachlässigende, schwierig zu prognostizierende Schwankung aufweisen. Der Kapitalmarktbezug ist gewährleistet, da mehrdimensionale Erfolgsverteilungen möglich sind und Chancen nicht ohne deren Risiken einbezogen werden (Rich- ter, 2002, 382). Zur Operationalisierung muss jede Zufallsvariable mit einer passenden Verteilung beschrieben werden (Klein, 2011a, 43). Die Schätzung von unsicheren Größen auf der Mikroebene gelingt erfahrungsgemäß besser als von Größen auf der Makroebene (Weizsäcker und Krempel, 2004, 811). Die Zer- legung eines CF in seine Bestandteile führt zu einer genaueren Analysierbarkeit und damit Prognostizierbarkeit. Dazu wird die Unsicherheit in den Faktoren quantifiziert, wo sie entsteht, und ist damit in ihren Ursachen und Auswirkungen besser erfassbar. Der Umsatz lässt sich bspw. besser durch eine Funktion aus Preisen und Mengen beschreiben, die einzeln viel genauer geschätzt werden können. Die Kenntnis des Geschäftsmodells eines Unternehmens und eine Sensi- tivitätsanalyse des deterministischen oder des stochastischen Modells liefern die wesentlichen Faktoren (Klein, 2011a, 42).

Die Einschränkung auf wesentliche Größen hat dabei die Funktion die Komple- xität des Modells handhabbar zu halten und die Wirtschaftlichkeit zu sichern. Einigen Wissenschaftlern schwebte für die Bestimmung der CF ein Totalmodell vor, in dem jede Größe bestimmt ist und bei simultaner Lösung sich das Op- timum errechnen lässt. Ein Totalmodell würde keiner Komplexitätsreduktion entsprechen und damit der vollen Realität. Ein Grund für Modellbindung ist allerdings Komplexitätsreduktion (Bamberg et al., 2008, 13). Die unendlich komplexe Realität wird nutzbar. Ein Wanderer bspw. benutzt zu Orientierung eine 1 : 50 . 000-Karte und damit eine stark reduzierte Form der Realität. Das To- talmodell würde einer 1 : 1-Karte entsprechen, die für das Ziel der Orientierung keinen Nutzen hat. Der Grad der Komplexitätsreduktion muss also mit Bedacht gewählt werden. Eine Beschreibung aller Werttreiber und Risiken dürfte zudem unmöglich sein. Die Unendlichkeit der Alternativen, der einzubeziehenden Da- ten, die ständige Revisionsbedürftigkeit und letztlich die Planungskosten sind die Hauptgründe für die Ablehnung eines Totalmodells (Ballwieser, 1987, 28). Auch der Grundsatz der Wirtschaftlichkeit setzt eine Beschränkung auf wesentliche Größen voraus. Deshalb ist der Zusammenhang von Bewertungsgenauigkeit und Prognosemöglichkeit zu beachten. Die Planungsgenauigkeit einer Größe soll sich an der Prognosefähigkeit orientieren (Ballwieser, 1987, 165). Für nur ungenau prognostizierbare Größen ist eine aufwendige Detailplanung nicht sinnvoll. Damit ist die Bewertungsgenauigkeit direkt von der Prognosefähigkeit abhängig, was eine wirtschaftliche Unternehmensbewertung immer mit berück- sichtigt. Dies ist ganz im Sinne der Wertorientierung. Die starke Detailplanung vorhersagbarer Größen liefert eine Scheingenauigkeit für zusätzlichen Aufwand, der die Bewertungsgenauigkeit nicht erhöht. Allerdings weisen Unternehmens- bewertungen in der Praxis oft zu stark vereinfachte Größen auf, während in der Theorie gerne Werte für Größen als bekannt angenommen werden, die in praxi nicht ermittelbar sind (Ballwieser, 1987, 201).

Eng verbunden mit dem ersten Merkmal, ist das Qualitätsmerkmal Konsistenz. Voraussetzung für die Konsistenz eines Modells ist, dass alle wesentlichen Inter- dependenzen der Zufallsvariablen berücksichtigt sind. Eine nicht modellierte Abhängigkeit wirkt wie die Annahme der Unabhängigkeit. Eine systematische Unterschätzung des Gesamtrisikos wäre offensichtlich die Folge. Die Wesent- lichkeitsschwelle hat die gleichen Gründe wie oben. Für stochastisch erfasste Interdependenzen existieren drei Erklärungen: ein logischer Zusammenhang der Größen, ein externer Faktor der auf die Größen wirkt und eine rein zufällige Beobachtung (Vose, 2008, 353). Eine zufällige Beobachtung muss offensichtlich nicht modelliert werden, da ein Zusammenhang nicht existiert. Obwohl z.B. die Schwangerschaft einer Frau genau wie die Spielzeit der Fußball Bundesliga etwa neun Monate dauert, besteht kein Zusammenhang. Die Interdependenz von Größen wegen eines gemeinsamen Faktors muss hingegen Beachtung fin- den. Dies erfolgt durch die Formulierung einer entsprechenden Funktion. Die Inflationsrate beeinflusst z.B. die Preise für Inputgüter, Outputgüter und die Lohnkosten positiv. Voraussichtlich werden die häufigsten wesentlichen Inter- dependenzen logische Zusammenhänge sein. Um die Konsistenz eines Modells bewerten zu können, bietet sich die Gliederung in zeitliche und ökonomische Abhängigkeiten der ZV an. Beispiel für eine ökonomische Dependenz ist der Einfluss der Preise von substitutiven Inputfaktoren auf den Preis des jeweils anderen Faktors. Hierbei spricht man auch von Korrelation (Vose, 2008, 354). Die Entwicklung eines Inputpreises über mehrere Perioden ist Beispiel für die zeitliche Abhängigkeit, die sich über sog. stochastische Prozesse formalisieren lässt (Albrecht und Maurer, 2008, 161). Der Kapitalmarktbezug ist in einem konsistenten Modell gewährleistet, da eine konsistente Plan-Rechnungslegung und zeitliche Änderungen in den Kapitalkosten berücksichtiget werden (Richter, 2002, 382).

Die Nutzung der Informationsmenge soll ebenfalls ein Qualitätsmerkmal sein. Dafür entscheidend ist, wie die im mittelstreng informationseffizienten Markt öffentliche Informationsmenge It tatsächlich in das Bewertungsmodell einfließt.

Besonders relevant sind mikroökonomische Daten für Preise, Zinssätze, Ratings, Spreads und makroökonomische Daten für das Wachstum des Bruttoinlands- produkts, die Arbeitslosenquote und die Inflationsrate. Darüber hinaus kann der Bewertungsverantwortliche exklusiv auf die Insiderinformationen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wie Tatsächliches und Geplantes aus dem internen und externen Rechnungswesen und Expertenwissen im Unternehmen, zurück greifen.

