Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Schätzung modellfreier impliziter Momente der Verteilung eines Wertpapieres unter dem risikoneutralen Maß. Modellfreie implizite Momente benötigen bei der Berechnung im Gegensatz zu den (üblichen) Black-Scholes-Volatilitäten keine entsprechenden Modellannahmen.
In dieser Arbeit werden numerische Methoden werden vorgestellt um die Momente aus Preisen von Put- und Call-Optionen zu verschiedenen Ausübungspreisen des zugrundeliegenden Wertpapiers zu schätzen. Anhand simulierter Daten wird aufgezeigt, welche Fehlerquellen existieren und wie stark sich diese auf das Ergebnis auswirken. Eine Anwendung der Methode auf DAX-Optionen rundet die Arbeit ab.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einführung
- 2 Modellfreie implizite Momente
- 2.1 Volatilität
- 2.2 Schiefe und Wölbung
- 3 Numerische Verfahren
- 3.1 Interpolation
- 3.2 Numerische Integration
- 3.2.1 Rechteckregel
- 3.2.2 Trapezregel
- 3.2.3 Simpsonregel
- 3.2.4 Gauß-Quadratur
- 4 Berechnung impliziter Momente
- 4.1 Simulierte Daten
- 4.1.1 Truncation Error
- 4.1.2 Diskretisierungsfehler
- 4.2 DAX-Optionen
- 4.1 Simulierte Daten
- 5 Diskussion
- 6 Fazit
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Seminararbeit untersucht die Eignung verschiedener numerischer Verfahren zur Berechnung modellfreier impliziter Momente, insbesondere der Volatilität, Schiefe und Wölbung, aus Optionspreisen. Das Hauptziel ist es, die Genauigkeit und Effizienz dieser Verfahren zu evaluieren und potenzielle Fehlerquellen zu identifizieren.
- Modellfreie implizite Momente und ihre Berechnung
- Numerische Verfahren zur Integration und Interpolation
- Analyse von Approximationsfehlern (Diskretisierungsfehler, Truncation Error)
- Anwendung auf simulierte und reale Marktdaten (DAX-Optionen)
- Vergleich verschiedener numerischer Methoden
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Die Arbeit behandelt die Herausforderung der ex-ante-Vorhersage von Wertpapierentwicklungen und die Rolle von Optionspreisen bei der Implikation von Risikomomenten. Sie kritisiert modellbasierte Ansätze wie das Black-Scholes-Modell aufgrund von Annahmenverletzungen (z.B. Normalverteilung der Returns) und der Beobachtung von „Volatility Smiles“. Die Arbeit führt in die modellfreien impliziten Momente ein und beschreibt deren Berechnung als nicht-parametrisches Verfahren, das auf Arbeiten von Breeden & Litzenberger (1978), Britten-Jones & Neuberger (2000) und Jiang & Tian (2005) aufbaut. Der Fokus liegt auf der Notwendigkeit numerischer Verfahren aufgrund des Mangels an geschlossenen Lösungen.
2 Modellfreie implizite Momente: Dieses Kapitel erläutert die theoretischen Grundlagen modellfreier impliziter Momente. Ausgehend von der Annahme eines vollständigen Finanzmarktes ohne Arbitragemöglichkeiten, wird gezeigt, wie die Momente der risikolosen Verteilung (Volatilität, Schiefe, Wölbung) implizit aus Optionspreisen abgeleitet werden können. Es wird auf die Herleitung der impliziten Volatilität nach Britten-Jones & Neuberger (2000) und deren Erweiterung durch Jiang & Tian (2005) auf Jump-Diffusion-Prozesse eingegangen. Die zentrale Gleichung (1) und ihre Modifikation für die praktische Anwendung (Gleichung 2) werden vorgestellt, wobei die Herausforderungen durch die endliche Anzahl von Ausübungspreisen im Markt betont werden.
3 Numerische Verfahren: Das Kapitel beschreibt verschiedene numerische Verfahren der Interpolation und Integration, die für die Berechnung der impliziten Momente notwendig sind, da keine geschlossene Lösung existiert. Es werden die Rechteckregel, Trapezregel, Simpsonregel und Gauß-Quadratur vorgestellt, jeweils mit ihren Vor- und Nachteilen und den damit verbundenen Approximationsfehlern. Diese Methoden bilden die Grundlage für die empirische Analyse in den folgenden Kapiteln.
