Darstellungsformen im Mathematikunterricht bei der Lösung mathematischer Probleme

Inhalt

1 Problemaufriss und Zielstellungen

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN
2.1 Begriffsbestimmungen
2.1.1 Darstellungs- oder Repräsentationsform
2.1.2 Repräsentation, kognitive
2.1.3 enaktiv
2.1.4 ikonisch
2.1.5 symbolisch
2.1.6 E – I – S:
2.2 Historische Aspekte
2.3 Entwicklungspsychologische Betrachtung
2.4 Pädagogische Aspekte
2.4.1 Die Unterrichtstheorie von Jerome BRUNER
2.4.2 Folgende Konzepte
2.5 Neurologische Aspekte
2.6 Wechsel der Darstellungsformen
2.7 Der Umgang mit Problemen – der Modellierungskreislauf
2.8 Normative Aspekte
2.8.1 Lehrplan
2.8.2 Bildungsstandards

3 Der Vergleich zweier Klassen bezüglich der ihnen zur verfügung stehenden darstellungsformen – eine empirische studie
3.1 Das klinische Interview
3.2 Allgemeine Voraussetzungen beider Klassen
3.2.1 WMS W. – Klasse W
3.2.2 NMS Niederösterreich – Klasse N
3.3 Die Untersuchung
3.3.1 Allgemeine Gesichtspunkte
3.3.2 Aufgabenstellung „Skandal hinter den sieben Bergen!“
3.3.2.1 Konzeption
3.3.2.2 Durchführung
3.3.3 Aufgabenstellung „Prozentetombola“
3.3.3.1 Konzeption
3.3.3.2 Durchführung
3.3.4 Aufgabenstellung „Klassensprecherwahl“
3.3.4.1 Konzeption
3.3.4.2 Durchführung
3.4 Auswertung
3.4.1 Auswertung Klasse W
3.4.1.1 „Skandal hinter den 7 Bergen“
3.4.1.2 „Prozentetombola“
3.4.1.3 „Klassensprecherwahl“
3.4.2 Auswertung Klasse N

4 ResüméE
4.1 Vergleich der drei Untersuchungen in Klasse W
4.2 Vergleich Klasse W – Klasse N
4.3 Conclusio

5 Zusammenfassung und Ausblick

6 Literaturverzeichnis

7 Anhang
7.1 Auswertung Klasse W:
7.1.1 Gesamtergebnis:
7.1.2 Detailergebnis „Skandal hinter den 7 Bergen“:
7.1.3 Detailergebnis „Prozentetombola“:
7.1.4 Detailergebnis „Klassensprecherwahl“:
7.2 Auswertung Klasse N:
7.2.1 Detailergebnis „Skandal hinter den 7 Bergen“:
7.3 Aufgabenstellungen:
7.3.1 Aufgabenstellung „Skandal hinter den 7 Bergen“
7.3.2 Aufgabenstellung „Prozentetombola:
7.3.3 Aufgabenstellung „Klassensprecherwahl“

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Stufen der Entwicklung nach Piaget

Abb. 2: Repräsentationsebenen

Abb. 3: Das Gehirn

Abb. 4: Zusammenfassung: Wechsel der Darstellungsformen

Abb. 5: Modellierungskreislauf nach Blum

Abb. 6: „Skandal hinter den sieben Bergen“

Abb. 7: Aufgabenkärtchen „Zwergenmützen"

Abb. 8: „Prozentetombola“

Abb. 9: Aufgaben „Prozentetombola"

Abb. 10: „Klassensprecherwahl"

Abb. 11: Anzahl der verwendeten Darstellungsformen – „Skandal hinter den 7 Bergen" - Schule W

Abb. 12: Art der verwendeten Darstellungsformen

Abb. 13: Beispiele für unsymmetrisch geteilte Kreise

Abb. 14: Anzahl der verwendeten Darstellungsformen – „Prozentetombola"

Abb. 15: Art der verwendeten Darstellungsformen

Abb. 16: Anzahl der verwendeten Darstellungsformen – „Klassensprecherwahl"

Abb. 17: Art der verwendeten Darstellungsformen

Abb. 18: Anzahl der verwendeten Darstellungsformen – „Skandal hinter den 7 Bergen" - Schule N

Abb. 19: Art der verwendeten Darstellungsformen

Abb. 20: Zusammenfassung der Ergebnisse

Abb. 21: „Art der verwendeten Darstellungsformen" zusammengefasst Klasse W

Abb. 22: „Art der verwendeten Darstellungsformen" geschlechtsspezifisch zusammengefasst Klasse W

Abb. 23: Vergleich der Anzahl der verwendeten Darstellungsformen

Abb. 24: Vergleich der Arten der verwendeten Darstellungsformen

Kurzzusammenfassung

Bilder, Taten, Zeichen, Worte – diese Begriffe stehen für die grundlegenden Formen wie Information dargestellt werden kann: enaktiv, ikonisch, symbolisch oder verbal. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Form der Information die Art und Weise beeinflusst, wie diese Information aufgenommen und verarbeitet wird. Jeder Mensch erschafft für sich ein individuelles Bezugssystem, zu dem er neue Fakten in Beziehung setzt. Je vielfältiger die Art der Informationspräsentation ist, desto höher ist die Anzahl der Möglichkeiten das Gehirn zu erreichen und desto größer ist somit auch die Wahrscheinlichkeit, dass die neue Information in den bestehenden Erfahrungsschatz integriert werden kann und die Kompetenzen des Menschen erweitert.

