Das traditionelle Zahlensystem gilt als wichtigste Grundlage in der Mathematik. Der Aufbau dieses Zahlensystems beginnt seit dem Ende des 19. Jahrhunderts bei den natürlichen Zahlen. Diese werden dann schrittweise zu den ganzen, den rationalen, den reellen bis hin zu den komplexen Zahlen erweitert. Die Schulmathematik umfasst im besten Fall das Zahlensystem bis hin zu den komplexen Zahlen. In dieser Arbeit wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, ob es jenseits der komplexen Zahlen noch andere Zahlbereiche zu konstruieren gibt und inwieweit diese noch sinnvoll sind. Diese hyperkomplexen Zahlbereiche werden seit Beginn des 20. Jahrhunderts reelle Algebren genannt.
Möchte man sich analog zu den komplexen Zahlen, die einen zweidimensionalen reellen Vektorraum bilden, höherdimensionale reelle Vektorräume zu hyperkomplexen Zahlbereichen machen, muss man entweder die Endlichkeit der Dimension aufgeben oder aber auf vertraute Körperaxiome wie die der Kommutativität oder der Assoziativität oder gar auf die Möglichkeit der Division verzichten. In dieser Arbeit werden wir uns auf die endlichdimensionalen Divisionsalgebren beschränken. Dies bedeutet, dass wir an der Endlichkeit der Dimension und der Möglichkeit der Division festhalten werden. Sollten wir diese Eigenschaften aufgeben, so würden wir von einer Masse neuer Zahlbereiche erschlagen werden.
Diese neuen Zahlbereiche werden Eigenschaften aufweisen, die uns auf den ersten Blick merkwürdig vorkommen. Der _Vollständigkeitssatz_ der reellen Zahlen beinhaltet vomWort her schon eine gewisse _Vollständigkeit_ des Zahlbereichs. Wir werden feststellen, dass, je weiter man sich von den reellen Zahlen entfernt, immer mehr uns vertraute Eigenschaften verloren gehen und in diesem Zusammenhang deutlich machen, welche Kuriositäten mit deren Wegfall einhergehen.
Hamilton schuf im Jahre 1843, nachdem er die komplexen Zahlen als erster rein arithmetisch begründet hatte, den vierdimensionalen Schiefkörper H der Quaternionen. Kurz darauf konstruierten Graves und Cayley die achtdimensionale Divisionsalgebra O der Oktonionen. Die Quaternionen sind bezüglich der Multiplikation nicht mehr kommutativ und bei den Oktonionen ist zusätzlich noch die Assoziativität verletzt. Bei beiden Zahlbereichen ist jedoch die Division noch eindeutig ausführbar.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1 Die komplexen Zahlen
1.1 Die Entstehungsgeschichte der komplexen Zahlen
1.2 Die Konstruktion der komplexen Zahlen C
1.2.1 Definition der komplexen Zahlen
1.2.2 Die imaginäre Einheit i
1.2.3 Geometrische Veranschaulichung von C
1.2.4 Nichtanordbarkeit von C
1.2.5 Die Vollständigkeit von C
1.3 Der Zwei-Quadrate-Satz
1.4 Axiomatische Charakterisierung von C
1.4.1 Die Existenz einer Nullstelle
1.4.2 Die Einzigkeit von C
2 Hamiltonsche Quaternionen H
2.1 Die Entstehungsgeschichte der Quaternionen
2.2 Die Konstruktion der Quaternionen H
2.2.1 Die Divisionsalgebren
2.2.2 Der Schiefkörper H der Quaternionen
2.3 Alternative Beschreibung der Quaternionen
2.4 Der Vier-Quadrate-Satz
2.5 Axiomatische Charakterisierung von H
2.5.1 Zur Nichtkommutativität von H
2.5.2 Der Satz von Frobenius
2.6 Anwendungsmöglichkeiten der Quaternionen
2.6.1 Die Quaternionen in den Naturwissenschaften
2.6.2 Die Quaternionen und die 3-dimensionale euklidische Geometrie
3 Die Divisionsalgebra O der Cayley-Zahlen
3.1 Die Entstehungsgeschichte der Oktonionen
3.2 Die Konstruktion der Oktonionen O
3.3 Der Acht-Quadrate-Satz
3.4 Axiomatische Charakterisierung von O
3.4.1 Zur Nichtassoziativität der Oktonionen
3.4.2 Der Satz von Hurwitz
4 Ausblicke
Schlusswort
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die Erweiterung des Zahlensystems über die komplexen Zahlen hinaus. Dabei wird analysiert, welche weiteren algebraischen Strukturen existieren, wie diese konstruiert werden können und welche grundlegenden Eigenschaften (wie Kommutativität oder Assoziativität) dabei verloren gehen.
- Konstruktion und Eigenschaften komplexer Zahlen.
- Entwicklung und Charakterisierung der Hamiltonschen Quaternionen.
- Theorie der Divisionsalgebren und Cayley-Zahlen (Oktonionen).
