Quaternionen und andere Zahlbereiche. Was kommt nach den komplexen Zahlen?

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1 Die komplexen Zahlen
1.1 Die Entstehungsgeschichte der komplexen Zahlen
1.2 Die Konstruktion der komplexen Zahlen C
1.2.1 De_nition der komplexen Zahlen
1.2.2 Die imaginäre Einheit i
1.2.3 Geometrische Veranschaulichung von C
1.2.4 Nichtanordbarkeit von C
1.2.5 Die Vollständigkeit von C
1.3 Der Zwei-Quadrate-Satz
1.4 Axiomatische Charakterisierung von C
1.4.1 Die Existenz einer Nullstelle
1.4.2 Die Einzigkeit von C

2 Hamiltonsche Quaternionen H
2.1 Die Entstehungsgeschichte der Quaternionen
2.2 Die Konstruktion der Quaternionen H
2.2.1 Die Divisionsalgebren
2.2.2 Der Schiefkörper H der Quaternionen
2.3 Alternative Beschreibung der Quaternionen
2.4 Der Vier-Quadrate-Satz
2.5 Axiomatische Charakterisierung von H
2.5.1 Zur Nichtkommutativität von H
2.5.2 Der Satz von Frobenius
2.6 Anwendungsmöglichkeiten der Quaternionen
2.6.1 Die Quaternionen in den Naturwissenschaften
2.6.2 Die Quaternionen und die 3-dimensionale euklidische Geometrie

3 Die Divisionsalgebra O der Cayley-Zahlen
3.1 Die Entstehungsgeschichte der Oktonionen
3.2 Die Konstruktion der Oktonionen O
3.3 Der Acht-Quadrate-Satz
3.4 Axiomatische Charakterisierung von O
3.4.1 Zur Nichtassoziativität der Oktonionen
3.4.2 Der Satz von Hurwitz

4 Ausblicke

Schlusswort

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Einleitung

Das traditionelle Zahlensystem gilt als wichtigste Grundlage in der Mathe- matik. Der Aufbau dieses Zahlensystems beginnt seit dem Ende des 19. Jahr- hunderts bei den natürlichen Zahlen. Diese werden dann schrittweise zu den ganzen, den rationalen, den reellen bis hin zu den komplexen Zahlen erwei- tert. Die Schulmathematik umfasst im besten Fall das Zahlensystem bis hin zu den komplexen Zahlen. In dieser Arbeit wollen wir uns mit der Frage be- schäftigen, ob es jenseits der komplexen Zahlen noch andere Zahlbereiche zu konstruieren gibt und inwieweit diese noch sinnvoll sind. Diese hyperkomple- xen Zahlbereiche werden seit Beginn des 20. Jahrhunderts reelle Algebren genannt. [Eb, 1-4]

Möchte man sich analog zu den komplexen Zahlen, die einen zweidimensiona- len reellen Vektorraum bilden, höherdimensionale reelle Vektorräume zu hy- perkomplexen Zahlbereichen machen, muss man entweder die Endlichkeit der Dimension aufgeben oder aber auf vertraute Körperaxiome wie die der Kom- mutativität oder der Assoziativität oder gar auf die Möglichkeit der Division verzichten. In dieser Arbeit werden wir uns auf die endlichdimensionalen Di- visionsalgebren beschränken. Dies bedeutet, dass wir an der Endlichkeit der Dimension und der Möglichkeit der Division festhalten werden. Sollten wir diese Eigenschaften aufgeben, so würden wir von einer Masse neuer Zahlbe- reiche erschlagen werden.

Diese neuen Zahlbereiche werden Eigenschaften aufweisen, die uns auf den ersten Blick merkwürdig vorkommen. Der _Vollständigkeitssatz_ der reellen Zahlen beinhaltet vomWort her schon eine gewisse _Vollständigkeit_ des Zahl- bereichs. Wir werden feststellen, dass, je weiter man sich von den reellen Zah- len entfernt, immer mehr uns vertraute Eigenschaften verloren gehen und in diesem Zusammenhang deutlich machen, welche Kuriositäten mit derenWeg- fall einhergehen.

Hamilton schuf im Jahre 1843, nachdem er die komplexen Zahlen als erster rein arithmetisch begründet hatte, den vierdimensionalen Schiefkörper H der Quaternionen. Kurz darauf konstruierten Graves und Cayley die achtdimen- sionale Divisionsalgebra O der Oktonionen. Die Quaternionen sind bezüglich der Multiplikation nicht mehr kommutativ und bei den Oktonionen ist zu- sätzlich noch die Assoziativität verletzt. Bei beiden Zahlbereichen ist jedoch die Division noch eindeutig ausführbar.

Ausgehend von den komplexen Zahlen, die wir in Kapitel 1 nach Hamiltons Vorbild über geordnete Zahlenpaare reeller Zahlen konstruieren werden, wol- len wir in Kapitel 2 und 3 ausführlich auf die Quaternionen und Oktonionen eingehen. In Kapitel 1 werden wir zeigen, dass die komplexen Zahlen bis auf Isomorphie die einzige endliche Körpererweiterung der reellen Zahlen ist. In Kapitel 2 werden wir daran anknüpfend einen Einzigkeitssatz von Frobe- nius beweisen, der die Quaternionen bis auf Isomorphie als einzige endliche assoziative reelle Divisionsalgebra charakterisiert. Darüber hinaus werden wir als Anwendungsmöglichkeit der Quaternionen aufzeigen, wie sich beispiels- weise die dreidimensionale euklidische Geometrie mit Hilfe der Quaternionen beschreiben lässt.

Kapitel 3 beschäftigt sich im Wesentlichen mit der Charakterisierung der vier endlichdimensionalen reellen Divisionsalgebren. Mit dem Satz von Hur- witz werden wir zeigen, dass die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen, die Quaternionen und die Oktonionen bis auf Isomorphie die vier einzigen reellen normierten Divisionsalgebren mit Einselement sind. Im letzten Kapitel werden wir abschlieÿend in Form eines Ausblicks auf die allgemeinere Frage nach der Anzahl aller endlichdimensionalen reellen Divi- sionsalgebren eingehen.

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