Bevor der Taschenrechner kam. Berechnungshilfsmittel früherer Zeiten bis zu den Taschenrechnern

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung
1.1. Wie habt ihr denn früher gerechnet?
1.2. Geschichtliches

2. Römische Zahlen
2.1. Römischen Zahlzeichen
2.2. Aufbau und Schreibweise der römischen Zahlen
2.3. Beispiele
2.3.1. Beispiele für Additionsschreibweise:
2.3.2. Beispiele für Subtraktionsschreibweise:
2.3.3. Beispiele für größere Zahlen:

3. Dezimalzahlen

4. Abakus
4.1. Allgemeine Beschreibung
4.2. Das Rechenbrett (Abakus) der Römer
4.3. Prinzip des Abakus

5. Kurbelrechenmaschinen
5.1. Geschichtliches
5.2. Bauweise der Kurbelrechenmaschinen
5.3. Das Arbeiten mit der Kurbelrechenmaschine
5.4. Wurzelziehen mit der Kurbelrechenmaschine
5.4.1. Iterative Methode
5.4.2. Direktes Wurzelziehen

6. Allgemeine mathematische Zahlentafeln

7. Logarithmentafeln
7.1. Warum Logarithmen?
7.1.1. Geschichtliches
7.1.2. Grundlagen der Logarithmen
7.1.3. Logarithmentafel mit fünfstelligen Logarithmen
7.1.4. Beispiel für eine logarithmische Berechnung:
7.2. Werte in den Zahlentafeln
7.3. Wie werden die Werte für die Zahlentafeln berechnet?

8. Der logarithmische Rechenschieber
8.1. Geschichtliches
8.2. Beschreibung des Rechenschiebers
8.2.1. Das Prinzip der Streckenaddition
8.2.2. Bauweise des logarithmischen Rechenschiebers
8.2.3. Die Rechenschieber-Systeme
8.2.4. Die Skalen
8.2.5. Einstellung des Rechenschiebers
8.3. Die Anwendung des Rechenschiebers
8.3.1. Aufgaben
8.3.2. Das Ergebnis
8.3.3. Früher unentbehrlich in Wissenschaft und Technik

9. Addiator

10. Programmgesteuerte Rechenmaschinen
10.1. Geschichtlicher Überblick
10.2. Der Aufbau der elektronischen Rechner
10.3. Rechner mit integrierten Schaltkreisen

11. Elektronische Taschenrechner
11.1. Einfache elektronische Taschenrechner
11.2. Nicht-programmierbare Taschenrechner
11.2.1. UPN und automatischer Stack
11.2.2. Algebraische Notation
11.3. Programmierbare Taschenrechner
11.4. Genauigkeit der Berechnungen
11.4.1. Signifikante Stellen
11.4.2. Reelle Zahlen (Kommazahlen)
11.4.3. Ganze Zahlen (Integerzahlen)
11.4.4. Rundung von Zahlen

12. Schlusswort

13. Quellenangaben

14. Bilderverzeichnis

15. Sachregister

1. Einleitung

1.1. Wie habt ihr denn früher gerechnet?

Oft wird man gefragt: Wie habt ihr eigentlich früher ohne Taschenrechner gerechnet?

Jawohl, wir haben noch Rechnen mit Bleistift auf dem Papier gelernt. Wir haben Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren mit allen Tricks gelernt und angewandt. Und vor allem haben wir Kopfrechnen geübt. Manche heutigen Zeitgenossen sind ohne ihren Taschenrechner hilflos, selbst einfachste Aufgaben schaffen sie kaum durch Kopfrechnen.

Dabei zeichnet es einen jungen Menschen aus, wenn er nicht auf sein Smartphone in der Ta- sche angewiesen ist und auch unabhängig von diesem technischen Hilfsmittel frei denken und rechnen kann.

1.2. Geschichtliches

Die meisten alten Völker kannten schon Zahlensysteme und die vier Grundrechenarten:  Zusammenzählen (Addieren)

- Abziehen (Subtrahieren)
- Malnehmen (Multiplizieren)
- Teilen (Dividieren).

