In dieser Diplomarbeit werden einige Anwendungen der linearen Algebra in der Baustatik so dargestellt, dass sie auch von Studierenden und Lehrenden der Mathematik ohne besondere Kenntnisse der Baustatik gelesen werden können.
Damit soll einerseits Lehrpersonen der Unterrichtsfächer Mathematik, Physik und Tragwerkslehre eine Grundlage für einen fächerübergreifenden Unterricht (Mathematik - Physik und in technischen Schulen Mathematik - Tragwerkslehre) zur Verfügung gestellt werden.
Andererseits sei die Arbeit auch an Studierende gerichtet: Studierenden der Bauingenieurwissenschaften kann sie als Hilfestellung dienen, um die Inhalte aus den Grundlagenfächern Mathematik und Mechanik mit dem Fach Baustatik besser miteinander verflechten zu können.
Die Baustatik kann als Bindeglied zwischen der Mechanik als Grundlagenfach und anwendungsorientierten Fächern des Bauingenieurwesens gesehen werden. Die Baustatik beschäftigt sich mit Tragwerken und der Berechnung der Verformung der Struktur und der Kräfte, welche in der Struktur wirken. Da Computer problemlos auch größere Gleichungssysteme lösen können, werden diese für baustatische Berechnungen eingesetzt. Dafür müssen allerdings die Probleme so aufbereitet und beschrieben werden, dass sie in einem Rechner implementiert und von diesem gelöst werden können. In diesem Kontext sind die Grundlagen der linearen Algebra wie Vektorräume, Matrizenrechnung, lineare Gleichungssysteme sowie lineare Funktionen für die Baustatik unerlässlich.
Die Arbeit bietet interessierten Mathematikstudierenden eine Anwendung der linearen Algebra. In der Regel wird die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes zur Motivation und Veranschaulichung vieler Inhalte der linearen Algebra herangezogen. In der Baustatik (und vielen anderen Anwendungsgebieten der Mathematik) sind aber höher-dimensionale Vektorräume von größerer Bedeutung.
Ein gewisses Grundverständnis der linearen Algebra wird vorausgesetzt. Im zentralen Teil der Diplomarbeit werden Berechnungsmethoden für statisch bestimmte sowie für statisch unbestimmte Systeme beschrieben. In diesem Kontext wird das Weggrößenverfahren als Berechnungsmethode vorgestellt und einerseits exemplarisch, andererseits allgemein und detailliert erklärt. Neben dem einführenden Beispiel werden in diesem Teil zwei Beispiele für den Schulunterricht präsentiert und mit dem Lehrplan in Beziehung gebracht.
Inhaltsverzeichnis
0.2. Einleitung
I. Grundlagen der Mechanik und der Statik
1. Vektorraume in der Mechanik
1.1. Kräfte als Vektoren
1.2. Drehmomente
1.2.1. Drehmoment einer Kraft
1.2.2. Drehmoment als Kräftepaar
2. Grundlagen der Statik
2.1. Statische Systeme
2.2. Koordinatensysteme und Basen
2.2.1. Globales Koordinatensystem
2.3. Gleichgewichtsbedingungen ebener Systeme
2.4. Lagerreaktionen in der Ebene
2.5. Schnittreaktionen
2.5.1. Das Schnittprinzip
2.5.2. Der Verlauf von Schnittgrößen
2.6. Gelenke
2.7. Statische Bestimmtheit eines Stabtragwerks
2.7.1. statisch bestimmt
2.7.2. statisch unbestimmt
2.7.3. kinematisch verschieblich
2.7.4. Notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit
II. Berechnungsmethoden in der Statik
3. Berechnung statisch bestimmter Stabtragwerke
3.1. Allgemeines zur linearen Stabstatik
3.2. Ermittlung von Auflagerreaktionen
3.3. Simultane Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen
3.3.1. Gleichgewichtsbedingungen am Einzelelement
4. Berechnung statisch unbestimmter Stabtragwerke
4.1. Allgemeines zu den Berechnungsverfahren für statisch unbestimmte Tragwerke
4.2. Das Elastitzitätsgesetz von Hooke
4.2.1. Die elastische Längsdehnung
4.2.2. Die elastische Verdrehung des Stabachse
4.3. Tragwerksverformungen
4.3.1. Knotenweggrößen
4.4. Das Weggrößenverfahren - einführendes Beispiel
4.5. Allgemeine Beschreibung des Weggrößenverfahrens
4.5.1. Statisches System
4.5.2. Knotenkraft- und Knotenweggrößen
4.5.3. Stabendschnittgrößen und Stabendweggrößen
4.5.4. Der Zusammenhang zwischen Knoten- und Stabendweggrößen
4.5.5. Die Zuordnung von Stabendweggrößen auf Stabendschnittgrößen
4.5.6. Der Zusammenhang zwischen den Stabendschnittgrößen und den Knotenkraftgrößen
4.5.7. Lösen des Gleichungssystems: Berechnen der Tragwerksverformungen
4.5.8. Ermittlung von Stabendschnittgrößen und Schnittgrößenverläufe
4.5.9. Gelenkig angeschlossene Stäbe
5. Beispiele für den Schulunterricht
5.1. Dreigelenksbrücke
5.1.1. Aufgabenstellung und Lösung
5.1.2. Lehrplanbezug und nötige Vorkenntnisse
5.2. Rampentragwerk
5.2.1. Aufgabenstellung und Lösung
5.2.2. Lehrplanbezug und nötige Voraussetzungen
III. Mathematische Grundlagen
6. Vektorrechnung
6.1. Vektorräume
6.2. Linearkombinationen und Basen
6.3. Skalarprodukt
6.4. Kreuzprodukt
7. Matrizenrechnung
7.1. Matrizen
7.2. Invertierbare Matrizen
7.3. Der Rang einer Matrix
7.4. Die Determinante einer Matrix
8. Systeme linearer Gleichungen
9. Lineare Funktionen
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit zielt darauf ab, die Methoden der Baustatik durch die Anwendung der linearen Algebra zu veranschaulichen, um eine Brücke zwischen den mathematischen Grundlagenfächern und den bauingenieurwissenschaftlichen Anwendungen zu schlagen. Dabei soll insbesondere das Weggrößenverfahren als systematischer, rechnergestützter Ansatz zur Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke dargestellt werden.
