Komplexe Zahlen und Holomorphe Funktionen

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Inhaltsverzeichnis

1. Prolog … 3
1.1. Begründung der Themenwahl … 3
1.2. Zielsetzung der Facharbeit … 3
1.3. Überblick über den Aufbau der Facharbeit … 3

2. Einführung in die komplexen Zahlen … 4
2.1. Hinführende Problematik … 4
2.2. Die imaginäre Einheit i … 5
2.3. Komplexe Zahlen als Mengen … 6
2.4. Komplexe Zahlen als Körper … 7
2.5. Historische Entwicklung … 8

3. Darstellen der komplexen Zahlen … 9
3.1. Grundlegendes zu komplexen Zahlen … 9
3.2. Real- und Imaginärteil … 9
3.3. Kartesische Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene … 9
3.4. Polare Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene … 10
3.5. Die Eulersche Formel … 11
3.6. Das komplex Konjugierte … 12

4. Rechnen mit komplexen Zahlen … 13
4.1. Grundlegendes zum Rechnen mit komplexen Zahlen … 13
4.2. Addition und Subtraktion komplexer Zahl … 13
4.3. Multiplikation und Division komplexer Zahl … 13

5. Komplexe und holomorphe Funktionen … 15
5.1. Funktionentheorie komplexer Zahlen … 15
5.2. Allgemeine lineare Funktion … 16
5.3. Allgemeine quadratische Funktion … 17
5.4. Differenzierbarkeit … 17
5.5. Komplexe Differenzierbarkeit … 18
5.6. Exkurs: Analysis im R2 … 19
5.7. Holomorphie = Komplexe Differenzierbarkeit … 20
5.8. Cauehy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen … 20
5.9. Physikalische Interpretation … 21
5.9.1. Quellenfreiheit … 21
5.9.2. Wirbelfreiheit … 22
5.9.3. Maxwell-Gleichungen … 23

6. Schluss … 24
6.1. Verallgemeinerung durch Quaternionen … 24
6.2. Fazit … 25

7. Quellenverzeichnis … 26
7.1. Literaturverzeichnis … 26
7.2. Abbildungsverzeichnis … 28

1. Prolog

1.1. Begründung der Themenwahl

Diese Facharbeit beschäftigt sich mit den komplexen Zahlen. In der modernen Mathematik und Physik gehören diese zu elementaren Werkzeugen zur Lösung verschiedenster Prob­leme. Einerseits lassen sich viele Probleme und Gleichungen in den reellen Zahlen nicht lösen. Um eine Lösung zu erhalten ist es unausweichlich, den Zahlenbereich der reellen Zahlen zu dem der komplexen Zahlen zu erweitern. Andererseits werden die Lösungen vieler Aufgabenstellungen durch Einführen der komplexen Zahlen eleganter und kompakter.

1.2. Zielsetzung der Facharbeit

Das Ziel dieser Facharbeit ist es, einen Überblick über die komplexen Zahlen und deren Verwendung zu geben. Dabei geht es zum einen darum, die Eigenschaften komplexer Zahlen und die Problematik, aus der sie entstanden sind, dem Leser verständlich zu machen. Zum anderen geht es darum, wie sich der Begriff der Differenzierbarkeit von den reellen Zahlen auf die komplexen Zahlen übertragen lässt und welche Folgerungen sich daraus ergeben.

1.3. Überblick über den Aufbau der Facharbeit

In dieser Facharbeit erfährt der Leser zuerst, weshalb es notwendig gewesen ist, die komplexen Zahlen einzuführen. Ebenso wird aber auch die Frage beantwortet, wie sich das Bild der komplexen Zahlen im Laufe der Jahrhunderte gewandelt hat. Die Grundlagen werden vorgestellt, sodass wir einfache Rechnungen lösen können. Um diese Rechenverfahren noch besser verstehen zu können wird alles durch einfache und prägnante Zeichnungen unterstützt. Aber was wären Zahlen ohne Funktionen? Deshalb werden wir uns mit der Funktionentheorie komplexer Zahlen beschäftigen. Ebenso werden wir aber auch deren Funktionsweise und die Unterschiede zu herkömmlichen Funktionen kennenlernen und uns be­sonders der Differenzierung komplexer Funktionen widmen. Im letzten Abschnitt erfahren wir, welche Rolle die komplexen Zahlen in der allgemeinen Zahlentheorie einnehmen. Zum Schluss fasse ich kurz zusammen, ob die Ziele dieser Facharbeit erreicht wurden, und gebe einen Ausblick auf weiterführende Themen.