Später kamen höhere Rechenarten hinzu. Zu diesen zählen Potenzrechnen, Wurzelziehen und Rechnen mit Logarithmen und Winkelfunktionen.

Konnte man die vier Grundrechenarten noch mit einfachen Mitteln durchführen, so erfordern die höheren Rechenarten schon tiefere mathematische Kenntnisse und Berechnungshilfsmit- tel, die man sich erst selbst herstellen musste. Der Bau der mechanischen Rechenmaschinen klappte erst dann, als man fähig war, diese Maschinen mit der nötigen Präzision herzustellen.

Wenn Zahlen und Funktionswerte einmal berechnet worden waren, wurden sie aufgeschrie- ben und zu Tabellen zusammengestellt, damit man sie nicht immer wieder neu berechnen musste. So besaßen die Babylonier bereits Tabellen von Quadratzahlen, Potenzen und Quad- ratwurzeln. Im Laufe der Zeit kamen Primzahlen, Kubikzahlen und Kubikwurzeln dazu. Der- artige Tabellen wurden laufend erweitert und von Generation zu Generation weitergegeben. Diese Tabellen wurden bis in die Neuzeit hinein als „Allgemeine mathematische Zahlenta- feln“ in jedem Mathematikbuch und jedem technischen Tabellenwerk abgedruckt.

Im Mittelalter erfand man die Logarithmen, die man in dicken Büchern, Logarithmentafeln genannt, auflistete. Erst durch das Aufkommen der Taschenrechner wurden die genannten Tabellenwerke entbehrlich.

Die an der Entwicklungsgeschichte Interessierten finden im Buch von Friedrich Naumann „Vom Akakus zum Internet“ die Geschichte der Informatik (Lit.⁷ ). Aber auch die alten Rechenhilfsmittel sind dort eingehend beschrieben.

Nachstehend sind einige wichtige alte Berechnungshilfsmittel abgehandelt, mit denen der Verfasser früher noch gearbeitet hat.

2. Römische Zahlen

2.1. Römischen Zahlzeichen

Auch Zahlzeichen (Ziffern) sind Hilfsmittel zum Rechnen.

Die Römer schrieben die Zahlen mit ihren eigenen Zahlzeichen, den römischen Ziffern:

Tabelle 1: Römische Ziffern

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie diese Zahlzeichen entstanden sind, darüber gibt es unterschiedliche Meinungen.

Fest steht aber, dass C (= 100) dem lateinischen Wort centum (hundert) entspricht und M auf mille (tausend) hinweist.

2.2. Aufbau und Schreibweise der römischen Zahlen

1. Durch die römischen Zahlzeichen I, X, C, M werden die Grundzahlen der Basis 10 (1, 10, 100, 1000) dargestellt.
2. Durch die römischen Zahlzeichen V, L, D wird jeweils das Fünffache der ersten drei Grundzahlen (5×1, 5×10, 5×100) dargestellt.
3. Das 2- bis 4-Fache dieser Grundzahlen wird durch Wiederholung (Nebeneinander- schreiben) der entsprechenden Grundzahlen dargestellt. Die Römer ließen bis zu vier gleiche Zeichen nebeneinander zu.
4. Zur Darstellung einer römischen Zahl werden diese Zahlzeichen ohne Zwischenraum nebeneinandergeschrieben, wobei das höherwertigere links steht. Da es nur 7 Zahlzei- chen gibt, müssen größere Zahlen durch Multiplikation der Grundzahlen dargestellt werden: Ein übergesetzter Strich bedeutet das 1000-Fache und je ein Strich beidseits und über der Zahl bedeutet das 100000-Fache.
5. Die Werte aller nebeneinanderstehenden Zahlzeichen werden addiert. Dies ist die Ad- ditionsschreibweise der römischen Zahlen.
6. Ein Dezimalkomma und Nachkommastellen kannten die Römer noch nicht. Sie kann- ten nur ganze Zahlen und Brüche. Teile von ganzen Zahlen wurden durch Brüche dar- gestellt, die mit lateinischen Wörtern bezeichnet wurden.