Des Weiteren soll die Modellierungsart hinsichtlich der Analysierbarkeit des Ergebnisses beurteilt werden. Wünschenswerte Informationen, über die Ergeb- nisse und Teilergebnisse neben den Erwartungswerten, sind daher die Werte verschiedener Risikomaße. Risikomaße liefern steuerungsrelevante Informatio- nen über das benötigte ökonomische Kapital um z.B. Risiken zu decken, die Liquidität zu sichern oder die Ratingstufe zu ermitteln (McNeil et al., 2005, 18f.). Damit ist die Analysierbarkeit zentral für die Nutzbarkeit des Modells für die wertorientierte Unternehmensführung. Wertorientierung bei Kennzah- len, Zielplanung und Anreizgestaltung erfordert ein hohes Maß an Genauigkeit und Zerlegbarkeit des Ergebnisses. Die Analyse der Auswirkungen einzelner Risiko- und Werttreiber auf den Gesamtwert, ist daher wünschenswert. Nur dann können im Risikomanagementprozess gezielt einzelne Risiken bewältigt werden (Gleißner, 2011, 181), und sich der Unternehmenswert, wegen einiger Bedingungen eines nicht vollständigen Kapitalmarkts, erhöhen (Doherty, 2000, 100ff.).

2.1.3. Charakterisierung der Modellierungsalternativen

Nachdem im vorigen Kapitel Rahmenbedingungen und Qualitätskriterien gesetzt wurden, soll in diesem Abschnitt die Charakterisierung der unterschiedlichen Ansätze erfolgen. Um dies übersichtlich zu gestalten, wird die Besprechung in sechs gemeinsame Merkmale der Kalküle zerlegt. Für jedes Merkmal wird je- weils die unterschiedliche Integration in das deterministische und stochastische Rechenmodell dargestellt. Als Anregung dienten die im deutschsprachigen Raum veröffentlichten Artikel zu stochastischen Bewertungsmodellen von MO S E R U N D SCHIESZL, WEIZSÄCKER UND KREMPEL, JÖDICKE, KLEIN und FÖRSTER, die jedoch Teilweise erheblich Fehler beinhalten (Obermeier und Schüler, 2006, 28ff.). Zudem verstoßen die Modelle in diesen Artikeln teilweise gegen die aufgestellten Rahmenbedingungen und sind von schlechter Qualität gemessen an den oben vorgestellten Kriterien. Bei einigen Modellen wurden, die aus der Zentraleigenschaft des Erwartungswerts (Schira, 2005, 270f.), z.B. bei JÖ D I C K E, und der Linearität des Erwartungswerts (Schira, 2005, 274ff.), z.B. bei FÖRS- TER, resultierenden Erkenntnisse nicht berücksichtigt. Damit haben die Modelle eindeutige Fehler. Zur Vermeidung von einfachen grundsätzlichen Unzulänglich- keiten sollten der alte Beitrag von HERTZ und die Ausführungen von WOLKE als Grundlage dienen.

Zudem ist ein extrem wichtiger Hinweis zur Risikobewertung bei der Unter- nehmensbewertung angebracht. Die erfolgt entweder über das Sicherheitsä- quivalenzverfahren oder das Risikozuschlagsverfahren (IDW, 2008, 18). Die Anwendung des Sicherheitsäquivalenzverfahrens zur Bewertung des Risikos verdichtet in seiner marktdeterminierten Variante einen risikobehafteten CF auf einen Wert - das Sicherheitsäquivalent (Drukarczyk und Schüler, 2009, 57f.). Damit ist jeder so bewertete CF nicht mehr für die Risikoanalyse zu gebrauchen, da ein Sicherheitsäquivalent eine Konstante ist. Das Ergebnis der Bewertung ist damit nicht weiter analysierbar. Wird das Sicherheitsäquivalent gebildet - gleiches gilt im Übrigen auch für den Erwartungswert - wechselt das Modell seinen Zustand von stochastisch auf deterministisch. Deshalb wurde in Kapitel 1 die stochastische Unternehmensbewertung so definiert, dass das Ergebnis eine Verteilung sein muss. Damit ist das Sicherheitsäquivalenzverfahren zur Risikobe- wertung nur für einperiodische stochastische und alle deterministischen Modelle geeignet. Der Sonderfall einer einperiodischen stochastischen Unternehmensbe- wertung ist vernachlässigbar.

Leider ist das alternative Riskiozuschlagsverfahren mit ein Problem verbunden. Der Risikozuschlag wird mit Hilfe der Marktrendite des Unternehmens berechnet, die wiederum nur mit Hilfe des Unternehmenswertes berechnet werden kann (Drukarczyk und Schüler, 2009, 57). Das so geschaffene Zirkelschlussproblem muss also bei der Modellierung eines stochastischen Modells immer mitbedacht werden. Falls es nicht lösbar wäre, wäre die stochastische Unternehmensbewer- tung am Ende. Zum Glück gibt es eine umständliche, aber praktikable Lösung die JÖ D I C K E andenkt. Dazu benötigt man zwei Komponenten. Für die erste Kom- ponente wird das stochastische Bewertungskalkül zu einem deterministischen, indem die marktdeterminierten Sicherheitsäquivalente für die periodischen be- wertungsrelevanten CFs gebildet werden. Die Sicherheitsäquivalente werden mit dem risikolosen Zinssatz auf die Periode[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] diskontiert, was offensichtlich den Unternehmenswert ergibt. Die zweite Komponente erhält man, indem die Sicherheitsäquivalente der periodischen bewertungsrelevanten CFs für einen risikoneutralen Investor gebildet werden. Das Sicherheitsäquivalent eines risi- koneutralen Investors entspricht logischer Weise dem Erwartungswert des CF. Diese Sicherheitsäquivalente werden mit dem risikolosen Zinssatz auf die Peri- ode[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] diskontiert, was den Unternehmenswert bei Risikoneutralität ergibt. Die Differenz der beiden Unternehmenswerte ist damit der marktdeterminierte Risi- koabschlag. Genau daraus lässt sich in Verbindung mit dem Unternehmenswert der Risikozuschlag ermitteln. Dieses Vorgehen funktioniert, weil gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei S [ CFt ] das Sicherheitsäquivalent des CF der Periode t, E [ CFt ] der Erwartungswert des CF der Periode t, i der risikolose Zinssatz, r der Risikozuschlag und V 0 der Unternehmenswert in der Periode t 0 ist.