Ein Mathematikunterricht, der handelnde wie bildhafte Elemente vereint, die mathematische Symbolik bewusst einsetzt und den Kindern Worte gibt um Mathematik zu beschreiben, ist die Grundlage für die Nutzung unterschiedlicher Darstellungsformen zur Lösung mathematischer Probleme.

Summary

Pictures, actions, words – those terms describe how information can be shown. Information can be presented in four different ways: enactive, iconic, symbolic or verbal. Therefore, this bachelor thesis deals with the fact that the pattern in which information is transferred influences how information will be interpreted. Additionally, every individual creates a framework which he or she uses to connect and compare the information provided with his or her current knowledge. Accordingly, the higher the variety of the information provided, the higher the possibility to address the brain appropriately. Furthermore, this leads to the fact that the information can be easier processed and integrated. Consequently, remembering the information gets much easier, too.

As a result, the use of enactive elements combined with relevant pictures and mathematical symbols can help the pupils to find the right solution for mathematical problems. In addition, it is very important to provide the pupils with an appropriate language to describe mathematical problems and its solutions.

Vorwort

„ Das ist doch bitte logisch ….. die Lösung steht quasi eh schon an der Tafel und jetzt noch schnell die banale Lösung“. Als Absolvent des Mathematikunterrichts in den Siebzigerjahren des letzten Jahrhunderts ist mir aus eigener Erfahrung bekannt, wie weit Lehrende und Lernende aneinander vorbeireden können. Nachdem ich mich zwölf Jahre durch ein abstraktes Konstrukt namens „Mathematik“ gekämpft hatte, war auch für mich manches logisch, anderes auf ewig unverständlich.

Erst die Beschäftigung mit Entwicklungspsychologie und Fachdidaktik, sowie besonders die praktische Erfahrung während meiner Ausbildung an der pädagogischen Hochschule Niederösterreich, änderten das Bild. Nicht wir waren dereinst so begriffsstutzig, dass wir manche banale Dinge nicht verstanden, die uns unsere Lehrerinnen und Lehrer nahezubringen versuchten, sondern in Zeiten, da Montessoripädagogik gesellschaftlichen Randgruppen vorbehalten war und Bruner im (damals wirklich) fernen Amerika forschte, dachte niemand daran, dass eine andere Präsentation des Unterrichtsstoffs eine nachhaltig andere Aufnahme bei den Schülerinnen und Schülern bewirken könnte.

Aus dieser Erfahrung heraus nahm ich die Möglichkeit, mich im Rahmen meiner Bachelorarbeit in die Thematik der verschiedenen Darstellungsformen zu vertiefen, gerne an.

Baden, im Februar 2016 Thomas FUX

1 Problemaufriss und Zielstellungen

Die Mathematik bedient sich in hohem Maß der Abstraktion. Sie ist eine Sprache, um die Regelhaftigkeit von Vorgängen unserer Welt zu untersuchen und zu beschreiben und mit dieser Beschreibung berechenbar und vorhersagbar zu machen. Viele Mathematikerinnen und Mathematiker sehen das so, haben diese Sprache gelernt und benutzen sie in vielfältiger Weise. Schülerinnen und Schüler sind aber mit dieser Sprache noch nicht vertraut, sondern müssen von ihren Lehrerinnen und Lehrern an diese Denkweise herangeführt werden. Diese Lehrenden sind zwangsläufig selbst Mathematikerinnen oder Mathematiker, also sind Verständigungsprobleme zu erwarten.

Spricht die zwingende Logik der Mathematik nicht für sich selbst? Die Praxis zeigt, dass dem nicht so ist. Logik bedingt eine Vorstellung davon, was logisch sein soll. Dazu braucht der Mensch ein Bezugssystem, das ihm erlaubt Schlüsse zu ziehen und Entscheidungen zu treffen. Das Denken des Menschen ist im Gehirn verortet, aber auf welchen Wegen erreichen Informationen ihr Ziel und wie müssen diese Informationen gestaltet sein, um ihr Ziel zu erreichen? Informationen gelangen über alle Sinne in unser Bewusstsein. Daher gibt es mehrere Wege, die beschritten werden können. Dieselbe Information kann in verschiedener Gestalt präsentiert werden. Eine Frage ist, ob der Mensch hinsichtlich der Nutzung seiner Sinne festgelegt ist, oder ob ein Unterricht, der die Vielschichtigkeit und Vielgestalt thematisiert, Kinder dahin führen kann, Probleme mehrdimensionaler zu betrachten und Lösungen in mehreren Darstellungsformen zu suchen?

