Fast Fluid Computation, FFC (beinahe Strömungsberechnung)

Fast Fluid Computation, FFC

(beinahe Stromungsberechnung)

Das Traglinienverfahren zur Analyse einfacher Tragflachen

BIONIC RESEARCH UNIT der Beuth Hochschule Berlin Michael Dienst Berlin im Mai 2016

Intro. In den Naturwissenschaften und in der Technik sind es fluidmechanische Fragestellungen, die sowohl einen hohen strukturellen Aufwand (Windkanale, Stromungsmessstrecken), ausgefeilte numerische Methoden (Stromungs- simulation, Computational Fluid Dynamics, CFD) als auch eine sehr hohe theoretische Sachverstandigkeit aller Beteiligten fordern. Die numerische Stromungsmechanik ist eine Schlusselkompetenz in der Ingenieurausbildung. Der Einsatz professioneller CFD-Software tragt diesem Anspruch Rechnung. Gefragt sind bedienfreundliche, ingenieurdidaktisch kluge Instrumente zur Vermittlung von Grundlagen der Stromungslehre, Methoden der numerischen Stromungssimulation und der praxisrelevanten Nutzung eingebundener Programmsysteme, kurz: eine Software fur den Lehrbetrieb in der der Laborausbildung die die Studierenden einladt und ermutigt, das experimentell Erfahrene und das theoretisch Erarbeitete in einer Computersimulation nachzustellen, oder selbst gestellte Aufgaben eigenverantwortlich und mit einer selbst gewahlten Geschwindigkeit des Voranschreitens zu losen. Von wissenschaftlicher Relevanz fur die Hochschule sind Berechnungsprogramme, insbesondere Stromungsloser, die sich in projektspezifische Umgebungen einbetten lassen. Dazu wird die Aufbereitung anwendungs-freundlicher Schnittstellen zu Berechnungsanwendungen (Matlab, SciLab, Maple) aus dem Forschungsalltag angestrebt. Wirtschaftlich und technologisch relevant sind Computerprogramme, die auch kundenspezifische Aufgaben losen. Besondere Anforderungen an Hard- und Anwendungssoftware stellt die Simulation insbesondere dann, wenn schnelle Berechnungsergebnisse und Losungen erforderlich sind. Stromungsdarstellungen in virtuellen Raumen, wie etwa einer CAVE verlangen Berechnungen, die nahe an der Echtzeit rangieren. In Zukunft werden CAVE-Systeme nicht nur im Bereich der computer-unterstutzten Konstruktion (CAD) eingesetzt, um Entwicklern in einem dreidimensionalen Panoramasystem das spatere Aussehen von Bauteilen, Komponenten oder ganzen Maschinenanlagen zu vermitteln, sondern angestrebt werden Szenarien, in denen physikalische Wechselwirkungen, etwa simulierte Stromungen in Echtzeit manipuliert und dargestellt werden konnen. Rezente CFD-Pragramme losen diese Aufgabe selbst dann nicht, wenn in einem ersten Hub auf exakte Berechnungen verzichtet werden darf. Genau hier setzt der Interventionsaufsatz an zum Thema „Fast Fluid Computation (FFC)", was ich - nicht ohne Ironie - mit „beinahe" Stromungsberechnung ubersetzen mochte. Das Papier behandelt einen „schmutzigen" Losungsansatz der Fluidmechanik. Die ersten kommerziellen CFD Simulationsprogramme waren PHOENICS (1981), Fluent (1983), Flow-3D (1985). Das Bearbeiten fluidmechanischer Frage- stellungen war aufgrund der Komplexitat nichtlinearer Differential-gleichungen auf die wenigen Spezialfalle beschrankt, fur die analytische Berechnungen bekannt waren.