Damit ist für den Vergleich der Qualität der Modelle die Art der Risikobewer- tung nicht von Bedeutung. Für das deterministische Kalkül wird am bewährten Sicherheitsäquivalenzverfahren festgehalten. Für die stochastische Modellie- rungsalternative muss der oben beschriebene Umweg in Kauf genommen wer- den, um das Kalkül als stochastisches Modell zu erhalten.

Das erste Unterscheidungsmerkmal ist die Art der Aggregationsgröße. Bei der herkömmlichen Bewertung wird aus jeder einzelnen Zufallsvariable ein beding- ter Erwartungswert gebildet um diese zu aggregieren. Es sind bedingte und nicht einfache Erwartungswerte, da z.B. der Erwartungswert für die Produktionskos- ten nur unter der Bedingung einer konkreten Produktionsmenge gebildet werden kann. Wird die Produktionsmenge verändert, müssen sich die Produktionskos- ten ändern. Erfolgt dies nicht, sinkt die Qualität des Modells wegen sinkender Konsistenz erheblich. Die Verteilungen der Zufallsvariablen zu aggregieren ist dagegen der Ansatz des stochastischen Modells.

Damit eng verbunden ist auch die unterschiedliche Art der Bewertungsgröße. Die durch das Risikozuschlagsverfahren zu bewertenden CFs sind im determinis- tischen Modell bedingte Erwartungswerte. Im stochastischen Modell werden die Verteilungen der CF bewertet.

Die Interdependenzmodellierung für die deterministische Variante kann Ab- hängigkeiten nur mit deterministischen Funktionen beschreiben. Dies spiegelt sich auch in den bedingten Erwartungswerten der Zufallsvariable eines deter- ministischen Modells wider. Für die stochastischen Beziehungen sind je nach Art der Interdependenz eine Funktion, eine Korrelation oder ein stochastischer Prozess die gebotene Formalisierung. Besonders bei der Zufallsentwicklung über mehrere Perioden treten wichtige Unterschiede zu Tage. Bei der deterministi- schen Unternehmensbewertung wird der Verlauf über eine Funktion nach der Zeit beschrieben. Ein stochastischer Prozess beschreibt hingegen den Verlauf bei der stochastischen Variante und die Unsicherheit über zukünftige Werte wird konsequent in das Modell mit einbezogen.

Das unterschiedliche Aggregationsverfahren stellt die bedeutendste Erweite- rung des deterministischen zum stochastischen Kalkül dar. Die Grenzen der analytischen Lösbarkeit von Aggregationsproblemen beschränken die determi- nistische Unternehmensbewertung und Risikoanalyse erheblich. Die analytische Aggregation von Größen ist auf die Aggregation von einwertigen Größen be- schränkt. Einzelne Ausnahmen existieren bei der restriktiven Vorgabe der mög- lichen Verteilungen für Zufallsvariable (Gleißner, 2004, 354). Die Festlegung einer Verteilung ohne Ansehen der Variable ist eine Verletzung der Objektivitäts- bedingung und mindert die Vollständigkeit des Kalküls erheblich. Der Versuch, ein Unternehmensbewertungsproblem über partielle Differentialgleichungen zu lösen, schlägt fehl, da keine geschlossene Lösung existiert (Kleiber, 2004, 429ff.). Mit analytischen Verfahren können also nur einwertige Erwartungswerte zum einwertigen Unternehmenswert aggregiert werden. Im Gegensatz dazu liefert das stochastische Bewertungskalkül eine mehrwertige Wertverteilung als Ergebnis. Dies wird durch ein numerisches Aggregationsverfahren erreicht, der Monte Carlo-Simulation (Cottin und Döhler, 2008, 93ff.). Weil die Monte Carlo-Simulation in der Lage ist alle Verteilungen unter Berücksichtigung aller Interdependenzen zu verdichten, ergibt sich ein mehrwertiges Ergebnis auf allen Ebenen. Eine frühzeitige Verdichtung der Verteilungen zu Erwartungswerten oder Sicherheitsäquivalenten ist nicht mehr notwendig.

Das Aggregationsverfahren wird determiniert durch die Aggregationsgröße in Verbindung mit der Interdependenzmodellierung und bestimmt die Ein- oder Mehrwertigkeit des Ergebnisses. Hier wird nochmals die Wichtigkeit der Ver- wendung der Risikozuschlagsmethode deutlich. Die Anwendung der Sicher- heitsäquivalenzmethode lässt nur im einperiodischen Fall eine mehrwertige Ergebnisverteilung zu. Damit lässt sich unabhängig von der Art der Modellie- rung und des Aggregationsverfahrens nur ein einwertiges Ergebnis produzieren. Nur das stochastische Modell liefert ein mehrwertiges Ergebnis und erfüllt das Mehrwertigkeitsprinzip.

Aus der unterschiedlichen Wertigkeit des Ergebnisses ergibt sich die Ermittelbar- keit von Kennzahlen. Für die deterministische Unternehmensbewertung lassen sich der Unternehmenswert als Erwartungswert, aber keine Risikokennzahl er- mitteln. Für den Fall, dass zusätzlich eine Szenarioanalyse durchgeführt wird, ist es nur möglich die Spannweite (Schira, 2005, 51) zu ermitteln, ohne die Konsistenz des Modells zu zerstören. Für wertorientierte Unternehmensführung und Risikoanalyse ist dieses Streuungsmaß ungenügend. Für die stochastische Unternehmensbewertung lassen sich alle möglichen Mittelwerte und stochas- tische Risikokennzahlen berechnen, da die Verteilung bekannt ist (Cottin und Döhler, 2008, 101ff.). Damit sind Aussagen über Rating, Performance und Ei- genkapitalbedarf für eine wertorientierte Unternehmensführung möglich.

2.1.4. Bewertung der Modellierungsalternativen

Dieser letzte Abschnitt hat das Ziel die unterschiedlichen Modellierungsarten anhand der Qualitätskriterien zu bewerten. Die Zusammenfassung der Bewer- tungen soll zu einer Modellbildungsvariante raten. Der Abschnitt endet mit einer kritischen Würdigung des Zwischenergebnisses.

Für das Kriterium Vollständigkeit, ist in beiden Modellierungen dieselbe Qua- lität möglich. Alle wesentlichen Wert- und Risikotreiber sind ohne Abstriche in die unterschiedlichen Modelle integrierbar, da die wesentlichen Größen im deterministischen Modell vor ihrer Aggregation Zufallsvariablen sind. Dies gilt, auch wenn in den Praxis der deterministischen Unternehmensbewertung Män- gel erkennbar sind. Werden die Umsatzerlöse z.B. direkt als Zufallsvariable beschrieben, dann erspart man sich das Modellierungsproblem für Menge und Preis nicht, sondern verschiebt es nur auf eine höhere Ebene (Obermeier und Schüler, 2006, 30). Zudem lassen sich Werttreiber einbeziehen, die oft nicht in der deterministischen Planungsrechnung enthalten sind. Beispiele sind das Auftauchen zusätzlicher Wettbewerber, Betriebsausfälle aufgrund von extrem seltenen Ereignissen oder die Anzahl der neu entwickelten Produkte (Klein, 2011a, 42). Die Integration in ein deterministisches Modell ist möglich, auch wenn dies selten geschieht.

