In dieser Diplomarbeit werden einige Anwendungen der linearen Algebra in der Baustatik so dargestellt, dass sie auch von Studierenden und Lehrenden der Mathematik ohne besondere Kenntnisse der Baustatik gelesen werden können.
Damit soll einerseits Lehrpersonen der Unterrichtsfächer Mathematik, Physik und Tragwerkslehre eine Grundlage für einen fächerübergreifenden Unterricht (Mathematik - Physik und in technischen Schulen Mathematik - Tragwerkslehre) zur Verfügung gestellt werden.
Andererseits sei die Arbeit auch an Studierende gerichtet: Studierenden der Bauingenieurwissenschaften kann sie als Hilfestellung dienen, um die Inhalte aus den Grundlagenfächern Mathematik und Mechanik mit dem Fach Baustatik besser miteinander verflechten zu können.
Die Baustatik kann als Bindeglied zwischen der Mechanik als Grundlagenfach und anwendungsorientierten Fächern des Bauingenieurwesens gesehen werden. Die Baustatik beschäftigt sich mit Tragwerken und der Berechnung der Verformung der Struktur und der Kräfte, welche in der Struktur wirken. Da Computer problemlos auch größere Gleichungssysteme lösen können, werden diese für baustatische Berechnungen eingesetzt. Dafür müssen allerdings die Probleme so aufbereitet und beschrieben werden, dass sie in einem Rechner implementiert und von diesem gelöst werden können. In diesem Kontext sind die Grundlagen der linearen Algebra wie Vektorräume, Matrizenrechnung, lineare Gleichungssysteme sowie lineare Funktionen für die Baustatik unerlässlich.
Die Arbeit bietet interessierten Mathematikstudierenden eine Anwendung der linearen Algebra. In der Regel wird die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes zur Motivation und Veranschaulichung vieler Inhalte der linearen Algebra herangezogen. In der Baustatik (und vielen anderen Anwendungsgebieten der Mathematik) sind aber höher-dimensionale Vektorräume von größerer Bedeutung.
Ein gewisses Grundverständnis der linearen Algebra wird vorausgesetzt. Im zentralen Teil der Diplomarbeit werden Berechnungsmethoden für statisch bestimmte sowie für statisch unbestimmte Systeme beschrieben. In diesem Kontext wird das Weggrößenverfahren als Berechnungsmethode vorgestellt und einerseits exemplarisch, andererseits allgemein und detailliert erklärt. Neben dem einführenden Beispiel werden in diesem Teil zwei Beispiele für den Schulunterricht präsentiert und mit dem Lehrplan in Beziehung gebracht.
Inhaltsverzeichnis
- Danksagung
- Einleitung
- Grundlagen der Mechanik und der Statik
- Vektorräume in der Mechanik
- Kräfte als Vektoren.
- Drehmomente
- Drehmoment einer Kraft.
- Drehmoment als Kräftepaar.
- Grundlagen der Statik
- Statische Systeme.
- Koordinatensysteme und Basen
- Globales Koordinatensystem
- Gleichgewichtsbedingungen ebener Systeme
- Lagerreaktionen in der Ebene
- Schnittreaktionen
- Das Schnittprinzip
- Der Verlauf von Schnittgrößen
- Gelenke
- Statische Bestimmtheit eines Stabtragwerks
- statisch bestimmt.
- statisch unbestimmt
- kinematisch verschieblich
- Notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit
- Berechnungsmethoden in der Statik
- Berechnung statisch bestimmter Stabtragwerke
- Allgemeines zur linearen Stabstatik
- Ermittlung von Auflagerreaktionen
- Simultane Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen
- Gleichgewichtsbedingungen am Einzelelement
- Berechnung statisch unbestimmter Stabtragwerke
- Allgemeines zu den Berechnungsverfahren für statisch unbestimmte Tragwerke
- Das Elastitzitätsgesetz von Hooke.
- Die elastische Längsdehnung
- Die elastische Verdrehung des Stabachse
- Tragwerksverformungen
- Knotenweggrößen.
- Das Weggrößenverfahren - einführendes Beispiel.
- Allgemeine Beschreibung des Weggrößenverfahrens
- Statisches System
- Knotenkraft- und Knotenweggrößen
- Stabendschnittgrößen und Stabendweggrößen
- Der Zusammenhang zwischen Knoten- und Stabendweggrößen
- Die Zuordnung von Stabendweggrößen auf Stabendschnittgrößen.
- Der Zusammenhang zwischen den Stabendschnittgrößen und den Knotenkraftgrößen
- Lösen des Gleichungssystems: Berechnen der Tragwerksverformungen
- Ermittlung von Stabendschnittgrößen und Schnittgrößenverläufe
- Gelenkig angeschlossene Stäbe
- Beispiele für den Schulunterricht
- Dreigelenksbrücke
- Aufgabenstellung und Lösung
- Lehrplanbezug und nötige Vorkenntnisse
- Rampentragwerk
- Aufgabenstellung und Lösung
- Lehrplanbezug und nötige Voraussetzungen
- Mathematische Grundlagen
- Vektorrechnung
- Vektorräume
- Linearkombinationen und Basen
- Skalarprodukt.
- Kreuzprodukt
- Matrizenrechnung
- Matrizen.
- Invertierbare Matrizen
- Der Rang einer Matrix
- Die Determinante einer Matrix
- Systeme linearer Gleichungen
- Lineare Funktionen
- Anwendung der linearen Algebra in der Baustatik
- Berechnung statisch bestimmter und unbestimmter Stabtragwerke
- Das Weggrößenverfahren
- Gleichgewichtsbedingungen und Lagerreaktionen
- Tragwerksverformungen
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Ziel dieser Diplomarbeit ist es, die Anwendung der linearen Algebra in der Baustatik für Studierende und Lehrende der Mathematik verständlich und praxisnah darzustellen. Dabei wird besonderes Augenmerk auf die Berechnung statisch bestimmter und unbestimmter Stabtragwerke gelegt, wobei das Weggrößenverfahren als Berechnungsmethode ausführlich erläutert wird.
Zusammenfassung der Kapitel
Die Arbeit ist in drei Teile gegliedert. Der erste Teil behandelt die Grundlagen der Mechanik und der Statik, wobei grundlegende Konzepte wie Vektorräume in der Mechanik, Drehmomente, statische Systeme, Gleichgewichtsbedingungen, Lagerreaktionen und das Schnittprinzip erläutert werden. Der zweite Teil widmet sich den Berechnungsmethoden in der Statik, mit besonderem Fokus auf die Berechnung statisch bestimmter und unbestimmter Stabtragwerke. Das Weggrößenverfahren wird hier als zentrale Methode für die Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke vorgestellt und anhand von Beispielen illustriert. Der dritte Teil behandelt die mathematischen Grundlagen der linearen Algebra, die für das Verständnis der Baustatik unerlässlich sind, wie z.B. Vektorrechnung, Matrizenrechnung und Systeme linearer Gleichungen.
Schlüsselwörter
Lineare Algebra, Baustatik, Stabtragwerke, statisch bestimmt, statisch unbestimmt, Weggrößenverfahren, Gleichgewichtsbedingungen, Lagerreaktionen, Schnittreaktionen, Vektorrechnung, Matrizenrechnung, Systeme linearer Gleichungen, Tragwerksverformungen.
- Arbeit zitieren
- Jonas Stecher (Autor:in), 2017, Lineare Algebra in der Baustatik, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/358980