Zur Beantwortung dieser Fragen werden im ersten Teil dieser Arbeit Aspekte der Verwendung verschiedener Darstellungsformen von mathematischer Information in historischer, entwicklungspsychologischer, pädagogischer, neurologischer und normativer Sicht erörtert. Im zweiten Teil wird untersucht, ob Schülerinnen und Schülern einer ausgewählten 2. Klasse einer WMS in einer größeren Stadt W. eine größere Anzahl unterschiedlicher Darstellungsformen zur Lösung mathematischer Probleme zur Verfügung steht als Schülerinnen und Schülern einer vergleichbaren Schulklasse (NMS in Niederösterreich). Diese Klasse der W. Schule wurde ausgewählt, weil im Unterricht von der Lehrkraft aus pädagogischen und didaktischen Gründen der Schwerpunkt auf die vielfältigen Möglichkeiten der Darstellung und Präsentation von mathematischen Inhalten gelegt wurde. Den Schülerinnen und Schülern wurden die Sachverhalte bewusst in verschiedenen Formen präsentiert, zusätzlich wurden sie auch über die theoretischen Hintergründe der Repräsentationsformen informiert. Sie erfuhren welche Vorteile die verschiedenen Darstellungsarten bieten und welche Grenzen ihnen innewohnen. Eine empirische Studie soll zeigen, ob diese Kinder nach 3 Semestern dieses Unterrichts bei der Lösung mathematischer Probleme eine größere Vielfalt an Darstellungsformen nutzen als vergleichbare Schülerinnen und Schüler.

Dazu werden beide Klassen in einer klinischen Studie untersucht, gefilmt und die Ergebnisse quantitativ ausgewertet und verglichen.

2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN

In diesem Kapitel werden die theoretischen Grundlagen der Thematik der verschiedenen Darstellungsformen dargestellt. Es werden dabei historische, entwicklungspsychologische, pädagogische, neuronale und normative Aspekte beschrieben.

2.1 Begriffsbestimmungen

2.1.1 Darstellungs- oder Repräsentationsform

Objekte oder Begriffe können auf verschiedene Arten dargestellt werden, um anderen Menschen Wissen zu vermitteln. Das kann durch Handlungen geschehen, durch bildliche Vorstellungen oder mittels Symbolen und Sprache (vgl. LAUTER 2005, S. 22).

2.1.2 Repräsentation, kognitive

Die erste Phase einer durch einen Reiz ausgelösten Ereigniskette, die mit einer Handlung endet, ist die Bildung einer kognitiven Repräsentation der distalen Umgebung. (BALDWIN, 1969, S. 326 zit. in THOMAE, 20012, S. 124). Die „Welt des Individuums“ besteht aus diesen Repräsentationen, in denen mentale Repräsentanten als Mess- und Bezugsgrößen dienen (vgl. THOMAE, 20012, S. 124 f.).

2.1.3 enaktiv

Enaktiv bedeutet handelnd. Viele Dinge können nicht sinnhaft in Worten oder Bildern dargestellt werden. Es ist aber möglich, sie durch Handlungen zu erlernen oder zu erklären, beispielsweise Bewegungsabfolgen im sportlichen Bereich oder die Handhabung von Musikinstrumenten (vgl. BRUNER 1974, S. 16f.).

2.1.4 ikonisch

Ikonisch leitet sich vom griechischen Wort eikòn für Bild ab und bedeutet „bildhaft“ (DUDEN 20058, S. 438). Die ikonische Darstellung bedient sich mehr oder weniger schematisierter Bilder und graphischer Abbildungen (vgl. LAUTER 2005, S.76).

2.1.5 symbolisch

Symbolisch bedeutet „sich eines Symbols (vom griechischen sýmbolon, Zeichen) bedienend“ (DUDEN 20058, S. 1010). Bei dieser Darstellungsform werden von Menschen erdachte abstrakte Zeichensysteme angewandt, um formale Sprachen zu schaffen (vgl. LAUTER 2005, S78).

2.1.6 E – I – S

E – I – S steht für enaktiv – ikonisch – symbolisch und ist eine Kurzbezeichnung für die vom amerikanischen Psychologen Jerome BRUNER definierte Trias der Möglichkeiten, Wissen darzustellen (vgl. WITTMANN 2005, S. 87).

2.2 Historische Aspekte

12 + 9 = 21 ist eine aus unserer Sicht einfache Rechenoperation, die, genauso wie ähnliche, die längste Zeit der Menschheitsgeschichte für eine Vielzahl von Menschen unlösbar war. Die ersten Zahldarstellungen waren der Umwelt der Menschen entnommen und der ursprüngliche Zahlenraum entsprang dem Körper des Menschen – die zehn Finger, mit denen auf Gegenstände oder Besitz gedeutet wurde. Damit erfolgten die ersten Nummerierungen und für die Notation wurden Alltagsgegenstände verwendet. Etymologisch sind die Worte „Zahl“ und „zählen“ mit dem Wort „zeigen“ verwandt. Im Mittelalter wurde mittels eines Kerbholzes gezählt und gleichzeitig gezeigt. Durch Abstraktion entstanden im Lauf der Zeit daraus Zahlen (vgl. WEDELL 2011, S. 14).

