Herleitung des Flächeninhalts eines Parallelogramms (Mathematik 7. Klasse, Gymnasium)

Inhalt

1.Stundenrelevante Angaben zur Lerngruppe

2. Angaben zur Sache

3. Didaktische Überlegungen
3.1 Unterrichtszusammenhang
3.2 Legitimation
3.3 Schwerpunktsetzung und didaktische Reduktion
3.4 Transformation und Antizipation

4. Ziele der Stunde

5. Methodische Überlegungen
5.1 Sozialformen
5.2 Medien / Materialien
5.3 Steuerungsverhalten

6. Anhang
6.1 Kommentierter Sitzplan
6.2 Verlaufsplanung
6.3 Antizipiertes Tafelbild
6.4 Material

7. Literaturangaben

1.Stundenrelevante Angaben zur Lerngruppe

Die Klasse setzt sich aus insgesamt dreißig Schülerinnen und Schüler (SuS) zusammen, dabei dominiert der Anteil des weiblichen Geschlechts enorm (zwanzig Mädchen und zehn Jungs). In dieser Lerngruppe führe ich seit Anfang Januar meinen eigenverantwortlichen Unterricht durch. Die SuS haben mich sofort als ihre neue Mathelehrerin akzeptiert und es herrscht ein sehr angenehmes Lehrer-Schüler-Verhältnis. Die Lernatmosphäre kann als produktiv bezeichnet werden: Die SuS arbeiten meist bereitwillig und interessiert mit, lassen sich aber auch gelegentlich durch ihre Nachbarn ablenken. Die Lerngruppe ist sehr diskutierfreudig, sodass ich mich meistens auf eine gute Mitarbeit im Unterrichtsgespräch verlassen kann. Auffallend ist die Breite der mündlichen Beteiligung: Es sind nicht immer dieselben SuS, die den Unterricht vorantreiben, sondern es ist durchaus möglich, dass die leistungsschwächeren SuS (vgl. 6.1) intensiv mitarbeiten und positive Beiträge leisten.

In Einstiegsphasen, in denen die SuS auf ein Problem hingeführt werden, ohne bereits fachspezifisch sehr stark gefordert zu werden, ist die Beteiligung im Klasse meist recht hoch. Einige SuS zögern nicht, erste Vermutungen, fehlerhafte oder unvollständige Vorstellungen und Gedanken mitzuteilen oder zur Diskussion zu stellen. Die SuS können sehr konzentriert in Gruppen arbeiten, ohne dabei vom Arbeitsauftrag in Außerschulisches abzuschweifen. Des Weiteren herrschen keine Antipathien zwischen einzelnen SuS, sodass jeder mit jedem arbeiten kann. Dies hat Auswirkungen auf die Wahl der Sozialformen (vgl. 5.1). Da die Lerngruppe sehr leistungsheterogen ist, empfiehlt es sich, binnendifferenzierte Arbeitsaufträge zu verteilen. Daher erhalten in der vorliegenden Stunde die leistungsstärkeren SuS (vgl. 6.1) die anspruchsvollere Variante eines Parallelogramms (vgl. 2). Auch sind die SuS geübt darin, Ergebnisse vor der Klasse zu präsentieren, was auch Auswirkungen auf die Wahl der Sozialformen hat (vgl. 5.1). Viele SuS sind in der Lage, geometrisch abstrakt zu denken, sodass das Herausschneiden und sinnvolle Umlegen von Teilstücken eines Parallelogramms keine Probleme bereiten sollte. Aufgrund ihrer erkennbaren Bereitschaft, sich auf neue Fragestellungen einzulassen, ist davon auszugehen, dass dies auch in diesem Fall möglich sein wird (siehe 3.4). Die einzige Schwierigkeit ist, dass viele SuS oft demotiviert sind, wenn sie nicht sofort den geeigneten Lösungsweg erfassen. Ich hoffe, dies durch das ansprechende Material auffangen zu können.

2. Angaben zur Sache

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Allgemeines Parallelogramm

Der Schwerpunkt der Stunde liegt auf dem Flächeninhalt eines Parallelogramms. Daher wird zunächst die Definition eines Parallelogramms betrachtet: Das Parallelogramm ist eine spezielle Form eines konvexen Vierecks, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel verlaufen. Die Höhe ist als Abstand zweier paralleler Seiten definiert. Die SuS haben in der Unterrichtsreihe schon die Definition sowie die grundlegenden Eigenschaften eines Parallelogramms kennengelernt. Sie wissen also, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, benachbarte Winkel 180° ergeben und dass gegenüberliegende Winkel gleich groß sind.

