Dies ist ein Versuch zur mathematischen Beschreibung der Information, da in der bekannten Literatur der Begriff der Information pragmatisch über Nachricht und Nachrichtentransfer bzw. fall- oder disziplinspezifisch definiert ist.
Information hat immer etwas mit Identitäten zu tun. Informationsverarbeitung behandelt die Definition, Speicherung, Übertragung und Wiedererkennung von Identitäten. Die zentrale Frage ist also, wie es möglich ist, durch beliebige Entwicklungen die Ursachen dahinter schließen zu können (Platos Problem). Die IM beschäftigt sich mit Identitäten, ihren Beschreibungsmöglichkeiten und ihren Rekonstruktionen aus beobachteten Daten - also mit der Verbindung zwischen Nachricht und nachrichtenerzeugenden Ursachen. Der Ausgangspunkt der IM ist damit die Identität, die über Eigenschaften, deren Werte und Wertveränderungen beschrieben wird, wobei Information die Summe der wiederholbaren Wertveränderungen und deshalb immer eigenschaftsbezogen ist.
Protokoll der Entwicklung von Identitäten ist die Nachricht, die Gesamtheit der geänderten Werte. Untersucht wird, inwieweit Nachrichten ausreichen, um auf die Identitäten und ihre Veränderungen oder gar auf die Beziehung zwischen den Identitäten zurückzuschließen. Damit ist der Anschluß an die nachrichtenuntersuchende Informationstheorie von Shannon erfolgt, die heutzutage hoch entwickelt ist. Wie aus diesen mathematischen Beschreibungen aus Beobachtung und Relativierung Wissen als nutzbare Abbildung realer Zusammenhänge gewonnen werden kann, zeigt anschließend die 7-Schritt-Evaluierung auf.
Grundlegende Begriffe
Grundlagen der Informationsmathematik (IM)...1
Einführung...1
Introduction...1
Kurzbeschreibung...1
Brief description...1
Autor...1
Author...1
Danksagung...1
Acknowledgment...1
Legende der verwendeten Symbole und Schreibweise...5
Legend of the used symbols and notation...5
Interessante Aussagen...7
Interesting points...7
Verwendete
Begriffe/Used Terms...7
B0 (Grundbegriffe/Basic terms)...9
B0.1...9
B0.2...9
B0.3...9
B0.4...9
B0.5...9
B0.6...9
B0.7...9
B0.8...10
B0.9...10
B0.10...10
B0.11...10
B0.12...10
B0.13...10
B0.14...10
D0 (Zuordnung/Allocation)...12
D0.1...12
D1 (Transformation)...13
D1.1...13
D2 (Transformationsverknüpfung/Linkage of transformations)...15
D2.1...15
D2.2...15
D2.3...15
D2.4...16
D2.5...16
D2.6...16
D2.7...17
D2.8...17
B1 (Wiederholbarkeit/Repeatability)...18
B1.1...19
D3 (Eins-Transformation/Unit Transformation)...20
D3.1...20
D4 (Inverse)...21
D4.1...21
D4.2...21
D4.3...22
D4.4...22
A0...23
Assoziativität der Transformationsverknüpfung bei Wiederholbarkeit...23
Associativity of linkages of transformations in case of repeatibility...23
B2 (Information)...24
B2.1...24
B2.2...24
B2.3...24
B2.4...24
F0 (Wiederholbarkeit von Transformation und Inverse/Repeatability of transformation and inverse)...26
B3 (Nachvollziehbarkeit/Reproducibility)...27
B3.1...27
2
Grundlegende Begriffe
A1...29
Äquivalenz von Transformation und Translationsabbildung auf dem Wertebereich...29
Equivalence of Transformation and representation of translation...29
B4...31
B4.1...32
B4.2...33
B4.3...33
B4.4...33
B9 (Zusammenhang/Coherence)...37
D7 (Länge/Length)...38
D7.1...39
D7.2...39
D7.3...40
D7.4 (Minimalkette/Minimal Chain)...41
D7.5 (Elementare Transformation/Elementary Transformation)...42
D7.6 (Länge = Anzahl elementarer Transformationen/Length = Number of Elementary Transformations)
...42
D7.7 Transformationsmenge zu n, Basismenge zu n/Transformation Set to n Basis Set to n...44
A2 (Metrik/Metric)...45
B10 (abgeschlossene Kugel, Radius, Ursprung/Closed sphere, radius, root)...47
B10.1...47
B10.2 j-Schale, j-Dichte, näher, Dichtegradient/j-Shell, j-density, nearer, density gradient...48
B11 (Beschränktheit, Grenze, Innen /Boundedness, limit, inside)...49
B11.1 (Abkapselung/Encapsulation)...50
B12 (Umgebung, Topologie/Neighbourhood, topology)...50
B12.1...50
B12.2...51
B12.3...52
Verschiedene Eigenschaften/Different elements of quality...53
Generelle Voraussetzungen/Preconditions...53
B13 Einzelne Eigenschaft/Single element of quality...54
B13.1 (Wertebereich/Value Area)...54
B13.2 (Realisierungsbereich/Realization Area)...54
B13.3 (Veränderlichkeit/Variability)...54
B13.4 (Potenzial/Potential)...55
B13.5 (Skript/Script)...55
B14 Mehrere Eigenschaften/Different elements of quality...55
B14.1 (Eigenschaftsmenge/EQ Set)...55
B14.2 (Wertebereich/Value Area)...55
B14.3 (Realisierungsbereich/Realization Area)...56
B14.4 (Veränderlichkeit/Variability)...56
B14.5 (Potenzial/Potential)...56
B14.6 (Skript/Script)...56
B15 Verhaltensgruppierung von Eigenschaften/Behavioral Grouping of elements of quality...57
B15.1 (Potenzialgleichheit/ Potential equality)...57
B15.2 (Eigenschaftsgruppe/EQ group)...57
B15.3 (Instanz/Instance)...57
B15.4 (Gruppenpozential/Group potential)...57
B15.5 (Eignung/Appropriateness)...57
B15.6 (Realisierung/Realization)...57
D8 Kopplung von Eigenschaften/Coupling of elements of quality...59
D8.1 (Kommunikationsbereich/Communication area)...59
D8.2 (Kommunikationswert/Communication value)...59
D8.3 (Kontakt/Contact)...59
D8.4 (Kontakt-Transformation/Contact Transformation)...60
D8.5 (Länge der Kontakt-Transformation/Length of the Contact Transformation)...60
D8.6 (Transformationsketten durch w''/Chain of Transformations through w'')...60
D8.7 (Länge/Length)...61
D8.8 Gültigkeit von D7.1-D7.7/Validity of D7.1-D7.7...61
D8.9 (Einflussbereich/Range of Influence)...62
D8.10 (Metrik/Metric)...62
D8.11 (Zweiseitigkeit/Bilaterality)...62
3
Grundlegende Begriffe
D8.12 (Kopplung/Coupling)...63
D8.13 (Zweiseitige Kopplung/ Bilateral Coupling)...63
D8.14 (Einseitige Schnittstelle/Unilateral Interface)...63
D8.15 (Schnittstelle/Interface)...63
F3 (Zusammenhang bei zweiseitig gekoppelten Eigenschaften/Coherence of bilateral coupled elements of
quality)...64
B16 Strukturierung von Eigenschaften/Structuring of elements of quality...64
B16.1 (Vernetzung/Interconnection)...64
B16.2 (Netz)...65
B16.3 (Information des Netzes/Information of the Net)...65
B16.4...65
B17 Folgenschreibweise für Transformationsketten/Sequence notation of chains of transformations...66
B17.1...66
B17.2 (Summe einer Folge/Sum of a sequence)...66
B17.3 (Länge einer Folge/Length of a sequence)...67
B17.4 (Transformationsfolge/Transformation sequence)...68
B17.5 (Realisierungsfolge/Realization sequence)...68
B17.6 (Schrittfolge/Step sequence)...69
B17.7 (Wertfolge/Value sequence)...70
D9 Querverbindungen/Cross Connections...71
D9.1 (Fröhlich-Fläche/Fröhlich-Area)...71
D9.2 (Fröhlich-Band, Synchronisation/Fröhlich-Belt, Synchronization)...71
D9.3 (Fröhlich-Ebene/Fröhlich Plane)...71
Verwendung/Usage...72
V0 (7-Schritt-Evaluierung/7 Step Evaluation)...72
V0.1 (Kategorisierung, Realität, Universalzuordnung, Zufall Categorization, Reality, Universal Allocation,
Randomness)...72
V0.2 S1: Wertsegment, Schrittsegment, Fokus, Möglichkeitsmenge ...Value segment, step segment,
Focus, Set of Options...74
V0.3 S2: Protokoll, Messung, Schritt, Ereignismenge/Protocol, Measurement, Step, Set of Events...75
V0.4 S3: Transformationsreihe, Transformationsmenge/Transformation series, transformation set...77
V0.5 S4: Basismenge, Wiederholbarkeit, Wahrscheinlichkeit/Basis set, repeatability, propability...78
V0.6 S5: Transformationsfolgen/Transformation Sequences...79
V0.7 S6: Transformations-Matrix, Signifikanz, Komponente ...
...Transformation Matrix, Significance, Components
...83
V0.8 S7: Eigenschaftshypothese/EQ hypothesis...85
V0.9 (Perspektive/Perspective)...86
V0.10 (Konsolidierung/Consolidation)...86
V1 Beispiel 7-Schritt-Evaluierung/Example 7 Step Evaluation...87
V1.1 Kategorisierung/Categorization...87
V1.2 Versuchsanordnung 1. Schritt: Wertsegment, Schrittsegment/ .Experimental arrangement 1st step:
Value segment, step segment...87
V1.3 Versuchsanordnung 2. Schritt: Messung/Experimental arrangement 2nd step: Measurement...87
V1.4 Versuchsanordnung 3. Schritt: Transformationsreihe, Transformationsmenge ...Experimental
arrangement 3rd step: Tansformation series, transformation set...88
V1.5 Versuchsanordnung 4. Schritt Basismenge, Wiederholbarkeit, Wahrscheinlichkeit ...Experimental
arrangement 4th step: Basis set, repeatability, propability...88
V1.6 Versuchsanordnung 5. Schritt: Transformationsfolgen ...Experimental arrangement 5th
step:Transformation Sequences...89
V1.7 Versuchsanordnung 6. Schritt: Transformations-Matrix, Signifikanz, Komponente ...Experimental
arrangement 6th step: Transformation Matrix, Significance, Components...90
V1.8 Versuchsanordnung 7. Schritt: Eigenschaftshypothese ...Experimental arrangement 7th step: EQ
hypothesis...92
4
Grundlegende Begriffe
Legende der verwendeten Symbole und Schreibweise
Um Übersetzungsfehler zu minimieren, wurde versucht, die
Sprache nur zur Erklärung zu verwenden.