Mit der zunehmenden Vernetzung der Gesellschaften, dem zunehmenden Handel und der damit verbundenen Notwendigkeit Handelswege zu etablieren, entwickelten sich auch komplexere Zahlensysteme, um damit Navigation zu betreiben, Handelsvolumina zu beschreiben und Kriege zu führen. Mit den Gütern reiste auch das Wissen. Die Zahlen verloren mit der Weiterentwicklung der Gesellschaften ihren greifbaren Bezug, die Entwicklung ging im europäischen Raum von den Fingerzahlen über die „Volkszahlen“ (Kerbhölzer, Bauernzahlen und Knoten) und Buchstabenziffern zu komplexen Zahlsystemen (vgl. WEDELL 2011, S. 21f.). In unserer Gesellschaft entwickelte sich daraus das Dezimalsystem, die Geschichte zeigt aber auch andere Systeme: in Mesopotamien, im Herrschaftsgebiet der Babylonier, wurden Hexagesimalsysteme verwendet (die sich in unseren Zeitangaben wiederfinden), einige Stämme der Ureinwohner Australiens haben keine Zahlwörter im eigentlich Sinn und auch keine Zählfolge (vgl. DAMEROV & SCHMIDT 2001, S. 1 – 8).

Das Zusammenleben der Menschen machte Zahlen und Schriftzeichen notwendig, und mit der zunehmenden Komplexität der Lebensumstände wuchs auch der Grad der Abstraktion, der mit dem Gebrauch von Zahlen und Zeichen verbunden war. Der Umgang mit und das Verständnis von Zahlen und Zeichen steht in direktem Zusammenhang mit der Entwicklung einer Gesellschaft bzw. eines Individuums.

2.3 Entwicklungspsychologische Betrachtung

Es scheint, dass die von Ernst HAECKEL postulierte biogenetische Grundregel, dass die Ontogenese eine Rekapitulation der Phylogenese ist, auch für Aspekte der psychischen Entwicklung von Menschen gilt. Diese in der Fachwelt zwar häufig diskutierte, aber in zentralen Belangen bestätigte Regel besagt, dass die Individualentwicklung eines Lebewesens analog zur entwicklungsgeschichtlichen Entwicklung seiner Spezies verläuft (vgl. EWERT 1976).

Der Schweizer Jean PIAGET erforschte bereits 1937 die geistige Entwicklung von Kindern und stellte eine ähnliche Entwicklung, wie die zuvor historisch geschilderte, fest: die Entwicklung von Kindern verläuft in Phasen, die unabhängig vom kulturellen Hintergrund sind. Laut den Erkenntnissen von PIAGET bilden Schemata, das sind organisierte Wissens- und Verhaltensmuster, die Grundbausteine des Wissens. Neue Erfahrungen werden in diese Schemata entweder eingefügt (Assimilation) oder die Schemata werden an diese Erkenntnisse angepasst (Akkommodation). Nach den Beobachtungen von PIAGET lassen sich in der kognitiven Entwicklung von Kindern vier Stufen unterscheiden:

- die sensomotorische Phase (von der Geburt bis zum Alter von etwa zwei Jahren):

In den ersten zwei Lebensjahren sammelt ein Kind Erfahrungen mit seinen Sinnesorganen und durch seine Bewegungen. Dinge werden im Wortsinn „begriffen“, die Welt existiert, soweit sie gesehen wird: was nicht mit den Sinnesorganen wahrgenommen werden kann, ist nicht existent.

- die präoperationale Phase (von ca. zwei bis sieben Jahren):

Das Denken von Kindern dieses Alters weist noch viele logische Irrtümer auf, die sinnliche Wahrnehmung überlagert noch stark logische Erkenntnisse. Beispielsweise überwiegt bei Umschüttaufgaben der visuelle Eindruck eine theoretische Erkenntnis. Kinder dieses Alters sind aber bereits in der Lage, sich komplette Handlungen auf gedanklicher Ebene vorzustellen, wenn diese Handlungen bereits praktisch ausgeführt worden sind.

- die Phase der konkreten Operation (von ca. sieben bis zwölf Jahren):

In dieser Phase verliert die Wahrnehmung an Bedeutung für die Urteilsbildung. Das Kind lässt sich nicht mehr so leicht täuschen und es kann voraussagen, was in konkreten Situationen geschehen wird. Es benötigt dazu noch reale Bezugspunkte und hat Schwierigkeiten, unrealistische Situationen („stellen wir uns vor, wir wären Christoph Kolumbus“) nachzuvollziehen.