- Anwendung linearer Algebra auf mechanische Systeme (Vektorräume, Matrizen).
- Berechnung statisch bestimmter und unbestimmter Stabtragwerke.
- Einführung und detaillierte Erläuterung des computergestützten Weggrößenverfahrens.
- Didaktische Aufbereitung der Inhalte für den Schulunterricht (HTL, allgemeinbildende höhere Schulen).
Auszug aus dem Buch
1.1. Kräfte als Vektoren
Kräfte, die im selben Punkt angreifen, werden als Vektoren betrachtet, da sie miteinander addiert und mit Zahlen multipliziert werden können. Die Resultierende von Kräften nennt man ihre Summe: Die Wirkung der Resultierenden ist die selbe wie die gemeinsame Wirkung der beiden ursprünglichen Kräfte. Die Menge alle Kräfte, die im selben Punkt angreifen bildet zusammen mit der Addition und der Multiplikation mit Zahlen also einen Vektorraum. Kräfte können miteinander addiert und mit reellen Zahlen multipliziert (Skalarmultiplikation) werden. [8]
In der Dynamik werden mit Masse behaftete Körper oftmals als sogenannte Punktmasse idealisiert. Dabei wird die gesamte Masse in einem Punkt, in der Regel dem Schwerpunkt, konzentriert betrachtet. Greifen verschiedene Kräfte in diesem Punkt an, so können diese Kräfte addiert werden. Die einzelnen Kräfte wirken gemeinsam so als ob nur eine Kraft, nämlich die Summe der Einzelkräfte (Resultierende) wirken würde.
Unter einer Kraft versteht man eine Einwirkung, welche verschiebliche Körper beschleunigen kann. Eine Kraft hat also eine „verschiebende Wirkung“.
Kräfte, die in verschiedenen Punkten angreifen sind Elemente verschiedener Vektorräume. Zeigen sie aber in ihrem jeweiligen Vektorraum die selbe Wirkung (die selbe Verschiebung) auf ihre Angriffspunkte, so sind sie äquivalent. Ein übergeordneten Vektorraum bildet die Menge dieser Äquivalenzklassen.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Vektorraume in der Mechanik: Einführung der theoretischen Grundlagen für Kräfte als Vektoren und Definition von Drehmomenten.
2. Grundlagen der Statik: Darstellung statischer Systeme, Gleichgewichtsbedingungen, Lagerreaktionen und die Bestimmtheit von Stabtragwerken.
3. Berechnung statisch bestimmter Stabtragwerke: Methoden zur Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen in statisch bestimmten Systemen.
4. Berechnung statisch unbestimmter Stabtragwerke: Detaillierte Einführung des Weggrößenverfahrens sowie Grundlagen der Werkstoffmechanik (Hooke’sches Gesetz) und Tragwerksverformung.
5. Beispiele für den Schulunterricht: Konkrete Anwendung der erarbeiteten Theorien an praxisorientierten Beispielen zur Vorbereitung für den Unterricht.
Schlüsselwörter
Lineare Algebra, Baustatik, Vektorraum, Stabtragwerk, Statische Unbestimmtheit, Weggrößenverfahren, Auflagerreaktionen, Schnittgrößen, Matrizen, Lineares Gleichungssystem, Steifigkeitsmatrix, Knotenkraftgrößen, Knotenweggrößen, Werkstoffmechanik, Didaktik.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit verknüpft die mathematische Disziplin der linearen Algebra mit den physikalischen Grundlagen der Baustatik, um Tragwerke systematisch zu analysieren.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der Berechnung statisch bestimmter und unbestimmter Stabtragwerke unter Verwendung mathematischer Methoden wie Vektorräumen und Matrizenrechnung.
Was ist das primäre Ziel?
Das Ziel ist die Vermittlung einer mathematisch fundierten Grundlage für die Statik, die es ermöglicht, Tragwerke computergestützt zu berechnen und die Konzepte auch in einem schulischen Kontext zu lehren.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt primär das Weggrößenverfahren, eine auf Konzepten der linearen Algebra basierende Methode, um die Verformung und Beanspruchung von Tragwerken zu analysieren.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden neben den Grundlagen der Statik detailliert die Berechnungsmethoden für statisch bestimmte sowie unbestimmte Systeme dargelegt, inklusive der systematischen Aufstellung von Gleichungssystemen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Kritische Begriffe sind unter anderem Lineare Algebra, Baustatik, Weggrößenverfahren, Steifigkeitsmatrix und Tragwerksverformung.
Wie unterscheidet sich die Berechnung statisch bestimmter von unbestimmten Systemen?
Bei statisch bestimmten Systemen reichen die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen aus, während bei unbestimmten Systemen zusätzlich die Materialeigenschaften und Verformungszustände (Nachgiebigkeit) berücksichtigt werden müssen.
Warum wird das Weggrößenverfahren hervorgehoben?
Das Verfahren eignet sich hervorragend zur Algorithmisierung und Implementierung in Computersoftware, da es konsistent auf Konzepten der linearen Algebra aufbaut.
- Citation du texte
- Jonas Stecher (Auteur), 2017, Lineare Algebra in der Baustatik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/358980
