Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Schätzung modellfreier impliziter Momente der Verteilung eines Wertpapieres unter dem risikoneutralen Maß. Modellfreie implizite Momente benötigen bei der Berechnung im Gegensatz zu den (üblichen) Black-Scholes-Volatilitäten keine entsprechenden Modellannahmen.
In dieser Arbeit werden numerische Methoden werden vorgestellt um die Momente aus Preisen von Put- und Call-Optionen zu verschiedenen Ausübungspreisen des zugrundeliegenden Wertpapiers zu schätzen. Anhand simulierter Daten wird aufgezeigt, welche Fehlerquellen existieren und wie stark sich diese auf das Ergebnis auswirken. Eine Anwendung der Methode auf DAX-Optionen rundet die Arbeit ab.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Modellfreie implizite Momente
2.1 Volatilität
2.2 Schiefe und Wölbung
3 Numerische Verfahren
3.1 Interpolation
3.2 Numerische Integration
3.2.1 Rechteckregel
3.2.2 Trapezregel
3.2.3 Simpsonregel
3.2.4 Gauß-Quadratur
4 Berechnung impliziter Momente
4.1 Simulierte Daten
4.1.1 Truncation Error
4.1.2 Diskretisierungsfehler
4.2 DAX-Optionen
5 Diskussion
6 Fazit
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht numerische Verfahren zur Berechnung von modellfreien impliziten Momenten, wie Volatilität, Schiefe und Wölbung, um die Genauigkeit bei der Bestimmung dieser Kennzahlen aus begrenzten Marktdaten zu verbessern und Approximationsfehler zu minimieren.
- Theoretische Fundierung modellfreier impliziter Momente
- Einsatz von Interpolations- und Integrationsverfahren
- Analyse von Truncation-Error und Diskretisierungsfehlern
- Evaluierung der Verfahren mittels simulierter Daten und DAX-Optionen
Auszug aus dem Buch
3.1 Interpolation
Kennt man nur einzelne Auswertungspunkte einer analytisch nicht bekannten Funktion, möchte diese jedoch an beliebiger Stelle auswerten, greift man auf Interpolationsverfahren zurück, um diese Funktion zwischen den vorliegenden Punkten zu approximieren. Allgemein besteht ein solches Interpolationsproblem darin, für eine Ansatzfunktion Φ(x, a0, ..., an) die n + 1 Parameter aj, j = 0, 1, ..., n, so zu wählen, dass für n + 1 gegebene Wertepaare (xi, fi) reeller (bzw. komplexer) Zahlen gilt, dass Φ(xi, a0, ..., an) = fi.
Übliche Interpolationsverfahren sind u.a. lineare Interpolation, Polynominterpolation und stückweise Interpolation. Die lineare Interpolation verbindet zwei Punkte durch eine Gerade und ist dadurch sehr einfach zu berechnen, vernachlässigt allerdings Informationen aus weiteren Punkten und ist – wenn die wahre Funktion nicht linear ist – eine recht grobe Approximation. Bei der Polynominterpolation wird das durch die n + 1 Datenpunkte laufende eindeutige Polynom n-ten Grades als Interpolant verwendet. Nachteilig hierbei ist, dass die Funktion für steigendes n immer instabiler wird. Abhilfe schafft hier, die Funktion stückweise durch Polynome zu interpolieren. Stückweise Polynome n-ter Ordnung, die n − 2 mal stetig differenzierbar sind, nennt man auch Splines bzw. das Verfahren Spline-Interpolation. Dieses Verfahren hat den Vorteil, dass die resultierenden Funktionen stabil und abhängig vom Grad der Interpolanten hinreichend glatt sind.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einführung: Die Einleitung motiviert die Problematik der modellfreien Momentenschätzung und erläutert die Grenzen klassischer Modelle wie Black-Scholes.
2 Modellfreie implizite Momente: Dieses Kapitel legt die theoretische Basis zur Berechnung von Volatilität, Schiefe und Wölbung unter dem risikoneutralen Maß.
3 Numerische Verfahren: Hier werden mathematische Methoden wie Interpolation und verschiedene Integrationsregeln zur praktischen Umsetzung der Momentenschätzung vorgestellt.
4 Berechnung impliziter Momente: In diesem Kapitel erfolgt die praktische Anwendung und Untersuchung der Verfahren anhand von Simulationen sowie realer DAX-Optionsdaten.
5 Diskussion: Es erfolgt eine kritische Reflexion der Ergebnisse sowie ein Ausblick auf mögliche Erweiterungen und Instabilitäten.
6 Fazit: Das Kapitel fasst die zentralen Erkenntnisse zusammen und bestätigt die Eignung der untersuchten Maße für die Risikobewertung.
Schlüsselwörter
Modellfreie implizite Momente, Volatilität, Schiefe, Wölbung, Numerische Integration, Interpolation, Splines, Jump-Diffusion-Modell, Optionspreis, Truncation Error, Diskretisierungsfehler, Risikomanagement, DAX-Optionen, Finanzmarkt, Modellfreie Schätzung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundlegend?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Berechnung von modellfreien impliziten Momenten (Volatilität, Schiefe, Wölbung) aus Optionspreisen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der theoretischen Herleitung, der Wahl geeigneter numerischer Verfahren zur Approximation und der Fehleranalyse bei begrenzten Daten.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Ziel ist es, Methoden vorzustellen und zu untersuchen, wie gut sich numerische Verfahren wie Interpolation und Integration für die genaue Berechnung dieser Momente eignen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden nicht-parametrische Verfahren wie Spline-Interpolation, Trapezregel, Simpsonregel und Gauß-Quadratur angewandt, um aus diskreten Optionsmarktdaten kontinuierliche Verteilungsmaße zu schätzen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil behandelt die theoretischen Grundlagen der Momente, die numerischen Berechnungsmethoden sowie deren Validierung anhand simulierter Merton-Jump-Diffusion-Daten und realer DAX-Optionsdaten.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Schlüsselbegriffe sind modellfreie Momente, numerische Integration, Interpolation, Truncation Error und Risikomanagement.
Warum spielt der Truncation Error eine so wichtige Rolle?
Der Truncation Error entsteht, da in der Praxis kein Kontinuum an Ausübungspreisen vorliegt; die Arbeit zeigt, dass dieser Fehler einen wesentlichen Teil der Ungenauigkeit verursacht.
Was ist das Ergebnis der Untersuchung von DAX-Optionen?
Die Untersuchung zeigt, dass die Verfahren valide Ergebnisse liefern und sich insbesondere das Extrapolationsverfahren zur Genauigkeitssteigerung bei begrenzten Datenintervallen bewährt.
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- Rust Christoph (Author), 2015, Numerische Verfahren für die Berechnung modellfreier impliziter Momente, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/318088
