Pell-Gleichung. Geschichtliche Entwicklung und Kettenbruchzerlegung


Examensarbeit, 2010

64 Seiten, Note: 1,0


Leseprobe

Danksagung
An dieser Stelle m¨
ochte ich mich besonders bei meinem Professor Victor Batyrev bedan-
ken, der mich w¨
ahrend meiner Zulassungsarbeit betreut und umfangreich unterst¨
utzt
hat. Außerdem m¨
ochte ich meinen Eltern danken, die mich nicht nur finanziell, sondern
auch moralisch immer unterst¨
utzt und mir den R¨
ucken gest¨
arkt haben. Ganz beson-
ders m¨
ochte ich mich bei Dhia Eddine Mansour bedanken, der mir auf der Suche nach
osungswegen immer Rede und Antwort stand.
i

Inhaltsverzeichnis
1
Die Geschichte der Pell-Gleichung
2
1.1
Brahmagupta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Bhaskara II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Narayana
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Europa im 17. Jhdt.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2
Kettenbr¨
uche
11
2.1
Einf¨
uhrung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Geschichte der Kettenbr¨
uche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Endliche Kettenbr¨
uche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4
aherungsbr¨
uche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5
Unendliche Kettenbr¨
uche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.6
Periodische Kettenbr¨
uche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3
Pell-Gleichung
45
3.1
Kettenbruchzerlegung von
d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2
osen der Pell-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4
Beispiele
57
4.1
Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.2
Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
ii

Einleitung
Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, welche sich im weitesten Sinne mit
den Eigenschaften der Zahlen besch¨
aftigt. Zu diesem Teilgebiet geh¨
ort unter anderem
auch die Lehre von den diophantischen Gleichungen. Eine diophantische Gleichung ist
eine Polynomfunktion in x, y, z, ... , bei der als L¨osungen nur ganze Zahlen erlaubt sind.
Zum Beispiel ax
n
1
y
m
1
z
p
1
+ bx
n
2
y
m
2
z
p
2
+ ... = d, wobei n
i
, m
i
, p
i
N
0
und a, b, d ganz-
zahlige Koeffizienten sind.
Die spezielle diophantische Gleichung der Form x
2
- dy
2
= 1 mit x, y Z und d eine
nicht-quadratische Zahl, heißt Pell-Gleichung. Anzumerken ist, dass (
±1, 0) immer eine
triviale L¨
osung ist und außerdem darf d nicht quadratisch sein, andernfalls w¨urde man
wieder (
±1, 0) als triviale L¨osung erhalten. Die Bezeichung der Pell-Gleichung geht auf
den englischen Mathematiker John Pell zur¨
uck, der 1611 in Sussex geboren wurde und
1685 in London verstorben ist.
Das Auffinden von ganzzahligen L¨
osungen der Pell-Gleichung hat viele Mathematiker
Jahrhunderte lang besch¨
aftigt. Schon Archimedes (ca. 287 v. Chr - 212 v. Chr) und
Diophantus untersuchten ¨
ahnliche Fragestellungen. Aber erst mit Langrange waren alle
Fragen, die man sich f¨
ur das L¨
osen der Pell-Gleichung gestellt hatte, gekl¨
art.
Zun¨
achst verschaffen wir uns einen kurzen ¨
Uberblick ¨
uber die geschichtliche Entwicklung
der Pell-Gleichung. Im zweiten Kapitel werden wir die Kettenbruchtheorie kennenlernen,
sodass wir im dritten Kapitel diese Theorie auf die Pell-Gleichung anwenden k¨
onnen,
was uns dann eine L¨
osung der Pell-Gleichung liefert. Zum Schluss wenden wir uns zur
Veranschaulichung noch einigen Beispielen zu.
1