Die Konsistenz der Kalküle ist ebenfalls in gleicher Qualität möglich. In bei- den Modellvarianten sind alle Interdependenzen geeignet formalisierbar. Der Mehraufwand bei der stochastischen Bewertung für die Beschreibung der Abhän- gigkeiten besteht nur scheinbar (Jödicke, 2007, 168). Auch im deterministischen Modell müssen, für eine gleichwertige Konsistenz, alle Abhängigkeiten der Zu- fallsvariablen beschrieben sein, um die bedingten Erwartungswerte zu bilden. Für die Nutzung der Informationsmenge kann auch kein systematischer Vor- teil einer Modellvariante bescheinigt werden. Gleiche Modellqualität ist möglich, indem die öffentliche Infomationsmenge[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und die Informationsmenge der Insider[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verarbeitet werden. Eine aus Sicht des Autors oft vernachlässigte Teilmenge besteht aus makroökonomischen Daten. Dieser Fehler führt in beiden Modellen zu einer Qualitätsminderung und stellt einen Fehler bei der Informati- onsverarbeitung dar.

Im unterstellten mittelstreng informationseffizienten Kapitalmarkt wird nicht die Informationsmenge verändert, sondern nur anders verarbeitet. Ein Vorteil der stochastischen Unternehmensbewertung ist deshalb möglich. Der Modellersteller und weitere Beteiligte werden zur Formalisierung der eigenen Gedanken gezwun- gen. Dies kann zu fruchtbaren Erkenntnissen führen (Kleber, 1989, 228f). Die Formalisierung von implizitem Wissen schätzen Wissenschaftler und Prakti- ker als einen der wesentlichen Vorteile von stochastischer Unternehmensplanung ein (Künneth, 2011, 209). Das dadurch sichtbar und kommunizierbar gemachte Wissen kann deutliche Informationsgewinne für die Planer und Bewerter bedeu- ten. Die Insiderinformationsmenege[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]erhöht sich aus Sicht der Bewerter. Die Qualitätsverbesserung wird so durch die bessere Nutzung von Informationen realisiert. Das beeinflusst aus Sicht eines objektiven Bewerters den Unterneh- menswert. Ein Vorteil der stochastischen Variante ist möglich, obgleich zu dessen Realisierung ein zusätzlicher Aufwand notwendig ist. Mit geringem Mehrauf- wand ist die stochastische Modellierung realisierbar, wenn sowieso ein Worst-, Base-, und Best-Case berechnet werden soll. Zusätzlich begrenzt sich der Nutzen des Erkenntnisgewinns nicht auf die konkrete Bewertung, sondern wirkt darüber hinaus (Künneth, 2011, 209).

Das letzte Qualitätskriterium, die Analysierbarkeit des Ergebnisses, führt zu ei- nem definitiven Qualitätsvorsprung der stochastischen Unternehmensbewertung. Aus der Unternehmenswertverteilung lassen sich alle möglichen Mittelwerte und stochastische Risikokennzahlen ermitteln. Das deterministische Modell liefert lediglich einen Erwartungswert - den Unternehmenswert. Dies ist durch die integrierte Risikoanalyse und das andersartige Aggregationsverfahren möglich. Die Nutzung eines qualifizierten Aggregationsverfahrens, wie der Monte Carlo- Simulation, ist trotz schwacher Datenlage im Vergleich zur Kombination schlech- ter Daten mit einfachem Aggregationsverfahren überlegen (Gleißner, 2004, 358). Tabelle 2.1 fasst die unterschiedliche Risikobewertung beider Modellierungsal- ternativen zusammen, wobei[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]für die Verteilung der bewertungsrelevanten CF der Periode t steht.

Tabelle 2.1.: Risikobewertung & Analysierbarkeit des Ergebnisses

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit ist innerhalb der Rahmenbedingungen die stochastische Unternehmens- bewertung gegenüber der deterministischen die streng dominante Alterna- tive.

Das Ergebnis ist bedingt durch die gesetzten Rahmenbedingungen und die Aus- wahl der Qualitätskriterien. Eine kritische Würdigung müsste sich demnach auch dort festmachen. Die Rahmenbedingungen sind hier ausreichend beschrie- ben und in der angeführten Literatur ausführlich besprochen. Dort sind keine gravierenden Argumente gegen diese Rahmenbedingungen einschlägig. Für die ausgewählten Qualitätskriterien hoffe ich, dass in Abschnitt 2.1.2 deren Sinn- haftigkeit deutlich geworden ist. Deshalb folgt im Schluss, dass das Ergebnis sinnvoll ist, weil die Kriterien sinnvoll sind. Die korrekte Anwendung der de- terministischen Unternehmensbewertung führt selbstverständlich zum gleichen Unternehmenswert bei gleicher Nutzung der Informationsmenge. Deshalb sind beide Modellvarianten gleichwertig, falls für den Entscheider - für den die Un- ternehmensbewertung als Entscheidungsgrundlage durchgeführt wird - nur am Erwartungswert des Unternehmenswerts interessiert ist. Ein solcher Entscheider ist in der Realität aus meiner Sicht jedoch die Ausnahme. Der Mehrwert eines stochastischen Unternehmensbewertungsmodells ist also gegeben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1.: Risikomanagementprozess in Anlehnung an (Wolke, 2008, 4)

2.2. Risikomanagement & wertorientierte Unternehmensführung

2.2.1. Risikomanagementprozess & -methoden

Nachdem die prinzipielle Überlegenheit der stochastischen Unternehmensbewer- tung festgestellt ist, hat dieser Abschnitt zwei Ziele. In diesem Unterabschnitt, soll der Risikomanagementprozess und seine Teilschritte dargestellt werden. Die Methoden, die zu der höheren Analysierbarkeit des Ergebnisses führen, werden erklärt. Der Schwerpunkt liegt auf dem quantitativen Risikomanagement, was auch der Vorbereitung auf die Integration dieser Verfahren in das Unterneh- mensbewertungsmodell dient. Im darauf folgenden Unterabschnitts soll dann die Höhe des Wertvorsprungs durch die bessere Analysierbarkeit eingeschätzt werden.

