Implementierung einer zweidimensionalen, quadratischen Struktur mit vier Viereckelementen in MATLAB und ABAQUS. Modellierung und Simulation eines Dreipunktbiegeversuchs an einem faserverstärkten Werkstoff mit ABAQUS


Hausarbeit, 2016
26 Seiten, Note: 1,0

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Anhang

A Implementierung einer zweidimensionalen, quadratischen Struktur mit vier Viereckelementen in MATLAB & ABAQUS
1 Problembeschreibung
2 Implementierung des Problems in MATLAB
2.1 Benötigte Input- Daten für die Implementierung
2.2 Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen für alle vier Elemente
2.3 Berechnung der Systemsteifigkeitsmatrix
2.4 Verschiebungen
2.5 Spannungsfeld
2.6 Berechnung der Kräfte an den Knoten
2.7 Vergleich mit ABAQUS
2.8 Patch- Test

B Modellierung und Simulation eines Dreipunktbiegeversuchs an einem faserverstärkten Werkstoff mit ABAQUS
1 Problembeschreibung
2 Umsetzung
2.1 Erstellung der Bauteile
2.2 Material definieren
2.3 Materialzuweisung
2.4 Generierung eines Gitternetzes
2.5 Zusammenbau des Systems
2.6 Definition der Interaktionen zwischen den Bauteilen
2.7 Definition der Randbedingungen
2.8 Resultate

C MATLAB- Code für A

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Grafische Darstellung des gesamten zu implementierenden Problems in A

Abbildung 2: ξ-η-Koordinaten der Knoten eines Viereckelements

Abbildung 3: Vergleich der geografischen Lage zwischen alter und neuer Struktur

Abbildung 4: Vergleich der Strukturen in ABAQUS

Abbildung 5: Verschiebung beim Patch-Test

Abbildung 6: Vorder- und Seitansicht des Problems in B

Abbildung 7: Benötigte Teile für den Dreipunktbiegeversuch

Abbildung 8 Freiraum im Testbalken für die Kohlenstofffaser

Abbildung 9: Testbalken mit fertigem Gitternetz

Abbildung 10: Fertiger Zusammenbau der benötigten Struktur

Abbildung 11: Platzierung der Kohlenstofffasern im Testbalken

Abbildung 12: Finaler Zustand des Systems nach der Verschiebung des Pins nach unten

Abbildung 13: Spannung an den oberen Kanten der äußeren Fasern

Abbildung 14: Spannung an den inneren Kanten der inneren Fasern

Anhang

1_1_FEM_Robert_Egel_SS_16.m

1_2_FEM_Robert_Egel_SS_16_Patch_Test.m

1_3_FEM_Robert_Egel_SS_16_ABAQUS.cae

2_FEM_Robert_Egel_SS_16_ABAQUS.cae

FEM_Robert_Egel_SS_16

A Implementierung einer zweidimensionalen, quadratischen Struktur mit vier Viereckelementen in MATLAB und ABAQUS

1 Problembeschreibung

In den folgenden Kapiteln wird dargelegt, wie mit Hilfe von MATLAB und ABAQUS eine einfache quadratische, zweidimensionale Struktur mit vier Viereckelementen beschrieben werden kann. Konkret wird dabei die Deformation der gesamten Struktur, also die Verschiebungen an jedem Knoten, die auftretenden Kräfte und das Spannungsfeld berechnet.

Dabei besitzt die zu berechnende Struktur eine Länge (x-Achse) und Höhe (y-Achse) von 10 [mm] und eine Breite (z-Achse) von 2 [mm]. Weil ein ebener Verzerrungszustand angenommen wird, treten Längenänderungen nur in zwei Richtungen (bei diesem Problem in x- und y- Richtung) auf.

Bei diesem Problem ist die linke Kante in x-Richtung und die untere Kante in y-Richtung fixiert. Gleichzeitig wird die gesamte obere Kante um 1.5 [mm] verschoben. In Abbildung 1 ist das gesamte Problem grafisch aufgezeigt.