2.3. Beispiele

2.3.1. Beispiele für Additionsschreibweise:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Alle Grundzahlen aufsummiert ergeben:

MDCLXVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 1666.

Diese Darstellungsweise wird additive Zahlendarstellung (Additionsschreibweise) genannt, weil die Einzelwerte ohne Umrechnung addiert werden. Mit den römischen Zahlzeichen (M, D, C, L, X, V, I) können nur positive ganze Zahlen dargestellt werden. Eine Null kommt nicht vor.

Um die Zahlen auf dem Papier nicht zu lang werden zu lassen, wird zusätzlich innerhalb der römischen Zahl die Subtraktionsschreibweise verwendet: Steht eine kleinere Zahl unmittelbar vor einer größeren, so ist sie von dieser abzuziehen.

2.3.2. Beispiele für Subtraktionsschreibweise:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.3.3. Beispiele für größere Zahlen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Dezimalzahlen

Der Ursprung unserer heutigen Zahlzeichen (Ziffern) ist Indien. Die Inder kannten schon im 8. Jahrhundert n. Chr. die Ziffern 1 bis 9 und die Null, die als kleiner Kreis dargestellt wurde. Mit den Arabern kamen diese Ziffern über Spanien nach Europa (arabische Ziffern genannt). Dies ermöglichte die Stellenschreibweise unseres Zählsystems (Stellenwert-Zehnersystem, auch Dezimalsystem genannt).

Das Rechnen im Zehnersystem (Dezimalsystem) war schon im Altertum bekannt. Auch das Zahlensystem der Römer ist ein Dezimalsystem.

Die Römer hatten damals ihre eigenen Zahlzeichen (siehe 2.1), unsere 10 Dezimalziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) standen ihnen noch nicht zur Verfügung. Aber sie verwendeten schon die Stellenschreibweise.

Bei dieser Stellenschreibweise ist es von Bedeutung, wo die Ziffer innerhalb der Zahl steht (Positionssystem, Stellenwertsystem).

Eine Dezimalzahl wird durch Nebeneinanderschreiben von Ziffern dargestellt. Je nachdem, an welcher Stelle eine Ziffer innerhalb der Zahl steht, repräsentiert sie das entsprechende Vielfache des betreffenden Stellenwerts.

Der Stellenwert jeder Ziffer kann in Potenzschreibweise mit Basiszahl (10) und Exponenten angegeben werden.

Beispiel:

Dezimalzahl 876,54 in Stellenschreibweise:

Die Ziffer 6 steht an erster Stelle links vom Komma, sie zeigt das Sechsfache des Stellenwerts 1 (Einer-Stelle) an: 6 × 1 = 6.

Die Ziffer 7 steht an zweiter Stelle links vom Komma, sie zeigt das Siebenfache des Stellenwerts 10 (Zehnerstelle) an: Also repräsentiert sie den Wert 7 × 10 = 70.

Die Ziffer 8 steht an dritter Stelle links vom Komma, sie zeigt das Achtfache des Stellenwerts 100 (Hunderterstelle) an: Also repräsentiert sie den Wert 8 × 100 = 800.

Stellen rechts vom Komma repräsentieren Dezimalbrüche:

an der ersten Kommastelle den Wert 10-¹ =¹ /10 ,

an der zweiten Kommastelle den Wert 10-² =¹ /100 .

Tabelle 2: Stellenschreibweise einer Dezimalzahl

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Zahlenwert ergibt sich aus der Summierung der Produkte aus Stellenwert und Ziffernwert jeder Stelle: 8 × 10² + 7 × 10¹ + 6 × 10⁰ + 5 × 10-¹ + 4 ×10-² = 876,54. Dieser Zahlenwert wird durch die Schreibweise 876,54 direkt ausgedrückt, ohne dass gerechnet werden muss.

4. Abakus

4.1. Allgemeine Beschreibung

Der Abakus als Hilfsgerät für die vier Grundrechenarten ist seit Jahrtausenden bekannt. Ursprünglich wurden Steinchen (lat.: calculi) auf einem Brett (Rechenbrett) verwendet, später wurden kunstvolle Geräte daraus. Im Orient heißt er Suapan.