2. Einführung in die komplexen Zahlen

2.1. Hinführende Problematik

Ob eine Gleichung lösbar ist hängt damit zusammen, in welchem Zahlenbereich man nach Lösungen sucht. So hat die Gleichung

x + 5 = 2

keine Lösung, wenn man in der Menge N der natürlichen Zahlen bleibt. In der Menge TL der ganzen Zahlen aber schon. Wenn man die Gleichung

15x = 3

lösen will, muss man in der Menge Q der rationalen Zahlen suchen. Die Lösung der Gleichung

x² – 2 = 0

ist nicht in der Menge Q der rationalen Zahlen zu finden, denn sie ist eine irrationale Zahl in der Menge R der reellen Zahlen. Wenn man nun aber die Gleichung

x² + 1 = 0

betrachtet, stellt man fest, dass es dafür nicht einmal eine Lösung in den reellen Zahlen gibt. Eine normale quadratische Gleichung wie beispielsweise x ² + x – 6 = 0 kann unkompliziert mit der pq-Formel gelöst werden. Man erhält entweder zwei, eine oder keine Lösung. Für diese Gleichung ergeben sich als Lösung –3 und 2. Nun wird die ebenso einfache Gleichung x² + 1 = 0 beziehungsweise x² = –1 betrachtet. Diese kann nicht mehr im Reellen gelöst wer­den, da das Quadrat einer beliebigen reellen Zahl (ob positiv oder negativ) immer größer oder gleich Null, aber nie negativ ist.

x² ≥ 0 mit x ∈ R

Folglich ist eine Erweiterung des reellen Zahlenbereiches, so wie es bis jetzt gemacht wurde

und wie es in Abbildung 2 dargestellt wird, mittels komplexer Zahlen notwendig, sodass die Gleichung x² = – 1 lösbar wird.

[Dies ist eine Leseprobe. Abbildungen können nicht dargestellt werden.]

Abbildung 1: Rotationsmodell zur imaginären Einheit

2.2. Die imaginäre Einheit i

Somit wurde eine Zahl geschaffen, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. Geometrisch gesehen ist dies leicht zu beschreiben. Wir ordnen wie in Abbildung 1 zu sehen ist die Werte 1, i, –1 und -i auf einem Kreis an. Der Wert 1 entspricht 0°, der Wert –1 entspricht 180°. Bei einer Multiplikation führen wir für negative Faktoren eine Drehung von 180° und für positive eine von 0° aus. Minus eins mul­tipliziert mit Eins bedeutet, dass wir eine Drehung von 180° anwenden. Wir landen bei –1. Um die Wur­zel aus minus Eins zu ziehen suchen wir jetzt eine Drehung, die zweimal angewendet 180° ergibt. Das sind 90°. Damit verlassen wir aber die reellen Zahlen und befinden uns in der imaginären Ebene bei i. Analog zum Rotationsmodell ergibt sich folgende Definition.

i = i

1² = –1

1³ = –i

i⁴ = 1

Somit lassen sich im reellen unlösbare Gleichungen im komplexen unter Zuhilfenahme der ima­ginären Einheit lösen. Nun betrachten wir ein einfaches Rechenbeispiel, an dem die Funktions­weise der imaginären Einheit deutlich wird. Wenn wir zum Lösen von

x² + 4x + 8 = 0

die pq-Formel für x ∈ R anwenden, ergibt sich

[Dies ist eine Leseprobe. Komplexe mathematische Formeln können nicht dargestellt werden.]

und die Gleichung ist wegen der Wurzel aus etwas Negativen im Reellen unlösbar.

Jedoch schwindet diese Problematik beim Lösen der Gleichung mithilfe der neuen imaginären Einheit und x ∈ C, sodass das Ergebnis dieser Gleichung nun aus der reellen Zahl –2 und dem Vielfachen der imaginären Einheit ±2i besteht.

[Dies ist eine Leseprobe. Komplexe mathematische Formeln können nicht dargestellt werden.]

