Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, welche sich im weitesten Sinne mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Zu diesem Teilgebiet gehört unter anderem auch die Lehre von den diophantischen Gleichungen. Eine diophantische Gleichung ist eine Polynomfunktion in x, y, z, ... , bei der als Lösungen nur ganze Zahlen erlaubt sind.
Die spezielle diophantische Gleichung der Form x2 − dy2 = 1 mit x, y ∈ Z und d eine nicht-quadratische Zahl, heißt Pell-Gleichung. Anzumerken ist, dass (±1, 0) immer eine triviale Lösung ist und außerdem darf d nicht quadratisch sein, andernfalls würde man wieder (±1, 0) als triviale Lösung erhalten. Die Bezeichnung der Pell-Gleichung geht auf den englischen Mathematiker John Pell zurück, der 1611 in Sussex geboren wurde und 1685 in London verstorben ist.
Das Auffinden von ganzzahligen Lösungen der Pell-Gleichung hat viele Mathematiker Jahrhundertelang beschäftigt. Schon Archimedes (ca. 287 v. Chr - 212 v. Chr) und Diophantus untersuchten ähnliche Fragestellungen. Aber erst mit Langrange waren alle Fragen, die man sich für das Lösen der Pell-Gleichung gestellt hatte, geklärt.
Zunächst verschaffen wir uns einen kurzen Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Pell-Gleichung. Im zweiten Kapitel werden wir die Kettenbruchtheorie kennenlernen, sodass wir im dritten Kapitel diese Theorie auf die Pell-Gleichung anwenden können, was uns dann eine Lösung der Pell-Gleichung liefert. Zum Schluss wenden wir uns zur Veranschaulichung noch einigen Beispielen zu.
Inhaltsverzeichnis
1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
1.1 Brahmagupta
1.2 Bhaskara II.
1.3 Narayana
1.4 Europa im 17. Jhdt.
2 Kettenbrüche
2.1 Einführung
2.2 Geschichte der Kettenbrüche
2.3 Endliche Kettenbrüche
2.3.1 Defintion
2.3.2 Theorem
2.3.3 Theorem
2.3.4 Notation
2.3.5 Bemerkung
2.4 Näherungsbrüche
2.4.1 Definition
2.4.2 Bemerkung
2.4.3 Theorem
2.4.4 Satz
2.4.5 Korollar
2.4.6 Theorem
2.4.7 Lemma
2.4.8 Lemma
2.5 Unendliche Kettenbrüche
2.5.1 Defintion
2.5.2 Theorem
2.5.3 Theorem
2.5.4 Theorem
2.5.5 Theorem
2.6 Periodische Kettenbrüche
2.6.1 Defintion
2.6.2 Defintion
2.6.3 Lemma
2.6.4 Lemma
2.6.5 Definition
2.6.6 Lemma
2.6.7 Lemma
2.6.8 Lemma
2.6.9 Theorem
2.6.10 Theorem
2.6.11 Theorem
2.6.12 Definition
2.6.13 Definition
2.6.14 Theorem
3 Pell-Gleichung
3.1 Kettenbruchzerlegung von √d
3.2 Lösen der Pell-Gleichung
4 Beispiele
4.1 Beispiel 1
4.2 Beispiel 2
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit besteht in der theoretischen Durchdringung der Pell-Gleichung, einer speziellen diophantischen Gleichung, sowie der systematischen Erarbeitung von Lösungsverfahren unter Verwendung der Kettenbruchtheorie. Dabei wird die Forschungsfrage verfolgt, wie durch die mathematische Analyse der Kettenbruchzerlegung ganzzahlige Lösungen für diese Gleichung generiert werden können.
- Historische Entwicklung der Pell-Gleichung von der Antike bis zum 17. Jahrhundert
- Fundamentale Theorie der endlichen und unendlichen Kettenbrüche
- Analyse periodischer Kettenbrüche und deren Bedeutung für quadratische Irrationalzahlen
- Methodik zur Bestimmung der Minimallösung der Pell-Gleichung mittels Kettenbruchzerlegung
- Praktische Anwendung der gewonnenen Erkenntnisse anhand konkreter Beispiele
Auszug aus dem Buch
1 Die Geschichte der Pell-Gleichung
In diesem Kapitel wollen wir der Frage nachgehen, ob die Bezeichnung der Gleichung x^2 − dy^2 = 1 als Pell-Gleichung gerechtfertigt ist oder nicht. Einfacher ausgedruckt: Hat Pell zur Pell-Gleichung etwas beigetragen? Es gibt keinen Zweifel, dass die Pell-Gleichung schon Jahrhunderte vor Pells Zeit untersucht worden ist. So wurde der erste Beitrag schon mindestens 1000 Jahre vor Pells Zeit von Brahmagupta geleistet. Wir werden deshalb mit Brahmaguptas Entdeckungen unsere geschichtliche Einführung beginnen.