Zunächst eine Definition des Begriffs Risiko für diese Arbeit (Cottin und Döhler, 2008, 5): „Risiko ist ein (Wert-)Objekt, das einer potentiellen zukünftigen Wert- veränderung unterliegt (bezogen auf einen Zeitraum oder eine vorgegebene Ent- scheidungssituation). Die Wertveränderung (und damit auch das Risiko selbst) wird beschrieben durch eine Zufallsvariable bzw. deren Wahrscheinlichkeits- verteilung und ggf. zusätzlich als Funktion verschiedener wertbeeinflussender Variablen und Parameter.“ Risikomanagement ist der Prozess, in dem Risiken gemanagt werden. Abbildung 2.1 zeigt Risikomanagement als Prozess und für die einzelnen Schritte, die für diese Arbeit relevanten Bereiche. Anhand dieser Prozessschritte wird im Folgenden das Risikomanagement mit seinen Methoden vorgestellt.

Aufgabe des Teilschritts Risikoidentifikation ist es alle Risiken die das Unternehmen und seinen Wert beeinflussen zu erkennen. Um keine wesentlichen Risiken zu übersehen, werden meist Risikoarten beschrieben (Wolke, 2008, 4). Dieser Klassifizierung entsprechend, wird nach Risiken gefahndet. Nach den Einschränkungen der Risiken in Abschnitt 1.2, verbleiben die Risikoarten mit folgenden Risiken (in Anlehnung an (Wolke, 2008, 7)):

- leistungswirtschaftliche Risiken aus Marktrisiken für Inputgüter, Löhne und Outputgüter,
- finanzwirtschaftliche Risiken aus Insolvenz und Zinsänderung.

Produzierende Unternehmen sind typischer Weise leistungswirtschaftlichen Risiken ausgesetzt, da sie den Kern der betrieblichen Leistungserstellung und seiner Rechnungslegung betreffen. Die Unsicherheit besteht dabei über die zukünftig im jeweiligen Marktgleichgewicht herrschenden Preise und Mengen.

Daher hängt die Höhe des Risikos von den Absatz- und Beschaffungsmärkten ab (Gleißner, 2011, 84ff.), auf denen sich die Preise und Mengen bilden. Das gesamte Marktrisiko ist im Ergebnis vor Zinsen, Steuern, Abschreibungen und Zuschreibungen (EBITDA) enthalten. Es kann in die zufallsabhängigen Größen Umsatz[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]abzüglich betriebliche Aufwendungen BAt aufgespalten werden. Formal führt das zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(2.7)

wobei E BITDAt das EBITDA der Periode t ist. Da und Jahresüberschuss aus dem EBITDA gebildet werden, sind sie in Folge der Formel 2.7 ebenfalls unsicher. Mit Ausnahme der finanzwirtschaftlichen Risiken, sind die dazu führenden Berechnungsformeln deterministisch. Damit müssen siekeiner Risikoanalyse unterzogen werden.

Die finanzwirtschaftlichen Risiken entstehen hier aus Insolvenz und Zinsände- rung. Die Änderung dieses Preises für Kapital wirkt in einem kapitalistischen System logischer Weise auf Alles. Daher werden durch Zinsänderungen die Kos- ten für Eigen- und Fremdkapital beeinflusst. Die risikolosen Zinssätze i bilden die Zinsbasis für die Diskontierungssätze der Bewertung und die Zinsen auf Fremdkapital. Für eine Zinsänderung ergibt sich u.a. eine andere Unternehmens- wertverteilung. Die Auswirkungen von Zinsänderungen sind damit in einem Unternehmensbewertungsmodell analysierbar, werden im Folgenden aber nicht explizit untersucht.

Das Risiko der Insolvenz ist auch als Liquiditätsrisiko bekannt und beschreibt mögliche Schäden aus der Verletzung des finanzwirtschaftlichen Gleichgewichts des Unternehmens (Wolke, 2008, 180). In diesem Fall kann ein Unternehmen bestehende finanzielle Verbindlichkeiten nicht erfüllen. Das Liquiditätsrisiko wirkt auf die stochastische Unternehmensbewertung auf zwei Arten. Einerseits werden Kreditrisiken durch das Unternehmen verursacht, indem es als Kredit- nehmer einen Teil des eingesetzten Kapitals aus Fremdfinanzierungsquellen bezieht. Der Fremdkapitalgeber, hier eine Bank, kann nicht sicher sein, dass das Unternehmen in Zukunft die vereinbarten Kapitaldienste leisten kann. Daher verlangt die Bank einen Risikozuschlag[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dieser Risikozuschlag ist abhängig von der Ausfallwahrscheinlichkeit und der Höhe der zu erwartenden Zahlungen im Falle eines Ausfalls (Paessens, 2010, 281). Die quantitativen Auswirkungen der finanzwirtschaftlichen Risiken auf die unterschiedlichen Kapitalkostensätze werden in Abschnitt 3.1.3 (S. 61) dargestellt.

Andererseits ist das Ausfallrisiko der Gläubiger, das Insolvenzrisiko des Un- ternehmens. Da es existenzgefährdend ist, ist es besonders im Fokus des Risi- komanagements. Insolvenzgründe sind (drohende) Zahlungsunfähigkeit und Überschuldung (Drukarczyk, 2008, 424). Beide sind jedoch komplex in ihrer Ent- stehung, weil das Liquiditätsrisiko immer die Konsequenz aus der Realisierung anderer leistungswirtschaftlicher und finanzwirtschaftlicher Risiken ist (Gleiß- ner, 2011, 92f.). Bspw. beeinflussen Ölpreissteigerung, Betriebsunterbrechung, Streichung eines Kontokorrentkredits wegen Ratingverschlechterung oder dau- erhafte Verluste die Liquidität. Um das Insolvenzrisiko zu untersuchen, muss also eine Gesamtbetrachtung des Unternehmens erfolgen. Diese Betrachtung erlaubt das stochastische Unternehmensbewertungsmodell nach oben beschrie- benen Qualitätsmerkmalen. Die wichtigste Implikation aus dieser Feststellung ist das bei der stochastischen Unternehmensbewertung gleichzeitig mit der Er- mittlung der Unternehmenswertverteilung EF das Insolvenzrisiko abgeschätzt werden kann. Allerdings mit der Einschränkung, dass die Zeitintervalle der Un- ternehmensbewertung kurz genug sind. Die häufig in der Praxis und im Beispiel unterstellte jährliche Zeitscheibe eignet nicht zur Liquiditätsplanung. Nach mei- ner Einschätzung ist die Tauglichkeit zur Liquiditätsplanung ab einer monatliche Planung gegeben, weil saisonale Schwankungen und die Terminstruktur von Zahlungsströmen abbildbar sind.