Legend of the used symbols and
notation
To reduce mistranslation, we tried to use
words only for explanations.
i
i
|N
0
r
r
|R
Di
1)
grundlegende Definitionen, definitions
Bi
1)
zur Klarstellung von Begriffen und Abhängigkeiten, for clarification of terms
Fi
Folgerung, conclusion
Ai
Aussage, declaration
Vi
Verwendung, usage (PS 2012)
Menge
Gesamtheit von Elementen, Set
Ø
leere Menge, empty set
A U B
Vereinigungsmenge, Union of sets (PS 2012)
A x B
kartesisches Produkt (PS 2012)
A
B
Teilmenge der genannten Menge, subset of a given set (PS 2012)
A
B
Schnittmenge, intersection (PS 2012)
A \ B
Differenzmenge, set difference (PS 2012)
|M|
Mächtigkeit=Anzahl Mengenelemente von M, Cardinality=number of elements of set M (PS
2012)
Abbildung
mathematische Abbildung, math. representation
Bestandteil der genannten Menge, exists in a given set
nicht Bestandteil der genannten Menge, does not exist in a given set
für alle, for all
es existiert mindestens eins, it exists
es existiert kein, there does not exist (PS 2012)
Differenz, difference (PS 2012)
?
Frage, question
Voraussetzung, ,,es sei", ,,es gelte", ,,für", assumption
==>
2
)
Beweisführung, ,,dann folgt", implication
Ergebnis, Result
K
Kommentar, comment
2
)
zu
==>
=
ist gleich, is equal
<>
ungleich, not equal (PS 2012)
=/A/=
ist gleich wegen der Aussage ,,A", is equal because of declaration ,,A"
/A/==>
Beweisführung mit der Aussage ,,A", implication with declaration ,,A"
und, and
v
oder, or
1)
zu
Di
,
Bi
=!=
soll heißen, is called
5
Grundlegende Begriffe
PS 2012
Der Ausdruck
The expression.
e M, w,w' W
wird im Folgenden in dem Sinn verwendet, dass es
sich bei einer Eigenschaft e und Werte w,w um
Elemente aus beliebigen Mengen M, W handelt, für
die jedoch jeweils Zuordnungen e|w, e|w' existieren,
bei der e konstant bleibt, während w,w' sich
(möglicherweise!) via Transformation hinsichtlich
ihrer Relation zu e ändern können.
is hereafter used in the meaning, that the element of
quality and values w,w' are elements of any sets M,
W, but with existing allocations e|w, e|w' with e
constant, whereas w,w' can (possibly!) be changed
via transformation in relation to e.
(s. D0, D1, Zuordnung/Allocation, Transformation)
6
Grundlegende Begriffe
Interessante Aussagen
Wiederholbare Transformationen sind
prognostizierbar tritt der Anfangszustand auf, so
kann vorhergesagt werden, wie der Endzustand
aussehen wird. Dies ist der Hintergrund für die
Effektivität des Lernens über Erinnerung.
Weiterhin sind ihre Translationsabbildungen
,,Funktionen aus der Wertemenge W" im Sinne der
Mathematik, bei vollständigen Transformationen
sogar ,,Funktionen von W". Dies ist der Hintergrund
für die Effektivität der Physik, mathematische
Methoden zur Beschreibung dynamischer Vorgänge
zu nutzen.
Mit den wiederholbaren Transformationen bzgl. e ist
die Information bzgl. e eine Gruppe. Diese Definition
der Information wirft auch ein interessantes Licht auf
die Technik der Erinnerung und des Lernens und die
Frage auf, ob Zeitabhängigkeit für ein
informationsverarbeitendes System überhaupt
erfahrbar ist oder ob dies nicht nur in der auf stabile
Muster abbildbaren Form von wiederholbaren
Zyklen erfolgen kann, nutzbar für diese Systeme
und ihr Fortdauern in der Zeit.
Die Effektivität der Mathematik in den
Naturwissenschaften ist damit ganz natürlich (in
respektvollem Zitat von E. Wigners Titel ,,The
unreasonable effectiveness of mathematics in the
natural sciences", Comm. pure appl. Math, 13, 1-14,
1960).
Aus der Nachricht (Translationen) auf die möglichen
erzeugenden Zustände, also Profile, mit
Wahrscheinlichkeitsberechnungen
zurückzuschließen, ist der Grundgedanke der
Berechnung des Informationsgehaltes - die
versprochene Anbindung an Shannon.
Interesting points
Repeatable transformations are predictable if the
initial allocation occurs, it can be foretelled, how the
final allocation will be. That's the reason for the
effectivity of learning by memory.
Furthermore, the translations maps of repeatable
transformations are ,,functions from the value area
W" (in the mathematical meaning), if the
transformations are complete, the translations map
are even ,,functions of W".That's the reason for the
effectivity of physics using mathematical methods to
describe dynamic processes.
Defined by the repeatable transformations related to
e the information (related to e) forms a group. This
definition of the information poses questions about
the technics of memory and learning and even if
information processing systems are able to
understand time dependency or if time can only be
understood in the cyclic way, possible to be reduced
to stable maps, valuable for these systems and their
persistence in time.
The effectivity of mathematics is therefore naturally
(in respectful citation of E. Wigners title ,,The
unreasonable effectiveness of mathematics in the
natural sciences", Comm. pure appl. Math, 13, 1-14,
1960).
To reconstruct the creating states from message
(translations) by calculus of probability, is the basic
idea of the calculation of information content - the
promised connection to Shannon.
Verwendete
Begriffe/Used Terms
(PS 2012: links are not used)
Zuordnung
Eigenschaft
Wert
Transformation
Translation
Vollständigkeit
Wertebereich
Bestimmbarkeit der Zuordnung, Tiefe und Ursprung
des Wertebereiches
Wiederholbarkeit
Information
Mindestinformation
Nachvollziehbarkeit
Äquivalenz von Abbildungen und Vollständigkeit
Äquivalenz von Eindeutigkeit und Wiederholbarkeit
Assoziativität der Transformationsverknüpfung bei
Allocation
Element of Quality
Value
Transformation
Translation
Completeness
Value area (co-domain)
Determinability of allocation, depth and origin of the
value area
Repeatibility
Information
Minimum Information
Reproducibility
Equivalence of mapping and completeness
Equivalence of uniqueness and repeatability
Associativity of linkages of transformations in case
7
Grundlegende Begriffe
Wiederholbarkeit
Äquivalenz von Eineindeutigkeit und
Nachvollziehbarkeit.
Äquivalenz von Transformation und
Translationsabbildung
Profilschablone
Profil
Profilwert
Profilwertebereich
P-Transformation
Basis-P-Transformation
P-Translation, Nachricht
Platos Problem (oder das Translationenproblem)
oder die Kunst, Nachrichten zu verstehen
of repeatibility
Equivalence of one-to-one correspondence and
reproducibility
Equivalence of Transformation and representation of
translation
Profile template
Profile
Profile value
Profile value area
P-Transformation
Basis P-Transformation
P-Translation, message
Platos Problem (or the translations problem)
or the
art of understanding messages
8
Grundlegende Begriffe
B0 (Grundbegriffe/Basic terms)
M und W seien zwei nichtleere Mengen
M and W are not empty sets
M = {e} <>
W = {w} <>
B0.1
Abbildung y auf sich selbst
Map y in itself
y(w) = w` w` W... w W
B0.2
Eindeutigkeit der Abbildung x
Uniqueness of the map x
y(w) = w`
y(w") = w`"
==>
w = w" ==> w` = w`"
B0.3
Eineindeutigkeit der Abbildung y
one-to-one correspondence of the map x
y(w) = w` y
-1
(w`) = w
w, w` W
==>
(
w = w" ==> w` = w`" ) ( w` = w`" ==> w` = w" )
v
y
-1
(w`) = y
-1
(x(w)) = w
für eineindeutige Abbildungen existieren definierte Inverse, die
zum Ausgangselement w
W führen
Every one-to-one mapping has a defined
inverse to the originator w
W
B0.4
mit Eins-Abbildung
Unit map
y
1
=!= y
1
(w) = w
w W
wegen der Abbildungseigenschaft existiert y(y(w)) und
mit der Eineindeutigkeit existiert auch y
-1
y
-1
(w")
for it is a map there exists y(y(w)) and
along with one-to-one there exists y
-1
y
-
1
(w")
B0.5
/B0.1/==>
y(y(w) = w" w, w" W
/B0.3/==>
y
-1
y
-1
(w") = w
w, w" W
B0.6
Folge aus M
Sequence in M
e` M
p
: |N -> M <==> p = ( e
1
, e
2
, e
3
, ..)
PS 2012
<==> p = ( e
i
)
1 <= i <= n <==> p = ( e
i
)
1<=i<=n
B0.7
Konvergenz einer Folge p aus M (M mit einer Metrik d(a,b) = |a-
b| und r
|R )
Convergence of a sequence p in M (M
has a Metric d(a,b) = |a-b| and r
|R )
e`,e
i
p, r> 0, i
0
(r
|N, i > i
0
==>
|e
i
- e`| < r
r -> 0 ==> lim e
i
= e`
wobei e` der Grenzwert der Folge p genannt wird
with e` the socalled Limit of the
sequence p
9
Grundlegende Begriffe
B0.8
Vereinigungsmenge ist die Menge aus allen Elementen der
betrachteten Mengen (PS 2012)
Union is the set of all elements of the
regarded sets (PS 2012)
i >= 0, A
i
= {x} v Ø
U =!= { x | x
A
i
}
B0.9
Die Schnittmenge ist die Menge aus den Elementen, die in allen
betrachteten Mengen enthalten sind (PS 2012)
The intersection is the set of the
elements, contained in each and every
regarded set (PS 2012)
i >= 0, A
i
= {x} v Ø
=!= { x | x
A
i
A
i
}
B0.10
Für disjunkte Mengen ist die Schnittmenge leer (PS 2012)
For disjoint sets the intersection is the
empty set (PS 2012)
A
dis
B
dis
=!= Ø
A
dis
= { x}, B = {y}, x <> y
x,y
B0.11
Eine Teilmenge enthält nur Mengenelemente der Obermenge
(PS 2012)
A subset only includes elements of the
superset (PS 2012)
A
B =!= x A => x B
v
B = A U B
A = {x}, B = {x, y | x A, y A' }, }, A' = ( {y'} v Ø ), y <> x x,y
B0.12
Die Mengendifferenz enthält nur Elemente der ersten Menge
(PS 2012)
The set difference only includes
elements of the first set (PS 2012)
A \ B
=!= x A x B
B0.13
Das kartesische Produkt ist die Menge aller möglichen
geordneten Paare von Mengenelementen aus A und B, deren
erstes Element aus A und das zweite aus B ist (PS 2012)
The cartesian product is the set of all
possible ordered pairs whose first
component is an element of A while the
second is of B (PS 2012)
A x B =!= { (x,y) |
x A, y e B }
B0.14
Eine Teilfolge ist eine Folge, die aus einer vorgegebenen Folge
entsteht, wenn Folgenglieder wegfallen (PS 2012)
The subsequence is a sequence,
resulting from a given sequence by
deleting members (PS 2012)
p =/B0.6/=
( e
1
, e
2
, e
3
, ..) = ( e
i
)
i<=n
p = ( e
i
)
i<=n
x = f(i) {true,false}
p' = p
x = ( e
i
)
i<=n
x=true
Beispiel/Example:
p = (a,b,c,d,e,f, ...) x = {b,d,e...}
p' = p
p
i
x = (b,d,e...)
p = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,...) x = 3
p' = p
p
i
/x
|N
0
= (3,6,9,12...)