- die Phase der formalen Operation (von ca. zwölf Jahren bis fünfzehn Jahren):

Erst in dieser Phase ist eine völlige Abstraktion für Kinder möglich. Sie können auf hypothetischer Ebene Probleme lösen, geistig variieren, logische Schlussfolgerungen ziehen und unrealistische Annahmen begreifen. Auch die durchdachte systematische Lösung von Problemen ist erst jetzt möglich (vgl. SCHWARZ 2015, S. 9 – 20).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Stufen der Entwicklung nach Piaget

(PLASSMANN & SCHMITT, www.uni-due.de/edit/lp/kognitiv/piaget_stufen3.jpg [3.12.2015] )

Trotz Kritik bezüglich der Linearität der Abfolge der Stufen und der Eindeutigkeit, manche Fähigkeiten bestimmten Entwicklungsstufen zuzuordnen (vgl. GINSBURG & OPPER 1998, S. 206 f.) sind die Grundzüge der Theorie Piagets noch heute anerkannt. Festzuhalten ist, dass in der Sekundarstufe 1 altersmäßig der Übergang von der Phase der konkreten Operation zur formal operativen Phase erfolgen sollte und demzufolge manche Schülerinnen und Schüler entwicklungsmäßig noch nicht in der Lage sind sich logisch abstrakte Inhalte des Mathematikunterrichts zu erschließen.

2.4 Pädagogische Aspekte

2.4.1 Die Unterrichtstheorie von Jerome BRUNER

Bereits in den Sechzigerjahren des letzten Jahrhunderts formulierte der amerikanische Psychologe Jerome BRUNER eine Unterrichtstheorie. Ausgangspunkt war die Erkenntnis, dass Umweltwahrnehmungen unwillkürlich zu Folgerungen führen. Diese Wahrnehmungen dienen als Stimuli, um mit der Hilfe von Extrapolationen und Interpolationen Vorhersagen und Folgerungen zu treffen, die über den unmittelbaren Informationsgehalt des Stimulus hinausgehen. Das setzt ein internales Modell der Welt voraus, das dies zulässt. Dieses Modell ist gleichzeitig das Speichersystem, in das Erkenntnisse abgelegt werden. In den ersten Lebensjahren ist die Reaktion auf einen Stimulus sehr unmittelbar und vorhersagbar. Intellektuelle Entwicklung besteht darin, dass die Reaktion immer unabhängiger von der unmittelbaren Eigenart des Stimulus wird. Durch vermittelnde Prozesse, die den Stimulus noch vor der Reaktion transformieren, wird der Reiz – Reaktionsmechanismus modelliert und durchbrochen. Entwicklung bedeutet in diesem Zusammenhang, immer mehr über die Information, die man bei einer singulären Gelegenheit erhalten hat, hinauszugehen, indem man Extrapolationen und Voraussagen trifft, die auf dem gespeicherten Modell basieren. Je weiter dieser Prozess fortschreitet, desto mehr ist es möglich, in Alternativen zu denken und so auf vielschichtige Anforderungen zu reagieren. Lehren wird hier als eine Wechselwirkung zwischen Lehrendem und Lernendem bezüglich der eigenen Erfahrungen gesehen (vgl. BRUNER 1974, S. 9 - 12).

Wie aber manifestieren sich solche Erfahrungen? Es bedarf einer anschaulichen Verkörperung eines Begriffs, eines Ankers, eines sogenannten Repräsentanten. Im Zusammenspiel solcher Repräsentanten ergeben sich weitere logische Verknüpfungen. Darauf gründen beobachtete Entwicklungsmuster, beispielsweise folgt auf die Erfahrung „Raum“ die Unterscheidung „leerer Raum“ und „voller Raum“ und in der Weiterführung die Erkenntnis der Proportionen.

Menschen übertragen Erfahrungen in ein Modell der Welt auf dreierlei Weisen:

- durch Handlungen,
- durch Bilder,
- und in abstrakten Begriffen.

Durch Handlung geschieht dies unmittelbar, weil dafür keine sprachliche Umsetzung notwendig ist. Bewegungsabläufe und Fertigkeiten können oft nur unzureichend verbal beschrieben, durch die Ausführung aber einfach begriffen werden. Diese Repräsentationsform wird als enaktiv bezeichnet.

Die Darstellung in zusammenfassenden Bildern, also durch ein Repräsentationssystem, das unsere visuellen und anderen sinnlichen Wahrnehmungen organisiert und damit den grundsätzlichen Organisationsprinzipien sinnlicher Wahrnehmungen unterliegt, ist eine andere Möglichkeit. Im Gegensatz zur enaktiven Form benötigt diese, als ikonisch bezeichnete Darstellung, bereits grundlegende Erfahrungen und ein Mindestmaß an Kommunikation.

Schließlich gibt es die abstrakte Repräsentation durch Symbole, also Worte oder Bilder, die per se keine Bedeutung haben. Symbole sind willkürlich, es gibt keinen Zusammenhang zwischen dem Symbol und der Sache. In diesem Sinne ist auch Sprache ein Symbol, weil die Bedeutung der Wörter von einer gemeinschaftlichen Übereinkunft abhängt. Im Gegensatz zur ikonischen Repräsentation, in der Bilder unmittelbar Inhalte vermitteln, braucht die symbolische Darstellung eine Erklärung bzw. eine davorliegende Erfahrung in einer anderen Repräsentationsform.

Offensichtlich ist die Entwicklung des menschlichen Intellekts darauf angelegt, diese drei Repräsentationsysteme aufzubauen und zu beherrschen (vgl. BRUNER 1974, S. 16 - 18).