Dort wird er heute noch verwendet. Es gibt die verschiedensten Modelle des Abakus, die sich in Größe und Materialqualität unterscheiden.

Bild 1: Abakus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 1 zeigt einen chinesischen Abakus in Messingausführung auf Marmorplatte, 80 × 45 mm groß. Der Abakus im Bild zeigt die Zahl 1986.

In der Bedienungsanleitung[3] aus dem Jahre 1972 ist zu lesen (Zitat):

Er ist eine Rechenmaschine der einfachsten Form. Obwohl er nicht ein so hervorragender ‚Diener‘ ist wie eine moderne Maschine, so ist er doch viel billiger. Jede chinesische Firma, nahezu jeder einzelne Chinese, ob arm oder reich, ob jung oder alt, besitzt einen. Der chinesische Abacus addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert auf eine einfache und schnelle, aber doch genaue Weise. Nur die Kugeln sind zu bewegen. Die Wissenschaft des Abacus kann über Nacht gelehrt werden, sein Gebrauch ist eine Kunst. Er benötigt viel Übung. Sicherheit kommt durch dauernden Gebrauch ... (Zitatende).

Der Abakus ist eine praktische Vorrichtung, mit der schnell addiert und subtrahiert werden kann. Multiplikationen werden durch wiederholte Additionen, und Divisionen durch wiederholte Subtraktionen für jede Stelle der Zahl ausgeführt.

Nach der Einführung der Taschenrechner sind Schnelligkeits- und Genauigkeitswettbewerbe zwischen Taschenrechnern und Abakus durchgeführt worden. Aufgaben mit Kettenrechnungen, also mehreren hintereinander auszuführenden Vorgängen, waren zu bewältigen. Der Abakus gewann. Nachteile hat er bei Multiplikationen und Divisionen, die etwas aufwendiger sind als Additionen und Subtraktionen.

4.2. Das Rechenbrett (Abakus) der Römer

Obwohl die römischen Zahlen für das Rechnen auf dem Papier nicht vorteilhaft sind, so ist das Zahlensystem der Römer doch ein vollwertiges Dezimalsystem (Zehnersystem).

Um das Rechnen zu vereinfachen und zu mechanisieren, haben die Gelehrten den Abakus (lat.: abacus Rechenbrett, Rechentisch, Abakus) entwickelt, auf dem die Zahlen übersichtlich durch senkrechtes und waagrechtes Nebeneinanderlegen von Steinchen (lat.: calculus, Steinchen, Rechenstein, Rechnung) dargestellt werden können. Von diesen Steinchen (Plural), lat. calculi, leitet sich auch das Wort „kalkulieren“ ab.

Der Abakus ist ein Rechengerät, das für das Rechnen mit Stellenwerten gut geeignet ist. Für dieses Gerät ist es unerheblich, mit welcher Art Ziffern eine Zahl auf dem Papier darstellt wird.

Mit dem Abakus lassen sich die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) durchführen.

Das Rechnen mit römischen Zahlen mag zwar auf dem Papier beschwerlich sein, mit dem Abakus lässt es sich wesentlich vereinfachen und beschleunigen, weil anstatt mit Ziffern nur mit Vielfachen der Stellenwerte gerechnet wird. Die Handhabung des Abakus muss erlernt werden, dafür gab es eigene Rechenlehrer (lat.: calculator, Rechenlehrer).

Ursprünglich wurde mit Steinchen auf einem Brett gerechnet, später wurden Geräte gebaut, die in der Tasche Platz hatten (siehe Bild 1). Dieser Abakus war der Vorläufer eines einfachen Taschenrechners.

4.3. Prinzip des Abakus

Im Prinzip genügen, wenn kein Gerät zur Hand ist, einige Striche im Sand und einige Stein- chen. Senkrechte Striche dienen als Kennzeichnung der Stellen und ein gerader Stock dient als waagrechte Trennlinie (Querbalken) zwischen den Fünfer- und Einergruppen. Für jede Dezimalstelle werden 7 Steinchen verwendet, zwei Fünfer-Steinchen über dem Querbalken und fünf Einer-Steinchen unter dem Querbalken. Dadurch kann der Abakus für jedes Dezi- malsystem verwendet werden.