Die SuS sollen in dieser Stunde die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms selbstständig erarbeiten.^[1]

Hierbei kann man zwei Fälle unterscheiden:

1. Die Höhe lässt sich komplett in die Figur einzeichnen, wenn gilt.
2. Die Höhe lässt sich nicht komplett in die Figur einzeichnen, wenn gilt.

In dem ersten Fall kann das Parallelogramm orthogonal zu der Seite durch den Punkt getrennt werden und der abgetrennte Teil auf die linke Seite verschoben werden. Das abgeschnittene Dreieck hat bei einen Winkel von . Somit gilt ’ und somit . Es entsteht ein Rechteck mit den Seiten und Da nur auf der Achse von und verschoben wurde, hat sich die Grundseite und die Höhe nicht verändert (vgl. zweite Graphik).^[2]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Ein Trennvorgang ist erforderlich (eine Iteration)

Der zweite Fall ist etwas komplizierter, da man dort nicht nach der ersten Iteration zum Ergebnis kommt. Das Vorgehen ist aber analog. Man schneidet orthogonal zu durch den Punkt und verschiebt nach links. Diesen Vorgang wiederholt man, bis ein Rechteck mit den Seiten und entsteht (vgl. dritte Graphik).^[3]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Zwei Trennvorgänge sind erforderlich (Zweistufige Iteration)

3. Didaktische Überlegungen

3.1 Unterrichtszusammenhang

Diese Unterrichtsstunde stellt ein Element der Reihe „Flächeninhalte und Rauminhalte verschiedener geometrischer Figuren und Körper“ dar. In den Stunden zuvor haben sich die SuS intensiv mit dem Flächeninhalt des Dreiecks und des Trapezes befasst. Bei diesen beiden Themen habe ich besonderen Wert auf die Herleitung der Berechnung des Flächeninhalts gelegt. Somit haben die SuS bereits erste Erfahrungen im Umgang mit dem Zerlegen in verschiedene Teilfiguren zur Berechnung des Flächeninhalts sammeln können. In dieser Unterrichtsstunde tritt das strategische Abtrennen und Neu-Zusammensetzen in den Vordergrund. Interessant ist dabei die Genese einer geometrischen Figur deren Flächeninhalt sich problemlos bestimmen lässt. Die Einheit wird mit dem Anwenden der erarbeiteten Formal fortgesetzt.

Da es sich bei dem besuchten Unterricht um den zweiten Teil der Doppelstunde handelt, haben wir den ersten Teil zur Wiederholung benötigter Begrifflichkeiten genutzt.

3.2 Legitimation

Das Thema „Flächeninhalt eines Parallelogramms“ findet man im Kerncurriculum unter dem Aspekt „Die SuS begründen Formeln für den Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm und Trapez durch Zerlegen und Ergänzen“^[4]. Auch in unserer Alltagswelt begegnen uns immer wieder Parallelogramme wie beispielsweise im Wassersport oder beim Fliesenlege. Präsenter sind uns hingegen rechtwinklige Figuren, wie Rechtecke oder Quadrate, die jedoch auch ein Parallelogramm darstellen (Haus der Vierecke).

Die Vorgehensweise, das Parallelogramm zu zerlegen und zu einem neuen geometrischen Konstrukt zusammenzusetzen, fordert ein sehr problemorientiertes Denken, welches in jedem Fall gefördert werden soll und auch auf dem weiteren schulischen Weg der SuS immer wieder gefordert wird. Gerade dieser besondere Umgang mit geometrischen Flächen (zerlegen, umlegen, abschneiden etc.) stellt einen Vorgang dar, der sich auch in höheren Klassen als tragfähig erweist. Auch die Form des Parallelogramms wird im schulischen Alltag immer wieder auftauchen, sodass es für die SuS unausweichlich ist, sich mit dieser Thematik auseinanderzusetzen.

3.3 Schwerpunktsetzung und didaktische Reduktion

Der Schwerpunkt der Stunde liegt auf dem selbstständigen Herleiten der Berechnungsstrategie „Grundseite mal Höhe“ für den Flächeninhalt eines Parallelogramms. Die SuS sollen durch geeignetes Schneiden, Umlegen und Ergänzen die Form eines Parallelogramms auf eine ihnen bereits bekannte geometrische Form führen. Hierbei soll auch der mit Abb. 3 angesprochene Sonderfall thematisiert werden. Dabei konzentriert sich die gesamte Stunde auf die geometrische Herleitung, denn diese trägt zum Verständnis der SuS bei. Auf weitere mögliche Herleitungsalternativen sowie auf weitere Anwendungsaufgaben wird verzichtet.