Potentialloser sind gitterlose und in der Regel zweidimensionale Berechnungs- verfahren. Unter der Voraussetzung reibungsfreier, inkompressibler Stromung lassen sich mit potentialtheoretischen Berechnungsverfahren unter bestimm- ten Voraussetzungen treffende Aussagen uber Stromungs-groBen nahe der AuBenkontur (ausgesuchter) Stromungskorper machen. Mit dem Ansatz reibungsfreier Stromung konnen wichtige Erkenntnisse im Verhalten umstromter Korper gewonnen werden. Potentialstromungen fordern als zusatzliches Kriterium Rotationsfreiheit der Stromung (Wirbel hingegen sind drehungsbehaftete Stromungen). Aufgrund der sehr kurzen Berechnungszeiten von einigen Sekunden oder Minuten (Faktor 1/1000 gegenuber rezenten CFD- Programmen) werden Potentialloser anstelle von gemittelten Navier-Stokes Losern (RANSE). Die nachfolgenden Ausfuhrungen betreffen potentialtheo- retische Untersuchungen an Profilen fur Tragflugel, die im Medium Wasser arbeiten. Zur Simulation fluidmechanischer Phanomene an Seefahrzeugen sind Potentialloser die meistgenutzten Analysewerkzeuge.

Leit- und Steuertragflachen kleiner Seefahrzeuge Surfboardfinnen sind als Leit- und Steuertragflachen im Bereich des Hecks von Surfboards wirksam. Das Manovrieren erfolgt mit korperkontrollierten, dem Board aufgezwungenen Bewegungen und diese wiederum durch Gewichts- verlagerung des Surfers, der Surferin. Surfboardfinnen sind wahrscheinlich die elementarsten Leit- und Steuertragflachen fur Seefahrzeuge uberhaupt. Fur die Montage von unterschiedlichen Finnen an Surfboards existieren standardisierte Einbauflansche verschiedener Hersteller. Die Konstruktion einer Surfboardfinne besteht aus wenigen Einzelteilen. In der Regel finden wir bei einem Surfboard eine Box vor, in die der fluidmechanisch wirksame Tragflugel der Finne formschlussig eingesteckt wird (PLUG). Die meisten Hersteller bevorzugen Flansche, die primar kraftschlussig verbinden. Fur Surfboards in Fahrt und beim Manovrieren ist neben der hohen mechanischen Belastung der stromungs- mechanisch wirksamen Bauteile die optimale und an Stromungswiderstanden arme Funktionsweise entscheidend fur die Fahrleistung. Grundsatzlich sind bei leistungsoptimierten Seefahrzeugen und all ihren Bauteilen Robustheit und Anpassungsfahigkeit (Resilienz), perfekte Funktion und lange Lebensdauer bei geringem Gewicht von Bedeutung.

