Förderung begabter Kinder im Mathematikunterricht

Unter Nutzung der Aufgabe "Schnittpunkte von Geraden untersuchen"


Unterrichtsentwurf, 2015
14 Seiten

Leseprobe

Inhalt

1 Vorstellung der Aufgabe

2 Begründung der Aufgabenauswahl

3 Reflexion des Stundenverlaufs

4 Auswertung der Stunde nach einem selbstgewählten Schwerpunkt

5 Verbesserungsvorschläge

Literaturverzeichnis

Anhang

1 Vorstellung der Aufgabe

Inhalt der Aufgabe soll es für die SchülerInnen sein, die unterschiedliche Anzahl von Schnittpunkten bei verschieden vielen Geraden zu untersuchen.

Ausgangspunkt der Aufgaben ist eine einleitende Erklärung der Begriffe „Gerade“ und „Schnittpunkt“. Gemeinsam legen wir Regeln fest, das zum Beispiel alle Geraden sichtbar sein müssen und nicht übereinander liegen dürfen und dass es keine versteckten Schnittpunkte geben darf, die beim Weiterzeichnen der Geraden zum Vorschein kommen würden. Wir schauen, wie viele Schnittpunkte zwei Geraden haben können und wiederholen daran die Begriffe „Schnittpunkte“ und „Geraden“.

Als nächstes untersuchen die Kinder, wie viele Schnittpunkte bei drei Geraden auftreten können. Dafür haben sie Platz auf ihrem Arbeitsblatt. Im Anschluss betrachten sie die maximale Anzahl der Schnittpunkte bei vier, fünf, sechs und sieben Geraden. Alle Ergebnisse, das heißt alle Anzahlen von Schnittpunkten, die kleiner als die Höchstanzahl sind und die maximalen Anzahlen, sollen sie auf kleine Zettel geschrieben und beschriftet mit der Anzahl der Geraden und Schnittpunkte an die Tafel gebracht werden.

Ziel sollte es sein, Regelmäßigkeiten der Schnittpunktanzahlen zu ergründen, das heißt beispielsweise, wie viele Schnittpunkte jeweils dazukommen, wo es Lücken gibt, welche Anzahlen die nächst kleineren sind und welche Anzahlen von Schnittpunkten immer möglich sind. Dabei sollen sie eigens entwickelte Strategien und Lösungswegen finden, überdenken und nutzen. Ziel ist es, die Vorgehensweise der Kinder zu beobachten und sie herauszufordern, Entdeckungen zu erklären.

Zwischen den einzelnen Aufträgen sind Phasen des Zusammentragens vorgesehen.

Den Kindern ist es freigestellt, ob sie allein oder zusammen arbeiten. Bei Fragen und Problemen können sie auf die Studierenden zukommen.

2 Begründung der Aufgabenauswahl

Die Aufgabe zur Erkundung von Schnittpunkten ist in meinen Augen sehr gut für Kinder mit mathematischer Begabung geeignet, da man mit ihr viel erproben, erforschen und entdecken kann. Sie fordert einen heraus, Phänomene aufzudecken. Dazu muss das Kind „mathematische Strukturen erkennen“[1] und sensibel für Mathematik in der Umgebung sein. Erst wenn die Kinder entdecken, dass die Anzahl der maximalen Schnittpunkte immer um die vorherige Geradenanzahl wächst, können sie Erklärungen dieses Phänomens finden. Genauso müssen sie sensibel sein für die Lücken in den Anzahlen der Schnittpunkte oder auch für den immer wiederkehrenden Fall, dass null und ein Schnittpunkt möglich sind. Dabei sind sie darauf angewiesen, mit der Komplexität der Aufgabe umgehen zu können. Viele Handlungsschritte müssen parallel durchgeführt werden. Sie entwickeln dabei eine eigene Strategie, vorzugehen und entscheiden sich beispielsweise mit einer sehr hohen Anzahl von Geraden zu beginnen. Vielleicht sehen sie auch gleich eine Ökonomie, die in Partnerarbeit steckt und tauschen sich gegenseitig über ihre Entdeckungen aus. Sie müssen ausprobieren, Hypothesen aufstellen, diese belegen und überprüfen zu können. Dabei ist der „selbstständige Transfer mathematischer Sachverhalte“[2] nötig, die SchülerInnen übertragen ihre Gedanken immer wieder auf das Objekt selbst. In welchem Rhythmus die Schnittpunkte anwachsen, müssen sie überprüfen, sonst kann es schnell passieren, dass sie zum Beispiel die Lücken, das heißt die Fälle, die für die Anzahl bestimmter Geraden nicht entstehen, übersehen. Im Austausch mit anderen oder durch einen Impuls der Lehrkraft kann schnell entdeckt werden, dass es einfach nicht möglich ist, dass sich zum Beispiel fünf Geraden zweimal schneiden.

