Periodische Vorgänge spielten in der Natur und Technik schon immer eine zentrale Rolle. Dies zeigt sich im Puls von Lebewesen bis hin zu Taktfrequenzen und hat somit ein breites Vorkommen. Es stellt sich als Ausgangspunkt der Ruhezustand dar und verändert sich durch äußere periodische Einwirkung zu einer Schwingung. Insofern es sich in einer harmonischen Schwingung darstellt, kann eine Berechnung mit einer Sinus- oder Kosinusfunktion erfolgen. Jedoch lassen sich nicht alle Schwingungen, zum Beispiel in der Elektrotechnik, mit diesen Methoden berechnen.
Hier kommt die Fourierzerlegung / Fouriertransformation zum Einsatz. Es besagt, dass jede periodische Schwingung die Summe harmonischer Schwingungen aus unterschiedlichen Amplituden und Frequenzen darstellen lässt. Somit lässt sich jede periodische Funktion durch Überlagerung unendlich genau darstellen, lösen und wieder auf das Ursprungsproblem zurücktransformieren.
Die Berechnungsmethode wurde nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, nach dessen Veröffentlichung seiner Theorie im Jahr 1822, benannt. Jedoch reicht der Ursprung dieser mathematischen Methode bereits in das 18. Jahrhundert zurück.
Das Ziel dieser Arbeit ist es, zum einen die Grundlagen der mathematischen Berechnungsverfahren der Fourierzerlegung zu erarbeiten. Zum anderen soll anhand unterschiedlicher Rechenbeispiele der Nutzen und die Vorgehensweise der Fourierzerlegung aufgezeigt werden.
Inhaltsverzeichnis
- 1. Einleitung
- 1.1 Begründung der Themenstellung
- 1.2 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit
- 2. Grundlagen und Begriffsabgrenzung
- 2.1 Die Fourier-Entwicklung
- 2.2 Die Approximationseigenschaften
- 3. Berechnung der Aufgabenstellung
- 3.1 Fourierzerlegung eines Rechtecksignals
- 3.2 Berechnung einer Dreieckfunktion aus den Fourierkoeffizienten
- 3.3 Berechnungen der Spektrallinien
- 4. Fazit und kritische Reflektion
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit befasst sich mit der Fourierzerlegung und ihrer Anwendung in der Berechnung von periodischen Funktionen. Das Ziel der Arbeit ist es, die mathematischen Grundlagen der Fourierzerlegung zu erarbeiten und anhand von Beispielen den Nutzen und die Vorgehensweise der Fourierzerlegung aufzuzeigen.
- Grundlagen der Fourierzerlegung und Approximationseigenschaften
- Berechnung von periodischen Funktionen mit der Fourierzerlegung
- Anwendungen der Fourierzerlegung in der Elektrotechnik
- Numerische Berechnung der Fourierzerlegung mit MATLAB
- Darstellung und Bewertung der Ergebnisse der Fourierzerlegung
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Einleitung
Dieses Kapitel liefert eine Einführung in die Thematik der Fourierzerlegung und erläutert die Bedeutung periodischer Vorgänge in Natur und Technik. Es werden die Motivation und die Zielsetzung der Arbeit dargelegt sowie der Aufbau der Arbeit beschrieben. - Kapitel 2: Grundlagen und Begriffsabgrenzung
Dieses Kapitel legt die Grundlagen der Fourierzerlegung und erläutert die Approximationseigenschaften. Es werden die mathematischen Konzepte der Fourier-Entwicklung und der Fourier-Reihe dargestellt und die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten erläutert. - Kapitel 3: Berechnung der Aufgabenstellung
Dieses Kapitel zeigt anhand von Rechenbeispielen die Anwendung der Fourierzerlegung in der Praxis. Es werden ein Rechtecksignal, eine Dreieckfunktion und Spektrallinien berechnet und die Ergebnisse mit MATLAB dargestellt und bewertet.
Schlüsselwörter
Die Arbeit befasst sich mit den Schlüsselbegriffen Fourierzerlegung, Fourier-Entwicklung, Fourier-Reihe, Approximation, periodische Funktionen, MATLAB, Spektrallinien, Rechtecksignal, Dreieckfunktion und Anwendung in der Elektrotechnik.
- Arbeit zitieren
- Stefan Landfried (Autor:in), 2016, Die Fourierzerlegung. Grundlagen und Rechenbeispiele, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/338523