10
Grundlegende Begriffe
K
Es handelt sich hierbei um die bekannten mathematischen
Begriffe. Sie werden hier nur aufgeführt, um die Schreibweise
und Symbolverwendung zu demonstrieren und als Referenz.
These are the usual mathematical
terms. They are specified only to
demonstrate the usage of the notation
and to give references.
11
Grundlegende Begriffe
D0 (Zuordnung/Allocation)
Eine Verknüpfung eines Elementes e
M mit einem
einzigen Element w
Menge W wird Zuordnung
genannt.
A relation of an element e
M with another single
element w
W is called an Allocation.
Zuordnung =!=
e|w =!= w ist e zugeordnet
w W, e M
e =!= Eigenschaft
w =!= Wert
Allocation =!=
e|w =!= w is allocated to e
w W, e M
e =!= Element of Quality
w =!= Value
Wegen der Bedingung, daß nur ein einziger Wert
mit der Eigenschaft verbunden sein kann, sind zwei
Zuordnungen von e gleich, wenn die Werte gleich
sind.
Because of the fact, that only a single value can be
related to a qualitiy two allocations of e are equal, if
the values are equal.
D0.1
e|a = e|b <==> a = b
a,b W, e M
K
Die Frage, wie die Zuordnung aussieht, ist in diesem
Zusammenhang nicht bedeutsam. Wichtig ist bloß
die Existenz einer eindeutigen Relation der
Eigenschaft zum Wert.
Die Zuordnung ist in der Mengenbeschreibung
enthalten, da eine Menge über ein gemeinsames
Attribut für alle ihre Elemente beschrieben werden
kann. Dies inkludiert das Vorhandensein von
Eigenschaften, die (gemeinsame) Werte annehmen
können.
Was weiterhin in der Mengenbeschreibung
enthalten ist: Mengenelemente sind eindeutig,
müssen also unterscheidbar sein.
Unterscheidbarkeit bedeutet aber, dass diese
Elemente weitere Eigenschaften aufweisen müssen,
die dann jedoch unterschiedliche Werte vorweisen
müssen.
The specific details of the allocation is not
meaningful in this context. The only important fact is
the existence of the binding between the quality and
the value.
The allocation is implied in the description of sets,
for each set can be described by a common attribute
of each of its elements. That includes the fact, that
qualities must exist, which can have (common)
values.
Furthermore included in the specifications of sets is
the uniqueness of elements, so each element can
be distinct from each other. However, distinctness
leads to the existence of further qualities of all
elements, which must have different values.
12
Grundlegende Begriffe
D1 (Transformation)
Die Erzeugung einer Zuordnung aus einer
bestehenden Zuordnung, dh. die erneute
Verknüpfung einer Eigenschaft e mit einem anderen
w`
W wird Transformation (bzgl. e) genannt.
The transition from an existing allocation to another
allocation, i.e. the renewal of the relationship of the
quality to another value w`
W is called
Transformation (related to e)
Transformation =!=
X =!= X
e
=!= X(e|w) =!= e|w`
e M, w,w' W, w <> w
`
e|w =!= Anfangszuordnung
e|w` =!= Endzuordnung
e|w =!= Initial allocation
e|w` =!= Final allocation
Die Veränderung von w zu w` wird Translation x
genannt
The change of the values w to w` is called
translation x.
D1.1
Translation
x =!=
x(w) = w`
X(e|w) = e|w`
13
Grundlegende Begriffe
K
Die Frage, wie die Transformation aussieht, ist in
diesem Zusammenhang nicht bedeutsam. Wichtig
ist bloß die Existenz der Änderung einer Zuordnung,
also den Wechsel des Wertes einer Eigenschaft
erreichen zu können. Weiterhin ist bedeutsam, daß
die in D1 definierte Transformation keine
Vernichtung oder Erzeugung einer Eigenschaft
erreichen kann in dem Sinne, daß der Eigenschaft
überhaupt kein Wert mehr zugeordnet wird bzw. daß
einem e
M, dem noch kein ,,Wert" zugeordnet war,
dann ein Wert zugeordnet würde. Transformationen
können also keine Zusammenhänge erzeugen oder
vernichten.
Im Gegensatz dazu ist die Frage, in welcher Menge
der Wert der Eigenschaft sich befindet, zweitrangig.
Denn wenn die Transformation eine Zuordnung
hervorbringen würde, bei dem der zugeordnete Wert
aus einer zweiten Menge W` stammt, so ist
hinsichtlich der Transformation dann die
Vereinigungsmenge W u W` zu betrachten.
Weiter ist zu betonen, daß die eigentliche
Charakterisierung von Eigenschaft und Wert auf
ihrem Verhalten gegenüber dieser Zuordnung
beruht,:
Eigenschaft ist unveränderlich, Wert nicht.
Auch dies ist in der Mengenbeschreibung enthalten,
da diese keinerlei Einschränkung hinsichtlich der
Zeit durchführt. Eine Menge kann über ein
gemeinsames Attribut für alle ihre Elemente
beschrieben werden, sagt nichts aus, ob dieses
Attribut unveränderlich ist oder nicht.
The specific details of the transformation is not
meaningful in this context. The only important fact is
the existence of a change of allocations, so values
of qualities can be changed. Furthermore important
is, that the transformation of D1 cannot create or
delete qualities, that means, cannot make qualities
have no values or can give an element e
M a
value, which doesn't have a ,,value" until then. So,
transformations cannot create or delete connections.
Contrary to this, the set of the value of a quality is
not very significant. If a transformation would lead to
an allocation from an element of a set to an element
of a second set W`, you should observe the union of
both sets W u W`.
Furthermore it is to point out, that the main
characteristic of quality and values is derived from
their behaviour related to the allocation:
Qualities are stable, values are changeable.
This as well is implied in the description of sets,
because there is no limitation regarding to time.
Each set can be described by a common attribute of
each of its elements, does not conclude, that this
attribute must or must not be unchangeable.
Auch Relationen und Funktionen sind prinzipiell
noch nicht eingeschränkt für veränderliche Mengen,
doch alleine die Definition der Funktion von M als für
alle Elemente gültig, wirft die Frage auf, was denn
mit all den Folgerungen geschieht, die auf
Funktionen von M beruhen, wenn M veränderlich ist,
sodass Elemente also verschwinden können.
Veränderliche Mengen können jedoch durch
Angaben von Gültigkeitszeitpunkten oder
zeiträumen fixiert werden und damit
,,unveränderlich" gemacht werden.
Relations and functions also are valid for all kind of
sets, stable or changeable, but the definition of
,,functions of M", which describes the function as
defined for each element of the given set M, leads to
this question:
what happens with all the conclusions based on
,,functions of M", if M is changeable, so that
elements can leave?
However, changeable sets can be fixed by a
declaration of validity for points of time or periods,
so they can be made ,,stable".
14
Grundlegende Begriffe
D2 (Transformationsverknüpfung/Linkage of transformations)
Zusätzlich sei eine Verknüpfung von
Transformationen definiert als Transformation mit
einer Anfangszuordnung, die Endzuordnung einer
anderen Transformation ist:
A linkage of transformations is defined as
transformation with an initial allocation, which is final
allocation of another transformation.
XX =!= X
e
2.
X
e
1.
=!= (X
e
2.
X
e
1.
)(e|w) =!= X
e
2.
(X(e|w)) =!= X(X(e|w))
X(e|w) = e|w`
e M, w,w' W
==>
XX =/D1/= X(e|w`)
X(e|w`) = e|w"
==>
XX =/D1/= X(e|w`)=/D1/= e|w"
XX = Transformation X`
XX(e|w), X(e|w) = e|w`, X(e|w`) = e|w"
Aufgrund der Definition X(e|w`) = e|w" führt X(e|w`)
auf eine Zuordnung e|w" (mit w", w'
W), also liegt
mit der Verknüpfung selbst eine Transformation im
Sinne von D1 vor.
As a result of the definition X(e|w`)= e|w" leads to an
allocation e|w" (with w", w'
W), so the linkage itself
is a transformation as defined by D1.
PS 2012: Verknüpfte Transformationen X
i
(e|w)
werden auch
Transformationskette
genannt.
PS 2012: Linked Transformations X
i
(e|w) are also
called
chain of transformations
.
X
i
(e|w) =!= X
i
(...(X
1
(e|w)) = e|w'
e M, w,w' W
D2.1
X
i+1
=!= X
i+1
(e|w) =!= X
i
X(e|w) =!= X
i
X
Die Transformation X wird vollständig bzgl. W
genannt, wenn sie aus einer beliebigen
Anfangszuordnung e|w (w
W) durch wiederholte
Transformation X
i
(e|w) =/D2/= X` für e Zuordnungen
für alle w`
W erzeugen kann.
The transformation X is called complete related to
W, if it can reach every element (as allocations of e)
of w`
W by repeated transformations X
i
(e|w)
=/D2/= X`, started with any initial allocation e|w (w
W).
D2.2
Vollständigkeit der Transformation bzgl. W
=!=
Completeness of a Transformation related to W
=!=
X(e|w) = e|w` e M, w,w` W
D2.3
Mit der Vollständigkeit der Transformation gilt dann
die Translation x(w) ist für alle w
W definiert, erfüllt
danach mit B0.1 also die Abbildungseigenschaft (auf
sich selbst).
With completeness of a transformation the
translation x(w) is defined for all w
W, so it fulfills
B0.1 (is a map to itself).
Vollständigkeit von X
Completeness of X
X(e|w) = e|w` e M w,w` W
==>
x(w) = w` w,w` W
/B0.1/==>
ist die Transformation vollständig, so ist die
Translation eine Abbildung auf sich selbst, die
Translationsabbildung
If the transformation is complete, the translation is a
map to itself, the
Translations Map
15
Grundlegende Begriffe
D2.4
=!=
Äquivalenz von Abbildung und Vollständigkeit
=!=
Equivalence of mapping and completeness
/D1.1,D2.2/==>
x(w) = w` w` W... w W
Die Teilmenge von W, die über j Transformationen
aus einer vorgegebenen Zuordnung e|w erreicht
werden kann, heißt Wertebereich von e|w, die
Zuordnung heißt bestimmbar für diesen
Wertebereich, i als Maximalwert von j heißt die Tiefe
des Wertebereiches und w der Ursprung von W(e|
w).