Die Entwicklung eines Kindes folgt der Reihe enaktiv, ikonisch, symbolisch. Am Beginn ihrer Entwicklung gebrauchen Kinder die Sprache nur als Begleitung von Gesten. Dann werden Worte gebraucht, die Gegenstände bezeichnen, die sich in Griffweite oder später im Sichtbereich des Kindes befinden. Erst allmählich löst sich der Gebrauch der Bezeichnung von der Anwesenheit des Gegenstands und viel später entwickeln sich abstrakte Bezeichnungen und die Möglichkeit, geistige Aufgaben zu lösen. Schwierig zu klären ist die Frage, wie es zum Übergang zwischen den Repräsentationsformen kommt. Das gleichzeitige Auftreten von Sachverhalten in zwei Formen spielt dabei aber offensichtlich eine zentrale Rolle (vgl. BRUNER 1974, S. 20).

Sind alle drei Systeme entwickelt, bleiben sie nebeneinander bestehen und stehen dem Individuum zur Verarbeitung und Darstellung von Information zur Verfügung. Das bedeutet nicht, dass es sich dabei um Phasen in der Problembearbeitung handelt, sondern um unabhängige Werkzeuge, die sich ergänzen und überlagern (vgl. BRUNER J. 1974, S. 33). Triebfeder für die Entwicklung ist die logische Notwendigkeit – logisch nicht unbedingt in einem mathematischen Sinn, sondern in der erworbenen Gewissheit, dass sich gewisse Abläufe zwangsläufig wiederholen werden, weil sie es in der Vergangenheit getan haben (vgl. BRUNER J. 1974, S. 26).

2.4.2 Folgende Konzepte

Die Theorie Jerome BRUNERs gilt heute in zentralen Punkten als bestätigt und bildet die Grundlage vieler darauf aufbauender Theorien. Die prinzipielle Aufteilung in enaktive Repräsentanten, ikonische und symbolische, wurde auch von den auf BRUNER aufbauenden Forschern beibehalten und findet sich in der Literatur als E-I-S Prinzip (vgl. WITTMANN 2005, S. 87). Uneinigkeit besteht bei einer vierten Kategorie, der verbalen Darstellung. BRUNER selbst bleibt in seiner Beschreibung zwiespältig: einerseits sieht er die Sprache als zentrales Element des Unterrichts, da erst durch die Sprache der Gedankenaustausch möglich wird und die Sprache „das Mittel wird, das der Lernende nun selbst anwenden kann, um Ordnung in seine Umwelt zu bringen“ (BRUNER 1974, S. 13).

Damit räumt er der Sprache eine über Handlungen oder Bilder hinausgehende Position ein. Andererseits ordnet er die Sprache definitiv in die symbolische Repräsentation ein: „Schließlich gibt es die Repräsentation in Worten oder Sprache. Ihr Kennzeichen ist ihr symbolischer Charakter, und sie hat bestimmte Eigenheiten symbolischer Systeme, …“ (BRUNER 1974, S. 17).

Gegenwärtig hat sich die Sichtweise durchgesetzt, von vier grundsätzlichen Darstellungsformen auszugehen:

- der handelnden Darstellung mittels Arbeitsmaterialien, elektronischen Hilfsmitteln und der Körpersprache – die enaktive Ebene;

Sie unterstützt die Bildung geistiger Operationen, die kompositionsfähig, assoziativ und reversibel sind und ist somit besonders im Volksschulbereich, wo sich die Kinder in der Regel im konkretoperatorischen Entwicklungsstadium befinden, die bevorzugte Darstellungsform um mathematische Problemstellungen einzuführen (vgl. LAUTER 2005, S. 76).

- der bildhaft - grafischen Darstellung mittels Diagrammen, Abbildungen, Tabellen, Graphen, Bildern und Fotos – die ikonische Ebene;

Diese Darstellung ist von besonderer Bedeutung für die Veranschaulichung von Handlungsabläufen und stellt sie in mehr oder weniger schematisierter Form, beispielsweise als Fluss- oder Baumdiagramm, grafisch dar. Ein Problem dieser Darstellungsform liegt darin, dass zeitlich unterschiedliche Zustände des konkreten Handlungsablaufs gleichzeitig dargestellt werden (vgl. LAUTER 2005, S. 77). Die gleiche Problematik ergibt sich, wenn verschiedene Alternativen von Handlungen, die nicht simultan ausgeführt werden können, dargestellt werden. Somit setzt diese Form bereits Abstraktionsvermögen voraus (vgl. WITTMANN 19816, S. 87).

- der symbolischen Darstellung mittels Zeichen, Ziffern und Buchstaben - die symbolische Ebene;

Diese Form ist die abstrakteste jedoch mathematisch leistungsfähigste, da sie vom konkreten Einzelfall wegführt und Regeln für alle vergleichbaren Fälle beschreibt. Eine Formel beschreibt mit endlich vielen Zeichen eine unendlich große Zahl von Einzelfällen. Im Gegensatz zu den in der ikonischen Darstellung verwendeten Bildern weisen Symbole keine Ähnlichkeit mit dem Dargestellten auf, sie stellen nichts dar, sondern bedeuten etwas, sind Bedeutungsträger. Daraus ergibt sich die Möglichkeit Symbole zu Symbolsystemen zu vereinigen, was bei der Beschreibung mathematischer Strukturen zum Tragen kommt (vgl. WITTMANN 1981, S. 87ff.). Aber auch Sprachen sind solche Symbolsysteme, was zu einer weiteren Darstellungsform führt,

- der verbalen Darstellung mittels gesprochenem oder geschriebenem Wort – die verbale Ebene (vgl. DÖRFLER 2014, S. 5).