Beim Abakus werden die Zahlenwerte nach folgender Tabelle zugeordnet, wobei die dicke Linie den Querbalken darstellt. Die Stellenzahl kann beliebig nach links erweitert werden.

Tabelle 3: Stellenwerte beim Abakus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Steinchen oberhalb des Querbalkens stellen die fünffachen Werte der unterhalb des Querbalkens befindlichen Steinchen dar.

In der Einerstelle stehen unten die Einer und oben die Fünfer, in der Zehnerstelle stehen unten die Zehner und oben die Fünfziger, für die weiteren Stellen gilt dasselbe Prinzip der Zehnerpotenzen (unten) und ihres Fünffachen (oben).

Wenn die Steinchen am Querbalken anliegen, haben sie den zugewiesenen Wert, liegen sie außen (vom Querbalken nach oben oder unten abgerückt), werden sie nicht gezählt, haben al- so den Wert null. Beim Rechnen ergibt sich ein Übertrag in die nächsthöhere Stelle, wenn die Stelle „überläuft“. Reicht die Stellenanzahl nicht aus, können mehrere dieser Geräte nebenei- nander gelegt werden.

5. Kurbelrechenmaschinen

Kurbelrechenmaschinen beherrschen die 4 Grundrechenarten.

5.1. Geschichtliches

In der folgenden Tabelle werden einige Meilensteine in der Entwicklung der mechanischen Rechenmaschinen aufgezeigt.

Tabelle 4: Entwicklung der mechanischen Rechenmaschinen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jahr Ereignis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5.2. Bauweise der Kurbelrechenmaschinen

Das Prinzip des Abakus, Multiplikationen durch wiederholte Additionen und Divisionen durch wiederholte Subtraktionen auszuführen, gilt auch für die Kurbelrechenmaschinen.

Bild 2 zeigt die sechzehnstellige Kurbelrechenmaschine Walther WSR 160 (WSR = Walther Schnellrechenmaschine) aus dem Jahre 1963. Diese Maschine wurde damals als Schnellrechenmaschine bezeichnet (Lit.[4]), weil sie über die roten Tasten eine Rückübertragung des berechneten Ergebnisses in das Einstellwerk ermöglicht. Dadurch wird bei Kettenrechnungen die Eingabe des vorher berechneten Ergebnisses eingespart.

Im Einstellwerk wird je einen Einstellhebel und für das Ergebniswerk je ein Zahnrad mit den Ziffern 0 bis 9 für jede Stelle verwendet. Bei jeder Kurbelumdrehung vorwärts erfolgt eine Addition und bei jeder Kurbelumdrehung rückwärts eine Subtraktion. Das heißt, bei jeder Kurbelumdrehung wird die Zahl im Ergebniswerk verändert, entsprechend der im Einstellwerk vorhandenen Einstellung. Bei Multiplikation und Division ist der Schlitten, der den Umdrehungszähler und das Ergebniswerk enthält, um eine Stelle zu verschieben. Dies geschieht mit den Tasten neben der Kurbel.

Bei Multiplikation ist die Anzahl der Kurbelumdrehungen von der Quersumme des Multipli- kators abhängig. Zum Beispiel sind bei der Multiplikation mit der Zahl 789 insgesamt 7 + 8 + 9 = 24 Kurbelumdrehungen notwendig. Zusätzlich ist für jede Dezimalstelle eine Schlittenverschiebung notwendig. Man kann auch den Umdrehungszähler auf „790“ kurbeln und dann bei den Einern eine Kurbelumdrehung rückwärts durchführen, sodass auch wieder „789“ im Umdrehungszähler steht, aber nur 17 Kurbelumdrehungen erforderlich sind.

Bild 2: Walther-Kurbelrechenmaschine WSR 160

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 3 zeigt das Innere dieser Maschine.

