Ziel dieser Arbeit ist die Darlegung der Inkonsistenzen in dem Standardmodell, die im Wesentlichen durch zwei Umstände entstehen.
Die verwendete Wurzelformel zur Bestimmung des Gesamt-SCR aggregiert die einzelnen Risiken mit Hilfe der Korrelation. Dadurch wird im Allgemeinen die gemeinsame Verteilung nicht eindeutig bestimmt. Durch diesen Umstand unter- bzw. überschätzt die Wurzelformel den wahren SCR für viele Verteilungen.
Im Allgemeinen ist das verwendete Risikomaß Value-at-Risk nicht subadditiv und somit nicht kohärent, wodurch ein falscher Diversifikationseffekt auftritt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Mathematische Grundlagen
2.1 Risikomaße
2.1.1 Value-at-Risk und Solvency Capital Requirement
2.1.2 Tail Value at Risk
2.2 Prämienprinzip
2.3 Abhängigkeit
2.3.1 Copulas
2.3.2 Komonotonie und Kontramonotonie
2.3.3 Lineare Abhängigkeit / Lineare Korrelation
3 Die Wurzelformel bei sphärischer und elliptischer Verteilung
3.1 Motivation der Wurzelformel
3.2 Sphärische und elliptische Verteilungen
3.2.1 Sphärische Verteilungen
3.2.2 Elliptische Verteilungen
3.2.3 Korrelation und Kovarianz bei elliptischen Verteilungen
3.2.4 Value-at-Risk für elliptisch verteile Risiken
3.3 Zusammenfassung
4 Die Wurzelformel mit Prämienprinzip
4.1 Beispiel Erwartungswertprinzip
4.2 Beispiel Standardabweichungsprinzip
4.3 Beispiel Varianzprinzip
4.4 Zusammenfassung
5 Mathematische Inkonsistenzen im Standardmodell
5.1 Beispiele: Aggregierte SCR`s – Unabhängige Risiken
5.1.1 Beta verteilte Risiken
5.1.2 Lognormal verteilte Risiken
5.2 Beispiele: Aggregierte SCR`s - Abhängige Risiken
5.2.1 Beispiel 1
5.2.2 Beispiel 2
5.3 Value-at-Risk, falsche Diversifikationseffekte
5.3.1 Beispiel Lognormalverteilung
6 Fazit
Zielsetzung & Themen
Diese Diplomarbeit untersucht die mathematische Konsistenz der im Solvency 2 Standardmodell verwendeten sogenannten Wurzelformel zur Aggregation von Risiken. Ziel ist es darzulegen, unter welchen Bedingungen die Wurzelformel zu korrekten Ergebnissen führt und wo mathematische Inkonsistenzen auftreten, die insbesondere bei nicht-elliptischen Verteilungen zu Fehlbewertungen führen können.
- Mathematische Grundlagen von Risikomaßen (Value-at-Risk) und Abhängigkeitsstrukturen (Copulas).
- Analyse der Gültigkeit der Wurzelformel für sphärische und elliptische Verteilungen.
- Untersuchung der Auswirkungen unterschiedlicher Prämienprinzipien auf die Konsistenz der Wurzelformel.
- Nachweis von Inkonsistenzen bei der Aggregation von unabhängigen und abhängigen Risiken (z.B. Beta- und Lognormalverteilungen).
- Kritische Betrachtung des Value-at-Risk hinsichtlich falscher Diversifikationseffekte und Konzentrationseffekte.
Auszug aus dem Buch
3.2.1 Sphärische Verteilungen
Lemma 3: Es sei mit X = (X1,...,Xd)^T ein d-dimensionaler Zufallsvektor mit quadratintegrierbaren Komponenten Xi gegeben, also Xi ∈ L^2 für alle i = 1,...,d. Die Varianz der einzelnen Komponenten bzw. die Summe der Komponenten ist ungleich 0, d.h. Var(Xi) ≠ 0 für alle i = 1...d und Var(∑_{i=1}^{d} Xi) ≠ 0. Sei mit
Zi = (Xi - E(Xi)) / sqrt(Var(Xi)), Z = (∑_{i=1}^{d} Xi - E(∑_{i=1}^{d} Xi)) / sqrt(Var(∑_{i=1}^{d} Xi))
die Standardisierung von Xi bzw. die Summe der Xi bezeichnet. Desweiteren bezeichne µi den Erwartungswert von Xi und σi^2 die Varianz von Xi.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in das Projekt Solvency 2, die Ziele der europäischen Versicherungsaufsicht und die Rolle des Standardmodells bei der Solvenzkapitalanforderung.
