Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, welche sich im weitesten Sinne mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Zu diesem Teilgebiet gehört unter anderem auch die Lehre von den diophantischen Gleichungen. Eine diophantische Gleichung ist eine Polynomfunktion in x, y, z, ... , bei der als Lösungen nur ganze Zahlen erlaubt sind.
Die spezielle diophantische Gleichung der Form x2 − dy2 = 1 mit x, y ∈ Z und d eine nicht-quadratische Zahl, heißt Pell-Gleichung. Anzumerken ist, dass (±1, 0) immer eine triviale Lösung ist und außerdem darf d nicht quadratisch sein, andernfalls würde man wieder (±1, 0) als triviale Lösung erhalten. Die Bezeichnung der Pell-Gleichung geht auf den englischen Mathematiker John Pell zurück, der 1611 in Sussex geboren wurde und 1685 in London verstorben ist.
Das Auffinden von ganzzahligen Lösungen der Pell-Gleichung hat viele Mathematiker Jahrhundertelang beschäftigt. Schon Archimedes (ca. 287 v. Chr - 212 v. Chr) und Diophantus untersuchten ähnliche Fragestellungen. Aber erst mit Langrange waren alle Fragen, die man sich für das Lösen der Pell-Gleichung gestellt hatte, geklärt.
Zunächst verschaffen wir uns einen kurzen Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Pell-Gleichung. Im zweiten Kapitel werden wir die Kettenbruchtheorie kennenlernen, sodass wir im dritten Kapitel diese Theorie auf die Pell-Gleichung anwenden können, was uns dann eine Lösung der Pell-Gleichung liefert. Zum Schluss wenden wir uns zur Veranschaulichung noch einigen Beispielen zu.
Inhaltsverzeichnis
- Die Geschichte der Pell-Gleichung
- Brahmagupta
- Bhaskara II.
- Narayana
- Europa im 17. Jhdt.
- Kettenbrüche
- Einführung
- Geschichte der Kettenbrüche
- Endliche Kettenbrüche
- Näherungsbrüche
- Unendliche Kettenbrüche
- Periodische Kettenbrüche
- Pell-Gleichung
- Kettenbruchzerlegung von √d.
- Lösen der Pell-Gleichung
- Beispiele
- Beispiel 1
- Beispiel 2
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Zulassungsarbeit befasst sich mit der Pell-Gleichung, einer speziellen diophantischen Gleichung, die seit Jahrhunderten Mathematiker beschäftigt. Die Arbeit verfolgt das Ziel, die Geschichte der Pell-Gleichung aufzuzeigen, die Theorie der Kettenbrüche zu erläutern und diese auf die Lösung der Pell-Gleichung anzuwenden.
- Die geschichtliche Entwicklung der Pell-Gleichung
- Die Theorie der Kettenbrüche
- Die Anwendung der Kettenbruchtheorie auf die Pell-Gleichung
- Die Lösung der Pell-Gleichung
- Beispiele zur Veranschaulichung
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel behandelt die Geschichte der Pell-Gleichung und beleuchtet die Beiträge von Brahmagupta, Bhaskara II., Narayana und europäischen Mathematikern im 17. Jahrhundert. Das zweite Kapitel führt in die Theorie der Kettenbrüche ein, die im dritten Kapitel zur Lösung der Pell-Gleichung angewendet wird. Das dritte Kapitel zeigt, wie die Kettenbruchzerlegung von √d zur Lösung der Pell-Gleichung verwendet werden kann. Im vierten Kapitel werden anhand von Beispielen die erlernten Methoden zur Lösung der Pell-Gleichung veranschaulicht.
Schlüsselwörter
Die wichtigsten Schlüsselwörter der Arbeit sind: Pell-Gleichung, diophantische Gleichungen, Kettenbrüche, Kettenbruchzerlegung, Näherungsbrüche, periodische Kettenbrüche, √d.
- Quote paper
- Recep Öksüz (Author), 2010, Pell-Gleichung. Geschichtliche Entwicklung und Kettenbruchzerlegung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/345439
