Der Begriff des Hecke-Operators wurde zuerst 1935 von Erich Hecke, zur Untersuchung sogenannter Modulformen eingeführt. Mit Hilfe dieser Operatoren lassen sich beispielsweise, für bestimmte Modulformen, welche als Eigenformen aller Hecke-Operatoren bezeichnet werden, Aussagen über deren Fourier-Koeffizienten treffen.
In dieser Arbeit sollen grundlegende Eigenschaften der Hecke-Operatoren erarbeiten, und mit deren Hilfe, Aussagen über die Arithmetik der Fourier-Koeffizienten von Eigenformen getroffen werden. Dies wird unter anderem genutzt, um die Produktdarstellung einiger Dirichlet-Reihen zu folgern.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Modulformen
- Hecke-Operatoren
- Anwendungen
- Anwendungen auf Eisenstein-Reihen
- Anwendungen auf Dirichlet-Reihen
- Ausblick
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Einführung und Untersuchung der Theorie der Hecke-Operatoren. Ziel ist es, die grundlegenden Eigenschaften dieser Operatoren zu erarbeiten und ihre Anwendungen auf die Arithmetik der Fourier-Koeffizienten von Eigenformen zu beleuchten.
- Einführung der Hecke-Operatoren und ihrer Eigenschaften
- Anwendungen der Hecke-Operatoren auf die Arithmetik von Fourier-Koeffizienten
- Zusammenhang zwischen Hecke-Operatoren und Dirichlet-Reihen
- Bedeutung der Hecke-Operatoren für die Theorie der Modulformen
- Anwendung der Hecke-Operatoren in anderen Bereichen der Mathematik
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Dieses Kapitel führt den Begriff des Hecke-Operators ein und erläutert die Zielsetzung der Arbeit. Es wird die Bedeutung der Hecke-Operatoren für die Untersuchung von Modulformen und deren Fourier-Koeffizienten hervorgehoben.
- Modulformen: Dieses Kapitel definiert den Begriff der Modulformen und behandelt die elliptische Modulgruppe. Es werden wichtige Eigenschaften von Modulformen wie die Fourier-Entwicklung und die Beschränktheit auf der oberen Halbebene behandelt.
- Hecke-Operatoren: Dieses Kapitel definiert die Hecke-Operatoren und untersucht ihre Eigenschaften. Es wird gezeigt, dass die Hecke-Operatoren auf dem Raum der Modulformen operieren und gewisse wichtige Eigenschaften bewahren.
- Anwendungen: Dieses Kapitel behandelt Anwendungen der Hecke-Operatoren. Es werden unter anderem die Anwendungen auf Eisenstein-Reihen und Dirichlet-Reihen diskutiert.
Schlüsselwörter
Die Arbeit konzentriert sich auf die Theorie der Hecke-Operatoren und ihre Anwendungen auf die Arithmetik von Fourier-Koeffizienten von Modulformen. Schlüsselbegriffe sind: Hecke-Operatoren, Modulformen, Fourier-Koeffizienten, Eigenformen, Eisenstein-Reihen, Dirichlet-Reihen, elliptische Modulgruppe.
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- Philipp Bartmann (Autor), 2016, Einführung in die Theorie der Hecke-Operatoren, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/342239