The subset of W, which can be reached by j
transformations from a given allocation e|w, is called
value area of e|w, the allocation is called
determinable for this value area, i as maximum
value of j is called depth of the value area and w is
the origin of W(e|w).
D2.5
=!=
Wertebereich
=!=
Value Area
W(e|w) = {w` |
X(e|w`) = w"., j <=i X(e|w`) = X
j
(e|w) , e
M , w,w`,w" W}
PS 2012:
W(e|w) = {w` |
j <=i X
j
(e|w) = e|w' , e
M , w,w` W}
=!=
Bestimmbarkeit
der Zuordnung bzgl. w
=!=
Determinability
of an allocation related to w
w W(e|w)
i = max(j) =!=
Tiefe des Wertebereiches
W(e|w).
w =!=
Ursprung des Wertebereiches
W(e|w)
i = max(j) =!=
Depth of the Value Area
W(e|w).
w =!=
Origin of the Value Area
W(e|w)
zur Translation:
concerning translation:
/D1.1/==>
XX(e|w) = e|w", X(e|w) = e|w`, X(e|w`) = e|w"
x(w) = w`
X(e|w) = e|w`
x(w`) = w"
X(e|w`) = e|w"
XX(e|w) = X(X(e|w)) = X(e|w`)= e|w"
/D1.1/==>
x`(w) = w"
XX(e|w) = e|w"
XX(e|w) = X(e|w`)= e|w"
/D1.1/==>
x`(w) = x(w`) = w"
/x(w) = w`/==>
x`(w) = x(x(w))
der verknüpften Transformation läßt sich ebenfalls
eine Translation zuordnen, die sich darstellen läßt
als Verknüpfung der Translationen der
zugrundeliegenden Transformationen.
the translation of a linked transformation can be
described by the linkage of the translations of the
original transformations.
D2.6
x`(w) = w" = x(w`) = x(x(w))
16
Grundlegende Begriffe
D2.7
/D2.1,D1.1/==>
x
i+1
= x
i+1
(w) = x
i
x(w) = x
i
x
Jede Transformationskette X
i
(e|w) läßt sich damit
durch eine Transformation darstellen, deren
Endzuordnung sich als Kette von Translationen
darstellt, ausgehend von w als dem Startpunkt.
So, each chain of transformations X
i
(e|w) can be
described by a transformation, whose final allocation
is described as chain of translations with the starting
point w.
/D2/==>
XX(e|w) = X(X(e|w)) = X(e|w`)= e|w"
/D2.6/==>
x`(w) = w" = x(w`) = x(x(w))
/D1.1/==>
XX(e|w) = X(X(e|w)) = X(e|w`)= e|w" = e|x(x(w))
D2.8
/D2.1/==>
X
i+1
= X
i+1
(e|w) = X
i
X(e|w) =!= e|w
i
/D2.7/==>
x
i+1
= x
i+1
(w) = x
i
x(w) =!= w
i
/D1.1/==>
X
i+1
= X
i+1
(e|w) = X
i
X(e|w) =!= e|w
i
= e|x
i+1
(w)
K
Diese Definition erlaubt die Bildung beliebiger
Transformationsketten, wobei jedoch immer noch
von einer ,,schrittweisen" Kettenbildung
ausgegangen wird. Dies bedeutet, daß jeder
einzelne Schritt, jede konkrete Transformation auf
Existenz überprüft werden muß, da aus der
Definition der Transformation die Existenz einer
Transformation nur gewährleistet ist, falls Anfangs-
und Endzuordnungen vorhanden sind.
Weiter ist darauf hinzuweisen, daß aufgrund der
generellen Unkenntnis der Transformation auch
keinesfalls die Eindeutigkeit des Wertebereiches
bestimmt ist. Der Wertebereich ist eine sowohl an
den Ausgangswert w als auch an die i
Transformationen gebundene Menge.
Es bedeutet jedoch, dass die Behandlung variabler
Mengen (mit veränderlichen Attributen) nicht nur
Fixierung über Zeitangaben erlaubt werden kann,
sondern beispielsweise auch durch die Nennung
eines Ursprungs und seines Verhalten, als dessen
Wertemenge sie dann verstanden werden können.
This definitions allows the linkage of any chain of
transformations, with the requirement of ,,stepwise"
chaining. This means, that every single step, every
concrete transformation must be verified, if it exists,
because the definition of transformation guarantees
the existence of a transformation only in the case of
existing initial and final allocations.
Furthermore, due to the general lack of knowledge
about the details of transformations, there is no
conclusion of uniqueness of the value area allowed.
The value area is connected to the origin w as well
as to the i transformations and so this set is
dependent from both.
However, it means, that the handling of variable sets
(with changeable attributes) cannot only be allowed
by fixation via declaration of valid timestamps, but
f.e. also by selection of an origin and its behaviour,
so that the set can be seen as a value area of these
origins.
17
Grundlegende Begriffe
B1 (Wiederholbarkeit/Repeatability)
Die Transformation sei in dem Sinne wiederholbar,
daß eine Transformation mit einer bestimmten
Anfangszuordnung immer zur selben Endzuordnung
führt, also ausgehend von einem bestimmten Wert a
W immer zu einem und demselben definierten
Endwert b
W führt, dh. daß nicht aufgrund von
vorhergehenden Transformationen eine Zuordnung
e|a auf Zuordnungen e|b, e|g mit b<>g führen kann,
die Transformation ist geschichtslos.
The transformation shall be repeatable, that means,
that a transformation with a given initial allocation
leads to the same final allocation every time, it
happens. So starting from a defined value a
W it
surely ends at one and only value b
W. That
means, that history has no influence, for no
combination of previous transformations will change
the result.
Wiederholbarkeit
=!=
Repeatability
=!=
X(e|a) = e|b
X(X(e|f)) = e|g
==>
X(e|f) = e|a ==> e|g = e|b
=/D0.1/=
X(e|f) = e|a ==> b = g
gilt also:
X(e|a) = e|b
aber auch:
X(X(e|f)) = e|g
wenn X(e|f) = e|a und b<>g
dann stimmt eine der drei Aussagen nicht:
1) X(e|f) = e|a
2) b <> g
3) die Transformation ist wiederholbar
So, if it its:
X(e|a) = e|b
and also:
X(X(e|f)) = e|g
if X(e|f) = e|a and b<>g
than one of the following statement is wrong:
1) X(e|f) = e|a
2) b <> g
3) the transformation is repeatable
zur Translation:
concerning translation:
( X(e|a) = e|b X(X(e|f)) = e|g ==> X(e|f) = e|a ==> b = g )
/D1.1/==>
x(a) = b
X(e|a) = e|b
x(f) = a
X(e|f) = e|a
/D1.1/==>
x(x(f)) = g
X(X(e|f)) = e|g
?
x(a) = b
x(x(f)) = g
/B1/==>
x(f) = a ==>
b=g
/B0.2/==>
die Translation x einer wiederholbaren
Transformation ist eindeutig. Ist die Transformation
vollständig, so ist die Translationsabbildung x
eindeutig
The translation x of a repeatable transformation is
unique. If the transformation is also complete, the
translations map x is unique.
18
Grundlegende Begriffe
B1.1
=!=
Äquivalenz von Eindeutigkeit und
Wiederholbarkeit
=!=
Equivalence of uniqueness and repeatability
K
Zu beachten ist, daß bisher nur Transformationen
für Zuordnungen betrachtet wurde, die jede explizit
als existent vorausgesetzt wurde. Die Kenntnis der
Wiederholbarkeit einzelner Transformationen erlaubt
nun, Transformationsketten zu betrachten, bei
denen nur ein Teil der Zuordnungen explizit genannt
wird, während Zwischenschritte allein aus die
Definitionsbedingung der Transformation, nur
existente Zuordnungen zu erzeugen, und aus der
Wiederholbarkeit der beteiligten Transformationen
als gegeben vorausgesetzt werden können.
Die Wiederholbarkeit der Transformation macht
diese ,,deterministisch" in dem Sinne, daß eine
Anfangszuordnung als mathematisch ,,hinreichend"
für eine Endzuordnung angesehen werden kann
unter dieser Transformation.
Das bedeutet weiterhin, dass wiederholbare
Transformationen prognostizierbar sind tritt der
Anfangszustand auf, so kann vorhergesagt werden,
wie der Endzustand aussehen wird. Dies ist der
Hintergrund für die Effektivität des Lernens über
Erinnerung.
Weiterhin sind ihre Translationsabbildungen
,,Funktionen aus der Wertemenge W" im Sinne der
Mathematik, bei vollständigen Transformationen
sogar ,,Funktionen von W". Dies ist der Hintergrund
für die Effektivität der Physik, mathematische
Methoden zur Beschreibung dynamischer Vorgänge
zu nutzen.
Attention should be paid to the fact, that until now
only transformations of alloctions are considered,
which are wellknown to exist. The knowledge of the
repeatability of single transformations enables us to
consider chains of transformations, where only parts
are wellknown and intermediate steps can be
derived from these wellknown stages and the
knowledge of repeatibility (of each step) between.
Repeatability makes changes ,,deterministic", that
means, that an initial allocation is ,,sufficient" (in the
mathematical interpretation of this term) for a final
allocation under the influence of this transformation.
Furthermore, this means, that repeatable
transformations are predictable if the initial
allocation occurs, it can be foretelled, how the final
allocation will be. That's the reason for the effectivity
of learning by memory.
Furthermore, the translations maps of repeatable
transformations are ,,functions from the value area
W" (in the mathematical meaning), if the
transformations are complete, the translations map
are even ,,functions of W".That's the reason for the
effectivity of physics using mathematical methods to
describe dynamic processes.
19
Grundlegende Begriffe
D3 (Eins-Transformation/Unit Transformation)
Die Eins-Transformation X
1
(bzgl. e) bedeutet die
Beibehaltung der Zuordnung, also die
Anfangszuordnung (im Sinne von D1) soll gleich der
Endzuordnung (im Sinne von D1) sein, dh. die
Eigenschaft e behält ihren Wert w.
The UnitTransformation X
1
(related to e) means the
retaining of the actual allocation, so the initial
allocation (as defined by D1) shall be the final
allocation (as defined by D1), i.e. the element of
quality e keeps its value w.
=!= Eins-Transformation
=!= Unit Transformation
X
1
=!= X
1
(e|w) =!= e|w
e M, w, W
Das Einselement X
1
ist wiederholbar für alle w
W
im Sinne von B1
The unit element X
1
is repeatable for all w
W as
defined by B1.
da das Einselement X
1
auf eine gültige Zuordnung
führt, kann es sowohl als Zuordnung als auch als
Bestandteil von Transformationsketten im Sinne von
D2 angesehen werden.
Since the unit element X
1
leads to a valid allocation,
it can be seen either as allocation or as part of
transformation chains as defined by D2.