Bild 3: Ansicht der inneren Mechanik der Walther WSR160

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5.3. Das Arbeiten mit der Kurbelrechenmaschine

Das Rechnen mit den Kurbelrechenmaschinen, kurz „Kurbelmaschinen“ genannt, ist eine lärmerzeugende Arbeit. Der Lärmpegel ist so hoch wie bei einer Schreibmaschine. Die HandKurbel wurde später durch einen kleinen Elektromotor ersetzt. Durch entsprechenden Tastendruck wurde die Vorwärts- bzw. Rückwärtsumdrehung des Motors gestartet. Dadurch stieg der Lärmpegel, weil die innere Mechanik der Maschinen gleich geblieben war und diese nun durch den Motor schneller bewegt wurde. Zur Vermeidung von Körperschall auf den Tisch sollte man eine Gummidecke oder Ähnliches darunter legen.

Bild 4: Prinzip der Kurbelrechenmaschine

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel:

Bild 4 zeigt (hier nur 9-stellig) den Berechnungsvorgang für die Multiplikation 1234 · 12.

Berechnungsvorgang für 1234 · 12

a) Mit den Ziffernhebeln wird die Zahl 1234 im Einstellwerk eingestellt.
b) Umdrehungszähler und Ergebniswerk werden über den unteren roten Hebel auf null gestellt.
c) Mit einer Kurbelumdrehung erhöht sich der Umdrehungszähler an der mit blauem Dreieck markierten Dezimalstelle auf den Wert 1. Im Ergebniswerk erscheint gleich- zeitig das Zwischenergebnis 1234.
d) Mit der zweiten Kurbelumdrehung erhöht sich der Umdrehungszähler an der mit blau- em Dreieck markierten Dezimalstelle auf den Wert 2. Im Ergebniswerk erscheint gleichzeitig das Zwischenergebnis 2468.
e) Für die Zehnerstelle des Umdrehungszählers muss der Schlitten (blau umrandet) um eine Stelle nach rechts verschoben werden.
f) Die dritte Kurbelumdrehung bewirkt die Erhöhung der Zehnerstelle des Umdrehungs- zählers um 1. Im Ergebniswerk erscheint das Ergebnis 1234 · 12 = 12340 + 2468 =14808.

5.4. Wurzelziehen mit der Kurbelrechenmaschine

Auch Wurzelziehen ist mit der Kurbelrechenmaschine möglich. Dafür gibt es zwei Verfahren:

5.4.1. Iterative Methode

Bei der iterativen Methode ist der Wurzelwert zu schätzen und mit dem geschätzten Wert die Probe auf der Maschine zu machen. Ist das Ergebnis der Probe zu groß oder zu klein, wird der Wert der geschätzten Wurzel angepasst und der Vorgang so oft wiederholt, bis die erwünschte Genauigkeit erreicht ist.

Das funktioniert nicht nur bei Quadratwurzeln, sondern auch bei dritten und höheren Wurzeln. Es ist eine mühsame Arbeit, auf diese Weise Wurzeln zu berechnen.

5.4.2. Direktes Wurzelziehen

Speziell für die Quadratwurzel gibt es ein direktes Verfahren für die Kurbelrechenmaschine nach Prof. Töpler. Dieses beruht auf der Tatsache, dass beim fortlaufenden Addieren der ungeraden Zahlen 1 + 3 + 5 + ... immer eine Quadratzahl herauskommt. Die Summe aus den ersten n ungeraden Zahlen >0 ergibt immer n².

Beispiel: Die ersten 9 ungeraden Zahlen aufsummiert:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 9² = 81.

Bild 5 zeigt den Aufbau der Quadrate aus den ungeraden Zahlen. Die farblich unterschiedlich hinterlegten Felder haben die am unteren Rand angegebene Anzahl von Einheitsquadraten, die jeweils oben und rechts an das vorhandene Quadrat angefügt werden.

Begonnen wird mit der ungeraden Zahl n = 1.

Die jeweils nächste Quadratzahl wird nach der Formel gebildet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2n+1 ist immer eine ungerade Zahl.

[...]