1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
In diesem Kapitel wollen wir der Frage nachgehen, ob die Bezeichnung der Gleichung
x
2
- dy
2
= 1 als Pell-Gleichung gerechtfertigt ist oder nicht. Einfacher ausgedr¨
uckt: Hat
Pell zur Pell-Gleichung etwas beigetragen? Es gibt keinen Zweifel, dass die Pell-Gleichung
schon Jahrhunderte vor Pells Zeit untersucht worden ist. So wurde der erste Beitrag
schon mindestens 1000 Jahre vor Pells Zeit von Brahmagupta geleistet. Wir werden
deshalb mit Brahmaguptas Entdeckungen unsere geschichtliche Einf¨
uhrung beginnen.
1.1 Brahmagupta
Brahmagupta (598-668) war zwar der erste, der sich mit der Pell-Gleichung besch¨
aftigte,
aber fairerweise sollte man auch erw¨
ahnen, dass fr¨
uhere Mathematiker ¨
ahnliche Pro-
bleme schon untersuchten. Es gibt Anzeichen, dass griechische Mathematiker zur Pell-
Gleichung etwas beigetragen haben, jedoch findet man in der Literatur keine genauen
Angaben ¨
uber die Entdeckungen der Griechen. Das sogenannte
"
Rinder-Problem" von
Archimedes k¨
onnte man zum Beispiel auf die Pell-Gleichung zur¨
uckf¨
uhren. In diesem
Problem soll die Anzahl der Rinder (Bullen und K¨
uhe, mit je vier Sorten) in einer Herde
des Sonnengottes bestimmt werden. Hierzu gibt Archimedes ein paar Nebenbedingun-
gen an, die zus¨
atzlich gelten sollen. Die L¨
osung des Rinder-Problems jedoch, geht ¨
uber
die L¨
osung der Pell-Gleichung. Allerdings geht man davon aus, dass es nicht Archime-
des' Absicht war eine Verbindung zur Pell-Gleichung herzustellen. F¨
ur eine detaillierte
Ausf¨
uhrung des Rinderproblems bietet die Literatur eine umfassende Darstellung. Kom-
men wir aber nun zu Brahmaguptas Entdeckungen:
2

1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
Wir betrachten zun¨
achst folgende Gleichungen:
(b
2
- na
2
)(d
2
- nc
2
) = (bd + nac)
2
- n(bc + ad)
2
(b
2
- na
2
)(d
2
- nc
2
) = (bd - nac)
2
- n(bc - ad)
2
Falls b
2
- na
2
= 1 und d
2
- nc
2
= 1 gilt, dann folgt
(bd + nac)
2
- n(bc + ad)
2
= 1
(bd - nac)
2
- n(bc - ad)
2
= 1.
In anderen Worten, wenn (a, b) und (c, d) L¨osungen der Pell-Gleichung sind, so sind auch
(bc + ad, bd + nac) und (bc - ad, bd - nac) L¨osungen. Diese fundamentale und wichtige
Aussage wird als Brahmaguptas Lemma bezeichnet. Allgemein ausgedr¨
uckt bedeutet
dies:
Wenn (a, b) und (c, d) ganzzahlige L¨osungen der Pell-Gleichung der Form
na
2
+ k = b
2
und nc
2
+ k = d
2
sind, dann sind
(bc + ad, bd + nac) und (bc - ad, bd - nac)
auch ganzzahlige L¨
osungen der Pell-Gleichung nx
2
+ kk = y
2
.
Dieser Beweis ist auf die europ¨
aischen Mathematiker des 17.Jahrhunderts zur¨
uckzuf¨
uhren
(auf die hier sp¨
ater n¨
aher eingegangen wird), wohingegen Brahmaguptas Lemma von ihm
selbst 628 n. Chr. entdeckt wurde. Diese Methode wurde von den indischen Mathema-
tikern als
"
samasa" bezeichnet. Oder auch sp¨
ater als
"
Methode der Komposition". Und
genau diese Methode erlaubt es Brahmagupta, einige maßgebende Entdeckungen in Be-
zug auf die Pell-Gleichung zu machen.
Eine Eigenschaft, die er entdeckte war, falls (a, b) L¨osung der Pell-Gleichung ist, so ist
auch (2ab, b
2
+ na
2
) eine L¨
osung. Dies ergibt sich aus der Methode der Komposition,
wenn man (a, b) und (a, b) anwendet. Um eine weitere L¨osung der Pell-Gleichung zu er-
halten k¨
onnte man nun wieder die Methode der Komposition auf (a, b) und (2ab, b
2
+na
2
)
3