/D1,D2/==>
X
1
X
X
X X
1
X
Für das Einselement gilt, daß es mit jeder
Transformation verbunden werden kann, ohne diese
Transformation zu ändern.
The unit element can be connected to every other
transformation without changing their results.
D3.1
X
1
X = X
X
XX
1
= X
X
/D1/==>
X(e|w) = e|w`
w,w` W
X
1
X =/D2/= X
1
(X(e|w)) =/D1/= X
1
(e|w`) =/D3/= e|w` = X(e|w) = X
XX
1
=/D2/= X (X
1
(e|w)) = /D3/ = X(e|w) = X
zur Translation:
concerning translation:
Eins-Translation x
1
=!=
Unit Translation x
1
=!=
x
1
(w) = w
X
1
(e|w) = e|w
die Eins-Translation ist die identische Abbildung auf
der Wertemenge W
the UnitTranslations is the identical map in the value
area W.
K
Die Eins-Transformation erfüllt die Bedingung der
Transformationsdefinition D1 bis auf die
Anforderung, daß Ausgangs- und Endzuordnung
verschieden sein müssen.
The Unit Transformation complies with the
requirements of the definition D1 except for the
disparity of inital and final allocation.
20
Grundlegende Begriffe
D4 (Inverse)
Die inverse Transformation einer Transformation X
bedeutet die Umkehrung von X, also die
Veränderung vom Endwert zum Startwert von X..
The inverse transformation of a transformation X
means the reversal of X, so the change from final
value to initial value of X.
Inverse
X
-1
=!=
X
-1
(e|w`) =!= e|w
X(e|w) = e|w`
e M, w,w' W
da die Inverse als Voraussetzung eine nach D1
gültige Transformation X hat und ihrerseits eine
nach D1 gültige Transformation ist, da sie die Werte
von Eigenschaften ändert, können die
Verknüpfungsregeln von D2 angewandt werden.
Since the Inverse depends on a valid transformation
according to D1 and on the other hand is a valid
transformation according to D1, for it changes
values of qualities, the linkage rules of D2 can be
applied.
/D3.1,D2/==>
X
-1
X = (X
-1
X)(e|w) = X
-1
(X(e|w)) =/D2/= X
-1
(e|w`) =/D4/= e|w =/D3/= X
1
mit X
1
,
dem Einselement der Transformationen bzgl.
e, ist die Bedingung des inversen Elements erfüllt,
mit seinem Ursprungselement das Einselement zu
erzeugen, das Ursprungselement also aufzuheben.
es gilt also für alle bestimmten X
-1
, X:
with X
1
,
the unit element of transformations related
to e, the requirement of the inverse element is
complied, to produce the unit element by connection
of the inverse with the original transformation, to
unmake the original transformation.
for each defined X
-1
, X there is:
D4.1
X
-1
X = X
-1
X(e|w) = e|w = X
1
(e|w
) X(e|w) = e|w
X(e|w) = e|w` =/D2/= X
-1
(e|w`) = e|w
==>
XX
-1
(e|w`) =/D2/= X(e|w) =/
/= e|w` = X
1
(e|w`) = X
1
auch für das inverse Element erfüllt das
Einselement die Bedingung, es nicht zu ändern.
for the inverse element also is valid, that it is not
changed by the unit element.
D4.2
X
1
X
-1
= X
-1
X
-1
X
-1
X
1
= X
-1
X
-1
/D4/==>
X
-1
(e|w`) = e|w
w,w` W, X(e|w) = e|w`
X
1
X
-1
=/D2/= X
1
(X
-1
(e|w`)) =/D4/= X
1
(e|w) = e|w =/D4/= X
-1
(e|w`) = X
-1
X
-1
X
1
=/D2/= X
-1
(X
1
(e|w`)) = /D3 / = X
-1
(e|w`) = X
-1
zur Translation:
concerning translation:
/D1.1/==>
x(w) = w`
X(e|w) = e|w`
21
Grundlegende Begriffe
/D4,D1.1/==>
x`(w`) = w =!= x
-1
(w)
X
-1
(e|w`) = e|w
D4.3
x
-1
=!= inverse Translation
x
-1
(w`) = w
x(w) = w`
die inverse Translation ist die Umkehrung der
Translation x(w) = w` ,
X(e|w) = e|w` und befriedigt
die Bedingung, x zu neutralisieren.
the inverse translations is the reversal of the
translation x(w) = w` ,
X(e|w) = e|w` and therefore
complies the requirement to neutralize x.
/D4,D1.1,D4.3,D2.6/==>
x`(w) = w = x
-1
(w`) = x
-1
(x(w)) = x
1
X
-1
X(e|w) = e|w = X
-1
(e|w`) = X
1
(e|w
) X(e|w) = e|w
Die inverse Transformation kann also als die
Transformation über der inverse Translation
dargestellt werden.
The inverse transformation can be described as the
transformation of the inverse translation.
D4.4
X
-1
(e|w`) =/D4/= e|w =/D1.1,D4.3/= e|x
-1
(w`)
K
Die inverse Transformation ist mit dieser Definition
D4 nicht nur immer selbst eine Transformation, sie
ist auch mit der Ausgangs-Transformation immer
gegeben. Selbst wenn die Ausgangstransformation
nicht wiederholbar ist, wenn also nach
verschiedenen Transformationsketten eine
Zuordnung als Anfangszuordnungen auf
verschiedene Endzuordnungen führt, so ist die
inverse Transformation dennoch immer die
eindeutig bestimmte Umkehrung der
vorausgegangenen Transformation in der aktuell
betrachteten Transformationskette.
Wegen der bisher vorliegenden Unkenntnis über die
Natur der Transformation, also die Prozesse und
Abhängigkeiten, die den Wertewechseln
durchführten, ist damit jedoch keinerlei Aussage
über die physikalische Realisierbarkeit der Inversen
getan.
The definition D4 of the inverse transformation does
not only make the Inverse to a valid transformation
according to D1, but guarantees the existence of the
inverse at the moment, when the original
transformation is existing. So, even if the original
transformation would not be a repeatable
transformation, the inverse transformation is
completeley determined by its original
transformation in the actual transformation chain.
Because of the lack of knowledge, how the change
of values takes place, this should not be mistaken
as a statement about the physical feasibility of the
Inverse.
22
Grundlegende Begriffe
A0
Assoziativität der Transformationsverknüpfung
bei Wiederholbarkeit
Associativity of linkages of transformations in
case of repeatibility
Sind alle Transformationen einer Verknüpfungsreihe
nach D2 bestimmt und wiederholbar nach B1, so ist
auch diese Verknüpfungsreihe eine Transformation
und bestimmt und sie ist als Komposition assoziativ,
also reihenfolgenunabhängig.
If all transformations in a chain defined according to
D2 and repeatable according to B1, so the whole
chain is one transformation according to D1 and
associative, so independent of the order of the
linked transformations.
?
X
III
X
II
X
I
=!= X
III
(X
II
X
I
)=!= (X
III
X
II
)X
I
X(e|a) = e|b, X(e|b) = e|c, X(e|c) = e|d
/D1,D2,B1/==>
X(X(e|a)) = e|c
X(X(X(e|a))) = e|d
X(X(e|b)) = e|d
==>
1) X
III
X
II
X
I
(e|a) =/D2/= X(X(X(e|a) =/
/
= e|d
2) X
III
(X
II
X
I
) =/D2/= X X`(e|a)
X` = X
II
X
I
=/D2/= X(X(e|a)) =/
/
= e|c
/D2/==>
XX' = X(e|c) = e|d
3) (X
III
X
II
)X
I
=/D2/= X" X(e|a)
X" = X
III
X
II
X
I
=/D2/= X(e|a) =/
/
= X(e|b)
X" = X
III
X
II
=/D2/= X(X(e|b) =/
/= e|d
Die wiederholbaren Transformationen bzgl. e sind
damit eine Gruppe.
The repeatable transformations related to e form a
group.
K
PS 2012: Die Assoziativität der wiederholbaren
Transformationen bedeutet, dass es für eine
Verlinkung von wiederholbaren Transformationen
nicht von Bedeutung ist, von welcher Zuordnung in
der Kette aus die weitere Transformation verfolgt
wird.
PS 2012: The associativity of repeatable
transformations means, that it is of no importance
for a linkage of repeatable transformations, which
allocation of the chain is used as initial allocation for
the further transformation.
23
Grundlegende Begriffe
B2 (Information)
Die Menge der wiederholbaren Transformationen
(bzgl. e) mit Inverse und Eins-Transformation heißt
Information über e (oder bzgl. e), die einzelne
Transformation kann damit auch als Information
über den einzelnen Wertewechsel beschrieben
werden.
The set of repeatable transformations (related to e)
together with the inverse and unit transformations is
called Information about e (or related to e), die
single transformation can be seen als information
about the single change of values.
Information bzgl. e =!=
Information related to e =!=
I
e
=!= {X}
=!=
{ X, X
1
, X
-1
|
X(e|w) = e|w`,e M, w,w' W, w <> w`,
X(e|a) = e|b X(X(e|f)) = e|g ==> X(e|f) = e|a ==> b = g
X
1
= X
1
(e|w) = e|w,
e M, w W,
X
-1
(e|w`) = e|w,
e M, w,w' W , X(e|w) = e|w`}
Mit den wiederholbaren Transformationen bzgl. e ist
die Information bzgl. e eine Gruppe.
Defined by the repeatable transformations related to
e the information (related to e) forms a group.
Die Information I
e
wird vollständig (bzgl. W) genannt,
wenn die Transformation vollständig bzgl. W ist.
The information I
e
is called complete (related to W),
if the transformation is complete related to W.
B2.1
Vollständigkeit der Information bzgl. W
=!=
Completeness of the Information related to W
=!=
X(e|w) = e|w` e M, w,w` W
Auf dem Wertebereich W(e|w) ist die Information
bzgl. W(e|w) vollständig.
At the value area W(e|w) the information related to
W(e|w) is complete.
Die kleinste Menge von wiederholbaren
Transformationen, mit der Vollständigkeit bzgl. W
erreicht wird (also die Schnittmenge all dieser
Mengen), wird Mindestinformation bzgl.W genannt.
Wegen X
1
(e|w) = e|w enthält sie also auch das
Einselement.
The least set of repeatable transformation, which
produces completeness related to W (the
intersections of all these sets), is called Minimum
Information related to W. Due to X
1
(e|w) = e|w it
includes the unit element.
B2.2
Min I
e
=!= Mindestinformation bzgl. W
= W(e|w)
Min I
e
=!= Minimum Information related to W
M(i) = { X
1
,
X
1
, X
2
, X
3
, .. X
i
|
X
j
(e|w) = e|w`
e M, j<=i, w,w` W
}
=!= Min I
e
=
M(i)
Die kleinste Menge von wiederholbaren
Transformationen, mit der auf einem Wertebereich
W(e|w) ausgehend vom Ursprung w alle übrigen
Werte erreicht werden, wird Mindestinformation
bzgl. W und des Ursprungs w genannt. Wegen X
1
(e|
w) = e|w enthält sie also auch das Einselement.
