Zufall und Wahrscheinlichkeit. Würfeln mit zwei Würfeln (Mathematik, 3. Klasse)

Thema der Unterrichtsreihe

„Zufall und Wahrscheinlichkeit“

Die SuS^[1] erleben aktiv-entdeckend Zufallsexperimente und untersuchen diese hinsichtlich des Eintritts von Aussagen und Vermutungen vor dem Hintergrund der Wahrscheinlichkeit.

Thema der Unterrichtsstunde

„Würfeln mit zwei Würfeln“

Die SuS sollen systematisch alle Möglichkeiten für die Summe zweier Würfelzahlen herauszufinden und daraus entnehmen, welche Augensumme beim Würfeln mit zwei Würfeln am wahrscheinlichsten ist.

Klasse: 3

- Einbettung der Stunde in die Unterrichtsreihe

Zentrale Absichten der Unterrichtsreihe

- Grundbegriffe zu kennen (z.B. sicher, unmöglich, möglich, wahrscheinlich, gleich wahrscheinlich, unwahrscheinlich)
- Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (z.B. bei Würfelspielen) einschätzen und vergleichen
- reflektierten Umgang mit Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten in Schule und Alltag zu erlangen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Zentrale Absicht der Stunde und Lernchancen

Meine Absicht:

Ich gebe den SuS die Chance, systematisch alle Möglichkeiten für die Summe zweier Würfelzahlen herauszufinden und zu erkennen, welche Augensumme beim Würfeln mit zwei Würfeln am wahrscheinlichsten ist.

Im Sinne meiner formulierten Absicht eröffne ich folgende Lernchancen:

Auf der Ebene der Sacherfahrungen

Die SuS haben die Chance,

- zu erkennen, dass beim Würfeln mit zwei Würfeln die verschiedenen Augensummen unterschiedlich wahrscheinlich sind.
- alle Möglichkeiten für die Summe zweier Würfelzahlen herauszufinden.
- mit verschiedenen Zerlegungsmöglichkeiten der Augensummen zu argumentieren, welches Wurfereignis am wahrscheinlichten ist.
- Lösungsstrategien zu entwickeln und zu nutzen (z.B. heuristische Strategien: freies Probieren, kombinatorisches Durchforsten aller Möglichkeiten, Zerlegen von Teilproblemen).
- Vermutungen über Eintrittswahrscheinlichkeiten zu äußern und zu hinterfragen.

Auf der Ebene der Individualerfahrungen

Jede/r SchülerIn hat die Chance,

- einen reflektierten Umgang mit Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten in Schule und Alltag zu erlangen.
- nach seinem/ ihrem individuellem Lernniveau zu arbeiten und zu entdecken.
- sich mit Hilfe des „Wortspeichers“ in mathematischer Fachsprache auszudrücken.

Auf der Ebene der Sozialerfahrungen

Die SuS haben die Chance,

- aus Ideen und Erfahrungen anderer Kinder zu lernen.
- eigene Erfahrungen und Ideen in der Klassengemeinschaft zu kommunizieren.
- in der Partnerarbeit ihre Kooperations- und Kommunikationsfähigkeiten zu schulen.

- Sachinformationen zur Stunde

Bei einem Zufallsversuch ist der Ausgang nicht vorhersehbar. Wiederholende Zufallsversuche unter gleichen Bedingungen werden als Zufallsexperimente bezeichnet. Die Möglichkeiten, die es für einen Versuchsausgang gibt, werden Zufallsergebnisse genannt (vgl. Kaufmann 2010, S. 6). Die SuS haben in den vorangegangen Stunden gelernt, dass das Werfen eines Würfels ein Zufallsexperiment ist.

Die Zufallsergebnisse beim Würfeln mit zwei Würfeln sind die Zahlen 2 bis 12 und können jeweils durch unterschiedliche Zufallsergebnisse zustande kommen. In der folgenden Tabelle sind die Kombinationsmöglichkeiten, um die einzelnen Augensummen zu erzielen, abgebildet:

Der Tabelle lässt sich entnehmen, dass es 36 Felder und somit auch 36 mögliche Ergebnisse gibt. Um die Augensummen 2 und 12 zu erreichen, gibt es jeweils nur einen günstigen Fall (1+1 / 6+6). Bei den Summen 3 und 11 sind es jeweils zwei günstige Fälle (1+2 und 2+1 / 5+6 und 6+5). So entstehen drei günstige Fälle bei 4 und 10, vier günstige Fälle bei 5 und 9, fünf günstige Fälle bei 6 und 8 sowie sechs günstige Fälle bei der Augensumme 7.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Würfeln mit zwei Würfeln^[2]

Die Wahrscheinlichkeit wird berechnet mit dem Quotient aus der Anzahl der günstigen und der Anzahl der möglichen Versuchsausgänge. Die Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1. Ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0 und ein sicheres Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1 (vgl. ebd.).

So ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten 1/36 (bei Augensumme 2 und 12), 2/36 (bei 3 und 11), 3/36 (bei 4 und 10), 4/36 (bei 5 und 9), 5/36 (bei 6 und 8) und 6/36 (bei Augensumme 7). Die Augensumme 7 ist somit am wahrscheinlichten zu würfeln.

Da die Augensumme 1 beim Würfeln mit zwei Würfeln nicht erreicht werden kann, ist deren

Wahrscheinlichkeit 0/36, also ein unmögliches Ereignis (vgl. ebd.).

- Fachdidaktische Analyse

Die SuS werden in ihrem alltäglichen Leben bereits mit stochastischen Erscheinungen (statistische Daten, Wahrscheinlichkeitsaussagen, Spiele mit Zufallsgeneratoren u.a.) konfrontiert. Daher ist es Aufgabe der Schule an diese Erfahrungen oder auch Fehlvorstellungen der Kinder anzuknüpfen und ein Grundverständnis für das Phänomen „Zufall“ aufzubauen (vgl. Eichler 2010, S. 9). Kinder sind intrinsisch motiviert sich spielerisch mit dem Sachverhalt auseinanderzusetzen (vgl. ebd., S. 8). Da die Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs Zeit benötigt sollten die SuS bereits in der Grundschule die Möglichkeit bekommen, „Kenntnisse über den Zufall zu erwerben und damit langfristig zu der Überzeugung zu kommen, dass der Zufall kalkulierbar ist und dass zufällige Ereignisse mit mathematischen Mitteln modelliert werden können“ (Walther u.a. 2008, S. 141).

In der vorliegenden Stunde sollen die SuS, durch die Ergebnisse eines Würfelspiels, auf empirisch-statistischem Wege erfahren, dass die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse beim Würfeln mit zwei Würfeln und der entsprechenden Summenbildung unterschiedlich ist. Das Würfelspiel als Zufallsexperiment bietet sich zum Einsatz in der Unterrichtsstunde an, da Würfelspiele Teil der kindlichen Umwelt sind, durch handlungsorientierten Umgang stochastische Erfahrungen gesammelt und geordnet werden können (vgl. Berlinger 2011, S. 32).

In der Stunde sollen folgende prozessbezogene Kompetenzen vertieft und weiterentwickelt werden.

Problemlösen: Um die Entdeckung des Zufallsexperiments zu begründen, sollen nun alle Kombinationsmöglichkeiten für die Summe zweier Würfelzahlen herausgefunden werden. Hier sollen die SuS unterschiedliche Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.B. heuristische Strategien: freies Probieren, kombinatorisches Durchforsten aller Möglichkeiten, Zerlegen von Teilproblemen).

- Um anschließend die gefundenen Ergebnisse auf die Ausgangssituation zu übertragen, wird geklärt welche Augensummen nun am wahrscheinlichsten sind. Gerade in der Begründung können dann Begriffe wie „sicher“ oder „unmöglich“ (Wortspeicher) benutzt werden, um die Wahrscheinlichkeiten zu beschreiben.

Darstellen/ Kommunizieren: In der Erarbeitungsphase sollen die SuS ihre Ergebnisse in Form einer Tabelle darstellen. In der Reflexionsphase sind die SuS gefordert ihre Vorgehensweisen zu beschreiben, andere zu verstehen und gemeinsam darüber zu reflektieren

Auch in den Bildungsstandarts werden inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen in dem Bereich „Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten“ aufgeführt. Es geht um das Erfassen und Beschreiben von Daten und das Vergleichen von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten (vgl. Kultusministerkonferenz 2004). Der Umgang mit Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten als eine der vier inhaltsbezogenen Kompetenzen ist somit auch fester Bestandteil des Lehrplans. Es soll sichergestellt werden, dass die Kinder Daten „in Bezug auf konkrete Fragestellungen [auswerten, sowie] die Wahrscheinlichkeiten einfacher Ereignisse“ (MSW 2008, S. 18) einschätzen lernen. Die SuS sollen „die Wahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen“ (ebd.) beschreiben können und Grundbegriffe wie „sicher, wahrscheinlich, unmöglich, immer, häufig, selten, nie“ (ebd.) verwenden. Zudem geben die Kompetenzerwartungen die Anzahlbestimmung einfacher kombinatorischer Fragestellungen an und die Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten hinsichtlich des Eintritts eines Ereignisses (vgl. ebd.).