Der Betriebsbereich von Surfboardfinnen

Zum Lateralplan eines Seefahrzeugs tragen alle fluidmechanisch wirksamen Flachen im Unterwasserbereich bei. Unter den Leit- und Steuertragflachen der Seefahrzeuge sind - neben kleinen Spoilern und Anflugeln vielleicht - Surfboardfinnen die kleinsten Flacheneinheiten. Gleichzeitig stellen sie, abgesehen von der in Verdrangerfahrt projezierten Flache des Surfboard- Halbtauchers selbst, den totalen Lateralplan dieser aufgleitenden, kleinen Seefahrzeuge. Damit kommt ihnen die Aufgabe zu, den wesentlichen Anteil der erforderlichen Querkraft zu erzeugen. Im Vergleich zu anderen kleinen Seefahrzeugen, Jollen oder kleinen Yachten und ihren Lateralflachen, dem Schwert und den Ruderanlagen, ist der Geschwindigkeitsbereich in denen Surfboards betrieben werden relativ groft. Im Normalbetrieb werden zwar die Geschwindigkeiten der Rekordfahrten der rezenten Segelsurfboards von 25 ms- (90 kmh‘ ) nicht erreicht, doch gleitet die Surferin (der Surfer) mit enorm hoher Geschwindigkeit uber die Wasseroberflache und absolut uber Grund. In Brandungs- und Seegangswellen flitzt die Surferin, getrieben von der Schwerkraft, einen „sehr ausgedehnten, sich permanent erneuernden Hang" hinunter. Dem Theoretiker erscheint die Annahme einer theoretischen maximalen Anstromgeschwindigkeit von vB=15 ms-1(ca. 54 kmh-1) als gerechtfertigt. Solange der Surfer auf dem Wellenhang bleibt, wird eine hohe Anstromgeschwindigkeit an der Finne beibehalten. Auf der anderen Seite der Skala, im unteren Geschwindigkeitsbereich spielt das Jnfahrtkommen" und die Manovrier- und Traktionsfahigkeit in dieser Phase eine entscheidende Rolle. Je grafter eine Welle ist, umso mehr Geschwindigkeit benotigt man zum Angleiten der Welle und fur den Start, damit das Board stabil lauft und ein sicherer „Take Off" gelingt. Das Manovrieren bei geringer Geschwindigkeit fordert hochgradig leistungsfahige Lateralsysteme, da die zum Lenken benotigte Querkraft zwar quadratisch mit der Geschwindigkeit steigt, aber nahe dem Stillstand eben auch nur sehr klein sein kann. Damit ist das Geschwindigkeit-Spektrum ausgelotet und erste Anforderungen an den Surfboard-Tragflugel sind benannt, namlich hohe Traktionsfahigkeit des Boards bei kleinen Geschwindigkeiten und geringe Widerstandshemmnisse der Finne bei hohem Speed; die Geschwindig- keiten vB rangieren um zwei Dekaden {0.2 < vB [ms ] < 15}.

Stromungsberechnung

Fur die stromungsmechanischen Analysen verwende ich das System FS-Flow^{1 2}, JavaFoil³ und andere Programmsysteme, fur Implementationen SCILab⁴.

Die relevanten Profilkonturen liegen als in Listen geordnete Koordinatenpunkte Pk =P(xK,yK) vor. Hinweise zur Nomenklatur in den nachfolgenden

Ausfuhrungen:

Geometrie

t [m] Profiltiefe. Bezugsmaftfur Konturrelevante Kennungen eines Profils

d/t [%] spezifische Profildicke der Profilkontur mit der Tiefe t.

xd/t [%] Dickenrucklage der Profilkontur mit der Tiefe t.

t(z) [m] t=t(z) uber die horizontale Koordinate z variable Profiltiefe t

x [m] x- Koordinate der Punkte PK(xK,yK,xK) auf der Tragflachenkontur

y [m] y- Koordinate

z [m] z- Koordinate / horizont. Koordinate Flugelwurzel W bis Flugel-Tip T

dx, dy, dz [m] differentielle Koordinaten

Ax, Ay, Az

x [m]

[-] x = (x/t) generalisierte Koordinate x bezogen auf die Profiltiefe t

y [-] y = (y/t) generalisierte Koordinate y

AA [m[2]] AA = (Az • Ax)

AF [m[2]] AF = t • Az differentielles Kontur-Flachensegment (Wing-Section)

Beiwerte und Koeffizienten

cL [-] Lift-koeffizient (Auftrieb, Querkraft)

cP [-] cP = cP (xK,yK) Druckgradient (Profilkontur)

cW [-] Widerstandsbeiwert

Geschwindigkeiten und Krafte

v(x) [ms-[1]] lokale (konturnahe) Geschwindigkeit.

V, v~ [ms-[1]] globale (System-) Geschwindigkeit.

