Ausgewählte Modelle, lösbar mit dem Entscheidungsbaumverfahren

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Ein deterministisches Losgrößenmodell mit diskreter Nachfrage

3. Ein stochastisches Losgrößenmodell mit diskreter Nachfrage (a)

4. Ein stochastisches Losgrößenmodell mit diskreter Nachfrage (b)

Quellenverzeichnis

1. Einleitung

In der Praxis sind oftmals diskrete Verläufe von Lagerabgängen zu beobachten, so daß untersucht werden muß, welche Hilfsmittel für die Lösung von Lagerhaltungsmodellen zur Verfügung stehen, in denen dieser Aspekt berücksichtigt ist.

Demzufolge muß man sich mit den sogenannten Entscheidungsbaumverfahren befassen, die für Optimierungen in diskreten Modellstrukturen besonders geeignet sind. Von diesen wähle ich die Dynamische Programmierung, die Roll – Back – Analyse sowie eine spezielle Form der begrenzten Enumeration aus und zeige ihre Verwendungsmöglichkeit anhand numerischer Beispiele, beginnend mit einem Anwendungsbeispiel der Dynamischen Programmierung.

2. Ein deterministisches Losgrößenmodell mit diskreter Nachfrage

In dem folgenden konstruierten Beispiel sollen innerhalb eines n = 4 Teilperioden umfassenden Planungszeitraums die folgenden diskreten Nachfragen N_i (i = 1, 2,..., 4) nach einem Produkt auftreten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 2-1: Diskrete Nachfragen in 5 Teilperioden

Für die Länge einer Teilperiode legt man eine Zeiteinheit [ZE] fest, und als Lagerkostensatz soll dann gelten: cL = 0,1 [GE / (ME * ZE)]. Der Beschaffungskostensatz möge cB = 20 GE je Beschaffung betragen und Fehlmengen seien nicht zugelassen. Unter den weiteren Voraussetzungen, daß

- eine Auffüllung des Lagers nur zu Beginn einer Teilperiode erfolgt,
- diese Auffüllung momentan durchgeführt werden kann (p [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] 4),
- der Lagerabgang zur Befriedigung der Nachfrage ebenfalls zu Beginn einer Teilperiode, jedoch unmittelbar nach einer eventuellen Auffüllung des Lagers auftritt,
- keine Lieferzeiten zu berücksichtigen sind und
- vor der ersten sowie nach der letzten Teilperiode der Lagerbestand Null ist,

ist zu entscheiden, in welchen Teilperioden i welche Mengen qi dem Lager zuzuführen sind, damit die Gesamtkosten des Lagerhaltungssystems minimal werden. Man kann auch sagen, daß man hier die numerischen Werte einer (s_c,q_i) – Politik zu bestimmen hat, wobei s_c = 0 ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein typischer Lagerbestandsverlauf für dieses System ist im folgenden Bild dargestellt.

Bild 2-2: Beispiel eines Lagerbestandsverlaufs bei diskreter Nachfrage und

momentaner Lagerauffüllung in verschiedenen Teilperioden

Dynamische Programmierung

Das Kostenminimum des Beispiels und die zugehörigen Werte der q_i (i = 1, 2,..., n) werden bei Anwendung der Dynamischen Programmierung durch Lösen von n aneinanderhängenden Teilproblemen gefunden. Dabei wird der Betrachtungszeitraum stufenweise von der ersten Teilperiode bis auf insgesamt n Teilperioden ausgedehnt. Der Stand der Berechnungen wird jeweils in einem Baum oder einer Matrix notiert. Zunächst verwende ich einen Entscheidungsbaum mit dem folgenden Knotensymbol:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die in Periode i beschaffte Menge wird zur Deckung aller Nachfragen bis zur Periode j (und diese einschließend) verwendet, dabei entstehen Gesamtkosten der Beschaffung und Lagerung in Höhe von K [GE].

Für das erste Teilproblem gilt dann: i = 1 und j = 1. Das bedeutet, daß in der Periode 1 soviel bestellt (= beschafft) wird, wie es die Nachfrage dieser Periode (= 70 [ME]) gerade erfordert. Dadurch entstehen Beschaffungskosten K_B = 20 [GE] und Lagerkosten KL= 0 [GE], und die erste Knoteneintragung lautet mit K = K_B + K_L:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das zweite Teilproblem, in dem der Betrachtungszeitraum auf zwei Teilperioden ausgedehnt wird, erfordert die Untersuchung von zwei Alternativen:

- Zur Deckung der Nachfrage der Periode 2 können zu Beginn der ersten Periode 100 [ME] mitbestellt werden. Dann entstehen gegenüber dem ersten Teilproblem Zusatzkosten in Höhe von K_L = 0,1 * 100 = 10 [GE].
- Die Nachfrage der Periode 2 kann aus einer erneuten Bestellung in dieser Periode befriedigt werden. Zusatzkosten entstehen dann in Höhe von KB = 20 [GE].

Der Entscheidungsbaum erhält somit das Aussehen des Bildes 2-3:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 2-3: Entscheidungsbaum nach Lösung des zweiten Teilproblems

Man erkennt in dem Entscheidungsbaum, daß wegen des Minimums bei j = 2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

die günstigste Möglichkeit bis jetzt darin besteht (fettgedruckt im Entscheidungsbaum), die Befriedigung der Nachfragen der Perioden 1 und 2 durch Bestellung des Produkts allein zu Beginn der ersten Periode vorzusehen.

Für das dritte Teilproblem gibt es drei Alternativen:

- Die Nachfragemenge der Periode j = 3 (150 [ME]) kann in der Periode i = 1 mitbestellt und dann über zwei Perioden gelagert werden. Die Zusatzkosten betragen somit K_L = 2 * 0,1 * 150 = 30 [GE].

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