2 Mathematische Grundlagen: Erläuterung der theoretischen Basis, einschließlich Risikomaßen wie Value-at-Risk, Prämienprinzipien und Methoden zur Modellierung von Abhängigkeiten mittels Copulas.
3 Die Wurzelformel bei sphärischer und elliptischer Verteilung: Herleitung der Wurzelformel aus der Normalverteilung und Nachweis ihrer Konsistenz innerhalb der Klassen sphärischer und elliptischer Verteilungen.
4 Die Wurzelformel mit Prämienprinzip: Untersuchung, wie sich die Verwendung von Prämien, die vom Erwartungswert abweichen, auf die Konsistenz der Wurzelformel auswirkt.
5 Mathematische Inkonsistenzen im Standardmodell: Praxisnahe Analyse von Inkonsistenzen bei Beta- und Lognormalverteilungen sowie Diskussion falscher Diversifikationseffekte durch die mangelnde Subadditivität des Value-at-Risk.
6 Fazit: Zusammenfassende Bewertung der Wurzelformel als mathematisch ungeeignet für eine allgemeine Berechnung des Solvenzkapitals außerhalb spezifischer Verteilungsklassen.
Schlüsselwörter
Solvency 2, Wurzelformel, Solvenzkapitalanforderung, Value-at-Risk, Risikomaße, Abhängigkeitsstrukturen, Copulas, Elliptische Verteilungen, Sphärische Verteilungen, Prämienprinzip, Mathematische Inkonsistenz, Diversifikationseffekt, Standardmodell, Lognormalverteilung, Betaverteilung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit analysiert die mathematische Validität der im Solvency 2 Standardmodell verwendeten Aggregationsformel für Risiken, der sogenannten Wurzelformel.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der Risikotheorie, der mathematischen Statistik im Versicherungswesen, der Eigenschaften von Risikomaßen und der Modellierung von Abhängigkeiten.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, die Grenzen und mathematischen Inkonsistenzen der Wurzelformel aufzuzeigen, insbesondere wenn die zugrunde liegenden Risikoverteilungen nicht elliptisch sind.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden formale mathematische Beweise, Herleitungen und numerische Simulationen (unter Verwendung von Maple) eingesetzt, um Abweichungen zwischen der Wurzelformel und dem wahren Solvenzkapitalbedarf zu quantifizieren.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil befasst sich mit der mathematischen Herleitung der Formel, der Untersuchung von Verteilungsklassen (sphärisch/elliptisch), der Anwendung verschiedener Prämienprinzipien sowie der Fallstudien zu Beta- und Lognormalverteilungen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die zentralen Begriffe sind Solvency 2, Wurzelformel, Value-at-Risk, Abhängigkeitsmodellierung (Copulas) und die Konsistenzprüfung bei der Risikokapitalberechnung.
Warum ist die Subadditivität des Value-at-Risk ein zentrales Problem?
Da der Value-at-Risk im Allgemeinen nicht subadditiv ist, führt er zu falschen Diversifikationseffekten, was bedeutet, dass die Risikokapitalanforderung bei Aggregation von Risiken unter- oder überschätzt werden kann.
Was zeigt das Beispiel der Lognormalverteilung im Kapitel 5?
Das Beispiel verdeutlicht, dass die Wurzelformel bei lognormalverteilten Risiken zu massiven Fehlern führen kann, bei denen der tatsächliche Kapitalbedarf signifikant höher liegt als durch die Formel suggeriert.
- Citation du texte
- Jens Splettstößer (Auteur), 2013, Inkonsistenzen im mathematischen Formelwerk in Solvency 2, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/334189