The least set of repeatable transformation, which
produces W(e|w) by an origin w, is called Minimum
Information related to W and the origin w. Due to
Wegen X
1
(e|w) = e|w it includes the unit element.
B2.3
Min I
e|w
=!= Mindestinformation bzgl. w, W
= W(e|w)
Min I
e|w
=!= Minimum Information related to w, W
M`(i) = { X
1
,
X
1
, X
2
, X
3
, .. X
i
|
X
l
j
(e|w) =/D2.5/= e|w`
w W , l |N
0
,
e
M, j<=i, w` W
}
=!= Min I
e|w
=
M`(i)
B2.4
Die Anzahl k der Mengenelemente der
Mindestinformation bzgl. w, W=W(e|w) ist damit
gleich der Anzahl n der Mengenelemente der Menge
The number k of the elements of the Minimum
Information related to w,W is therefore equal to the
number n of the elements of the set W, if W is
24
Grundlegende Begriffe
W, solange die Menge W abzählbar ist
(Mengenelemente sind per definitionem
unterscheidbar).
countable (Elements of a set are distinguishable per
definitionem)
?
n=2 ==> W = {w, w`}
/B2.2/==> Min I
e
= { X
1
, X(e|w) | X(e|w) = e|w`} ==> k = 2 = n
n, k
|N
0 ,
Min I
e|w
(n) =!= k(n) = n
n = n+1 ==> W = {w
1
, w
2
,...w
n
, w
n+1
} = {w
1
, w
2
,...w
n
} u { w
n+1
}
/B2.2,
, D2.5/==> Min I
e|w
(n+1) = Min I
e|w
(n) u { X`(e|w) = e|w
n+1
}
/D2.5/==>
m e|w
i+1
= X
m
(e|w) ==> X` =!= X
m
(e|w) = e|w
i+1
/w
n+1
{w
1
, w
2
,...w
n
} , B1.1/ ==> X
m
(e|w) = e|w
n+1
Min I
e|w
(n)
Min I
e|w
(n+1) ==> k(n+1) = k(n) + 1 = n + 1
K
Die Information bzgl. e enthält damit sowohl den
Wertebereich der Eigenschaft als auch die
zugehörigen Änderungen und Änderungsketten,
wobei der ,,schrittweise" Charakter von Änderung,
Inversion und Kette besonders zu betonen ist. Die
Wiederholbarkeit gewährleistet dabei die Bildung
von Transformationsketten, die nur aus
wiederholbaren Transformationen bestehen und
somit insgesamt assoziativ sind.
Die Information als Gruppe erfordert damit nur
wenig mathematische Voraussetzungen. Auch ist für
diese Definition nicht erforderlich, die internen
Ursachen zu kennen, warum Wertewandel
stattfinden. Sie müssen nur wiederholbar, also
,,situationsunabhängig" in dem Sinne sein, dass ihr
Anfangszustand unter ihrer Wirkung immer zum
selben Endzustand führt. Die Anonymität der
Transformation X bedeutet jedoch nicht, dass alle
Transformationen gleich sein müssen. Für die
Definition der Information ist es jedoch nicht
erforderlich, diese Details zu wissen, denn
verwendet wurden nur ,,begreifbaren"
Mengenelemente (Eigenschaft sowie Anfangs- und
Endwerte) meßbare, speicherbare
Mengenelemente, die unterscheidbar und damit
identifizierbar sind und damit prinzipiell
zeitunabhängig. Nur Dauerhaftigkeit erlaubt die
Wiedererkennbarkeit und nur dies erlaubt
Unterscheidbarkeit, denn Unterscheidung kann nur
durch Vergleich bestimmt werden.
The Information related to e includes therefore the
value area of the quality as well as the belonging
changes and chains of changes with emphasis on
the ,,stepwise" construction of change, inversion and
chain. The repeatability guarantees the creation of
chains only by repeatable transformations, so that
they are totally associative.
Information as group does not demand very much
mathematical preconditions. So it is not necessary
to know the reasons of the changes of the values.
They only have to be repeatable, ,,situation
independent" in the meaning, that the initial
allocation will change to the same final allocation
under this transformation. However, the anonymity
of the transformation X does not mean, that all the
transformations are equal. But these details are not
essential for the definition of information, here are
only significant the ,,graspable" elements of sets
(quality, inital and final values) measurable,
storable elements of sets, which are specifiable and
therefore identifiable und therefore basically
indepentend of time. For only stability allows to
recognize elements and only the recognition allows
distinctness, because to distinct you need to
compare.
Diese Definition der Information wirft auch ein
interessantes Licht auf die Technik der Erinnerung
und des Lernens und die Frage auf, ob
Zeitabhängigkeit für ein informationsverarbeitendes
System überhaupt erfahrbar ist oder ob dies nicht
nur in der auf stabile Muster abbildbaren Form von
wiederholbaren Zyklen erfolgen kann, wegen der
Vorhersehbarkeit nutzbar für diese Systeme und ihr
Fortdauern in der Zeit.
The definition of the information poses questions
about the technics of memory and learning and even
if information processing systems are able to
understand time dependency or if time can only be
understood in the cyclic way, where it is possible to
reduce dynamics to stable maps, valuable for these
systems and their persistence in time because of the
predictability.
25
Grundlegende Begriffe
F0 (Wiederholbarkeit von Transformation und Inverse/Repeatability of transformation and inverse)
Ist Transformation wiederholbar, so ist auch die
Inverse wiederholbar.
Is a transformation repeatable, so the inverse is
also.
/B1/ ==>
X(e|a) = e|b X(X(e|f)) = e|g ==> X(e|f) = e|a ==> e|b = e|g =/D0.1/= b = g
für die Inversen gelten dann:
X(e|f) = e|a
/D4/==> X
-1
(e|a) = e|f
X(e|a) = e|b
/D4/==> X
-1
(e|b) = e|a
X(X(e|f)) = e|g
/D4/==> X
-1
(X
-1
(e|g)) = e|f =/b=g/= X
-1
(X
-1
(e|b)) = e|f
/B1,D4/ ==>
X
-1
(e|a) = e|f
X
-1
(X
-1
(e|g)) = e|f
X
-1
(e|b) = e|a
?
X
-1
(e|a`) = e|b`
X
-1
(X
-1
(e|f`)) = e|g` ==>
X
-1
(e|f`) = e|a` ==> e|b` = e|g`
=/D0.1/= b` = g`
=/a=a`,f=b`,b=f`,/=
X
-1
(e|a) = e|f
X
-1
(X
-1
(e|b)) = e|g` ==>
X
-1
(e|b) = e|a ==> e|f = e|g`
=/D0.1/= f = g`
/X
-1
(X
-1
(e|b)) = e|f/ ==> g` = f
X(e|a) = e|b X(X(e|f)) = e|g ==> X(e|f) = e|a ==> e|b = e|g =/D0.1/= b = g
==>
X
-1
(e|a) = e|f
X
-1
(X
-1
(e|b)) = e|g` ==>
X
-1
(e|b) = e|a ==> e|f = e|g`
=/D0.1/= f = g`
26
Grundlegende Begriffe
B3 (Nachvollziehbarkeit/Reproducibility)
Eine Transformation heißt nachvollziehbar, wenn sie
nicht nur wiederholbar ist, also nicht nur aus der
Anfangs- auf die Endzuordnung geschlossen
werden kann, sondern sogar aus der Endzuordnung
auf die Anfangszuordnung.
A transformation is called reproducible, if it is not
only repeatable (so the initial allocation rules the
final allocation), but furthermore the final allocation
rules the initial allocation.
Nachvollziehbarkeit
=!=
Reproducibility
=!=
X(e|a) = e|b
X(X(e|f)) = e|g
==>
X(e|f) = e|a ==> e|b = e|g
e|b = e|g ==> X(e|f) = e|a
=/D0.1/=
X(e|f) = e|a ==> b = g
b = g ==> X(e|f) = e|a
zur Translation:
concerning translation:
( X(e|a) = e|b X(X(e|f)) = e|g ==> X(e|f) = e|a ==> b = g b = g ==> X(e|f) = e|a )
?
( x(f) = a ==>
b=g )
( b =g ==> x(f) = a )
/D1.1,B1.1/==>
x(f) = a ==>
b=g
/B3/==>
b = g ==> X(e|f) = e|a
/D1.1/==>
b=g ==> x(f) = a
/B0.3/==>
die Translation x ist eineindeutig. Ist die
Transformation vollständig, so ist die
Translationsabbildung x eineindeutig und es existiert
eine inverse Abbildung x
-1
.
the translation is one-to-one (unique in both
directions). Is the transformation complete, so the
translations map is one-to-one and there is an
inverse map x
-1
.
B3.1
=!=
Äquivalenz von Eineindeutigkeit und
Nachvollziehbarkeit
=!=
Equivalence of one-to-one correspondence and
reproducibility
27
Grundlegende Begriffe
K
Die Nachvollziehbarkeit einer Transformation ist
eine sehr strenge Anforderung. Wie die
Wiederholbarkeit erlaubt sie, Rückschlüsse von der
Zuordnung, sprich dem Wertebereich, auf die
Anfangszuordnung der Transformation zu ziehen,
doch während bei der Wiederholbarkeit die
Endzuordnung nur hinreichend für die
Anfangszuordnung war, ist sie bei der
Nachvollziehbarkeit sogar noch notwendig, bei der
nachvollziehbaren Transformation kann also
zwingend von der Endzuordnung auf die
Anfangszuordnung unter dieser Transformation
geschlossen werden.
Reproducibilty of a transformation is a strict
requirement. As repeatability it allows inference from
an allocation, that means the value area, to the
foregoing initial allocation of the transformation.
Furthermore, the final allocation is not only sufficient
for the initial, but necessary. So the final allocation is
imperative for the final allocation.
28
Grundlegende Begriffe
A1
Äquivalenz von Transformation und
Translationsabbildung auf dem
Wertebereich
Equivalence of Transformation and
representation of translation
Auf dem Wertebereich W(e|w) ist die erzeugende
Transformation vollständig.
At the value area W(e|w) the creating transformation
is complete.
/D2.2/==>
X(e|w) = e|w` e M, w,w` W
/D2.5/==>
W(e|w) = {w` | X(e|w`) = w"., j <=i X(e|w`) = X
j
(e|w) , e
M , w,w`,w" W}
X(e|w) = e|w` e M, w,w` W(e|w)
Damit ist die Translation auf dem Wertebereich eine
Abbildung auf sich selbst.
So the translation at the value area is a map in itself.
/D2.4/==>
x(w) = w` w` W... w W(e|w)
Wiederholbare Transformationen auf dem
Wertebereich erzeugen eindeutige
Translationsabbildungen
Repeatable transformations at the value area
produce unique translations map.