Die Problematik der Kategorisierung der verbalen Darstellungsform zeigte sich auch bei der Auswertung meiner empirischen Untersuchung: ursprünglich darauf ausgelegt in drei Darstellungsformen auszuwerten, erwies sich schon zu Beginn der Auswertung, dass manche Kinder die Sprache nicht als reines Ausdrucksmittel verwenden, sondern im Sprechen modellieren und die Worte in einer, der Verwendung von Zahlen gänzlich unterschiedlichen Weise, gebrauchen. Somit folgte auch diese Auswertung dem Ansatz einer eigenen verbalen Kategorie.

Diese vier Repräsentationsformen werden weiter unterteilt, innerhalb der enaktiven Form kann unterschieden werden:

- die echt enaktive Form, wobei jeder Schüler bzw. jede Schülerin selbst mit physisch vorhandenen Gegenständen aktiv wird;
- die semi-enaktiven Variante: hierbei hantiert der Lehrende an und mit Objekten, während die Lernenden nur beobachten;
- die virtuell – enaktive Form: eine erst durch die neuen Medien ermöglichte Variante, bei der Schülerinnen und Schüler mit Objekten einer computergestützten Umgebung manipulieren (vgl. HARTMANN & NÄF & REICHERT 2006, S. 116-117).

Besonders die letztgenannte Variante bietet im Rahmen der technischen Entwicklung viele Möglichkeiten. Bereits mit einfachen technischen Mitteln lassen sich mehrstufige Versuchsanordnungen virtuell so erstellen, dass die Schülerinnen und Schüler verschiedene Parameter verändern können – nicht mehr durch Eingabe von Zahlen, sondern tatsächlich durch Manipulationen, die den Vorgängen der Realität entsprechen, also Umfüllen von Stoffen, Abwiegen von Proben und ähnlichem (vgl. HARTMANN & NÄF & REICHERT 2006, S. 116-117).

Ich bezweifle allerdings, ob die virtuell – enaktive Form wirklich dem enaktiven Bereich zuzurechnen ist. Wie das nächste Kapitel zeigen wird, werden visuelle Eindrücke in anderen Gehirnregionen verarbeitet als haptische. Während bei der semi – enaktiven Variante die Möglichkeit, dass über die Spiegelneuronen die Verarbeitung in den entsprechenden Regionen geschieht, plausibel ist (vgl. KEMPMANN 2015, S. 4), sehe ich bei der virtuell – enaktiven Form keinen Grund, warum ein visueller Reiz, den ein Bildschirm darstellt, als haptisches Signal verarbeitet werden sollte. Meines Erachtens ist die virtuell – enaktive Form eigentlich eine ikonische Form, bei der nicht einfache Bilder oder Fotos, sondern zeitgemäß komplexe Medien eingesetzt werden.

Während die ikonische Darstellung in der Regel nicht weiter differenziert wird, wird in der symbolischen Ebene, speziell im mathematischen Kontext, eine Grenze zwischen

- der symbolisch – numerischen Darstellung, also der bloßen Verwendung von Ziffern, und
- der symbolisch – algebraischen Darstellung, also der Verwendung von Symbolen für Operationen und somit der völlig abstrakten Darstellung von mathematischen und logischen Sachverhalten gezogen (vgl. GRIESSHABER 2011, S. 79).

Vielfältiger wird die verbale Ebene gesehen: die Kommunikation der Schülerinnen und Schüler untereinander, sowie in der Regel in ihren Familien erfolgt in

- der Alltagssprache.

Diese unterscheidet sich von der im Unterricht gebräuchlichen Form zu kommunizieren, hier bedienen sich Lehrende regelmäßig

- einer Bildungssprache,

die für Lernende, besonders aus bildungsferneren Elternhäusern und solche mit nichtdeutscher Erst- oder Muttersprache oftmals die erste Sprachhürde darstellt, da ihnen die Übung im Umgang mit dieser Sprachform fehlt. Darüber hinaus gibt es in der Mathematik wie in fast allen wissenschaftlichen Fachbereichen

- eine eigene Fachsprache.

Besonders in Klassen mit großer muttersprachlicher Vielfalt kommt der Beachtung der verbalen Darstellungsform große Bedeutung zu, da die Sprache als zentrale Kommunikationsform in allen Darstellungsebenen von Bedeutung ist (vgl. PREDIGER & WESSEL 2011, S 164 f.)

