Die Zahl PI. Ein mathematisches Phänomen

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

1 Geschichte
1.1 Die Frühgeschichte von Pi
1.2 Pi bei den Griechen
1.3 Pi in der Bibel
1.4 “Erfinder” der Kreiszahl Pi
1.5 Die ersten Berechnungen von Pi
1.6 Vergleich Pi früher- Pi heute

2 Verwendung
2.1 Rekorde und Besonderheiten
2.2 Aktuelle Dezimalstellenanzahl
2.3 Wie kann man eine Dezimalstelle berechnen?
2.3.1 Die Monte-Carlo-Methode
2.4 Das Bogenmaß

3 Resümee

4 Quellenverzeichnis

Einleitung

“Schaut man sich um, ob in der Wohnung oder in der Natur, sieht man überall Rundungen. Aber es gibt nur eine Bezeichnung, die diese Rundungen, Kugeln und Kreise umfasst: die rundeste Zahl von allen, Pi (π).“ ^[1] Woher kommt diese Faszination? Wieso zieht diese Zahl so viele Menschen an? Wieso ist Pi überall? Genau diese Fragen habe ich mir gestellt und viel Interessantes über π herausgefunden. Pi existiert nicht nur im Zusammenhang mit Kreisen, sondern auch mit vielen anderen Dingen, zum Beispiel Dinge aus dem Alltag. Man kennt die Zahl ‚irgendwie‘ aus dem Matheunterricht. „Irgendwas mit 3,1 war das doch.“, würden die meisten Menschen antworten. Allerdings ist diese Zahl viel mehr als nur das. Pi(π) ist das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zum Durchmesser eines Kreises, also π ≈ u/d. Pi ist nicht nur in der Mathematik wichtig, sondern auch in der Physik, Architektur und Chemie. Diese Informationen zeigen, dass Pi eine anziehende und außergewöhnliche Zahl ist.

1 Geschichte

1.1 Die Frühgeschichte von Pi

Blickt man ungefähr 4000 Jahre in der Geschichte der Kreiszahl zurück, so kann man sich nur schwer vorstellen, dass zu dieser Zeit schon ein Näherungswert für Pi existierte. Dieser Näherungswert verfehlte den wahren Wert um weniger als ein Prozent. Genau dieser Wert war der erst aufgezeichnete Wert von Pi. Er wurde um 1850 v. Chr. in Ägypten von dem Schreiber Ahmes beschrieben (Bild 1). “Nimm 1/9 vom Durchmesser weg und konstruiere ein Quadrat aus dem Rest; das hat die gleiche Fläche wie der Kreis.“ ^[2]

Wie man heute weiß, berechnet man die Kreisfläche mit πr² und wenn dieser Flächeninhalt dem Quadrat von 8/9 entspricht, dann ergibt als Angabe für π 256/81 oder 3,16049… Dieser Wert wird wie folgt berechnet:

Durchmesser Kreis: 9; Flächeninhalt Kreis ≈ 63,62 Seitenlänge Quadrat: 8; Flächeninhaltquadrat: 64 64 ÷ 4,5² = 256/81 oder 3,16049

So genau auch dieser Näherungswert war, er setzte sich aus einem unbekannten Grund nicht durch. Die Babylonier und Hebräer gaben sich noch tausend Jahre mit einem Wert von 3 zufrieden.