1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
anwenden. Letztendlich erkannte Brahmagupta hierdurch, dass er aus einer L¨
osung der
Pell-Gleichung viele weitere L¨
osungen finden kann.
Eine weitere wichtige Entdeckung machte Brahmagupta, indem er ein ¨
ahnliches Argu-
ment w¨
ahlte wie eben beschrieben:
Wenn x = a, y = b eine L¨osung von nx
2
+k = y
2
ist und wendet die Methode der Kompo-
sition auf (a, b) und (a, b) an, so erh¨alt man (2ab, b
2
+ na
2
) als L¨
osung von nx
2
+ k
2
= y
2
und diese Gleichung durch k
2
dividiert ergibt
x =
2ab
k
,
y =
b
2
+ na
2
k
als L¨
osung der Pell-Gleichung nx
2
+ 1 = y
2
.
Wie hilft uns das weiter? Denn x und y sehen nicht aus wie ganze Zahlen. Wenn k = 2
und (a, b) eine L¨osung von nx
2
+ k = y
2
ist, gilt na
2
= b
2
- 2. Dann ist
x = 2ab/2 = ab,
y = b
2
+ na
2
/2 = b
2
- 1
und dies ist in der Tat eine ganzzahlige L¨
osung der Pell-Gleichung. F¨
ur k = -2 gilt das
Argument genauso wie f¨
ur k = ±4, wenn auch die Methode etwas komplizierter ist. Dies
brachte Brahmagupta folgenden Vorteil:
Wenn er eine L¨
osung (a, b) gefunden hatte, welche die Pell-Gleichung im Sinne von
na
2
+ k = b
2
erf¨
ullt (wobei k = ±1, ±2, ±4 ist), so war es ihm dadurch m¨oglich vie-
le weitere ganzzahlige L¨
osungen zu finden. H¨
aufig konnte er triviale L¨
osungen finden,
welche f¨
ur eine der k-Werte galt und auf diese Weise in vielen F¨allen in der Lage war
osungen zu liefern.
Beispiel:
Wir versuchen die Gleichung 23x
2
+ 1 = y
2
zu l¨
osen. Dann erf¨
ullt a = 1 und b = 5
die Gleichung 23a
2
+ 2 = b
2
. Mit dem schon oben aufgef¨
uhrten Argument gilt, dass
x = 5 und y = 24 die Pell-Gleichung erf¨ullt. Die Methode der Komposition auf (5, 24)
angewendet liefert uns x = 2 · 5 · 24 = 240 und y = 24
2
+ 23
· 5
2
= 1151 eine andere
4

1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
osung.
1.2 Bhaskara II.
Einen weiteren Schritt unternahm der indische Mathematiker Bhaskara II. (1114-1185)
im Jahre 1150. Er entdeckte die
"
zyklische Methode", welche von den Indern als
"
cha-
kravala" bezeichnet wurde. Diese Methode war ein Algorithmus um L¨
osungen der Pell-
Gleichung nx
2
+1 = y
2
zu finden, wobei mit
"
nahe" liegenden Paaren (a, b) f¨ur na
2
+k =
b
2
begonnen wurde. a und b k¨onnen als teilerfremd angenommen werden, andernfalls
urde man eine noch
"
ahere" L¨
osung mit kleinem k erhalten. Dar¨uber hinaus ist klar,
dass auch a und k teilerfremd sind.
Diese Methode basiert auf einer einfachen Beobachtung. F¨
ur ein beliebiges m erf¨ullt
(1, m) die Pell-Gleichung n · 1
2
+ (m
2
- n) = m
2
. Nun wird die Methode der Komposi-
tion auf die Paare (a, b) und (1, m) angewendet und man erh¨alt
n(am + b)
2
+ (m
2
- n)k = (bm + na)
2
.
Teilt man diese Gleichung durch k, so ist
x =
am + b
k
,
y =
bm + na
k
eine L¨
osung der Gleichung nx
2
+
m
2
-n
k
= y
2
. Da a und k teilerfremd sind, w¨ahlt man m
so, dass am + b durch k teilbar ist. Bhaskara II. wusste, wenn m so gew¨ahlt wird, dass
am + b durch k teilbar ist, dann sind m
2
- n und bm + na auch durch k teilbar (jedoch
konnte er keinen Beweis angeben). Mit solch einer Wahl von m erh¨alt man
x =
am + b
k
,
y =
bm + na
k
als ganzzahlige L¨
osung der Pell-Gleichung nx
2
+
m
2
-n
k
= y
2
, wobei
m
2
-n
k
eine ganze Zahl
ist.
Außerdem wusste er, dass es unendlich viele m gibt, f¨ur die am + b durch k teilbar ist.
Er w¨
ahlte m genau so, dass m
2
- n im Betrag so klein wie m¨oglich wird. Sobald
m
2
-n
k
eine von den Werten
±1, ±2, ±4 war, wechselte er zu Brahmaguptas Methode ¨uber und
5