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Abbildung 1: Grafische Darstellung des gesamten zu implementierenden Problems

Das Material wird mit den Lamé-Konstanten und besitzen. welche die Werte [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] besitzen.

Hinweis: Damit die Verbindungen zwischen der Arbeit und dem MATLAB- Code verständlicher werden, sind Elemente, die im Code auftauchen, dich und in blau geschrieben.

2 Implementierung des Problems in MATLAB

Im Folgenden wird schrittweise die Implementierung des in Kapitel A.1 aufgezeigten Problems beschrieben.

2.1 Benötigte Input-Daten für die Implementierung

Der erste Schritt bei der Implementierung stellt das Definieren der Eingabedaten in MATLAB dar. Bei den Daten wird unterschieden zwischen Informationen, die für die gesamte Struktur und Informationen, die für ein einzelnes Element von Bedeutung sind. Nachfolgend sind zuerst letztere aufgezeigt.

2.1.1 Benötigter Input für die Definition eines Elements

Weil es sich bei den Elementen um Viereckelemente handelt, besitzt jedes von ihnen 4 Knoten (Zeile 71) und 4 Gaußpunkte (Zeile 78). Um das Element räumlich zu beschreiben sind die physikalischen Koordinaten, also die Koordinaten im selbst gewählten Koordinatensystem notwendig. Diese werden in Form von zwei Matrizen, unterteilt in x- und y- Positionen definiert, wobei in beiden Matrizen eine Spalte die Positionen von einem Element beschreibt (Zeile 80 -90). Zusätzlich zu den physikalischen Koordinaten wird ein natürliches Koordinatensystem, welches in ξ-η-Koordinaten unterteilt ist eingeführt. Die Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Koordinaten pro Element variieren zwischen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Dies wird in Abbildung 2 dargestellt.

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Abbildung 2: ξ-η-Koordinaten der Knoten eines Viereckelements

Die Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen Ke eines vierknotigen Lagrange- Element erfolgt mit Hilfe von Ansatzfunktionen (siehe Kapitel A.2.2.1 und Kapitel A.2.2.4). Um diese zu berechnen, werden die ξ-η-Koordinaten der Gaußpunkte eines Elements benötigt (Zeile 121-125).

2.1.2 Benötigter Input für die Definition der gesamten Struktur

Die gesamte Struktur besteht aus vier Elementen (Zeile 6), weshalb insgesamt 9 Knoten vorhanden sind (Zeile 12). Weil das gegebene Problem zweidimensional ist, werden für die weiteren Berechnungen 2 Freiheitsgrade pro Knoten benötigt (Zeile 9); es gibt also insgesamt 18 Freiheitsgrade im System. Die Verbindung zwischen der gesamten Struktur und den vier Elementen wird mit Hilfe der Konnektivitätsmatrix connectivity dargestellt (Zeile 17 - 21). Sie drückt aus, welcher Knoten im gesamten System zu welchem Element gehört. Dabei stellt eine Spalte der Matrix die Knoten eines Elements dar.

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Die Berechnungen der Verschiebungen und Kräfte an den Knoten basiert auf der Teilung von aktiven und passiven Freiheitsgraden (siehe Kapitel A.2.4.1). Ein Freiheitsgrad ist dann aktiv, wenn seine Verschiebungen vor der Berechnung unbekannt sind; ein passiver Freiheitsgrad ist also ein Freiheitsgrad, der vor der Berechnung definiert wird. Für die Unterscheidung wird ein Hilfsvektor d_act_help erstellt (Zeile 26). Eine „1“ steht für einen aktiven, eine „0“ für einen passiven Freiheitsgrad. Alle Freiheitsgrade sind im Vektor d_numbers aufgezeigt. Dieser ist von 1 bis zur Anzahl der Freiheitsgrade durchnummeriert.