Die SuS können die bislang vorgestellten Aufgaben nach dem EIS-Prinzip nach Bruner^[3] auf allen drei Niveaus erschließen. In der Stunde führen die Kinder zunächst ein Würfelspiel durch (enaktiv), zeichnen gefundene Kombinationsmöglichkeiten auf (ikonisch – z.B. durch Würfelbilder) und in der Reflexion werden die Ergebnisse dann auf symbolischer Ebene dargestellt (z.B. durch Plus-Aufgaben).

Das fachdidaktische Prinzip des aktiv-entdeckenden Lernens wird ermöglicht durch eine herausfordernde Aufgabenstellung, die durch Probieren oder systematisches Vorgehen, eine eigenaktive Auseinandersetzung mit dem Problem fordert.

Um eine natürliche Differenzierung zu ermöglichen und der Heterogenität in der Klasse gerecht zu werden, ist die Lernaufgabe offen formuliert. So sind unterschiedliche Vorgehensweisen oder die gefundene Anzahl an Lösungen möglich. Das Arbeitsblatt 2 lässt den SuS einen eigenständigen Lösungsweg offen. Die Kinder, die noch Hilfestellungen bei der Lernaufgabe benötigen, können sich selbstständig für eine Tippkarte entscheiden.

Das Prinzip der Strukturorientierung unterstreicht, „dass mathematische Aktivität häufig im Finden, Beschreiben und Begründen von Mustern besteht“ (MSW 2008, S.18). Dieses Prinzip äußert sich in der Stunde darin, dass die Kinder eine gewisse Anzahl von Würfelkombinationen finden sollen und ihr Vorgehen dabei beschreiben sowie begründen sollen.

- Analyse der Lernaufgabe

Zunächst machen die SuS die Entdeckung, dass die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse beim Würfeln mit zwei Würfeln und der entsprechenden Summenbildung unterschiedlich ist. Um diese Entdeckung begründen zu können, sollen nun alle Kombinationsmöglichkeiten für die Augensummen gefunden werden.

Im Folgenden soll die Lernaufgabe anhand der Anforderungsbereiche analysiert werden (vgl. Blum 2006).

A1 (Reproduzieren): Den SuS ist das Würfelspiel (mit einem Würfel) als Zufallsexperiment bereits bekannt und sie können die Zufallsergebnisse in Tabellen festhalten und auswerten.

A2 (Zusammenhänge herstellen): Die SuS erkennen, dass es für die häufiger auftretenden Zahlen immer mehrere Wurfmöglichkeiten gibt.

A3 (komplexe Tätigkeiten): Die SuS bekommen die Chance, alle Kombinationsmöglichkeiten herauszufinden und somit die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten der Augensummen im Würfelspiel zu begründen. Sie tauschen sich über ihre Vorgehensweise aus und erläutern diese. Die Frage nach der wahrscheinlichsten Augensumme, fordert mathematisches Argumentieren und die Überprüfung der eigenen Strategie.

Auf diese Weise werden die SuS an die Erhebung von Daten und die Bestimmung von Eintrittswahrscheinlichkeiten herangeführt. So erfahren sie, dass Glücksspiele nicht nur vom Zufall abhängig, sondern (mathematisch) berechenbar sind.

In der folgenden Unterrichtsstunde sollen die SuS zur Vertiefung ein Würfelspiel eigenständig gestalten und durch das richtige Einschätzen der Wahrscheinlichkeiten das Spiel gewinnen können.

- Besondere Informationen zur Lerngruppe

Das Leistungsniveau der 3c ist heterogen.

Drei Kinder mit besonderem Förderbedarf erfahren derzeit Unterstützung von einer Sonderpädagogin, die sie im Fach Mathematik auf ihrem Niveau, durch geeignetes Material entsprechend fördert.

Bei xxx wurde ein Förderbedarf im Bereich Lernen festgestellt. Bei xxx wird Dyskalkulie vermutet und sie arbeiten ebenfalls an differenziertem Anschauungsmaterial im Unterricht mit. Sie arbeiten gerade an der Zahlraumerweiterung bis 100 und verwenden Hilfsmittel zum Rechnen. Es fällt ihnen oftmals leichter in Partnerarbeit mathematische Probleme zu lösen. So kommt ihnen die Lernaufgabe der Unterrichtsstunde entgegen.

Erhebung der Lernvoraussetzungen für die konkrete Stunde

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] SuS= Schülerinnen und Schüler, diese Abkürzung soll im Folgenden vorgenommen werden

^[2] s. online im Internet: http://images.onlinemathe.de (15.11.2014)

^[3] Bruner, J. & Oliver, R. & Marks Greenfield, P.:Studien zur kognitiven Entwicklung. Stuttgart: Kohlhammer. 1988.