(v/V) [-] spezifische Geschwindigkeit, lokal und konturnah

L [N] L = cL • F • v2• p /2 Auftrieb, Querkraft, Lift

K [N] Kausq(x) = KAx lokale Kraft auf ein Flachensegment AA=(Az • Ax)

AL [N] AL = k- dz =cL • tAz • v2 • p/2; Lift fur ein Flachensegmen, Breite Az

q(x) [Nm-[1]] Streckenlast an der Profilkontur PK(xK,yK)

k [Nm-[1]] k=k(z) = AL/Az; integrale Streckenlast fur eine Profilsektion d. Breite Az

Stoff

p [kgm-[3]]Dichte

v [m[2]s-1] Transportkoeffizient: kinematische Viskositat

Ein Ergebnis der potentialtheoretischen Analyse ist die Geschwindigkeits- verteilung (v/V)x,y und damit der Druckgradient cP=cP(x,y) uber die Profilkonturen (xK,yK) eines Tragflugels. Aus der Druck-integration wird einerseits der dimensionslose Auftriebskoeffizient cL und unter Hinzunahme eines Reibungs-Modells der Widerstandsbeiwert cW der Profilkontur ermittelt. Der Auftriebsbeiwert und der Widerstandsbeiwert sind als IntegralgroRen uber eine Profilkontur anzusehen.

Eine Streckenlast q ist in der technischen Mechanik eine bereichswese uber x definierte Belastung mit der Einheit [N/m] und wird fur eine lokale Kraft K mit q(x) = F Ax angesetzt. In SI-Einheiten besitzt die Streckenlast q die Einheit [m^Pa] . Ein uber eine Kontur verteilter Druck p, der in unserer Betrachtung als ortsabhangiger Gradient p(x) in [Pa] auftaucht und der gerade als eine lokale Kraft K uber einen Flachenabschnitt AA=(Az^Ax) angesehen wird, offenbart eine Beziehung zu der Streckenlast q wie folgt:

mitq(x) = KAx [m^Pa] und p(x) = K/AA = F / (Az • Ax) [Pa]

1Cave Automatic Virtual Environment, abgekurzt: CAVE;

Fur das Losen stromungsdynamischer Probleme werden numerische Methoden eingesetzt. Die Numerik behandelt rechnerischer Losungswege (Algorithmen) fur kontinuierliche Probleme; es sind Naherungsverfahren, die statt exakter Losungen von Differentialgleichungen Approximationen liefern. Die Anwendung numerischer Verfahren zur Losung praktischer Falle erfordert den Einsatz hochperformanter Hardware. CFD umfasst neben der mathematischen Betrachtung (Aufstellen und Losen gekoppelter Differential-gleichungen und Randbedingungen mittels algebraischer Gleichungssysteme) auch vorbereiten- de Arbeiten und die Aufbereitung und Auswertung der Ergebnisse.

Eine Phanomenologie im Sinne einer niedrigschwelligen Betrachtungsweise umstromter Korper kann mit dem Ansatz der reibungsfreien und rotorfreien Potentialstromung aufgebaut werden (Potentialtheorie). Die Potentialtheorie beschaftigt sich mit dem Aufstellen und Losen der Potentialgleichungen, unter Berucksichtigung spezieller Randbedingungen. Wir betrachten in diesem Aufsatz nur ebene Stromungsfelder. Wegen der Linearitat der Gleichungen gilt fur Potentialstromungen das Superpositionsprinzip, das die Darstellung und Berechnung komplexer Losungen aus der Uberlagerung von einfachen Stromungen fur die Elementarlosungen erlaubt.

Drehungsbehaftete Stromungen sind Wirbelstromungen. Unter der Drehung einer Stromung stelle ich mir die Rotation einzelner Fluidteilchen um ihre eigene Achse vor. Fur Potentialstromungen ist die Zirkulation immer dann Null, wenn keine Festkorper oder Singularitaten eingeschlossen werden. Mit der Zirkulation lassen sich Wirbelstarke und Auftriebskrafte berechnen.

Als Potential werden in der Mathematik formal Skalarfunktionen bezeichnet, deren partielle Ableitung eine Grofte mit physikalischer Bedeutung angibt. 1st eine Stromung wirbelfrei so folgen aus dem Gradienten der Feldfunktion die Geschwindigkeitskomponenten der Stromung. Bei wirbelfreien Stromungen sind die Vektorkomponenten nicht mehr unabhangig voneinander sondern uber das Potential verbunden. Nach dem Satz von Kutta-Joukowsky kann die auftriebsbehaftete Umstromung eines Profils als Kombination aus Parallel- und Zirkulationsstromung betrachtet werden, wenn die (Kutta'sche) Abfluss- bedingung erfullt ist. Diese fordert ein glattes Abstromen des Fluids an der Hinterkante.