Eine weitere Klassifizierung von Risiken ist ebenfalls wichtig. Die Unterschei- dung in Kern- und Randrisiken beruht auf der Idee, dass Unternehmen kom- parative Vorteile bei der Risikotragung haben. Nur aus der Übernahme von Risiken generieren Firmen ihre Gewinne, insbesondere durch die spezifische Investitionstätigkeit. Kernrisiken sind diejenigen Risiken, die unmittelbar mit den Wettbewerbsvorteilen in Verbindung stehen und daher auch nicht sinnvoll übertragbar sind. Randrisiken sind dagegen übertragbar und haben keinen en- gen Bezug zu den komparativen Vorteilen. Für einen Autobauer gehören bspw. Wechselkursrisiken² zu den Randrisiken und Absatzrisiken zu den Kernrisiken. Diese Einteilung hilft dem Risikomanagement zu erkennen, welche Risiken im Rahmen der Risikosteuerung beeinflusst werden sollten. (Doherty, 2000, 223f.) Nach der Klassifikation und der Identifikation aller wesentlichen Risiken, folgt als zweiter Prozessschritt deren Analyse. Dafür stehen qualitative und quantitati- ve Methoden zur Verfügung (Wolke, 2008, 4), wobei für diese Arbeit logischer Weise nur Letztere betrachtet werden. Für die quantitative Risikoanalyse sind vor allem die Risikokennzahlen, die Abhängigkeitsmodellierung und die Risiko- aggregation zur Bestimmung des Gesamtrisikos von Bedeutung. Da das alles von Zufallsvariablen und deren Verteilungen abhängt, sind diese zunächst genauer zu beschreiben.

Eine „Variable X, deren Werte oder Ausprägungen die Ergebnisse eines Zufallsvorgangs sind“ (Cottin und Döhler, 2008, 401), sei eine Zufallsvariable. Weiterhin sei X eine stetig mit der Verteilungsfunktion F (x) und der Dichtefunktion f (x). Hat die Zufallsvariable X den d -dimensionalen Wertebereich[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]statt[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], spricht man von einem Zufallsvektor, also[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit den Komponenten[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dann sind (McNeil et al., 2005, 62)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei Formel 2.8 der Erwartungsvektor, Formel 2.10 die Kovarianzmatrix und Formel 2.12 der Varianzvektor sind. Dazu sind die Schätzer mit der Eigenschaft „BLUE“³ (Auer, 2007, 190ff.) aus einer Stichprobe der Zufallsvariable X mit T Beobachtungen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bzw. den Beobachtungspaaren[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (Auer, 2007, 43ff.)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit sind die Momente der Zufallsvariablen und deren empirischen Gegenstücke vollständig beschrieben. Die angegebenen Schätzer sind die Maximum Likelihood-Schätzer falls der Zufallsvektor X multivariat normalverteilt mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist. Für andere multivariate Verteilungen existieren effizientere und robustere Schätzer. (McNeil et al., 2005, 65)

Als Instrument zur Entscheidungsunterstützung ermöglichen Risikomesszah- len den Vergleich von Risiken, die Risikokapitalallokation, die Begrenzung von (Investitions-)Entscheidungen als Nebenbedingungen, die Erkennung von Ri- siken im Verbund und risikoadjustierte Performancemessung (Gleißner, 2011, 136). Dabei ist für die stochastische Unternehmensbewertung besonders der Vergleich von Risiken zur Ermittlung der Kapitalkosten relevant. Bei der Risiko- steuerung wird die realisierte Risikokapitalallokation ggf. durch risikopolitische Maßnahmen beeinflusst. Man unterscheidet nach ALBRECHT UND MAURER zwei Typen von Risikomaßen (Albrecht und Maurer, 2008, 120). Risiko als Ausmaß der Abweichung von einer Zielgröße angebende, gehören dem Typ I an. Dazu gehören u.a. die zweiseitigen Risikomaße Volatilität bzw. Varianz und die einseitigen der Lower Partial Moments-Familie (Albrecht und Maurer, 2008, 121ff.;123ff.). Die Risikomaße des Typs II beschreiben Risiko als notwendiges Kapital. Um zu untersuchen, welche Risikokennzahl welchen Typs für die Zwecke der stochastischen Unternehmensbewertung geeignet ist, müssen die benötigten Eigenschaften erfüllen.

Das Axiomensystem von ARTZNER ET AL. ist ein solcher Eigenschaftskatalog. Eine Risikomesszahl R (X) ist demnach kohärent, wenn sie die folgenden vier Axiome erfüllt (Artzner et al., 1999, 209f.):

- Translationsinvarianz mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],
- Subadditivität mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],
- positive Homogenität mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],
- Monotonie mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],

wobei für b Barmittel in einer bestimmten Höhe steht. Leider erfüllt die Va- rianz einer Zufallsvariable V ar [ X ], als Typ I Kennzahl, keines der Axiome. Deshalb ist die Varianz kein kohärentes Risikomaß. Dies kann leicht für die Translationsinvarianz und die positive Homogenität demonstriert werden, da[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt. Daher ist die Varianz auch wenig zur Quantifizie- rung von Liquiditäts- oder Marktrisiken geeignet (Dowd, 2002, 9). Trotzdem bleibt die Varianz bzw. die Volatilität, als annualisierte Standardabweichung, ein wichtiger Verteilungsparameter für diese Arbeit.

Die anwendungsbezogene Interpretation der Axiome erfolgt in Anlehnung an HULL (Hull, 2010, 193). Ein Risikomaß ist monoton, wenn Unternehmen X 2, dass in allen Umweltzuständen ein besseres oder gleiches Ergebnis erzielt als X 1, ein kleineres Risikoausmaß für X 2 anzeigt. Für einen Eigentümer der sei- nen Aktienbestand um den positiven Faktor a verändert, muss sich das Risiko proportional um a ändern. Dann besitzt ein Risikomaß die Eigenschaft positive Homogenität. Eine risikolose Position besteht für b = R [ X ], da aus der Trans- lationsinvarianz R [ X + R [ X ] = 0 folgt. Hat also ein Unternehmen zusätzlich zum operativen Geschäft risikolose Finanzanlagen der Höhe b, dann muss die Messzahl um den Betrag b geringer sein. Die äquivalente Überlegung ist in der Unternehmensbewertung bei der Ermittlung der Eigenkapitalkosten⁴ relevant (Drukarczyk und Schüler, 2009, 227). Subadditiv ist eine Risikomesszahl, wenn die Summe der Einzelrisiken nicht größer als deren gemeinsames Risiko bewer- tet wird. Für die Bewertung eines Unternehmens mit mehreren Sparten ergibt sich damit, dass das Gesamtrisiko nicht größer ist, als die Summe der Risiken der Geschäftsfelder. Nach dieser auf Unternehmen umformulierten Erläuterung der Axiome an eine stochastische Risikomesszahl ergibt sich die Sinnhaftigkeit der Axiome im Kontext der Unternehmensbewertung. Ein Maß das obige Axiome erfüllt ist für die stochastische Unternehmensbewertung geeignet und zwar ganz gleich welcher Verteilung einzelne Risiken folgen. Das ist ein großer Vorteil, da ein Praktiker das vorzustellende Grundmodell auf seine konkreten Bedürfnisse anpassen kann, ohne dass Probleme mit der Risikokennzahl auftreten können.

