Flächeninhalt von Rechtecken. Übung und Vertiefung im Mathematikunterricht (Klasse 4)

Inhaltsverzeichnis

1 Sachanalyse

2 Didaktische Analyse

3 Methodische Analyse

4 Verlaufsplanung und Ziele

5 Arbeitsmaterial
5.1 Tafelbild
5.2 Tafelbildzubehör (stark verkleinert)
5.3 Arbeitsblatt (beidseitig bedruckt)
5.4 Didaktische Reserve 1 und 2

6 Literaturverzeichnis

1 Sachanalyse

Die Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, welche nach unterschiedlichen Kriterien unterteilt wird. Einen Bereich stellt die Elementargeometrie dar, die in die Planimetrie (ebene Geometrie) und Stereometrie (räumliche Geometrie) aufgeteilt wird. „Zu diesen Gebieten gehört die Beschreibung und Konstruktion geometrischer Figuren und die Messung von Längen, Winkeln, Flächen- und Rauminhalten“ (Scheid, 2000, S. 208) .

Um auf die wichtigsten Aspekte des der Planimetrie zugeordneten Flächeninhalts eingehen zu können, muss zunächst der Begriff der Fläche definiert werden. Im Brockhaus Naturwissenschaft und Technik ist nachzulesen, dass eine Fläche ein „ebenes oder gekrümmtes Gebilde im Raum“ (2003, Stichwort Fläche) ist. Des Weiteren kann sie als „eine zweidimensionale Teilmenge “ (Walz, 2001, Stichwort Fläche) definiert werden, wobei dies eine nicht notwendige Reduzierung des Flächenbegriffs darstellt (vgl. ebd.) . Allgemeiner gefasst „[…] versteht [man] unter einer Fläche eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, d.h., eine Menge , die in einen beliebigen umgebenden Raum eingebettet ist, und die sich ähnlich wie lokal durch Parameterdarstellungen beschreiben läßt“ (ebd.) . Viele Flächen können mithilfe von Größen wie Kantenlänge, Radius, Seiten, Höhen und Winkel elementargeometrisch beschrieben werden (vgl. ebd., Stichwort Flächeninhalt) . Der Flächeninhalt stellt „ein Maß für den Inhalt […] einer Fläche“ (ebd.) dar und gibt die „Größe eines von einem geschlossenen Linienzug begrenzten Teils einer Fläche“ (Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, 2003, Stichwort Flächeninhalt) an. Früher war der Buchstabe gebräuchlich, heute bezeichnet man den Flächeninhalt mit dem Formelzeichen (lat. area = Fläche) (vgl. Scheid, 2000, S. 169) . Ermittelt wird mithilfe eines Flächenvergleichs. Dabei gibt an, „wie viel Flächeneinheiten zum Ausfüllen einer Fläche benötigt werden“ (Mohry, 2009, S. 107) . Die Standardeinheit stellt zumeist ein Quadrat der Seitenlänge 1 dar, woraus erkenntlich ist, dass ein Zusammenhang zwischen Flächen- und Längeneinheit besteht (vgl. ebd.) . So ist der Flächeninhalt eines Quadrates von Seitenlänge (vgl. Borucki, 2005, S. 9) . Hieraus ergeben sich die folgenden je nach Größenordnung genutzten Flächeneinheiten mit ihren Umrechnungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1 Flächeneinheiten (Abb. nach Mohry, 2009, S. 108)

Die Ermittlung des Flächeninhalts kann auf verschiedenen Wegen geschehen. Zum einen besteht die Möglichkeit über die Anzahl der Einheitsflächen, die die zu messende Fläche ohne Lücken und Überlappungen ausfüllen, auf dieser Fläche zu schließen (vgl. Mohry, 2009, S. 108) . Zum anderen erfolgt „die rechner. Bestimmung des Flächeninhalts einfacher Flächenstücke […] in der Elementarmathematik aus einzelnen Bestimmungsstücken dieser Figuren (z. B. Seiten, Höhen beim Dreieck) mithilfe bekannter Formeln oder durch Zerlegung der Flächenstücke in derart berechenbare Flächenstücke“ (Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, 2003, Stichwort Flächeninhalt) .