6 ISO-Einheiten. 1 kg-m x-s2= 1 Pa = 1 N m-2, z.B.: Megapascal (10 bar = 1 MPa = 1 Million Pa = 1 N/mm2)

folgt p(x) = q(x)/Az [Pa]

Der lokale Druck p(x) auf der Kontur an der Stelle x wird relativ und auf den atmospharischen Normruck⁵ p0 bezogen angegeben. Fur den lokalen g

Druckkoeffizienten cp gilt dann folgende Beziehung :

Cp= 2(p(x)-po)/(p- V 2) [-]

Normdruck po = 101 325 [Pa] = 101,325 [kPa] = 1 013,25 [ hPa] = 1 013,25 [mbar] Normzustand bei T= 273,15 [°K] bzw. T=0 [°C] entsprechend DIN 1343.

(p(x)-p0)= 0.5-cp-p-V2[kg m-[3]-m2 s-2], [Nm-2], [Pa]

Der Druckkoeffizient cp besitzt einen Gradienten uber die Kontur cp(x) und wird mit der aus der klassischen Stromungsmechanik bekannten Form aus der lokalen, spezifischen Geschwindigkeit bestimmt. Hierbei wird die Bernoulli- Gleichung dazu benutzt, den Druck aus den Geschwindigkeitskomponenten zu ermitteln.

Bernoulli p0 + A p<~ V2= p + A p<~ v(x)2[Pa]

Fur inkompressible Stromungen (p=p^ ) liefert das den lokalen Druckkoeffizienten cp(x)=p(x)/p0 aus einer Beziehung uber die Systemgeschwindigkeit V=v^ .

cp(x)= l-(v(x)/v~)2[-]

Die lokale, konturnahe Geschwindigkeit v(x), bzw. die auf die Systemgeschwindigkeit V=v^ bezogene spezifische Geschwindigkeit (v(x)/V) und somit der lokale Druckkoeffizient cp(x) ist ein signifikantes Ergebnis der potentialtheoretischen Berechnung und steht nun fur die Druckintegration uber eine Kontur zur Verfugung.

(p(x)-p0)= 0.5 - cp • p-V2

(p(x) - p0) = 0.5 • ( 1- (v(x)/V)2) • p • V2[Pa]

In der Regel kann der potentialtheoretischen Berechnung ein dimensionsloser Auftriebsbeiwert cL (Lift-Koeffizient) entnommen werden, was den Berechnungsgang auf Kosten einer differenzierten Betrachtung der Auftriebsverteilung uber die Profilkontur erleichtert. Aus der einschlagigen Literatur ist die aus integralen Groften zu ermittelnde Kraft:

Auftrieb, Querkraft, Lift L = Cl • F • v2- p/2 [N] (2)

Das sektorale Flachensegment AF der Breite Az das sich aus der abschnittsweisen Betrachtung der Gesamtflache F des Tragflugels, also dem so genannten Kontur-Flachensegment ergibt:

Tragflachen-Segment (Wing-Section) AF = t • Az [m[2]]

Im Besitz des dimensionslosen Auftriebsbeiwertes cL fur ein Kontur- Flachensegment (Wing-Section) ist die nunmehr sektorale Auftriebskraft AL der Profilkontur, also der sektorale Lift AL fur ein Flachensegment AF =t-Az leicht zu ermitteln.