/B1.1/==>
x(w) = w` ==>
w = w`
w W(e|w)
Nachvollziehbare Transformationen auf dem
Wertebereich erzeugen eineindeutige
Translationsabbildungen
Reproducible transformations at the value area
produce one-to-one translations map.
/B3.1/==>
x(w) = w` ==>
w = w`
w = w`==> x(w) = w`
w W(e|w)
29
Grundlegende Begriffe
K
Da jede Transformationskette X
i
(e|w) sich durch
eine Transformation darstellen läßt, deren
Endzuordnung sich als Kette von Translationen
darstellt, kann also jede Transformation bzw.
Transformationskette durch die
Translationsabbildung als einfache Transformation
von der Anfangszuordnung auf eine Endzuordnung
beschrieben werden, deren neuer Wert durch die
Translationsabbildung bestimmt werden kann. Für
wiederholbare Transformationen auf dem
Wertebereich ist diese Translationsabbildung sogar
eindeutig, für nachvollziehbare eineindeutig.
Dies bedeutet, daß die mathematischen Werkzeuge
von Mengen und Abbildungen für Transformationen
einer Eigenschaft auf ihrem Wertebereich
angewandt werden können. Es erlaubt sogar
Rückschlüsse aus der Translationsabbildung auf die
Transformation, von den Wertveränderungen auf
das verursachende Verhalten der Eigenschafte (von
der Wirkung auf die Ursache). Zu beachten ist bei
diesen Betrachtungen die transformationsabhängige
Definition des Wertebereiches. Wird also von einer
wiederholbaren bzw. nachvollziehbaren
Transformation über einem Wertebereich
gesprochen, so bedeutet dies, daß dieser
Wertebereich auch von (oder mit) diesen
wiederholbaren bzw. nachvollziehbaren
Transformationen aus der Anfangszuordnung e|w
erzeugbar sein muß.
Because any chain of transformations X
i
(e|w) can be
described by a single transformation, whose final
allocation can be described by a chain of
translations, it is true, that any transformation resp.
chain of transformation can be described as simple
transformation, where the value of the final
allocation can be determined by the translations
map. For repeatable transformations at the value
area the translations map is a unique map, for
reproduce even a one-to-one.
That means, that the mathematical methods of sets
and maps can be used for transformations of an
quality at ist value area. Furthermore, it allows to
infere form translations to transformations, from
changes of values to the producing behaviour of the
quality (from effect to cause). Attention must be paid
to the fact, that the value area is defined by
transformations. If a repeatable or reproducible
transformation is observed, so it is necessary, that
the value area must be produced by (or with) these
repeatable or reproducible transformations from an
initial allocation e|w.
Die Effektivität der Mathematik in den
Naturwissenschaften ist damit ganz natürlich (in
respektvollem Zitat von E. Wigners Titel ,,The
unreasonable effectiveness of mathematics in the
natural sciences", Comm. pure appl. Math, 13, 1-14,
1960).
The effectivity of mathematics is therefore naturally
(in respectful citation of E. Wigners title ,,The
unreasonable effectiveness of mathematics in the
natural sciences", Comm. pure appl. Math, 13, 1-14,
1960).
30
Grundlegende Begriffe
B4
Eine Folge p über der Menge M der Eigenschaften
wird Profilschablone genannt. Die Menge W ihrer
Werte ist dabei die Vereinigungsmenge U W(e|w)
aller Wertebereiche der einzelnen Eigenschaften.
A sequence in the set M of the qualities is called
profile template. The set W of their values is the
union U W(e|w) of each value area of the single
qualities.
Profilschablone
=!=
Profile Template
=!=
P =!= (e
1
, e
2
,.. e
i,
e
i+1
..)
( e
i
|w
e
i
M, w W)
Die jeweiligen Zuordnungen e|w dieser
Eigenschaften bilden damit selbst eine Folge auf der
Menge der Zuordnungen e
i
|w
i
, das Profil.
The related allocations e|w of these qualities form a
sequence in the set of allocations e
i
|w
i
, too, the
profile.
Profil
=!=
Profile
=!=
P|W =!= P|W
e
=!= (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. e
i
|w
i
, e
i+1
|w
i+1
..)
e
i
P
Die jeweiligen Werte w dieser Eigenschaften bilden
damit eine Folge auf der Menge der Werte w
i
, einer
Teilemenge von W, den Profilwert.
The related values w of these qualities form a
sequence in the set of values w
i
, a subset of W, the
Profile Value.
Profilwert
=!=
Profile Value
=!=
W
e
=!= (w
1
, w
2
,.. w
i
, w
i+1
..)
w
i
P|W
Die Vereinigung der Wertebereiche W(e
i
|w
i
) dieser
Eigenschaften heißt Profilwertebereich. Wie der
einzelne Wertebereich ist damit auch die
Vereinigung vom Anfangswert und den
erzeugenden Transformationen abhängig.
The union of the value areas W(e
i
|w
i
) of these
qualities is called profile value area. As the single
value area the union depends on the initial value
and the constructing transformations.
Profilwertebereich
=!=
Profile Value Area
=!=
UW =!= U W(e
i
|w
i
)
e
i
P
Die Veränderung wenigstens einer der Zuordnungen
aus P|W wird Transformation bzgl. P oder P-
Transformation genannt, dh. wenn für wenigstens
eine Zuordnung aus P|W eine Transformation
erfolgt.
The change of at least one allocation of P|W is
called transformation related to P or P-
Transformation, i.e. at least one single
transformation of an allocation of P|W has occurred.
P-Transformation =!=
=!= X
P
=!= X(P|W) =!= P|W` =!= (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. X(e
i
|w
i
), e
i+1
|w
i+1
..) =!= (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. e
i
|w`
i
, e
i+1
|w
i+1
..)
e
i
P , X(e
i
|w
i
) = e
i
|w`
i
,
w
i
` <> w
i
P|W =!= Anfangsprofil
P|W ` =!= Endprofil
P|W =!= Initial Profile
P|W ` =!= Final Profile
Die Eins-P-Transformation ist entsprechend D3 der
Erhalt des Anfangsprofils.
The Unit P-Transformation is the retaining of the
initial profile analogous to D3.
X
1
P
(P|W)) =!= P|W
Betrifft die P-Transformation mehr als eine
If more than one single transformation occurs in a P-
31
Grundlegende Begriffe
Zuordnung, so sind die Transformationen in der
Reihenfolge der Profilschablone der zugehörigen
Eigenschaften zu betrachten. Eine P-
Transformation, die nur eine einzige Zuordnung aus
P|W ändert, wird deshalb Basis-P-Transformation
genannt.
Transformation, the order of these transformations is
the order of the relative qualities in the Profile
Template. A P-Transformation of only one single
transformation is therefore called a Basis-P-
Transformation.
Basis-P-Transformation =!=
i
=!= X(P|W
i
) =!= P|W
i
`
=!= (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. X(e
i
|w
i
),.. X(e
i
|w
j
)..) = (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. e
i
|w`
i
,.. e
j
|w'
j
.,.. )
e
i
P , w
i
` <> w
i
w
j
` <> w
j
,
j |N
0
==> i = j
Jede P-Transformation läßt sich als Verknüpfung
von Basis-P-Transformationen beschreiben,
geordnet in der durch die Folge vorgegebene
Reihenfolge.
Each P-Transformation can be described as linkage
of Basis-P-Transformations, ordered by the
sequence.
X(P|W) = P|W` =
(e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. X(e
i
|w
i
), e
i+1
|w
i+1
., ... X(e
j
|w
j
), e
j+1
|w
j+1
...) = (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. e
i
|w`
i
, e
i+1
|w
i+1
.,..
e
j
|w`
j
., e
j+1
|w
j+1
..)
w
i
` <> w
i ,
w
j
` <> w
j
` ,
j |N
0 ,
i < j
==>
X(P|W
i
) = (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. X(e
i
|w
i
,), e
i+1
|w
i+1
.,.. e
j
|w
j
., e
j+1
|w
j+1
..)
X(P|W
j
) = (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. e
i
|w
i
, e
i+1
|w
i+1
.,.. X(e
i
|w
j
), e
j+1
|w
j+1
..)
X
1
X(e|w
i
) =/D3.1/ = e
i
|w'
i
, X X
1
(e|w
i
) =/D3.1/ = e
i
|w'
i
==>
X(P|W
j
)
X(P|W) = P|W`
= (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. X(e
i
|w
i
), e
i+1
|w
i+1
., ... X(e
j
|w
j
), e
j+1
|w
j+1
...)
= (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. X(e
i
|w
i
), e
i+1
|w
i+1
., ... XX
1
(e
j
|w
j
), e
j+1
|w
j+1
...)
= (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. e
i
|w`
i
, e
i+1
|w
i+1
.,.. X(e
j
|w
j
), e
j+1
|w
j+1
..)
= X(P|W
j
)
P|W
j
=
P|W`
i
= X(P|W
j
) = X(X(P|W
i
)
j
)
j |N
0 ,
i < j
Die in einer P-Transformation vorkommenden
Transformationen, die nicht die Eins-
Transformationen sind, heißen parallel.
The transformations of a P-Transformation are
called parallel, if they aren't the Unit Transformation.
X(P|W) =/B4/= P|W` =!= (e
1
|w
1
, e
2
|w
2
,.. X(e
i
|w
i
), e
i+1
|w
i+1
., ... X(e
j
|w
j
), e
j+1
|w
j+1
...) = X(X(P|W
i
)
j
) = X(
i
)
j
=
i
i
=
j |N
0 ,
i < j
=!=
i
parallel
zu
i
=!=
i
parallel
to
i
P-Transformationen können damit wie einfache
Transformationen verknüpft werden.
P-Transformations can be linked as simple
transformations.
B4.1
X(P|W) = (
1
,
2
, ...
i
,...
j
...)
X(P|W) = P|W` , {X(P|W
i
), X
1
(P|W)
X(P|W) = P|W`,
X(P|W`) = P|W`` ==> X(X(P|W) = X(P|W`) = X(
1
,
2
, ...
i
,...
j
...) = P|W``
=/D2.1/= (
1
2
,
2
2
, ...
i
2
,...
j
2
...)
{X(P|W
i
), X
1
(P|W) )
i+1
=!= X
P
i+1
(P|W) =!= X
P
i
X
P
(P|W) =!= X
P
i
X
P
=!=
i
32
Grundlegende Begriffe
zur Translation:
concerning translation:
Die durch die P-Transformation erzeugte Translation
wird P-Translation oder Nachricht von X(P|W)
genannt.
(PS: 2014 entsprechend F19, S. 145, Physik der Information
korrigiert)
The translation created by a P-Transformation is
called P-Translation or message of X(P|W).