Deshalb haben zum obigen Axiomensystem Typ II Kennzahlen geführt, die in der Finanzwirtschaft und deren Regulierung etabliert sind. Diese Typ II Risikomesszahlen gehen jedoch nicht aus der Erwartungsnutzentheorie hervor (Bank und Gerke, 2005, 158ff.).

Die Standardrisikokennzahl im Finanzsektor ist der Value at Risk (Jorion, 2007, 31ff.). Der Value at Risk ist nur für elliptische Verteilungen (Jorion, 2007, 159ff.) und nicht generell subadditiv (McNeil et al., 2005, 40). In der Praxis wird der Value at Risk oft als Ersatz der Varianz für die Gesamtrisikoberechnung ein- gesetzt (Dowd, 2002, 9). Das ist wegen der nicht vorhandenen Subadditivität besonders problematisch. In dieser Arbeit soll daher die kohärente stochastische Risikokennzahl des Typs II namens Expected Shortfall⁵ benutzt werden. L sei die (Gewinn-) und Verlustfunktion eines risikobehafteten Wertes Vt zum Zeitpunkt t und lt deren empirisch beobachtbaren Ausprägungen. Dann ist für den Zeithorizont δ die Verlustfunktion (McNeil et al., 2005, 25f.)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine einfache Methode auf den gewünschten Zeitraum δ zu kommen, stellt das Square Root of Time Scaling dar. Dafür werden die Standardabweichungen mit einem wählbaren[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]multipliziert, dass sich der erwünschte Zeitraum δ ergibt (McNeil et al., 2005, 54).

Der Expected Shortfall ES α der Zufallsvariable X ist definiert mit (McNeil et al., 2005, 44f.)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw. für empirische Stichproben ist der nichtparametrische Schätzer (Cottin und Döhler, 2008, 321)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei α ∈ (0 , 1) die Konfidenzwahrscheinlichkeit und Q α (L) das α -Quantil der Verlustverteilung⁶ ist. Falls X, anders als hier angenommen, eine diskrete Zu- fallsvariable ist, ist die Berechnung etwas komplizierter (McNeil et al., 2005, 45). Das Stichprobenmittel der[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]größten Beobachtungen ist der nicht- parametrische Schätzer für[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](Cottin und Döhler,2008, 321). Der Expected Shortfall ist der erwartete Schaden der Eintritt, wenn der Value at Risk zum Konfidenzniveau α überschritten wird. Anders, der Expected Shortfall ist der Erwartungswert des Schadens, wenn dieser im α -Quantil der Verlustverteilung liegt. Wenn Barmittel in selber Höhe vorgehalten werden, also[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], dann ist das Unternehmen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 − α risikolos. Damit ist für diesen Fall α die Insolvenzwahrscheinlichkeit im Zeitraum δ.

Für die Quantifizierung des Kreditrisikos ist die Insolvenz- oder Ausfallwahr- scheinlichkeit⁷ PD [ X ] und die anteilige Höhe des zu erwartenden Ausfalls⁸ LGD [ X ] zu bestimmen. Dazu sind Typ I Risikomesszahlen aus der Familie der Lower Partial Moments bzw. deren verteilungsfreie Schätzer geeignet. Für die Schätzung der Insolvenzrisiken wird der Shortfallerwartungswert benutzt. Er ist Typ I, kohärent und in den Value at Risk umformbar (Denuit et al., 2005, 73). Für die Berechnung des Shortfallerwartungswerts muss eine spezifische Zielgröße z vorgegeben werden (Albrecht und Maurer, 2008, 125). Die Ausfall- wahrscheinlichkeit ist nichts anderes als die Shortfallwahrscheinlichkeit SWz, der Verlustverteilung des Unternehmenswerts[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]bzw. deren Stichprobenwerten zum Zielwert z = 0 (Albrecht und Maurer, 2008, 123ff.):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den erwarteten Ausfall gilt[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],wobei EL [ X ]dererwartete Schaden⁹ und EAD [ X ] die vom Ausfall bedrohte Höhe des Kapitals¹⁰ sind. Die Höhe vom Ausfall bedrohten Kapitals EAD [ X ] ist dem Kreditgeber offen- sichtlich bekannt und eine deterministische Größe. Der erwartete Verlust EL [ X ] entspricht dem Shortfallerwartungswert SEz mit (Albrecht und Maurer, 2008, 123ff.)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei gilt für die Dummyvariable zur Selektion der Stichprobenwerte I (EF t ) (Albrecht und Maurer, 2008, 126):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Target ist jeweils z = 0 , weil vorher das finanzwirtschaftliche Gleichgewicht noch besteht. Wenn der Wert aller zukünftigen Zahlungen den Wert der Verbind- lichkeiten übersteigt, gilt offensichtlich[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Deshalb ist das Unternehmen für[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] insolvent. Damit sind alle benötigten stochastischen Risikokennzah- len beschrieben.