3.4 Transformation und Antizipation

Ich habe mich zu Beginn der Stunde für eine Aufgabe entschieden, die die SuS motivieren soll. So werden die SuS zuerst mit einer sehr leicht zu erfassenden Aufgabe konfrontiert. Sie sollen überprüfen, ob die Fläche einer beschränkten Gewässerzone 3.000m² nicht übersteigt (vgl. Anhang Folie). Da es sich bei dieser Fläche um ein Rechteck handelt, werden die SuS auch keinerlei Probleme haben, den Flächeninhalt zu bestimmen. Nun sollen sie aber überprüfen, ob auch das danebenliegende Parallelogramm die Normwerte nicht übersteigt. Um dies zu überprüfen, müssen die SuS jedoch den Flächeninhalt eines Parallelogramms bestimmen, den sie zum momentanen Zeitpunkt noch nicht berechnen können. Daher lasse ich die SuS zunächst Vermutungen äußern. Hier gehe ich davon aus, dass einige SuS vorschlagen werden, dass Parallelogramm in zwei Dreiecke und ein Rechteck zu teilen und dann jeweils die Flächeninhalte der einzelnen Elemente zu bestimmen. Gerade weil die SuS sich in den Stunden zuvor sehr intensiv mit der Bestimmung des Flächeninhalts eines Dreiecks beschäftigt haben, werden sie versuchen, Dreiecke wiederzufinden. Allerdings werden die SuS hoffentlich schnell merken, dass diese Methode nicht zielführend ist, da uns dafür zu viele Angaben fehlen, wie beispielsweise die Höhe des Dreiecks oder auch die Seiten des Rechtecks. Somit erhoffe ich mir, dass die SuS selbstständig zur Fragestellung kommen, wie man den Flächeninhalt eines Parallelogramms bestimmen kann. Diese Fragstellung halte ich an der Tafel fest, um später darauf zurückgreifen zu können.^[5] Die vorgestellte Aufgabe habe ich in einen Sachkontext gehüllt, da ich der Meinung bin, dass SuS sich somit leichter in eine Aufgabe hineindenken können und zusätzlich auch mehr Begeisterung für die Sache entwickeln, als wenn ich ein Rechteck und zusätzlich ein Parallelogramm präsentiere.

In der Erarbeitungsphase erläutere ich zunächst die Aufgabenstellung genauestens und teile anschließend die Gruppen ein, sodass es zu keiner Unruhe während der Erläuterung der Aufgabe kommt. Nun sollen die Gruppen versuchen, mithilfe des Arbeitsblattes, ihren Gruppenmitgliedern und dem zusätzlichen Parallelogramm, welches sie nach Belieben zerschneiden können, eine Berechnungsstrategie für den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu finden. In dieser Phase liegt auch der Schwerpunkt der Stunde. Denn nur durch eine intensive Auseinandersetzung während der Erarbeitung, kann das Stundenziel erreicht werden. Da es zwei unterschiedliche Arten von Parallelogrammen gibt, habe ich entschieden, beide erarbeiten zu lassen. Hierbei ist eine deutliche Binnendifferenzierung zu vermerken, da das übliche Parallelogramm in der Erarbeitung um einiges leichter ist, da ein Iterationsschritt bereits genügt (vgl. 2). So gehe ich davon aus, dass es bei Arbeitsblatt A (vgl. Anhang), zunächst keine Probleme geben wird und auch die meisten SuS in der Lage sein werden, dass Parallelogramm dementsprechend abzuschneiden und wieder zu ergänzen. Die andere Art des Parallelogramms erfordert eine sehr viel intensivere Auseinandersetzung: Es muss mindestens an zwei Stellen etwas abgetrennt und wieder zusammengefügt werden (vgl. 2). Doch ich gehe davon aus, dass auch bei dieser Erarbeitung die SuS nach einem regen Austausch und viel kognitiver Arbeit letztendlich zu einem richtigen Lösungsweg kommen werden. Hier ist es durchaus möglich, dass die SuS unterschiedliche Vorgehensweisen in Betracht ziehen. So ist es zum einen möglich, dass Parallelogramm zweimal zu zerschneiden und die entsprechenden Teilstücke wieder anzulegen (vgl. 2), aber es ist auch durchaus möglich, dass die SuS nur einmal ein rechtwinkliges Dreieck herausschneiden und es oben wieder ansetzen und somit zu einem nicht parallel zu den „Bojenreihen“ verlaufendes Rechteck kommen. Beide Lösungswege sind richtig und haben ihre Berechtigung. Es ist durchaus möglich, dass einige SuS eventuell frustriert sind, weil sie nicht sofort ideal abteilen und somit das gewünschte Ergebnis nicht direkt erhalten. Dem versuche ich jedoch zum einen durch die Sozialform (vgl. 5.1) und zum anderen durch das Material (vgl. 5.3) entgegenzuwirken. Da wir in der Stunde zuvor die Grundbegriffe eines Parallelogramms wiederholt haben, erhoffe ich mir, dass die SuS durchaus in der Lage sind, anschließend eine Berechnungsstrategie zu erschließen und zu erläutern. Sollte es große Schwierigkeiten während dieser Phase geben, die nicht im Austausch mit der Gruppe gelöst werden können, so werde ich den einzelnen Gruppen durch gezielte Impulse wie beispielsweise: „Was fehlt denn, damit sich hieraus ein Rechteck ergibt?“ „Wissen wir denn, um welche Strecke es sich hier handelt?“ versuchen, zu helfen.