1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
benutzte dessen Methode um eine L¨
osung der Pell-Gleichung nx
2
+ 1 = y
2
zu erhalten.
Wenn
m
2
-n
k
keine von diesen Werten war, dann wiederholte er diesen Prozess und begann
diesmal mit der zur Pell-Gleichung nx
2
+
m
2
-n
k
= y
2
geh¨
orenden L¨
osung
x =
am + b
k
,
y =
bm + na
k
in genau der selben Weise, wie man es f¨
ur na
2
+ k = b
2
gemacht hatte. Zudem war
Bhaskara II. auch bekannt, dass der Prozess nach endlich vielen Schritten enden w¨
urde
(h¨
ochstwahrscheinlich nur durch ausprobieren). Der Prozess endet, wenn die Gleichung
nx
2
+ t = y
2
erreicht ist, wobei t {±1, ±2, ±4} ist. Aus seinem Werk
"
Bijaganita"
werden wir uns nun zur Verdeutlichung ein Beispiel anschauen:
Beispiel:
Gegeben ist die Pell-Gleichung 61x
2
+ 1 = y
2
. W¨
ahle m so, dass
m+8
3
eine ganze Zahl
und m
2
- 61 so klein wie m¨oglich ist. Sei m = 7, dann ist x = 5 und y = 39 eine L¨osung
der Pell-Gleichung nx
2
- 4 = y
2
. Und mit Brahmaguptas Methode erh¨
alt man
x = 226153980,
y = 1766319049
als kleinste L¨
osung der Gleichung 61x
2
+ 1 = y
2
.
Es gibt zwei ¨
uberzeugende Gr¨
unde, warum man heute davon ausgeht, dass Bhaskara
II. keinen Beweis f¨
ur seine Methode hatte. Erstens, der Beweis ist lang und schwierig
und w¨
are wom¨
oglich mit dem mathematischen Wissen der damaligen Zeit nicht machbar
gewesen. Zweitens, h¨
atte man den Beweis aufgeschrieben, dann w¨
are klar gewesen, dass
man nicht h¨
atte zu Brahmaguptas Methode wechseln m¨
ussen.
1.3 Narayana
Der n¨
achste Beitrag zur Pell-Gleichung wurde von Narayana Pandit (1340-1400) gelei-
stet, der im 14.Jahrhundert lebte und Stellung zu Bhaskaras Werk
"
Bijaganita" nahm.
Darin stellt er einige neue Beispiele zur zyklischen Methode dar.
6

1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
Beispiel 1:
Gegeben ist die Gleichung 103x
2
+ 1 = y
2
. W¨
ahle a = 1 und b = 10, dann erh¨alt man
103
· 1
2
- 3 = 10
2
.
ahle m so, dass m + 10 durch -3 teilbar ist und m
2
- 103 so kle´in wie m¨oglich ist.
Mit m = 11 erh¨alt man
103
· 7
2
- 6 = 7110
2
.
Als n¨
achstes muss man m so w¨ahlen, dass 7m + 71 teilbar durch -6 ist und m
2
- 103
so klein wie m¨
oglich ist. W¨
ahle m = 7 um die
103
· 20
2
+ 9 = 203
2
zu erhalten. Wir fahren weiter fort und w¨
ahlen m wieder so, dass 20m + 203 teilbar
durch 9 ist m
2
- 103 so klein wie m¨oglich ist. W¨ahle m = 11 um die Gleichung
103
· 47
2
+ 2 = 477
2
zu erhalten. Nun k¨
onnen wir Brahmaguptas Methode anwenden. Als L¨
osungen erhalten
wir dann
x = 22419,
y = 227528.
Beispiel 2:
Gegeben ist die Pell-Gleichung 97x
2
+1 = y
2
. Durch Anwendung der zyklischen Methode
kommen wir zu folgenden Gleichungen:
97
·1
2
+ 3 = 10
2
97
·7
2
+ 8 = 69
2
97
·20
2
+ 9 = 197
2
97
·53
2
+ 11 = 522
2
97
·86
2
- 3 = 847
2
97
·569
2
- 1 = 560410
2
7