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante komplexe Polynom über den komplexen Zahlen und damit auch über den reellen Zahlen mindestens eine Nullstelle in C besitzt.¹ Das bedeutet, dass die Menge C der komplexen Zahlen den algebraischen Abschluss der reellen Zahlen darstellt.²

Es darf nicht der Fehler gemacht und davon ausgegangen werden, nur +2i sei die komplexe Zahl. Da beides zusammengefasst wird, bezeichnet man den Term –2 + 2i als komplexe Zahl. Jede komplexe Zahl kann in der Form z = a + bi geschrieben werden, wobei a und b reelle Zahlen sind und [Formel] als imaginäre Einheit bezeichnet wird. Diese Form wird „arithmetische Form“ genannt.'³

2.3. Komplexe Zahlen als Mengen

Es ist offensichtlich, dass es immer darauf ankommt, welcher Zahlenbereich als Lösungsbereich für eine Gleichung zugelassen wird. Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Zahlenbereichen wird in Abbildung 2 noch einmal genauer veranschaulicht. Die Menge der komplexen Zahlen z = a + bi stellt ebenso einen Zahlenbereich dar wie jeder andere Zahlenbereich. Jede Zahl kann man einem Zahlenbereich zuordnen. „Als Zahlenbereiche sieht man Zahlenmengen an, deren Elemente gemeinsame Eigenschaften haben.“ (Steinfeld. 2014)

[Dies ist eine Leseprobe. Abbildungen können nicht dargestellt werden.]

Abbildung 2: Beziehung zwischen den Zahlenmengen

Der Zusammenhang zwischen den Zahlenmengen wurde in Abbildung 2 grafisch veranschau­licht, lässt sich aber ebenso mathematisch darstellen.

N ⊂ Z ⊂ R ⊂ C

Die Menge C der komplexen Zahlen ist dann die Menge aller a + bi, bei denen a und b reelle Zahlen sind und das Quadrat von i gleich –1 ist:⁴

[Dies ist eine Leseprobe. Komplexe mathematische Formeln können nicht dargestellt werden.]

2.4. Komplexe Zahlen als Körper

Eine wichtige algebraische Struktur im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Körper. In diesem können Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden. Es gibt bestimmte Körperaxiome, die ein Körper erfüllen muss, um ein Körper im mathematischen Sinne zu sein.'’ Als die komplexen Zahlen eingeführt wurden, un­tersuchte man diese und hat geschaut, ob die Axiome erfüllt sind.

Zum einen sollte man mit komplexen Zahlen ähnlich wie mit reellen Zahlen rechnen können, was bedeutet, dass sie den grundlegenden Regeln der Algebra unterliegen müssen. Diese Regeln werden aus dem Kommutativ, Assoziativ- und Distributivgesetz gebildet.

Das Kommutativgesetzt „besagt, dass [...] die Reihenfolge der Terme vertauscht werden kann, ohne dass sich das Ergebnis ändert.“ (Haberland. 2013). Das Assoziativgesetz „besagt, dass die Terme bei diesen Rechenarten unterschiedlich gruppiert werden können, ohne dass sich das Ergebnis ändert.“ (ebd.. 2013). Das Distributivgesetz „besagt, dass jeder Term innerhalb einer Klammer mit dem Koeffizienten außerhalb der Klammer multipliziert werden kann, ohne den Wert des eingeklammerten Ausdrucks zu verändern.“ (ebd., 2013). All diese Gesetze sind l > ei den komplexen Zahlen erfüllt, sodass man vom Köper der komplexen Zahlen sprechen kann. Zum anderen sollten die komplexen Zahlen die reellen Zahlen in gewisser Weise als „Sonderfall“ einschließen/’ Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn 0 = 0 ist. Bei der komplexen Zahl Z = a + bi sind a und b reell und i ist die imaginäre Einheit. Wenn nun b – 0 der Faktor für i ist, bleibt z – a. Da a 6 M gilt in diesem „Sonderfall“ z ∈ R.

[…]

¹ vgl. Wikipedia - Fundamentalsatz der Algebra, 2014

² vgl. Wikipedia - Algebraischer Abschluss, 2014

³ vgl. Tipler k Mosca, 2004, S. 1144

⁴ vgl. Loviscach, Zahlenbereiche, 2013, S. 2

⁵ vgl. Wikipedia - Körper (Algebra), 2015

⁶ vgl. Papula, 2009, S. 640