1.2 Pi bei den Griechen

Spätestens wenn man in der Schule beim „Satz des Pythagoras“ angelangt ist, merkt man, dass Griechen viel in der Mathematik forschten. So auch bei der Kreiszahl Pi. Zwei griechische Mathematiker stechen in der Geschichte von Pi besonders heraus: Archimedes von Syrakus und Claudius Ptolemäus. Archimedes lebte von 287 v. Chr. bis 212 v. Chr., Ptolemäus lebte um 100 n. Chr. bis 180 n. Chr. Kommen wir zunächst zu Archimedes, er war nicht nur Mathematiker, sondern auch Physiker und Ingenieur. Er entdeckte unter anderem die Geheimnisse des Flaschenzugs und die des Hebels. Dadurch wurde er hauptsächlich bekannt. Archimedes nutzte die Exhaustionsmethode (Näherungsprinzip) um sich Pi zu nähern. Mit Hilfe dieser Methode konnte er eine obere und eine untere Schranke festlegen. Zu Beginn zeichnete er mit einem Zirkel einen Kreis. In diesen Kreis zeichnete er einmal ein regelmäßiges Sechseck um den Kreis und einmal ein regelmäßiges Sechseck in den Kreis. So verdoppelte Archimedes viermal die Ecken, bis er beim 96-seitigen Polygon (Vieleck) angelangt war. Zu dieser Zeit konnte man den Umfang eines Vieleckes schon berechnen. Dies war aber sehr schwer, da die Ziffer Null noch nicht existierte und die Dezimalschreibweise noch nicht bekannt war. Trotzdem schaffte es Archimedes, und so ging er in die Mathematikgeschichte ein, zwei Annäherungswerte von Pi zu berechnen: 3 10/71 < π < 3 1/7. Heute würden wir schreiben: 3,14084507 < π < 3,142857143 oder 223/71 < π < 22/7. Berechnet man den Durchschnitt dieser beiden Werte, wird der Annäherungswert an Pi noch genauer: (22/7 + 223/7)÷2 =3123/994=3,141851107. Beschäftigen wir uns als nächstes mit Claudius Ptolemäus, er war griechischer Mathematiker, Geograph, Astronom, Astrologe und Philosoph. Unter anderem verstärkte er die Theorie, dass die Erde der feste Mittelpunkt des Weltalls sei und er berechnete sehr exakt Planetenbahnen. In der Mathematik hat Ptolemäus die Trigonometrie weiterentwickelt, diese Erkenntnisse verwendete er später in astronomischen Untersuchungen. Er hat auch einen sehr genauen Wert von Pi berechnet, dazu soll es während einer dieser astronomischen Untersuchungen gekommen sein. Es ist bekannt, dass er Archimedes Vorarbeit nutzte um zu seinem Wert zu gelangen, Ptolemäus soll bis zum 720-Eck gegangen sein um eine Annäherung zu erhalten. Als Wert für Pi erhielt er: 3 17/120 = 377/120 = 3,14166667. Dieser Wert weicht nur um 0,003 Prozent ab. „Wenn Sie den Umfang eines Kreises mit einem Durchmesser von 100 Metern berechneten, würde der Ptolemäische Wert um knapp einen Zentimeter von der richtigen Messung abweichen.“ ^[3]

1.3 Pi in der Bibel

Angenommen man liest in der Bibel zwischen den Zeilen, findet man zwei Annäherungen zu Pi, eine davon steht im Kapitel 1. Könige 7,23 „Dann machte Hiram ein großes rundes Bronzebecken. Sein Durchmesser betrug fünf Meter, sein Umfang fünfzehn Meter und seine Höhe zweieinhalb Meter.“ ^[4] Berechnet man jetzt Pi, dann überlegt man wie es dazu kommen kann, dass dieser Wert so ungenau ist. Denn schon vor ca. 2000 v. Chr. verwendeten Babylonier und Ägypter viel genauere Werte für Pi [π = 3⅛(3,125) , π = 256/81 (3,1605)]. Mathematiker und Bibelgelehrte rätseln nun warum Pi so erschreckend ungenau dargestellt wurde. Es gibt einige Spekulationen; eine davon ist, dass der Beckenumfang nicht direkt am Rand des Tempels, sondern weiter unten gemessen wurde.

1.4 “Erfinder” der Kreiszahl Pi

Sucht man nach dem “Erfinder” der Kreiszahl Pi, findet man diesen wohl kaum. Vor tausenden Jahren haben Mathematiker festgestellt, dass es eine immer wiederkehrende Zahl gibt, wenn man den Kreisumfang durch den Kreisdurchmesser teilt. Diese Menschen kann man aber nicht als „Erfinder“ von Pi ernennen. Man könnte sie nur als „Entdecker“ von Pi bezeichnen, denn Pi existierte bereits vorher. Sucht man aber dennoch nach einem „Erfinder“, dann gibt es einen Mathematiker, der Pi nach dem 16. griechischen Buchstaben π benannt hat: William Oughtred. Er benutzte 1647 als erstes den Buchstaben π um die Kreiszahl zu beschreiben. Zuvor gab es tatsächlich kein Symbol zur Bezeichnung dieses Verhältnisses. John Wallis benutzte einst den hebräischen Buchstaben □ um den Wert π/4 zu beschreiben. Später hatte Christoph Sturm, ein bayrischer Professor, den Buchstaben e eingeführt. Diese Bezeichnungen haben sich, wie man weiß, nicht durchsetzen können. Erst 87 Jahre später (1734) hat der einflussreiche Mathematiker Leonhard Euler den Buchstaben π als Bezeichnung für die Kreiszahl wieder aufgegriffen. Eulers Einfluss war so bedeutend, dass viele andere Mathematiker ab diesem Zeitpunkt auch π als Bezeichnung benutzten.