In der Sicherungsphase sollen die SuS ihre erarbeiteten Ergebnisse durch die kleinen transparenten Parallelogramme und dem OHP vorstellen und erklären, wie sie getrennt und wieder zusammengesetzt haben. Durch diese Phase sollen alle SuS auf einen Stand gebracht werden. Zusätzlich soll ein Zwischenplateau geschaffen werden. Anschließend sollen die SuS erläutern, wie man nun vorgehen kann, um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu bestimmen und wie die geeignete Berechnungsstrategie lautet. Diese Strategie werde ich dann an die Tafel schreiben, um sie so zu sichern (siehe Anhang Tafelbild). Ich gehe davon aus, dass es in dieser Phase wenige Schwierigkeiten geben wird, da die Probleme in der Phase zuvor geklärt werden sollten. Ein Problem, welches eventuell auftauchen könnte, ist, dass den schwächeren SuS nicht bewusst ist, wie man auf die Berechnungsstrategie kommt und die stärkeren SuS dies nochmals ausführlicher erklären müssen. An dieser Stelle wäre auch mein Minimalziel erreicht, daher bietet es sich an, hier einen alternativen Stundenausstieg zu setzen.

Durch die darauffolgende Vertiefungsphase soll das Maximalziel erreicht werden, nämlich, dass die SuS herausstellen, dass diese Berechnungsstrategie für jedes beliebige Parallelogramm Gültigkeit besitzt. Dies sollte den SuS nicht schwerfallen zu erkennen, denn bei den beiden Parallelogrammen handelt es sich um zwei unterschiedliche Fälle, die stellvertretend alle Parallelogramme abdecken. Eine Hinleitung ist durch gezielte Impulse, wie beispielsweise „Was fällt euch bei den beiden Parallelogrammen auf?“, „Was für Unterschiede gibt es und welche Gemeinsamkeiten weisen sie auf?“, möglich. Auch dieses Ergebnis schreibe ich gebündelt an die Tafel, um somit das Tafelbild zu komplettieren (vgl. Anhang Tafelbild). Hier wäre das zweite alternative Stundenende zu vermerken.

Sollte noch Zeit übrig sein, so werde ich die Ausgangssituation vom Stundeneinstieg nochmals betrachten lassen und die SuS fragen, ob sie nun überprüfen können, ob die Normwerte bzgl. der Größe eingehalten wurden. Da ich davon ausgehe, dass die meisten SuS in der Stunde mitkommen und den neu erarbeiteten Stoff verstehen werden, denke ich, dass diese Aufgabe nun auch kein Problem darstellt und sie nun einfach die Grundseite mit der Höhe malnehmen werden. So schließt sich der Kreis der Stunde.

[...]

^[1] Die Bezeichnungen sind im Wesentlichen in Abb. 1 erläutert. Mit g und h wird ein zusammengehöriges Paar von Grundseite und Höhe beschrieben.

^[2] Vgl. Nitschke, 2005, S. 26.

^[3] Der Flächeninhalt eines Parallelogramms könnte alternativ mithilfe der flächentreuen Abbildung hergeleitet werden, darauf wird aber an dieser Stelle verzichtet, weil die Stunde diesen Aspekt nicht berücksichtigt.

^[4] Kerncurriculum Niedersachsen S. 27, unter: http://db2.nibis.de/1db/cuvo/datei/ma_gym_si_kc_druck.pdf (abgerufen am 12.6.2016).

^[5] Falls mein gewünschtes Ergebnis schon vorweggenommen werden sollte, so werde ich die Idee des Schülers oder der Schülerin als Hypothese aufnehmen und sagen, dass wir nun herausfinden wollen, ob diese Hypothese stimmt.