Außerdem benötigen die Kinder zum Lösen der Problemstellung „Räumliches Vorstellungsvermögen“[3], um sich vorstellen zu können, wie die Geraden weiter verlaufen und ob es noch Schnittpunkte geben wird. Die Aufgabe spricht jedoch nicht nur mathematikspezifische Begabungsmerkmale, sondern genauso „begabungsstützende allgemeine Persönlichkeitseigenschaften“[4] des Kindes an. Die Kinder werden neugierig auf die Aufgabe gemacht, sie sind motiviert, selbstständig und beharrlich nach den Möglichkeiten zu suchen und entwickeln im besten Fall Freude und Bereitschaft, sich anzustrengen. Sie können individuell oder gemeinsam mit anderen vorgehen und sich Einzelschnitte aufteilen. Vielleicht erkennen sie von selbst die bereits angesprochene Ökonomie der Aufgabenteilung. Dabei entwickeln sie die Fähigkeit zur Kooperation.

Die Aufgabe bietet weiterhin ein breites Feld von Entdeckungen. Die ersten kleinen Erkenntnisse kommen möglicherweise nach ein paar Minuten, zum Beispiel sagte mir ein Junge, er zeichnet die Geraden nicht parallel, da es dabei weniger Schnittpunkte gibt. Erfolgserlebnisse, die schon nach kurzer Zeit möglich sind, motivieren vor allem die Kinder, die bei Aufgaben schnell aufgeben, die nur auf ein weit entferntes Ziel ausgerichtet sind. Aber auch sehr fitte, schnelle Kinder, die einzelne Rechenschritte und Versuche überspringen und gedanklich gleich weitergehen, können viel entdecken und die Aufgabe in ihrer Tiefe ergründen. Damit eröffnet sich eine breite und natürliche Differenzierung. Sie spricht verschiedene Bedürfnisse und Typen von Kindern an. Einige Kinder lieben es, sich vor allem mental zu bewegen und gedanklich eine Lösung zu ergründen, andere gehen über das Ausprobieren, sie wollen zeichnen und entdecken fast nebenbei Regeln.

Außerdem denke ich, dass sich die Aufgabe auch eignet, weil die Kinder bereits von den Begriffen „Gerade“ und „Schnittpunkt“ gehört haben, aber eine derartige Problemstellung sicher nicht im Unterricht untersucht wurde, weil sie sehr komplex ist und im frontalen Unterricht, wie er sehr häufig praktiziert wird, schwierig umzusetzen wäre. Es ist sinnvoll, eine unbekannte Aufgabe zu wählen, weil die Kinder keine bereits erlernten Lösungswege ohne Überlegungen anwenden können. Mit Sicherheit nutzen sie Bekanntes und spüren Zusammenhänge zu anderen Aufgaben auf und das ist auch gut so, aber ich denke, dass es wahrscheinlich nicht vorkommen würde, dass ein Kind die korrekte Anzahl der jeweiligen Schnittpunkte aufschreibt und erklärt, dass sie es in der Schule gelernt haben, dass sie wie eine Treppe wachsen, es aber selbst nicht verstehe, wie und warum.

Dieses große Potential der Aufgabe und die Breite und Tiefe der Bearbeitung, die Aufgabe als etwas Unbekanntes, das herausfordert und motiviert, spricht für deren Einsatz und für den Versuch, es auch mit einer Klasse auszuprobieren. Das wird aber nicht im militanten Gleichschritt möglich sein, sondern im Unterstützen von individuellen, spannenden, außergewöhnlichen Denkweisen der Kinder, die alle auf bestimmten Gebieten mathematische Stärken haben und miteinander spannende Entdeckungen in der Welt machen können.