1.5 Die ersten Berechnungen von Pi

Man kann Pi nicht nur mit komplizierten Formeln bestimmen oder sich annähern, sondern auch mit einem Zufallsexperiment. Solch ein Experiment hat der Mathematiker Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788) entwickelt. Selbstverständlich wurde die Methode nach ihrem Erfinder benannt: Sie ist heute unter dem Namen „Buffonsches Nadelexperiment“ bekannt. Um das Experiment durchzuführen benötigt man ein Blatt Papier, eine Nadel, einen Stift und ein Lineal. Zuerst misst man die Länge der Nadel. Im zweiten Schritt werden parallele Linien im Abstand der Nadellänge auf das Blatt gezeichnet. Anschließend wirft man die Nadel auf das Blatt, dieser Versuch sollte möglichst oft wiederholt werden, da man so eine genauere Annäherung zu Pi bestimmen kann. Um ein Ergebnis aufweisen zu können muss während dem Versuch notiert werden, ob die Nadel eine Linie trifft oder eben nicht. Kommen wir zur eigentlichen Rechnung. Hierzu muss zunächst die relative Häufigkeit bestimmt werden, die in der Rechnung „h“ heißen wird. Die Formel zu Berechnung lautet: π ≈ 2/h. Je öfter die Nadel geworfen wurde, desto genauer kann man Pi bestimmen.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) war deutscher Mathematiker und Philisoph, er entwickelte die Arcustangenz-Reihe und leitete von dieser eine vereinfachte Formel ,in Form von einer Reihenentwicklung, ab: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Mit dieser Formel lässt sich Pi noch genauer berechnen, als mit der Monte-Carlo-Methode (siehe Seite 10). Führt man die Reihe bis zum Bruch 1/13 fort, so erhält man für Pi ≈ 0,8209 ·4 = 3,28 ; bis zum Bruch 1/15: π ≈ 0,75 ·4 = 3,02 ; bis zum Bruch 1 /19: π ≈0,76 ·4 = 3,04.

John Wallis (1616-1703) war englischer Mathematiker und forschte unter anderem auch in der Geometrie und Trigonometrie. 1655 erstellte Wallis eine unendliche rationale Formel mit der man Pi berechnen kann: π/2= Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten . Berechnet man Pi mit dieser Formel und den oben angegebenen Brüchen, so bekommt man als Zahl für Pi: 1,49 ·2 = 2,97. Dies ist eine sehr ungenauer Wert, also gilt: Je mehr Werte man in die Formel einfügt, desto genauer wird Pi berechnet.

1.6 Vergleich Pi früher- Pi heute

„Nur 39 Stellen von Pi sind ausreichend, um das Volumen des Universums auf Atomgröße genau zu berechnen.“ ^[5] Dieses Beispiel macht sehr deutlich, welch enorme Auswirkung nur 39 Dezimalstellen von Pi haben können. Besonders deshalb stellen sich Menschen häufig die Frage: zu welchem Zweck das alles? Denkt man über das vorherige Zitat nach, werden bei keiner Rechnung mehr als hundert Stellen von Pi vorausgesetzt. In der Tat verlangt ein Ingenieur nicht nach mehr als sieben Stellen hinter dem Komma, ein Physiker nicht nach mehr als 15-20. Welchen Grund haben demnach Mathematiker weiter zu rechnen? Diese Frage ist alles in allem nicht klar zu beantworten, aber man kann sich den Unterschied zu früher und heute deutlich machen.

[...]

^[1] Bentley, Peter J.

^[2] Blatner, David

^[3] Blatner, David

^[4] „Gute Nachricht für dich – Die Bibel“

^[5] http://abi-null-vier.net//pdf/facharbeiten/8.pdf