Für die Unterscheidung von Randknoten und inneren Knoten wird nach dem gleichen Prinzip wie beim Vektor d_act_help ein Vektor Randknoten definiert, wobei „1“ für einen Freiheitsgrad eines Randknotens steht und „0“ dementsprechend für einen Freiheitsgrad eines inneren Knotens (Zeile 31).

Die Verschiebungen der passiven Freiheitsgrade sind im Vektor u_pas aufgezeigt (Zeile 40). Die letzten drei Elemente des Vektors symbolisieren die Verschiebung der Knoten an der oberen Kante (Knoten 7, 8 und 9) um 1,5 [mm] nach oben. Alle anderen passiven Freiheitsgrade sind fixiert.

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Die Dicke des Teils beträgt 2 [mm] (Zeile 46). Als letztes muss das Material definiert werden. Wie im Kapitel A.1 erwähnt geschieht das mit Hilfe der Lamé-Konstanten λ und µ (Zeile 48 und Zeile 52). Die Beschreibung des Materials selber erfolgt durch die C_el- und C_eng- Matrizen (Zeile 53 - 60). Diese werden wie folgt definiert:

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Formel 1: Materialeigenschaften C_el und C_eng - Matrix

2.2 Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen für alle vier Elemente

Jedes Element wird beschrieben durch eine Elementsteifigkeitsmatrix, welche, wie ihr Name schon sagt, die Steifigkeit eines Elements bei der Anwendung der FEM darstellt und somit Auswirkungen auf das Verhalten des Elements besitzt. Sie hängt sowohl vom eingesetzten Material als auch von der Größe und Form des Elements ab.

Die Berechnung für jedes Element erfolgt durch viermaliges Durchführen einer for-Schleife (Zeile 117 - 157) aufgrund von vier vorhandenen Gaußpunkten in einem Viereckelement.

Im Folgenden wird schrittweise aufgezeigt, wie die Elementsteifigkeitsmatrix für alle vier Elemente berechnet werden.

2.2.1 Ansatzfunktionen

Für die Beschreibung des Verschiebeverhaltens von Viereckelementen werden folgende vier Ansatzfunktionen benutzt, die von den natürlichen Koordinaten ξ und η abhängig sind:

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Formel 2: Ansatzfunktionen eines bilinearen Lagrange-Element

Die Eingabe der Ansatzfunktionen wird in den Zeilen 120 - 124 im Code durchgeführt in Form einer 4×1- Vektors (h). Die Berechnung der Ansatzfunktionen selber erfolgt über die Gaußpunkte des Elements, sodass für ξ und η die Koordinaten der vier Punkte genommen werden. Weil alle Elemente in dem vorherrschenden Problem die gleichen sind, nimmt der Vektor der Ansatzfunktionen immer den gleichen Wert an:

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2.2.2 Jacobi-Matrix

Bis jetzt wurden die Elemente und ihre Komponenten in den natürlichen Koordinaten c, und r| beschrieben. Weil aber die Berechnung der Verschiebungen (siehe Kapitel A.2.4.3) in physikalischen Koordinaten erfolgt, wird eine Methodik benötigt, um die Ableitung der Ansatzfunktionen nach x-y-Koordinaten zu berechnen. Dies geschieht mit Hilfe der Jacobi-Matrix J. Diese wird wie folgt gebildet für ein zweidimensionales Viereckelement:

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In der Formel ist ersichtlich, dass die Determinante der Ansatzfunktionen mit den physikalischen Koordinaten multipliziert werden muss, um die Jacobi-Matrix zu bekommen (Zeile 132-136).

Insgesamt werden bei vier Elementen 16 Jacobi-Matrizen. also für jeden Gaußpunkt eine, benötigt. Im Folgenden wird beispielhaft die Jacobi-Matrix für den ersten Gaußpunkt im vierten Element aufgezeigt.