1.1 Brahmagupta
Brahmagupta (598-668) war zwar der erste, der sich mit der Pell-Gleichung beschäftigte, aber fairerweise sollte man auch erwähnen, dass frühere Mathematiker ähnliche Probleme schon untersuchten. Es gibt Anzeichen, dass griechische Mathematiker zur Pell-Gleichung etwas beigetragen haben, jedoch findet man in der Literatur keine genauen Angaben über die Entdeckungen der Griechen. Das sogenannte „Rinder-Problem“ von Archimedes könnte man zum Beispiel auf die Pell-Gleichung zurückführen. In diesem Problem soll die Anzahl der Rinder (Bullen und Kühe, mit je vier Sorten) in einer Herde des Sonnengottes bestimmt werden. Hierzu gibt Archimedes ein paar Nebenbedingungen an, die zusätzlich gelten sollen. Die Lösung des Rinder-Problems jedoch, geht über die Lösung der Pell-Gleichung. Allerdings geht man davon aus, dass es nicht Archimedes’ Absicht war eine Verbindung zur Pell-Gleichung herzustellen. Für eine detaillierte Ausführung des Rinderproblems bietet die Literatur eine umfassende Darstellung. Kommen wir aber nun zu Brahmaguptas Entdeckungen:
Zusammenfassung der Kapitel
1 Die Geschichte der Pell-Gleichung: Dieses Kapitel beleuchtet die historische Herkunft der Pell-Gleichung und würdigt die Beiträge bedeutender Mathematiker wie Brahmagupta, Bhaskara II., Narayana und europäischer Gelehrter des 17. Jahrhunderts.
2 Kettenbrüche: In diesem mathematischen Grundlagenteil werden Theorie, Eigenschaften sowie die Konvergenz von endlichen, unendlichen und periodischen Kettenbrüchen detailliert erarbeitet.
3 Pell-Gleichung: Hier erfolgt die Anwendung der zuvor erlernten Kettenbruchtheorie zur Herleitung von Verfahren, um ganzzahlige Lösungen für die Pell-Gleichung zu finden und diese systematisch zu generieren.
4 Beispiele: Dieses abschließende Kapitel illustriert die theoretischen Lösungsverfahren anhand zweier spezifischer Anwendungsbeispiele und diskutiert die Komplexität bei großen Parametern.
Schlüsselwörter
Pell-Gleichung, Zahlentheorie, Diophantische Gleichungen, Kettenbrüche, Näherungsbrüche, Periodische Kettenbrüche, Brahmagupta, Bhaskara II., Quadratische Irrationalzahl, Fundamentallösung, Minimallösung, Dirichtletscher Approximationssatz, Konvergente, Ganzzahlige Lösungen
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser wissenschaftlichen Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Untersuchung der Pell-Gleichung (x² − dy² = 1) und stellt Verfahren zu ihrer Lösung vor.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die zentralen Themen sind die Zahlentheorie, die Theorie der Kettenbrüche und die spezifische Lösung diophantischer Gleichungen.
Welches primäre Ziel verfolgt die Arbeit?
Das Ziel ist es, Methoden zur systematischen Auffindung ganzzahliger Lösungen für die Pell-Gleichung zu entwickeln und zu erläutern.
Welche wissenschaftliche Methode kommt primär zur Anwendung?
Es wird primär die Theorie der Kettenbrüche sowie mathematische Induktion und Sätze der Approximationslehre verwendet.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in eine historische Analyse, eine theoretische Abhandlung über Kettenbrüche und die praktische Anwendung dieser Theorie auf die Pell-Gleichung.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit am besten?
Wichtige Begriffe sind Pell-Gleichung, Kettenbrüche, quadratische Irrationalzahlen und Fundamentallösungen.
Wie trägt die Kettenbruchtheorie zur Lösung der Pell-Gleichung bei?
Sie ermöglicht es, durch die Kettenbruchzerlegung von √d Näherungsbrüche zu finden, die direkt zu Lösungen der Gleichung führen.
Warum wird die Gleichung überhaupt Pell-Gleichung genannt?
Die Arbeit untersucht diese Bezeichnung kritisch und stellt fest, dass sie historisch betrachtet auf Euler zurückzuführen ist, der John Pell mit William Brouncker verwechselt haben könnte.
- Citation du texte
- Recep Öksüz (Auteur), 2010, Pell-Gleichung. Geschichtliche Entwicklung und Kettenbruchzerlegung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/345439