- Bedeutung der Sätze von Frobenius und Hurwitz für die Klassifikation.
Auszug aus dem Buch
1.1 Die Entstehungsgeschichte der komplexen Zahlen
Die sogenannten komplexen Zahlen sind uns erstmals in der Zeit der Renaissance in der Algebra begegnet. Gironlamo Cardano (1501-1576) beschäftigte sich in seinem Werk „Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus“, das 1545 in Nürnberg erschienen ist, unter anderem mit der Lösbarkeit quadratischer Gleichungen. Bei Gleichungen wie etwa x(10 - x) = 40 findet er zwar keine reellen Lösungen, jedoch interpretierte er 5 + √-15 und 5 - √-15 als Lösungen einer solchen Gleichung. Damit leitete er den Umgang mit „imaginären“ Zahlen ein. Bis heute ist nicht geklärt, ob Cardano über quadratische oder kubische Gleichungen zu den komplexen Zahlen gefunden hat. Für beide Arten von Gleichungen formulierte er in seiner Arbeit entsprechende Lösungsformeln.
Rafael Bomelli (1526-1572) hat die von Cardano aufgestellte Algebra weiterentwickelt. Er formulierte acht fundamentale Rechenregeln für komplexe Zahlen, obwohl er über ihre Eigenschaften bzw. das Wesen dieser Zahlen fast nichts wusste. Beispielsweise lautete eine seiner Regeln (in heutiger Notation) (-i)(-i) = -1, wodurch er als erster das formal korrekte Rechnen mit komplexen Zahlen beschrieb.
Die Mathematiker in der damaligen Zeit gewöhnten sich an den Umgang mit komplexen Zahlen, auch wenn ihnen eine genaue Herleitung aus geometrischer oder arithmetischer Sicht noch fehlte. So stellt etwa René Descartes (1596-1650) in seiner „La Géométrie“ den Gegensatz zwischen reell und imaginär heraus, indem er behauptet, dass man sich bei jeder Gleichung so viele Lösungen vorstellen oder einbilden kann, wie ihr Grad angibt. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dagegen bereicherte die Lehre vom Imaginären mit der erstaunlichen Beziehung von √1 + √-3 + √1 - √-3 = √6.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Die komplexen Zahlen: Dieses Kapitel führt in die Konstruktion, die geometrische Veranschaulichung und die Vollständigkeitseigenschaften der komplexen Zahlen ein.
2 Hamiltonsche Quaternionen H: Hier werden die durch Hamilton eingeführten Quaternionen als vierdimensionale reelle Divisionsalgebra behandelt und auf ihre algebraischen Besonderheiten untersucht.
3 Die Divisionsalgebra O der Cayley-Zahlen: Das Kapitel widmet sich der Konstruktion der Oktonionen und analysiert deren Nichtassoziativität sowie den Satz von Hurwitz.
4 Ausblicke: Ein kurzer Ausblick auf die allgemeinere Frage nach der Anzahl der endlichdimensionalen reellen Divisionsalgebren.
Schlüsselwörter
Komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktonionen, Cayley-Zahlen, Divisionsalgebren, Schiefkörper, Satz von Frobenius, Satz von Hurwitz, hyperkomplexe Zahlen, Algebra, Vektorraum, Nullstelle, Assoziativität, Kommutativität, Norm.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Erweiterung des Zahlbegriffs über die reellen und komplexen Zahlen hinaus zu sogenannten hyperkomplexen Systemen.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Im Zentrum stehen der Aufbau und die Eigenschaften von Zahlbereichen wie den komplexen Zahlen, den Hamiltonschen Quaternionen und den Cayley-Zahlen (Oktonionen).
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, die systematische Erweiterung des Zahlensystems zu konstruieren und die mathematischen Bedingungen sowie den Verlust gewisser Axiome bei höheren Dimensionen aufzuzeigen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine mathematisch-axiomatische Methode angewandt, bei der Körpererweiterungen, Vektorraumstrukturen und algebraische Sätze (wie der Satz von Frobenius und Hurwitz) herangezogen werden.
Was wird im Hauptteil detailliert behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Konstruktion komplexer Zahlen, die Einführung der Quaternionen inklusive ihrer Nichtkommutativität und die Theorie der Oktonionen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die wichtigsten Begriffe sind Divisionsalgebren, Schiefkörper, komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktonionen und der Satz von Hurwitz.
Warum spielt der Satz von Frobenius eine so zentrale Rolle?
Der Satz von Frobenius erklärt, warum es bis auf Isomorphie nur drei endlichdimensionale reelle Schiefkörper gibt (reelle Zahlen, komplexe Zahlen und Quaternionen).
Inwiefern unterscheiden sich Oktonionen von Quaternionen?
Während Quaternionen assoziativ sind, verlieren die Oktonionen bei ihrer Konstruktion zusätzlich die Eigenschaft der Assoziativität.
- Quote paper
- Bastian Vincken (Author), 2004, Quaternionen und andere Zahlbereiche. Was kommt nach den komplexen Zahlen?, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/32031
