Inkonsistenzen im mathematischen Formelwerk in Solvency 2

Inhalt

Tabellenverzeichnis.. 3

Abbildungsverzeichnis.. 3

1 Einleitung.. 4

2 Mathematische Grundlagen.. 8

2.1 Risikomaße.. 8

2.1.1 Value-at-Risk und Solvency Capital Requirement.. 9

2.1.2 Tail Value at Risk.. 13

2.2 Prämienprinzip.. 13

2.3 Abhängigkeit.. 15

2.3.1 Copulas.. 15

2.3.2 Komonotonie und Kontramonotonie.. 18

2.3.3 Lineare Abhängigkeit / Lineare Korrelation.. 19

3 Die Wurzelformel bei sphärischer und elliptischer Verteilung.. 22

3.1 Motivation der Wurzelformel.. 22

3.2 Sphärische und elliptische Verteilungen.. 24

3.2.1 Sphärische Verteilungen.. 24

3.2.2 Elliptische Verteilungen.. 28

3.2.3 Korrelation und Kovarianz bei elliptischen Verteilungen.. 30

3.2.4 Value-at-Risk für elliptisch verteile Risiken.. 31

3.3 Zusammenfassung.. 33

4 Die Wurzelformel mit Prämienprinzip.. 34

4.1 Beispiel Erwartungswertprinzip.. 37

4.2 Beispiel Standardabweichungsprinzip.. 37

4.3 Beispiel Varianzprinzip.. 38

4.4 Zusammenfassung.. 38

5 Mathematische Inkonsistenzen im Standardmodell.. 39

5.1 Beispiele: Aggregierte SCR`s – Unabhängige Risiken.. 39

5.1.1 Beta verteilte Risiken.. 39

5.1.2 Lognormal verteilte Risiken.. 46

5.2 Beispiele: Aggregierte SCR`s - Abhängige Risiken.. 48

5.2.1 Beispiel 1.. 48

5.2.2 Beispiel 2.. 49

5.3 Value-at-Risk, falsche Diversifikationseffekte.. 50

5.3.1 Beispiel Lognormalverteilung.. 53

6 Fazit.. 56

7 Literatur.. 57

8 Anhang.. 58

8.1 Summe zweier unabhängiger betaverteilter Risiken.. 58

8.2 Summe dreier unabhängiger betaverteilter Risiken.. 59

1 Einleitung

Solvency 2 ist ein gemeinschaftliches Projekt der Europäischen Union im Bereich der Versicherungsaufsicht. Diese hat sich mehrere Ziele gesetzt. Die wichtigsten drei unter ihnen sind:

- den Versichertenschutz zu stärken

- einheitliche Wettbewerbsstandards im Versicherungssektor des europäischen Binnenmarktes zu schaffen

- eine einheitliche Aufsichtspraxis in Europa zu etablieren

(siehe [3] Erwägungsgrund 3 und Artikel 27). Die Stärkung des Versichertenschutzes soll durch definierte Anforderungen an das Solvenzkapital und die Eigenmittel gewährleistet und damit eine Reduzierung der Insolvenzwahrscheinlichkeit erzielt werden. Die Berechnung des unternehmensspezifischen Solvenzkapitals kann einerseits über das vorgegebene Standardmodell oder über (partielle) interne Modelle erfolgen. Interne Modelle müssen von der Aufsichtsbehörde genehmigt werden und benötigen eine Menge personeller, finanzieller und technischer Ressourcen. Daher werden voraussichtlich besonders die kleinen und mittelgroßen Versicherungsunternehmen zu Anfang mit dem Standardmodell arbeiten, bis sie Schritt für Schritt über partielle interne Modelle ein Gesamtmodell entwickelt haben.

Im Solvency 2 Standardmodell setzt sich das Solvenzkapital aus der Basis-Solvenzkapitalanforderung (engl. Basic Solvency Capital Requirement, kurz BSCR), einer Solvenzkapitalanforderung für operationelles Risiko (SCR _Op) und einem Anpassungsterm (Adj.) zusammen. Der Anpassungsterm berücksichtigt risikoabsorbierende Eigenschaften von zukünftigen Gewinnbeteiligungen und aufgeschobenen (latenten) Steuern. Es gilt somit:

SCR = BSCR + SCR_Opt – Adj.