Drei unterschiedliche Arten von Interdependenzen, müssen in einem Unterneh- mensbewertungsmodell quantifiziert werden. Diese sind in Unterabschnitt 2.1.2 identifiziert worden. Problematisch für das Risikomanagement sind wesentliche nicht modellierte Abhängigkeiten. Sie führen zur systematischen Unterschätzung des Gesamtrisikos, da sie wie die Annahme der Unabhängigkeit wirken. Um alle wesentlichen Interdependenzen zu berücksichtigen, müssen diese geeignet formalisiert werden. Die externe Faktoren, die auf dieselben Größen wirken, werden durch deterministische Funktionen beschrieben, z.B. wie Formel 2.7 die Bildung des[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]beschreibt. Die notwendigen Formeln werden schwer- punktmäßig in Abschnitt 3.1 (S. 39) beschrieben. Die Parameter der Formel lassen sich mit Regressionen ermitteln. Die Ermittlung dieser Parameter soll nicht weiter Gegenstand dieser Arbeit sein, allerdings sind für Regressionen nur die oben vorgestellten empirischen Schätzer für die Momente von Zufallsva- riablen notwendig. Alle Interdependenzen, die sich mit den zeitlich-logischen Zusammenhängen beschäftigen, werden in dieser Arbeit durch stochastische Prozesse beschrieben. Diesem Thema widmet sich Unterabschnitt 3.2.2 (S. 99). Die verbleibende Interdependenz ist eine ökonomisch-logische Abhängigkeit von Zufallsvariablen. Dafür wird regelmäßig von einem linearen Zusammenhang der Zufallsvariablen ausgegangen. Die Quantifizierung erfolgt mittels der Kovari- anz oder dem empirischen Korrelationskoeffizient nach BR AVA I S U N D PE A R S O N (Schira, 2005, 92ff.). Formel 2.10 die Kovarianzmatrix Σ mit den Einträgen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . Die Schätzung erfolgt durch die oben vorgestellten empirischen Gegenstücke der Momente des Zufallsvektors. Die Kovarianzmatrix Σ ist quadratisch und symmetrisch. Wegen der Symmetrie der Kovarianz (Formel 2.10) gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Damit ist Σ¹¹ entweder positiv definit mit positiv definiter Diagonalmatrix [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]oder positiv semidefinit mit positiv semidefinit Diagonalmatrix (Opitz, 2004, 323f.). Diese Eigenschaft der Diagonalmatrix [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist für die stochastische Unter- nehmensbewertung relevant, wie in Unterabschnitt 3.2.2 (S. 99) noch aufgezeigt wird.

Die am häufigsten benutzte Maßzahl um stochastische Abhängigkeiten zu be- schreiben ist der Korrelationskoeffizient nach BRAVAIS UND PEARSON. Er beschreibt den linearen Zusammenhang zweier Zufallsvariablen unabhängig von deren Dimensionen und ist auf das Intervall [ − 1 , 1] beschränkt (Anderson et al., 2010, 95ff.). Für einen Zufallsvektor gilt (Auer, 2007, 43ff.)(McNeil et al., 2005, 62)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei Formel 2.25 die Korrelationsmatrix und Formel 2.27 für den verteilungsfreien Schätzer des Korrelationskoeffizienten sind. Für stochastisch unabhängige Variablen gilt[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]spricht man von negativer Korrelation und bei[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] von positiver.

Leider sind die wenigsten stochastischen Abhängigkeiten sinnvoll als linearer Zusammenhang beschreibbar. Insbesondere für das Risikomanagement kann diese Annahme zu Fehlern mit gravierenden Auswirkungen bei der Berech- nung des Gesamtrisikos führen (McNeil et al., 2005, 201ff.). Für nicht-lineare Zusammenhänge oder für stark von der Normalverteilung abweichendes Daten- material, bietet der Rangkorrelationskoeffizient nach SP E A R M A N die Möglichkeit die Abhängigkeit in einem Maß zu erfassen (Schira, 2005, 94ff.). Eine flexible Modellierung nicht-linearer Abhängigkeiten ist mit einer Copulafunktion mög- lich (Buch und Dorfleitner, 2007, 161f.). Die Copula ist eine Funktion, die die gemeinsame Verteilung eines Zufallsvektors beschreibt (Franke et al., 2004, 307f.). Dabei können die einzelnen Verteilungen der Zufallsvariablen unabhän- gig von der Copula bestimmt werden, weshalb diese Art Abhängigkeiten zu modellieren viele Vorteile besitzt (McNeil et al., 2005, 184ff.).

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¹ Sprachlich präzise müsste immer von der Verteilung des Werts des Eigenkapitals die Rede sein. Allerdings ist die Formulierung umständlich und es heißt auch nicht Bewertung des Werts des Eigenkapitals.

² Mit dieser Einteilung ist auch erkennbar, warum Absatzrisiken in dieser Arbeit beschrieben werden und u.a. Operative Risiken und Wechselkursrisiken ausgeschlossen wurden. Für operative Risiken, wie Brandschäden, stehen gute Versicherungslösungen zur Verfügung. Der Ausschluss von Wechselkursrisiken trifft dann auf ein Unternehmen zu, wenn es nur innerhalb eines Währungsraums Geschäfte betreibt. Das ist für viele kleine und mittlere Unternehmen eine plausible Annahme, besonders wenn das Währungsgebiet so groß ist, wie die Eurozone oder der Dollarraum. Große Unternehmen sind allerdings Aufgrund ihrer internationalen Geschäftstätigkeit und dem Ende des Währungssystems von Bretton Woods (Levi, 2009, 212ff.) Wechselkursrisiken ausgesetzt. Das gilt für deutsche Unternehmen besonders, da sie relativ stark in den internationalen Handel eingebunden sind (Salvatore, 2011, 23). Die Annahme bedeutet in einer Weltwährungsordnung mit flexiblen Wechselkursen also auch ein effektives Währungsrisikomanagement der am Außenhandel beteiligten Unternehmen.

³ BLUE bedeutet best linear unibased estimator und beschreibt den Umstand, dass kein besserer linearer Schätzer zur Verfügung steht. Dabei sind nach dem Gauß-Markov-Theorem alle Kleinste-Quadrate-Schätzer BLUE und unverzerrt. (Auer, 2007, 190ff.)

⁴ Bei der Ermittlung des Betas zur Schätzung der Eigenkapitalkosten geht man i.d.R. von den gleichen operativen Risiken aus. Dafür werden von dem Beta bei Eigenfinanzierung die risikolosen Finanzanlagen herausgerechnet. (Drukarczyk und Schüler, 2009, 227)

⁵ Die Kennzahl ist auch unter Tail Conditional Expectation (Artzner et al., 1999, 223), Conditio- nal Value at Risk (Albrecht und Maurer, 2008, 133), Mean Shortfall (Charnes, 2007, 143), Tail Loss (Hull, 2010, 192) oder Tail Value at Risk (Franke et al., 2004, 298f.) bekannt, wobei die Bezeichnungen nicht einheitlich gebraucht werden (Cottin und Döhler, 2008, 118).

⁶ Teilweise wird der Expected Shortfall auf Gewinnverteilungen definiert. Die korrespondierenden Quantile sind für 1 − α zu berechnen. (Hartmann-Wendels et al., 2010, 338) (McNeil et al., 2005, 26ff.)

⁷ engl.: Probability of Default

⁸ engl.: Loss Given Default

⁹ engl.: Expected Loss

¹⁰ engl.: Exposure at Default

¹¹ Nicht ganz einfach nach zu vollziehen ist, dass die Symmetrie der Kovarianz als Ursache für ei- ne negativ definite und negativ semidefinite Kovarianzmatrix Σ ausgeschlossen werden kann. Die Analyse der Hauptunterdeterminanten von Σ zeigt, dass diese für jede Kovarianzmatrix immer positiv oder Null sind. Damit muss Σ mindestens positiv semidefinit sein (Opitz, 2004, 326).