Der sektorale Lift AL = cL • t- Az • v2• p/2 = k • Az [N]

Mit der hier eingefuhrte Vereinfachung AL= k • Az ist die sektorale, uber die vertikal variable Flugeltiefe t=t(z) definierte Traglinienkraft k in Abhangigkeit von der vertikalen Koordinate z, also k=k(z) gegeben als:

Traglinienkraft k(z) = cl • t(z) • v2 • p/2 [N m-[1]]

(3)

Fur die Ermittlung der - fur einen Kontursektor der Breite Az (an der Stelle zK) konstanten - Traglinienkraft k sind also Kenntnisse uber die (ebene, lokale) Anstromgeschwindigkeit v = v(a) und dem integralen Liftkoeffizienten cL, der zu dem jeweiligen Tragflugelprofil an der Stelle zK gehort. Der Liftkoeffizient cL und der Widerstandskoeffizient cW entstammen Datensammlungen oder den uber die Software ermittelten Polaren cL=cL(a) und cW=cW(a) die fur Messreihen uber den Anstromwinkel a geordnet vorliegen (siehe auch den Anhang dieses Aufsatzes).

Das Traglinien-Verfahren wird nun exemplarisch fur eine Surfboardfinne durchgefuhrt, dessen Kontur Variationen symmetrischer Profile vom elliptischen Typ: ELL[d/t][xd/t]6sein sollen. Obwohl die Leistungsdaten der elliptischen Profile nicht hervorragend sind - wenn man einmal davon absieht, dass Arbeitstragflachen mit derartigen Profilen sowohl vorwarts, als auch ruckwarts gefahren werden konnen, was absolute Vorteile birgt - besitzen sie Konstruktionseigenschaften, auf die man (zumindest im Experimentalbereich) schwerlich verzichten mochte. Derartige ELL-Profile sind geometrisch beliebig genau beschreibbar. Mit einfachsten Mitteln. Ich stelle mir immer vor, ein Kreis sei nur eine ganz spezielle Variante einer Ellipse mit gleichen Achsen a=b. Die Profilflache ist: AELLIPSE = abn. Die bugwartige und die heckwartige Ellipse besitzen einen gemeinsamen Konstruktionskreis (im Sinne eines Erzeugenden- Systems beliebiger Genauigkeit). Am „Stoss" der beiden Teilellipsen besitzt das Profil eine gemeinsame (definiert waagerecht-horizontale) Tangente, am Bug- und am Heckpunkt eine (definiert senkrecht-vertikale) Tangente. Fur die Konstruktion von Stromungsteilen, die in kleinen Werften oder Bootsbaubetrieben gefertigt werden sollen, ein unschlagbarer Vorteil, was die Herstellung beliebiger Profillehren betrifft.

[...]

¹ Auftrieb, Querkraft, Lift L [N] = ca - A - v2 p/2

² FS-Flow ist ein kommerzielles Programmsystem der Firma FutureShip GmbH / Germanischer Lloyd, DNV-GL das nach dem PANEL-Verfahren arbeitet. https://www.dnvel.de

³ JavaFoil ist ein frei verfugbarer Potentialloser von Dr. M. Hepperle der in erster Linie fur aerodynamische Fragestellungen aus dem Programmsystem CalcFoil entwickelt wurde. http://www.mh-aerotools.de/airfoils/iavafoil.htm

⁴ Scilab ist ein eine umfangreiche, leistungsfahige Software fur Anwendungen aus der numerischen Mathematik, das ehemals am Institut national de recherche en informatique et en automatique (INRIA) seit 1990 als Alternative zu MATLAB entwickelt wurde.

⁵ Mit dem Normdruck p0 101 325 [Pa] = 101,325 [kPa] = 1 013,25 [ hPa] = 1 013,25 [mbar]. I m atmospharischen Normzustand bei T= 273,15 [K] bzw. T=0 [°C] entsprechend DIN 1343. Wasser im Normzustand bei T= 20 °C: Dichte p = 0,99g203 g-cm"3 p = 99g,2 kg-m"3 g Katz, J., Plotkin, A. (2001) Low-Speed Aerodynamics, Cambridge University Press. ISBN 13 97g-0-521-66219-2. Fluiddynamisch wirksames lateralsymmetrisches Stromungsprofil aus geometrischen Grundfiguren. (GM308). GM-Nr. 20 2014 003 346.3, I PC: F15D 1/10.