Diese Facharbeit beschäftigt sich mit den komplexen Zahlen. In der modernen Mathematik und Physik gehören diese zu elementaren Werkzeugen zur Lösung verschiedenster Probleme. Einerseits lassen sich viele Probleme und Gleichungen in den reellen Zahlen nicht lösen. Um eine Lösung zu erhalten ist es unausweichlich, den Zahlenbereich der reellen Zahlen zu dem der komplexen Zahlen zu erweitern. Andererseits werden die Lösungen vieler Aufgabenstellungen durch Einführung der komplexen Zahlen eleganter und kompakter.
Das Ziel dieser Facharbeit ist es, einen Überblick über die komplexen Zahlen und deren Verwendung zu geben. Dabei geht es zum einen darum, die Eigenschaften komplexer Zahlen und die Problematik, aus der sie entstanden sind, dem Leser verständlich machen. Zum anderen geht es darum, wie sich der Begriff der Differenzierbarkeit von den reellen Zahlen auf die komplexen Zahlen übertragen lässt und welche Folgerungen sich daraus ergeben.
Inhaltsverzeichnis
- Prolog
- Begründung der Themenwahl
- Zielsetzung der Facharbeit
- Überblick über den Aufbau der Facharbeit
- Einführung in die komplexen Zahlen
- Hinführende Problematik
- Die imaginäre Einheit
- Komplexe Zahlen als Mengen
- Komplexe Zahlen als Körper
- Historische Entwicklung
- Grundlegendes zu komplexen Zahlen
- Darstellen der komplexen Zahlen
- Real- und Imaginärteil
- Kartesische Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene
- Polare Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene
- Die Eulersche Formel
- Das komplex Konjugierte
- Rechnen mit komplexen Zahlen
- Grundlegendes zum Rechnen mit komplexen Zahlen
- Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
- Multiplikation und Division komplexer Zahlen
- Darstellen der komplexen Zahlen
- Komplexe und holomorphe Funktionen
- Funktionentheorie komplexer Zahlen
- Allgemeine lineare Funktion
- Allgemeine quadratische Funktion
- Differenzierbarkeit
- Komplexe Differenzierbarkeit
- Exkurs: Analysis im R²
- Holomorphie Komplexe Differenzierbarkeit
- Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen
- Physikalische Interpretation
- Quellenfreiheit
- Wirbelfreiheit
- Maxwell-Gleichungen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Facharbeit befasst sich mit komplexen Zahlen und ihrer Anwendung in Mathematik und Physik. Sie zielt darauf ab, die Eigenschaften komplexer Zahlen und deren Entstehung zu erklären sowie den Begriff der Differenzierbarkeit von den reellen Zahlen auf die komplexen Zahlen zu übertragen. Die Arbeit beleuchtet die Folgen dieser Übertragung und untersucht, wie die komplexen Zahlen in der allgemeinen Zahlentheorie eine Rolle spielen.
- Einführung in die komplexen Zahlen und ihre historischen Wurzeln
- Darstellung und Rechnen mit komplexen Zahlen
- Funktionentheorie komplexer Zahlen und komplexe Differenzierbarkeit
- Physikalische Interpretation komplexer Zahlen und ihre Anwendungen
- Die Rolle komplexer Zahlen in der allgemeinen Zahlentheorie
Zusammenfassung der Kapitel
Der Prolog liefert eine Einleitung in das Thema der Facharbeit, erläutert die Beweggründe für die Themenwahl und stellt die Zielsetzung sowie den Aufbau der Arbeit dar. Die Einführung in die komplexen Zahlen behandelt die Hinführende Problematik, die zur Einführung der komplexen Zahlen führte, die Definition der imaginären Einheit und die Darstellung von komplexen Zahlen als Mengen und Körper. Die historische Entwicklung der komplexen Zahlen wird ebenfalls beleuchtet.
Der Abschnitt "Grundlegendes zu komplexen Zahlen" befasst sich mit der Darstellung von komplexen Zahlen, einschließlich Real- und Imaginärteil, kartesischer und polarer Darstellung, der Eulerschen Formel und dem komplex Konjugierten. Außerdem werden die Grundlagen des Rechnens mit komplexen Zahlen, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, behandelt.
Das Kapitel "Komplexe und holomorphe Funktionen" widmet sich der Funktionentheorie komplexer Zahlen, der Differenzierbarkeit komplexer Funktionen und der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Außerdem wird die physikalische Interpretation komplexer Zahlen und ihre Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Physik beleuchtet.
Schlüsselwörter
Komplexe Zahlen, imaginäre Einheit, Funktionentheorie, holomorphe Funktionen, Differenzierbarkeit, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, physikalische Interpretation, Quellenfreiheit, Wirbelfreiheit, Maxwell-Gleichungen.
- Arbeit zitieren
- Christoph Fröse (Autor:in), 2015, Komplexe Zahlen und Holomorphe Funktionen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/317726