1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
Anschließend wendet man Brahmaguptas Methode auf die letzte Gleichung an um die
osung
x = 6377352,
y = 62809633.
zu erhalten.
1.4 Europa im 17. Jhdt.
Die bedeutenden Ideen von Brahmagupta, Bhaskara II. und Narayana waren den eu-
rop¨
aischen Mathematikern im 17. Jahrhundert v¨
ollig unbekannt. Das europ¨
aische In-
teresse an der Pell-Gleichung begann 1657 mit Pierre de Fermat (1607-1665), der die
europ¨
aischen Mathematiker mit einer Aufgabe herausforderte:
"
We await, these solutions, which, if England or Belgic or Celtic Gaul do not produce,
then Narbonese Gaul will."
Narbonese Gaul war nat¨
urlich die Gegend in der Fermat lebte. Eine seiner Aufgaben,
war genau das Beispiel, mit welchem Bhaskara II. sich schon 500 Jahre fr¨
uher besch¨
aftig-
te. Die Aufgabe bestand darin, L¨
osungen zur Gleichung 61x
2
+ 1 = y
2
zu finden.
Mehrere Mathematiker nahmen Fermats Herausforderung an, insbesondere Bernard Fre-
nicle de Bessy (1605-1675), William Brouncker (1620-1684) und John Wallis (1616-1703).
Zwischen 1657-58 gab es einen regen Briefwechsel zwischenunter den Mathematikern,
welchen Wallis 1658 im
"
Commercium epistolicum" ver¨
offentlichte. Brouncker entdeckte
mit Hilfe der Kettenbr¨
uche einen Algorithmus, womit es ihm gelang L¨
osungen zur Pell-
Gleichung anzugeben. Kettenbr¨
uche waren zwar schon im 16. Jahrhundert bekannt, um
zum Beispiel gute N¨
aherungsbr¨
uche f¨
ur irrationale Zahlen zu finden; jedoch war Broun-
cker der Erste, der die Kettenbr¨
uche mit der Pell-Gleichung in Verbindung brachte.
Frenicle de Bessy`s Beitrag hierzu war die Dokumentierung der L¨
osungen der Pell-
Gleichung f¨
ur alle n = 1, ..., 150, dessen Ergebnisse aber nie ver¨offentlicht worden sind.
Seine Beitr¨
age sind deshalb verloren gegangen. Er forderte Brouncker heraus, der von
sich behauptete jede Pell-Gleichung l¨
osen zu k¨
onnen, die Gleichung 313x
2
+ 1 = y
2
zu
osen. Brouncker fand
8

1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
x = 1819380158564160,
y = 32188120829134849
als kleinste L¨
osung, indem er seine Methode anwandte und sendete diese an Frenicle de
Bessy mit dem Vermerk, er habe nur ein oder zwei Stunden daf¨
ur ben¨
otigt. Jedoch ist
die Methode, die Brouncker verwendete mit großem Rechenaufwand verbunden.
In dem Werk
"
Commercium epistolicum" gab Wallis zwei Methoden an, Brahmaguptas
Lemma zu beweisen, welche beide im wesentlichen auf die Gleichung
(b
2
- na
2
)(d
2
- nc
2
) = (bd + nac)
2
- n(bc + ad)
2
zur¨
uckzuf¨
uhren sind.
1658 ver¨
offentlichte Rahn ein Algebra-Buch, welches Beispiele der Pell-Gleichung ent-
hielt. Dieses Buch wurde mit Hilfe von Pell geschrieben und dies ist auch die einzi-
ge bekannte Verbindung zwischen Pell und der Pell-Gleichung. Sp¨
ater im Jahre 1685
ver¨
offentlichte Wallis sein Werk mit dem Titel
"
Treatise on Algebra". Dieses beinhalte-
te Methoden, die zu L¨
osungen der Pell-Gleichung f¨
uhren. Diese Methoden basieren auf
den Briefwechsel, den er im
"
Commercium epistolicum" 1658 ver¨
offentlicht hatte. Alle
bisherigen bekannten Methoden wurden darin vereint und in eine standardisierte Form
gebracht.
Dass sich aus einer bekannten L¨
osung viele weitere L¨
osungen ergeben, wissen wir aus
Brahmaguptas Lemma. Die Frage, die sich nun stellte ist: Existieren immer L¨
osungen
und wenn ja, wieviele? Einige Mathematiker behaupteten, dass zu jedem n L¨osungen
der Pell-Gleichung nx
2
+ 1 = y
2
existieren. Fermat behauptete korrekterweise, dass f¨
ur
jedes n die Pell-Gleichung unendlich viele L¨osungen besitzt, konnte aber keinen Beweis
angeben.
Ein weiterer bedeutender europ¨
aischer Mathematiker war Leonhard Euler (1707-1783).
Er wusste zwar ¨
uber Brounckers Beitrag zur Pell-Gleichung Bescheid, jedoch war er ¨
uber
die Leistungen der indischen Mathematiker in Unkenntnis. Euler konnte sowohl einen
Beweis zu Brahmaguptas Lemma liefern als auch zusammen mit Brouncker die Grundla-
ge f¨
ur den Zugang ¨
uber die Kettenbruchtheorie ergr¨
unden. Diesen Ansatz verfolgte auch
Joseph Louis Lagrange und ver¨
offentlichte 1766 eine vollst¨
andig ¨
uberarbeitete Version,
9