4 Berechnung impliziter Momente: In diesem Kapitel werden die in Kapitel 3 vorgestellten numerischen Verfahren auf simulierte und reale Optionsdaten (DAX-Optionen) angewendet. Es wird eine detaillierte Analyse der Ergebnisse präsentiert, wobei insbesondere auf die auftretenden Approximationsfehler wie Diskretisierungsfehler und Truncation Error eingegangen wird. Der Vergleich der verschiedenen numerischen Methoden in Bezug auf Genauigkeit und Effizienz steht im Mittelpunkt.
Schlüsselwörter
Modellfreie implizite Momente, Volatilität, Schiefe, Wölbung, Optionspreise, numerische Integration, Interpolation, Rechteckregel, Trapezregel, Simpsonregel, Gauß-Quadratur, Diskretisierungsfehler, Truncation Error, DAX-Optionen, Arbitrage, vollständiger Finanzmarkt.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur Seminararbeit: Modellfreie implizite Momente
Was ist das Thema der Seminararbeit?
Die Seminararbeit untersucht die Eignung verschiedener numerischer Verfahren zur Berechnung modellfreier impliziter Momente (Volatilität, Schiefe, Wölbung) aus Optionspreisen. Ziel ist die Evaluierung der Genauigkeit und Effizienz dieser Verfahren und die Identifizierung potenzieller Fehlerquellen.
Welche Methoden werden zur Berechnung der impliziten Momente verwendet?
Die Arbeit verwendet verschiedene numerische Integrations- und Interpolationsverfahren, darunter die Rechteckregel, Trapezregel, Simpsonregel und Gauß-Quadratur. Diese werden auf simulierte und reale Marktdaten (DAX-Optionen) angewendet.
Welche Fehlerquellen werden betrachtet?
Die Analyse berücksichtigt Diskretisierungsfehler und Truncation Error, die bei der numerischen Berechnung der impliziten Momente auftreten können. Der Einfluss dieser Fehler auf die Genauigkeit der Ergebnisse wird untersucht.
Welche Daten werden verwendet?
Die Arbeit verwendet sowohl simulierte Daten als auch reale Marktdaten, konkret Optionspreise des DAX.
Welche theoretischen Grundlagen werden behandelt?
Die Arbeit basiert auf der Theorie modellfreier impliziter Momente, die aus der Annahme eines vollständigen Finanzmarktes ohne Arbitragemöglichkeiten abgeleitet wird. Es wird auf die Arbeiten von Breeden & Litzenberger (1978), Britten-Jones & Neuberger (2000) und Jiang & Tian (2005) Bezug genommen.
Welche Kapitel umfasst die Seminararbeit?
Die Arbeit gliedert sich in folgende Kapitel: Einführung, Modellfreie implizite Momente, Numerische Verfahren, Berechnung impliziter Momente, Diskussion und Fazit. Jedes Kapitel behandelt einen spezifischen Aspekt der Thematik, beginnend mit der Einführung in die Problematik und den theoretischen Grundlagen bis hin zur empirischen Analyse und Diskussion der Ergebnisse.
Welche Schlüsselwörter beschreiben den Inhalt der Arbeit?
Schlüsselwörter sind: Modellfreie implizite Momente, Volatilität, Schiefe, Wölbung, Optionspreise, numerische Integration, Interpolation, Rechteckregel, Trapezregel, Simpsonregel, Gauß-Quadratur, Diskretisierungsfehler, Truncation Error, DAX-Optionen, Arbitrage, vollständiger Finanzmarkt.
Warum werden modellfreie Ansätze verwendet?
Modellfreie Ansätze werden bevorzugt, da sie im Gegensatz zu modellbasierten Ansätzen wie dem Black-Scholes-Modell keine restriktiven Annahmen über die Verteilung der Renditen treffen (z.B. Normalverteilung). Dies ist insbesondere relevant angesichts der beobachteten „Volatility Smiles“ im Markt.
Wie werden die verschiedenen numerischen Verfahren verglichen?
Die verschiedenen numerischen Verfahren werden anhand ihrer Genauigkeit und Effizienz verglichen. Die Ergebnisse der Anwendung auf simulierte und reale Daten erlauben eine Bewertung der jeweiligen Stärken und Schwächen.
Was ist das Fazit der Seminararbeit?
(Das Fazit ist nicht explizit im FAQ enthalten, da es sich um eine Zusammenfassung der Ergebnisse handelt. Die detaillierten Ergebnisse und Schlussfolgerungen finden sich im entsprechenden Kapitel der Seminararbeit selbst.)
- Quote paper
- Rust Christoph (Author), 2015, Numerische Verfahren für die Berechnung modellfreier impliziter Momente, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/318088