Zusammengefasst lassen sich die vier Repräsentationsebenen und ihre Unterteilungen wie folgt darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Repräsentationsebenen (eigener Entwurf nach PREDIGER S. & WESSEL L.,

Praxis der Mathematik in der Schule 54 (Heft 45), 06/2012 S.12)

2.5 Neurologische Aspekte

Die Entwicklung bildgebender Verfahren hat es möglich gemacht, die Verarbeitung bestimmter Reize im Gehirn zu lokalisieren. Dabei hat sich gezeigt, dass Reize der verschiedenen Darstellungsformen auch in verschiedenen Gehirnarealen verarbeitet werden.

Haptische Eindrücke werden im primären und sekundären somatosensorischen Kortex, einem Teil der Großhirnrinde, verarbeitet. Dieses Areal verarbeitet Stimuli wie Druck, Berührung, Schmerz und Temperatur und ist damit Voraussetzung für die Bearbeitung komplexer Stimuli, wie das Erkennen dreidimensionaler Objekte, sowie das Erfassen von Bewegungsinformationen. Das somatosensorische System verfügt daher über enge funktionelle und anatomische Verflechtungen mit dem motorischen System. Darüber hinaus wird im Gehirn zwischen haptischen Stimuli, also aktiver Bewegung, und taktilen Reizen, die passiv wahrgenommen werden, unterschieden (vgl. GREFKES & EICKHOFF & FINK 2013, S. 376).

Akustische Reize, die unsere Ohren erreichen, werden über die auditorischen Bahnen verarbeitet. Sie werden vom Hörnerv zunächst zum nucleus cochlearis geleitet, dann im oberen Olivernkern im Hirnstamm und dem colliculus inferior im Mittelhirn verschaltet und gelangen über das Corpus geniculatum medialis im Thalamus in den auditorischen Kortex, der sich im Schläfenlappen befindet (vgl. GERTZ & LIEBMAN & SCHÜNKE 2003, S. 94 f.).

Visuelle Eindrücke werden von den Eingangsrezeptoren der Netzhaut des Auges an ein Areal im Hinterhauptlappen (Okzipitalkortex), dem primären visuellen Cortex, geleitet. Die Bedeutung des Sehens für den Menschen kann man daran erkennen, dass dieses Areal 15 % der gesamten Großhirnrinde ausmacht. Von hier werden Reize in über 30 verschiedene Areale gesandt, die an der Wahrnehmung, Verarbeitung und Interpretation von bzw. Reaktion auf visuelle Stimuli beteiligt sind. Insgesamt sind etwa 60 % der Großhirnrinde am Sehen beteiligt. Dabei sind nur die ersten Stufen, somit der unmittelbare visuelle Eindruck, wissenschaftlich gut erforscht. Weitgehend ungeklärt ist die Frage, wie spezielle visuelle Eindrücke verarbeitet werden bzw. wie die Entscheidung, was relevant ist, getroffen wird (vgl. GEGENFURTNER & WALTER & BRAUN 2002).

Vereinfacht dargestellt werden visuelle Reize zuerst im Occipitallappen (Hinterhauptslappen) verarbeitet, haptische und motorische Impulse im Parietallappen (Scheitellappen), der Temporallappen (Schläfenlappen) erhält und verarbeitet akustische Reize, während im Frontallappen (Stirnlappen) das logische und abstrakte Denken verortet ist. Alle Gebiete sind sowohl in der linken als auch in der rechten Gehirnhälfte vorhanden, wobei in der Regel der rechten Gehirnhälfte die Verarbeitung visueller Reize und nonverbaler Informationen, wie z.B. Zeichnen, räumliches Denken und Orientierung, zugeschrieben wird, wogegen die linke Gehirnhälfte vornehmlich für die Sprache und das Sprechen verantwortlich ist (reden, verstehen, lesen, schreiben) (vgl. DEUTSCHE STIFTUNG FÜR MENSCHEN MIT ERWORBENEN HIRNSCHÄDEN 2010).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3: Das Gehirn (www.neuro.sofiatopia.org) [20.12.2015]

2.6 Wechsel der Darstellungsformen

Die dargestellten historischen, psychologischen und neurologischen Fakten verdeutlichen, dass der menschliche Wahrnehmungsprozess nicht eindimensional verläuft, sondern sehr komplex in mehreren, von den menschlichen Sinnen bestimmten, Ebenen. Ebenso ist die Verarbeitung der so erlangten Informationen in verschiedenen Gehirnregionen verortet, die untereinander vernetzt sind und sich gegenseitig beeinflussen bzw. in gegenseitigen Abhängigkeiten stehen. Die unterschiedlichen Wahrnehmungsebenen entwickeln sich in verschiedenen Lebensabschnitten, bleiben aber nebeneinander bestehen und sind nicht hierarchisch geordnet, sondern ergänzen sich.

Jeder Mensch hat einen bevorzugten Wahrnehmungskanal. In Abhängigkeit davon unterscheidet Frederic VESTER in seinem 1975 erschienen Buch „Denken, lernen, vergessen“ vier Lerntypen:

- Lerntyp 1 lernt auditiv („durch Hören und Sprechen“),
- Lerntyp 2 lernt optisch/visuell („durch das Auge, durch Beobachtung“),
- Lerntyp 3 lernt haptisch („durch Anfassen und Fühlen“),

[...]