3 Reflexion des Stundenverlaufs

Der geplante Verlauf der Stunde stimmte in etwa mit dem tatsächlichem überein. Die Motivation am Stundenbeginn lief aus meiner Sicht sehr gut. Die Erläuterungen der Begriffe „Gerade“ und „Schnittpunkt“ waren zu ungenau. Ich habe den Fehler gemacht, die Geraden an die Tafel frei Hand zu zeichnen. Später übernahmen ein Teil der Kinder diese Vorgehensweise und so entstanden Schnittpunkte, die bei wirklichen Geraden nicht aufgetreten wären, da die Linien der Kinder Knicke und Krümmungen hatten. Auch der Begriff „Schnittpunkt“ war einigen Kindern nicht gleich deutlich. Erst nach dem Beispiel an der Tafel, wie viele Schnittpunkte zwei Geraden haben können, haben, glaube ich, alle Kinder verstanden, was ein Schnittpunkt ist. Die Begriffe hätten schärfer herauskommen müssen.

Außerdem war das eine Beispiel zu knapp für das selbstständige Lösen der Frage, wie oft sich drei Geraden schneiden können. Dennoch fanden viele Kinder, möglicherweise mit Hilfestellungen der Studierenden, alle möglichen Schnittpunkte. Parallele Geraden, die sich nicht schneiden, fanden nur sehr wenige Kinder heraus. Die Kinder, die ich beobachten konnte, kooperierten nicht miteinander. Sie tauschten sich auch nicht nach einem Hinweis von mir, das ihr Nachbar oder ihre Nachbarin möglicherweise noch andere Lösungen gefunden hat, miteinander aus.

Das Vergleichen der zweiten Teilaufgabe realisierte ich auf einem kleinen Schnipsel Tafel. Dieser Platz war zu gering, um die Lösungen gut sichtbar für alle darzustellen. Günstiger wäre der Einsatz von der Dokumentenkamera gewesen. Dabei können die Kinder ihre eigenen Lösungen für alle anderen sichtbar an die Leinwand projizieren und gegebenenfalls verändern. Mit einem Lineal zu arbeiten, wäre dabei auch unproblematisch. Außerdem hätten die Schülerinnen und Schüler auf diese Weise nicht von Anfang an die leere Tabelle an der Tafel gesehen. Die Aufmerksamkeit kann dann genau an der gewünschten Stelle darauf gerichtet werden.

Beim Verstehen der nachfolgenden Aufgabe, die maximalen Anzahlen von Schnittpunkten bei einer bestimmten Anzahl von Geraden zu finden, hatten viele Kinder Schwierigkeiten. Ich wollte sie dazu anleiten, ihre Lösungen, das heißt auch die Lösungen, die möglicherwiese nicht die Höchstanzahl darstellen, nebenbei an die Tafel zu kleben. Im Vorfeld hatte ich bereits die Befürchtung, dass daraus ein Wettbewerb entstehen könnte, die fehlenden Lücken zu finden. Das bestätigte sich, sodass die dritte und vor allem die vierte Aufgabe des Arbeitsblattes nur von einigen SchülerInnen gelöst wurde. Das hatte zur Folge, dass wichtige Dokumentation der Lösungswege der Kinder nicht existieren und dass das Weiterdenken hin zu Regelmäßigkeiten und Analogien möglicherweise gar nicht motiviert oder angeregt wurde. Außerdem konnten die Kinder ihre Produkte nicht zum Weiterarbeiten nutzen, da sie diese zur Tafel brachten.

Beim Finden der Lösungen sind die Kinder, die ich beobachtet habe, eher unsystematisch, mithilfe Probierens vorgegangen. Sie verwendeten kaum Strategien, um von einer Anzahl Schnittpunkte zu einer anderen zu gelangen. Zwischendurch versuchte ich, die Aufmerksamkeit der Kinder noch einmal auf die beiden letzten Aufgaben zu richten. Das gelang nur schlecht. Der Begriff „Regeln“ war sehr unpräzise gewählt. Viele Kinder verstanden diese Aufgabenstellung nicht. Motivierender erschien es ihren wahrscheinlich auch, die fehlenden Lücken, vor allen die der großen Geradenanzahlen zu finden. Am Ende der Stunde blickten wir gemeinsam auf die Tafel. Viele Kinder hatten bereits mit den Studierenden über das Wachstum der Anzahl von Schnittpunkten gesprochen. Leider war der Platz an der Tafel wieder viel zu gering, um Erklärungen anzeichnen zu lassen. Es ist sehr schwierig für den Erklärer, komplexe Sachverhalte ohne die Hilfe von Darstellungen zu erläutern und für die Zuhörer, rein Sprachliches zu verstehen.