Zu den mathematischen Flächen gehören die Vielecke (auch -Eck, Polygon). Ein Vieleck ist ein „geometr. Gebilde, das in einem geschlossenen Streckenzug Punkte (Ecken) […] durch Linien (Strecken) […] verbindet“ (ebd., Stichwort Vieleck) . Die Anzahl der Ecken bestimmt den Namen des jeweiligen ‑Ecks (vgl. ebd.) . Ein Viereck ist also „ein ebenes Vieleck mit vier Eckpunkten, von denen keine drei auf einer Geraden liegen“ (ebd., Stichwort Viereck) . Die Ecken eines Vierecks werden zumeist mit bezeichnet, folglich ergeben sich daraus die Seiten und die Diagonalen aus den Strecken und . Mit den griechischen Buchstaben werden die vier Innenwinkel gekennzeichnet, die zusammen immer ergeben (Innenwinkelsumme). Jedes Viereck kann durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt werden. Es wird zwischen Sehnenvierecken (besitzen einen Umkreis) und Tangentenvierecken (besitzen einen Inkreis) unterschieden. Eine Einteilung der Vierecke erfolgt nach ihren Symmetrieeigenschaften (vgl. Scheid, 2000, S. 660) .

Das Rechteck ist „ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer paralleler Seiten und vier rechten Winkeln“ (Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, 2003, Stichwort Rechteck) , bei dem sich die gleichlangen Diagonalen halbieren (vgl. ebd.) . Es handelt sich um ein Viereck, welches sowohl achsensymmetrisch zu beiden Mittenlinien, als auch punktsymmetrisch ist (vgl. Scheid, 2000, S. 660) und somit einen Spezialfall des Parallelogramms, nämlich eines mit senkrecht aufeinander stehenden Seiten, darstellt (vgl. Walz, 2001, Stichwort Rechteck) . „Jedes Rechteck besitzt einen Umkreis“ (ebd.) und gehört somit zu den Sehnenvierecken. Die Ermittlung des Flächeninhalts eines Rechtecks mit ganzzahligen Seitenlängen erfolgt über das Abzählen der Messquadrate mit der Seitenlänge 1 (Einheitsquadrate), die auf das Rechteck passen. „Ist x die Länge des Rechtecks, so passen x Quadrate in eine Reihe und ist y die Breite des Rechtecks, so passen y dieser Reihen auf die Rechtecksfläche“ (Krauter, 2007, S. 105) . Daraus ergibt sich die Formel . Liegen rationale Seitenlängen vor, wird entweder die Teilung des Messquadrats oder die Methode der Streckoperatoren zu Rate gezogen (vgl. ebd., S. 105 f.) . Die Berechnungsformel bleibt trotzdem gültig und lautet: „Der Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmt sich durch das Produkt der beiden Seitenlängen und :

“ (Mohry, 2009, S. 110) . Ein spezielles Rechteck ist das Quadrat. Es hat vier Seiten gleicher Länge. Somit ist die Ermittlung des Flächeninhalts eines Quadrats identisch mit der eines Rechtecks. Die Formel kann vereinfacht angewendet werden: „Der Flächeninhalt eines Quadrats der Seitenlänge ist “ (ebd.) .

2 Didaktische Analyse

Der Begriff des Flächeninhalts ist unumstritten Gegenstand des Mathematikunterrichts aller Schularten. Denn es handelt sich hierbei um einen mathematisch grundlegenden Begriff, der innerhalb der Mathematik auf vielfältige Weise begründet und verwendet wird. Er wird in den meisten Wissenschaften benutzt, die sich mathematischer Methoden bedienen, in der Technik, in vielen Berufsfeldern und in unterschiedlichsten Situationen des täglichen Lebens (Vollrath, 1999, S. 191) .