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2.2.3 B-Matrix

Um die Ke zu berechnen wird ein Faktor benötigt, cler eine Verknüpfung zwischen den Verzerrungen und Verschiebungen herstellt. In dieser Berechnung wird hierfür die B-Matrix B verwendet.

Um die B-Matrix zu berechnen, wird die Jacobi-Matrix (Kapitel A.2.2.2) in physikalischen Koordinaten Jxbenötigt. Um diese zu bekommen, muss die Determinante der Ansatzfunktionen mit der inversen vorher berechneten Jacobi-Matrix multipliziert werden (Zeile 147-148).

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Beispielhaft ist hier die Jacobi-Matrix in physikalischen Koordinaten für den ersten Gaußpunkt des vierten Elements aufgezeigt.

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Die B-Matrix besteht aus den einzelnen Elementen der physikalischen Matrix (Zeile 150 -153). Die Anordnung der B-Matrix ist in der Formel 5 aufgezeigt. Dabei symbolisiert die erste Zahl in der Klammer die Zeile und die zweite Zahl die Spalte in der physikalischen Jacobi-Matrix.

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Formel 5: B-Matrix

Beispielhaft wird hier im Folgenden die B-Matrix für den ersten Gaußpunkt des vierten Elements aufgezeigt.

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2.2.4 Elementsteifigkeitsmatrix

Mit der Berechnung Jacobi-Matrix, der B-Matrix und der C_el-Matrix sind nun alle Faktoren gegeben, um die Elementsteifigkeitsmatrix zu berechnen (Zeile 155 - 156). Die Formel hierfür lautet:

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Formel 6: Elementsteifigkeitsmatrix

Das Ergebnis der Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix sind vier 8x8- Matrizen. In der folgenden Matrix sind die Werte der ersten drei Spalten und Zeilen der Elementsteifigkeitsmatrix für das vierte Element aufgezeigt.

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2.3 Berechnung der Systemsteifigkeitsmatrix

2.3.1 Projektionsmatrix

Mit Hilfe der Projektionsmatrizen kann herausgefunden werden, welche Freiheitsgrade im gesamten System zu dem jeweiligen Element gehören. Die Matrix besteht nur aus den Werten „1“ und „0“. „1“ sagt aus, dass der Freiheitsgrad zum Element, „0“ sagt, dass der Freiheitsgrad nicht zum Element gehört. Bei insgesamt vier Elementen werden vier Projektionsmatrizen benötigt (Zeile 162 - 180). Dabei existiert folgender Zusammenhang:

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Formel 7: Zusammenhang zwischen gesamten Freiheitsgraden und den Freiheitsgraden eines Systems

Werden die Freiheitsgrade mit der Formel 7 für das vierte Element gesucht, kommt folgendes heraus:

[...]

Ende der Leseprobe aus 26 Seiten

Details

Titel
Implementierung einer zweidimensionalen, quadratischen Struktur mit vier Viereckelementen in MATLAB und ABAQUS. Modellierung und Simulation eines Dreipunktbiegeversuchs an einem faserverstärkten Werkstoff mit ABAQUS
Hochschule
Leuphana Universität Lüneburg  (Institut für Produkt- und Prozessinnovation)
Note
1,0
Autor
Jahr
2016
Seiten
26
Katalognummer
V351706
ISBN (eBook)
9783668381643
ISBN (Buch)
9783668381650
Dateigröße
1242 KB
Sprache
Deutsch
Reihe
Aus der Reihe: e-fellows.net stipendiaten-wissen
Schlagworte
Matlab, FEM, Viereckelement, Abaqus, Simulation, Implementierung
Arbeit zitieren
Robert Egel (Autor), 2016, Implementierung einer zweidimensionalen, quadratischen Struktur mit vier Viereckelementen in MATLAB und ABAQUS. Modellierung und Simulation eines Dreipunktbiegeversuchs an einem faserverstärkten Werkstoff mit ABAQUS, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/351706

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