1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
sodass es mit Hilfe der Kettenbruchtheorie m¨
oglich war, L¨
osungen der Pell-Gleichung
nx
2
+ 1 = y
2
zu erhalten. Zudem lieferte er auch einen Beweis zu Fermats Behauptung,
es g¨
abe f¨
ur jedes n der Pell-Gleichung nx
2
+ 1 = y
2
unendlich viele L¨
osungen.
Dar¨
uber hinaus ist die Bezeichnung der Gleichung nx
2
+ 1 = y
2
als Pell-Gleichung auf
Euler zur¨
uckzuf¨
uhren. Wie aus vielen Quellen der Literatur zu entnehmen ist, vertreten
einige Mathematiker die Ansicht, dass Euler Brouncker und Pell verwechselt hat. Be-
gr¨
undet wird dies durch die von Wallis ver¨
offentlichten Werke, indem Euler irrt¨
umlich
annahm, die Beitr¨
age darin w¨
urden sich auf Pell beziehen und nicht auf Brouncker.
10

2 Kettenbr¨
uche
2.1 Einf¨
uhrung
In diesem Abschnitt werden wir die Theorie der Kettenbr¨
uche kennenlernen. Diese ist
amlich f¨
ur die Berechnung der L¨
osungen von Pell-Gleichungen von großer Bedeutung.
Bevor wir aber mit den Definitionen von Kettenbr¨
uchen beginnen, werfen wir einen
kurzen Blick auf die Geschichte der Kettenbr¨
uche. Kettenbr¨
uche spielen in der Mathe-
matik und ganz besonders in der Zahlentheorie eine bedeutende Rolle. Allgemein haben
Kettenbr¨
uche folgende Form:
a +
b
c +
d
e+..
.
Ein Kettenbruch ist also ein gemischter Bruch der Form a +
b
x
, wobei der Nenner x
wieder die Form eines gemischten Bruches besitzt. Dieser Aufbau wird so weiter fortge-
setzt.
Auf diese Weise ist es m¨
oglich, jede reelle Zahl durch Kettenbr¨
uche mit ganzen Zah-
len a, b, c, d, e, ... auszudr¨ucken. Von ganz großer Bedeutung sind regul¨are Kettenbr¨uche.
Hier haben die Zahlen (b, d, ...) den Wert 1. Das bedeutet, dass der Kettenbruch allein
durch die Zahlen (a, c, e, ...) bestimmt wird.
2.2 Geschichte der Kettenbr¨
uche
Die Idee der Kettenbr¨
uche enstand im 16. Jhdt durch das Bed¨
urfnis große Br¨
uche mit
großem Nenner und Z¨
ahler durch kleinere Br¨
uche zu approximieren.
11
Ende der Leseprobe aus 64 Seiten

Details

Titel
Pell-Gleichung. Geschichtliche Entwicklung und Kettenbruchzerlegung
Hochschule
Eberhard-Karls-Universität Tübingen  (Mathematisches Institut)
Note
1,0
Autor
Jahr
2010
Seiten
64
Katalognummer
V345439
ISBN (eBook)
9783668352285
ISBN (Buch)
9783668352292
Dateigröße
661 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Pell, Kettenbruch, Kettenbrüche, Gleichung
Arbeit zitieren
Recep Öksüz (Autor), 2010, Pell-Gleichung. Geschichtliche Entwicklung und Kettenbruchzerlegung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/345439

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Titel: Pell-Gleichung. Geschichtliche Entwicklung und Kettenbruchzerlegung



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