Trotzdem haben die meisten SchülerInnen kaum Vorerfahrungen aus ihrem Alltag bezüglich des Flächeninhaltes (vgl. Krauter, 2005a, S. 10) , weil sie Flächenmessungen kaum benötigen. Im Gegensatz zu stets präsenten Größen wie Länge (Körpergröße, Länge des Schulwegs etc.), Volumen (z. B. viele Angaben im Lebensmittelbereich) und Gewicht (Körpergewicht, wiegen von Lebensmitteln) nutzen Kinder das Flächenmaß nicht in ihrem täglichem Leben (vgl. Krauter, 2005b, S. 1) . „Welche Kinder kennen Zimmer- und Wohnungsgrößen, welche die Flächengröße eines Bauplatzes, eines Sportplatzes, ja nicht einmal die Flächengröße eines DIN-A4-Blattes Papier ist ihnen geläufig“ (ebd.) . Insbesondere hier sollte angeknüpft werden. Das Vergleichen der Größen ihrer Kinderzimmer beispielsweise könnte für die SchülerInnen einen lebensweltbezogenen Zugang zum Thema schaffen. Auch nach der Behandlung des Flächeninhalts im Unterricht fallen Schwierigkeiten im Umgang damit auf. Dies liegt zum einen an zu wenig getätigten Messvorgängen, die aus dem Fehlen eines standardisierten Messgeräts resultieren. Des Weiteren ist den SchülerInnen häufig nicht bewusst, dass eine Fläche nicht nur aus ihrer Umrahmung, sondern auch aus dem davon umschlossenen Inneren besteht, weil Flächen oftmals lediglich als Linienfiguren präsentiert werden (vgl. ebd., S. 1 f.) . Dies führt zwangsläufig dazu, dass die Größen ‚Flächeninhalt‘ und ‚Umfang‘ häufig verwechselt werden (vgl. Franke, 2007, S. 267) . Auch der Umstand, dass terminologisch keine Unterscheidung von der Figur ‚Fläche‘ und deren Größe ‚Fläche‘ (Bsp.: Das Rechteck hat eine Fläche von .) getroffen wird, erschwert den Verstehensprozess (vgl. Krauter, 2005b, S. 1 f.) .

Gleichwohl gehört der Flächeninhalt zu den geometrischen Größen des Mathematikunterrichts in der Grundschule. Die SchülerInnen „sollen […] erste Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln, Flächen bzgl. ihrer Größe miteinander vergleichen und Beziehungen zu Umweltsituationen erkennen, so daß geometrische Strukturierungen erkannt werden“ (Radatz & Rickmeyer, 1991, S. 70) . Dabei bietet dieser Unterrichtsinhalt vielfältige Verknüpfungsmöglichkeiten mit anderen Fachgebieten, von denen hier einige exemplarisch aufgezählt werden sollen. Im Schulgarten kann das Erlernte Anwendung in der Planung und Bebauung von Beeten oder des gesamten Gartens finden. Die Bedeutsamkeit von Flächen und Flächeninhalt kann im Deutschunterricht mithilfe der Erstellung einer Übersicht zur Wortfamilie verdeutlicht werden. Im Sachunterricht kann der Flächeninhalt eine behilfliche Größe für das Lesen von Landkarten darstellen (vgl. ebd., S. 69) . Im Sportunterricht können die für die verschiedenen Spiele benötigten Felder anhand ihrer Größe verglichen werden.