Problematisch war außerdem, dass ich die konkreten Zahlen, wie die Schnittpunkte anwachsen, nicht noch einmal an die Tafel gebracht habe. So hatten sie die Kinder nur in der tabellarischen Form und nicht direkt beieinander. Über die Lücken, die Regelmäßigkeit, dass immer null und ein Schnittpunkt möglich sind und welche Anzahl Schnittpunkte jeweils nach null und eins die nächst kleinste ist, konnten wir aus Zeitgründen leider nicht sprechen. Das fand ich sehr schade. Ich bin mir sicher, dass sie Kinder Erklärungen gefunden haben und wir gemeinsam vieles hätten entdecken können. Wie diese Erklärungen hätten aussehen können, sieht man in einem Buch von Friedhelm Käpnick. Eine Schülerin namens Gina hat ein ähnliches Aufgabenformat bearbeitet und untersucht, wie man auf die maximale Anzahl der Schnittpunkte kommen kann. Sie beschreibt den gefundenen Trick: „Man muss hierzu nur jede Gerade durch alle anderen bisherigen durchziehen.“[5] Mithilfe einer Zeichnung unterstützt sie ihre Entdeckung. Aus ähnlichen Dokumentationen hätte man die Gedankengänge der Kinder noch besser nachvollziehen können. Genau diese Ansätze konnte ich bei einzelnen Schülergesprächen entdecken. Für diese Ideen der Kinder hätte es spätestens zum Schluss der Stunde Zeit und Raum geben müssen. Da gerade diese Erklärungen eine Art Lösung eines unbekannten Rätzels sind, die einige Kinder in Ansätzen und doch unterschiedlich ergründet haben. Durch unterschiedliche Standpunkte, Erklärungen und Darstellung wäre es von diesem Punkt aus möglich, Denkweisen zusammenzuführen und Neues zu finden.

Das anzuleiten, bedarf Mut, auch zuzugeben, auf ähnliche Gedanken nicht gekommen zu sein und Dinge nicht gleich zu verstehen, Sicherheit und Vertrauen der Lehrkraft in die schlauen und manches Mal ungewöhnlichen Gedanken der Kinder. Erst wenn man eine solche Haltung einnimmt, kann der Raum für diesen effektiven Austausch entstehen. Ich hatte den Mut und die Sicherheit zu diesem Zeitpunkt noch nicht, aber ich bin der besten Hoffnung, daran zu arbeiten und Kindern nicht auf mein Ziel, das ich als Lehrerin vor Augen habe, hinzulenken, sondern sie zu ermutigen, ganz neue Wege zu gehen. Unterricht mit dieser Einsicht zu gestalten, ermöglicht ein entdeckendes Lernen, nicht nur für die Schülerinnen und Schüler, sondern auf für die Lehrkraft.

[...]


[1] Aßmus, D., Merkmale mathematischer Begabung. 2014.

[2] Ebd.

[3] Ebd.

[4] Peter-Koop, A., Mathematisch besonders begabte Grundschulkinder als schulische Herausforderung, Offenburg 2002, 16.

[5] Käpnick, F., Das Münsteraner Projekt „Mathe für kleine Asse!. Perspektiven von Kindern, Studierenden und Wissenschaftlern. Münster 2010, 14.

Ende der Leseprobe aus 14 Seiten

Details

Titel
Förderung begabter Kinder im Mathematikunterricht
Untertitel
Unter Nutzung der Aufgabe "Schnittpunkte von Geraden untersuchen"
Hochschule
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Autor
Jahr
2015
Seiten
14
Katalognummer
V355424
ISBN (eBook)
9783668420151
ISBN (Buch)
9783668420168
Dateigröße
576 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
begabte Kinder, Förderung, Knobelaufgabe
Arbeit zitieren
Caritas Höppner (Autor), 2015, Förderung begabter Kinder im Mathematikunterricht, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/355424

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