[Abb. nicht in dieser Leseprobe enthalten]

Abbildung 1: QIS 5 Standardmodell

Für die Aggregation der einzelnen Risikomodule wird im Standardmodell eine Standardformel, die sogenannte Wurzelformel, benutzt. Diese lautet:

[Formel nicht in dieser Leseprobe enthalten]

Wobei die die verschiedenen Risikomodulen für 1 ≤i ≤d

mit

[Intervall nicht in dieser Leseprobe enthalten]

und die SCR_α (X_i) die dazugehörigen Kapitalerfordernisse der Risikomodule bezeichnen. Die p_ij stellen die Korrelationskoeffizienten zwischen den Risikomodulen in der vorgegebenen Korrelationsmatrix dar. Mit

[Intervall nicht in dieser Leseprobe enthalten]

ist das gewünschte Sicherheitsniveau und mit S ist das Gesamtrisiko gemeint.

Die einzelnen Risikomodule werden zum Teil wiederum aus der Aggregation von Untermodulen durch die Standardformel berechnet (vgl. Abbildung 1: QIS 5 Standardmodell). Mit der Berechnung des SCR wird auf unterster Ebene begonnen. Anschließend werden die einzelnen Kapitalerfordernisse mittels der vorgegebenen Korrelationsmatrix zu dem BSCR aggregiert. (siehe [4] Seite 27).

„Die Solvenzkapitalanforderung wird so kalibriert, dass gewährleistet wird, dass alle quantifizierbaren Risiken, denen ein Versicherungs- oder Rückversicherungsunternehmen ausgesetzt ist, berücksichtigt werden. Sie deckt sowohl die laufende Geschäftstätigkeit als auch die in den folgenden zwölf Monaten erwarteten neuen Geschäfte ab. In Bezug auf die laufende Geschäftstätigkeit deckt sie nur unerwartete Verluste ab.

Sie entspricht dem Value-at-Risk der Basiseigenmittel eines Versicherungs- oder Rückversicherungsunternehmens zu einem Konfidenzniveau von 99,5 % über den Zeitraum eines Jahres.“

(Siehe [3] Artikel 101 Abs.3)

(Der Value-at-Risk wird in Kapitel 2 vorgestellt.) Es soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,5% gewährleistet sein, dass alle Verpflichtungen aus den folgenden zwölf Monaten erfüllt werden können. Andererseits können mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5% die Verpflichtungen eines Jahres nicht beglichen werden. Dieses Ereignis tritt im Mittel einmal alle 200 Jahre ein. Dies wird (Schadens-)Wiederkehrperiode genannt.

Ziel dieser Arbeit ist die Darlegung der Inkonsistenzen in dem Standardmodell, die im Wesentlichen durch zwei Umstände entstehen.

- Die verwendete Wurzelformel zur Bestimmung des Gesamt-SCR aggregiert die einzelnen Risiken mit Hilfe der Korrelation. Dadurch wird im Allgemeinen die gemeinsame Verteilung nicht eindeutig bestimmt. Durch diesen Umstand unter- bzw. überschätzt die Wurzelformel den wahren SCR für viele Verteilungen.

- Im Allgemeinen ist das verwendete Risikomaß Value-at-Risk nicht subadditiv und somit nicht kohärent, wodurch ein falscher Diversifikationseffekt auftritt.

Im Folgenden wird als Erstes der mathematische Rahmen vorgestellt, der Grundlage für die weiteren Betrachtungen ist. Im Anschluss folgen diejenigen Fälle, in denen die Wurzelformel konsistent und der Value-at-Risk subadditiv ist. Danach wird ausführlicher auf die eigentlichen Inkonsistenzen und die daraus resultierenden Konsequenzen eingegangen. Zur Verdeutlichung der Problematik werden konkrete Beispiele verwendet.

2 Mathematische Grundlagen

In der folgenden Ausarbeitung werden sprachliche Ausdrücke der Form „Das Risiko X ist größer als das Risiko Y^u oder auch symbolisch z.B. X ≤Y für Risiken benutzt.

Definition 1: Seien X und Y reelle Zufallsvariablen. Eine Zufallsvariable Y heißt

stochastisch größer-gleich der Zufallsvariablen X, wenn für alle

[Intervall nicht in dieser Leseprobe enthalten]

gilt

[Formel nicht in dieser Leseprobe enthalten]

Dies lässt sich auch alternativ über die Verteilungsfunktion von X bzw. Y formulieren. Gilt für alle

[Intervall nicht in dieser Leseprobe enthalten]

dass F_x (b)≥ F_y (b) ist, so ist Y stochastisch größer-gleich X. Diese Ordnungsrelation wird als gewöhnliche stochastische Ordnung bezeichnet.

2.1 Risikomaße

Grundlegend für die Standardformel ist der sogenannte Value-at-Risk, der zu den Risikomaßen gehört.

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