Die von mir zu gestaltende Unterrichtsstunde stellt eine Übungs- und Vertiefungsstunde zum Thema ‚Flächeninhalt‘ dar. Nachdem meine Kommilitonin in der vorhergehenden Stunde diese Größe begrifflich einführte und Übungen zum Ermitteln des Flächeninhalts mithilfe des Zählens der Einheitsquadrate durchführte, soll dies in der nachfolgenden Stunde mit Übungen und der Einführung der für die SchülerInnen neuen Einheiten Quadratmeter und -zentimeter vertieft behandelt werden. Fachlich ist dieses Thema in das Teilgebiet der Geometrie einzuordnen, welches sich im Rahmenplan Grundschule Mathematik in den Themenfeldern ‚Form und Veränderung‘ sowie ‚Größen und Messen‘ wiederfindet (vgl. 2004, S. 21) . Relevante Aspekte des erstgenannten Feldes für diese Stunde sind Kenntnisse über Eigenschaften ebener Flächen, von ‚Größen und Messen‘ sind es die Entwicklung von Größenvorstellungen und das Wissen über Einheiten sowie das Messen von Größen (vgl. ebd., S. 22 ff.) . Es ist für die Jahrgangsstufen 3 und 4 im Bereich ‚Form und Veränderung‘ als Ziel vorgesehen, über die Inhalte „Fläche, Flächeninhalt, Umfang, Einheitsquadrate, Einheitswürfel“, „Längen, Flächen und Körper bezüglich ihrer Abmessungen vergleichen [und] den Zusammenhang von Umfang und Flächeninhalt erkennen und beschreiben“ (ebd., S. 29) zu können. Unter der Leitidee ‚Raum und Form‘ der Beschlüsse der KMK werden inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen aufgeführt, die in Zusammenhang mit dem Stundenthema stehen. Dass geometrische Figuren erkannt, benannt und dargestellt werden können, muss für das Vergleichen von Flächen- und Rauminhalten vorausgesetzt werden (vgl. 2005, S. 10) . Am Ende von Klasse 4 sollen die SchülerInnen „die Flächeninhalte ebener Figuren durch Zerlegen vergleichen und durch Auslegen mit Einheitsflächen messen [sowie] Umfang und Flächeninhalt von ebenen Figuren untersuchen“ können (ebd.) . Die Größe des Flächeninhalts findet sich nicht in den Inhalten des Themenfeldes ‚Größen und Messen‘ wieder (vgl. Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Mecklenburg-Vorpommern, 2004, S. 30 f.) , da diese erst in den Jahrgängen 5 und 6 der Orientierungsstufe eingeführt werden soll (vgl. Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur Mecklenburg-Vorpommern, 2010, S. 13 f.) . Auch in den Bildungsstandards der KMK wird man bei den inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen unter ‚Größen und Messen‘ diesbezüglich nicht fündig (vgl. 2005, S. 11) . Trotzdem stellte das genutzte Schulbuch „Mathematikus 4“ Übungen dazu bereit und die Lehrerin verlangte die Behandlung dessen.

Inhaltlich besitzt diese Mathematikstunde verschiedene Schwerpunkte. Zum einen wird der Begriff der Fläche wiederholend thematisiert werden, weil die vorangegangene Stunde zeigte, dass diesbezüglich Missverständnisse vorhanden sind. Für die SchülerInnen der 4. Klasse sollen Flächen mithilfe ihrer Eigenschaften definiert werden: Sie sind von Begrenzungslinien umschlossen und man kann sie nicht in die Hand nehmen und umfassen, sondern nur darüber streichen, weil sie platt bzw. eben sind. Um den Flächeninhalt soll sich die ganze Stunde drehen. Dieser wurde in der vorhergehenden Stunde als das Maß für die Größe einer Fläche bestimmt und seine quantitative Ermittlung über das Zählen der Einheitsquadrate gelernt. Darauf soll auch dieses Mal eingegangen werden. Zusätzlich wird die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken und Quadraten insofern eingeführt, als dass den SchülerInnen vermittelt wird, dass das Produkt der Länge und Breite des Rechtecks bzw. Quadrates den Flächeninhalt ergibt. Die neuen Größeneinheiten sollen folgendermaßen erklärt werden: Der Flächeninhalt gibt die Anzahl der Einheitsquadrate an, woraus unter Beachtung der angegebenen Längeneinheit der Einheitsquadrate ( oder ) die Einheit Quadratmeter bzw. -zentimeter entsteht. Diese Inhalte bieten eine Grundlage für die direkt nachfolgende Einführung des Umfangs und der Beziehungen zwischen Umfang und Flächeninhalt, für die Ermittlung des Volumens von Körpern sowie für die vertiefte und abstraktere Beschäftigung mit diesen Größen in der Sekundarstufe I.

Der Einstieg meiner Stunde stellt eine Wiederholung und somit die Sicherung des Ausgangsniveaus dar. Die Inhalte der letzten Stunde werden nochmals durchgegangen, damit die SchülerInnen ihre Vorkenntnisse in Erinnerung rufen. Darauf soll eine Übungsphase folgen, die zur Festigung des eigentlich schon bekannten Stoffs dient. Dies ist notwendig, um im Anschluss auf die neuen Aspekte des Themas ‚Flächeninhalt‘ (Formel: Länge ∙ Breite, Einheiten: ) in der Erarbeitungsphase eingehen zu können. Um das neu Gelernte direkt anwenden zu lernen, wird es danach zu einer Übungsphase kommen, welche dies aufgreift und zugleich eine abschließende Ergebnissicherung darstellen soll.

[...]