(PS: 2014 corrected according to F19, S. 145, Physik der
Information)
B4.2
P-Translation p =!=
p(W) = W`
X(P|W) = P|W`
==>
p(W) =!= (w
1
, w
2
,.. x(w
i
), w
i+1
, .) = (w
1
, w
2
,.. w
i
` , w
i+1
, .) = W`
w
i
W , x(w
i
) = w
i
`,
w
i
` <> w
i
Nachricht von X(P|W) =!=p(W)
Message of X(P|W) =!= p(W)
X(P|W) {X(P|W)}
B4.3
/B4.1,D1.1/==>
p(W) = p(p(W)) = W`
X(P|W) =!= X(X(P|W
i
) = P|W`
B4.4
/D2.7, B4.1/==>
p
i+1
= p
i+1
(W) = p
i
p(W) = p
i
p
33
Grundlegende Begriffe
K
Die Reihenfolge der Transformationen aus B4.1 ist vor
allem dann von Bedeutung, wenn der Wertebereich von
Eigenschaften sich überlappt (nicht disjunkt). Dies bedeutet,
daß die Translationen auf dieser Schnittmenge sich
überlappender Wertebereiche eindeutig von seiten der
Transformationen und Eigenschaften sind, aber nicht mehr
umkehrbar eindeutig in dem Sinne, daß von einer
Translation zuverlässig auf Zuordungen, Eigenschaften,
Transformationen und deren Wertebereiche
zurückgeschlossen werden kann.
Die Äquivalenz nach A1 von Transformation und
Translation ist also bei Profilen nicht mehr ohne weiteres
gegeben.
Da bei Folgengliedern nach B0.6 zwar die Menge, aus der
die Elemente stammen, sowie die Reihenfolge und die
Anzahl (endlich oder unendlich) der Folgenelemente
bestimmt sind, es aber nicht erforderlich ist, daß die
Elemente sich unterscheiden (was gerade die konstante
Folge p = (e) demonstriert), ist die Überlappung der
Wertebereiche demnach ein in jedem Fall zu
berücksichtigendes Faktum, das die Verwendung der P-
Translation als Darstellung der erzeugenden
Transformation erheblich einschränkt.
The order of transformations of B4.1 is
primarily important in the case of overlapping
(not disjoint. This means, that translations in
this intersection of the overlapping value
areas are unique related to the
transformations and qualities, but not
reversible unique, that means, that
allocations, qualities, transformations and the
related value areas cannot be infered reliable
from translations.
The equivalence according to A1 of
transformations and translations is no longer
proven in profiles. For elements of
sequences according to B0.6 the set of the
elements and the order and number (finite or
infinite) of elements of the sequence is given,
but it is not necessary, that elements have to
be distinct (demonstrated by the constant
sequence p = (e)), so the overlap of value
areas is a fact, that must be considered and
narrows the usefulness of P-Translations
(Messages) for describing the producing
transformations.
Platos Problem (oder das Translationenproblem) oder die
Kunst, Nachrichten zu verstehen
Sowohl Transformationen als auch Eigenschaften sind
mangels weiterer Kenntnis über Werte definiert, ein
Mengenelement wird durch den Wert zur Eigenschaft, eine
Transformation ändert Werte. Die Translation, also die
Veränderung der Werte auf dem Wertebereich, ist damit
das Protokoll einer Transformation, über die jedoch außer
dieser Wertveränderung nicht viel bekannt ist. Eine
Transformationskette erzeugt damit eine Translationskette,
einen ,,Weg" im Wertebereich, der wie ein Schattenbild die
Transformationskette protokolliert und damit auch ihrer
Eigenschaften und Besonderheiten.
Das bedeutet im Klartext, daß aus diesen Translationen,
diesen ,,Schatten" auf dem Wertebereich, auf die nicht
weiter bekanntenTransformationen zurückgeschlossen
werden muß, was bei Wertebereichen einer einfachen
Eigenschaft wegen der Äquivalenz von Transformation und
Translation zuverlässig gewährleistet ist.
Bei Transformationen über mehrere Eigenschaften jedoch
kann aus den Translationen auf dem gemeinsamen
Wertebereich nicht ohne weiteres auf die beteiligten
Eigenschaften und ihr Verhalten, ihre Transformationen,
zurückgeschlossen werden. Dies ist das bekannte Problem
der Mustererkennung oder das Translationenproblem - aus
vorhandenen Translationen als Interferenzerscheinungen
von Transformationen bzgl. verschiedener Eigenschaften
auf die beteiligten Eigenschaften, die beteiligten
Transformationen bzw. den beteiligten Wertebereich
zurückzuschließen.
Platos Problem (or the translations
problem) or the art of understanding
messages
Failing further knowledge transformations as
well as qualities are defined by values, an
element of a set is made a quality by a value,
a transformation changes values. The
translation, i.e. the changes of the values in
the value area, is therefore the protocol of
this transformation, about which only a little
more is known. A chain of transformations
creates a chain of translations, a ,,path" in the
value area, that logs the chain of
transformation like a shadow, so logs the
qualities and their as well.
That means, that translations, the ,,shadows"
on the value area, must be used to
reconstruct the transformations, which is
guaranteed in case of single qualities by the
equivalence of transformation and
translation. But transformations of several
qualities cannot be reconstructed by
translations in the same general way, not
even the qualities themselves are reliably
reconstructable. That's the wellknown
problem of pattern recognition or the
translations problem to recognize related
qualites, transformations and value areas
from the given translations as interference of
all the occuring translations.
Es ist das Problem des Höhlenbewohners von Plato, der
die Wirklichkeit nur an ihren Schatten sehen kann und
daraus Rückschlüsse ziehen will auf das, was außerhalb
It is the problem of the cliff dwellers in Platos
story, who can experience reality only by the
shadows on the wall. From the interferences
34
Grundlegende Begriffe
der Höhle geschieht. Aus den Interferenzen der
Translationen, der Nachricht mit all ihren komplexen
Verläufen muß also zurück auf die zugrundeliegenden
Transformationen und Eigenschaften geschlossen werden
das Problem von Ursache und Wirkung.
Profile sind in der KI als ,,Vektor von Eingabeaktivitäten"
bekannt, ähnlich den Profilwerten werden Gewichtsvektoren
erstellt. Damit hat das ,,Modellneuron" Ähnlichkeit mit
Profilschablonen.
Aus der Nachricht (Translationen) auf die möglichen
erzeugenden Zustände, also Profile, mit
Wahrscheinlichkeitsberechnungen zurückzuschließen, ist
der Grundgedanke der Berechnung des
Informationsgehaltes - die versprochene Anbindung an
Shannon.
of translations, which forms the message
and its complex structure, they have to infer
the underlying transformations and qualities
the problem of cause and effect.
In AI profiles are known as ,,vectors of
activities", similar to Profile Values ,,vectors
of weightings" are constructed. So the
,,Sigma unit" features some similiarity to the
Profile Template
To reconstruct the creating states from
message (translations) by calculus of
probability, is the basic idea of the
calculation of information content - the
promised connection to Shannon.
35
Grundlegende Begriffe
2012:
Until now not very useful definitions and clarifications (only mentioned for clarity):
D5, B5-B8: Disjunkte Wertebereiche
Verwendete (und definierte)
Begriffe
B5 Eindeutigkeit der Profilschablone
B5.1 Einfachheit der Profilschablone
B6 Abhängigkeit einer Transformation
logischer Impuls
B 6.1 Synchrone Translation
B7 Zuordnungs-Abhängigkeit einer Eigenschaft
D5 Bedingte Profilschablone
Basiszyklus
temporäres Profil, ungültiges Profil
Bedingungstransformation
B8 Charakterisierbare Profilschablone
D6, F1, F2: s. XPublic_new
D6 Transformationsverknüpfung der P-Transformation
F1 Wiederholbarkeit der P-Transformation bei
Wiederholbarkeit jeder Einzeltransformation
F2 Additivität der Information bei Vorhandensein aller
Einzelinformationen
36
Grundlegende Begriffe
B9 (Zusammenhang/Coherence)
s. Physik der Information, ISBN 3-935031-03-3, S. 135
Die Transformation X, die vollständig bzgl. der
Wertemenge W ist, heißt auch zusammenhängend
bzgl. oder auf W.
The transformation X, complete related to the set of
values W, is also called coherent related to or on W.
(s. D2.2, Vollständigkeit/Completeness)
Zusammenhang der Transformation bzgl. W
=!=
Coherence of a Transformation related to W
=!=
X(e|w) = e|w` e M, w,w` W
K
Die Transformation X(e|/w) kann wegen D2
(Transformationsverknüpfung) auch eine
Transformationskette sein.
Deshalb kann der Zusammenhang auch
beschrieben werden als die Tatsache, dass es
zwischen beliebigen Transformationen immer eine
oder mehrere Transformationen existieren, sodass
der Anfangswert der ersten Transformation auf den
Endwert der zweiten führt:
Because of D2 (Linkage of transformations) the
transformation X(e|/w) may also be a chain of
transformations.
Therefore, coherence can also be described as the
fact, that between any pair of transformation there
exists one or more other transformations, so that the
initial value of the first one will lead to the end value
of the second:
X(e|w') = e|w'' e M,
w,w`,w''
W X(e|w) = e|w', X(e|w'') = e|w'''
Mit dieser Transformation X(e|w') ergibt sich dann
wegen D2:
With this transformation X(e|w') and D2 there is:
X
i
(e|w) =/D2/= X'X
+
X(e|w) = e|w'''
Zusammenhang oder Vollständigkeit bedeutet für
alle Zuordnungen e|w mit w
W, dass sie
bestimmbar sind.
Coherence or Completeness means, that each and
every allocation e|w with w
W is determinable.
(s. D2.5, Bestimmbarkeit/Determinability)
K
Die Frage, ob i
streben könnte, ist wegen der
Erfordernis, dass jede der betrachteten
Transformationen als existent vorausgesetzt werden
muss, abschlägig zu beantworten, da diese
Existenz verifiziert werden muss und niemand
Unendlichkeit verifizieren kann.
i cannot approach
because of the fact, that each
and every used transformation has to exist, for this
existence has to be varified and no one can varify
infinity.
Auf ihrem Wertebereich W(e|w) ist die Information I
e
= {X} bzgl. W(e|w) zusammenhängend wegen der
Vollständigkeit auf W(e|w).
At its value area W(e|w) the information I
e
= {X} is
coherent related to W(e|w) due to the completeness
related to W(e|w).
(s. D2.5, B2, B2.1, Wertebereich/Value Area, Information, Vollständigkeit/Completeness)
K
Bei wiederholbaren Transformationen ist alleine
aufgrund der Wiederholbarkeit die Existenz
folgender Transformationen bereits gesichert, wenn
eine wiederholbare Anfangstransformation vorliegt.
Die Information I
e
= {X} ist als Menge von
Transformationen bestimmter Merkmale definiert,
völlig unabhängig von der Anzahl dieser
Transformationen. Sie erlaubt deshalb nicht ohne
weiteres die Absage an die Unendlichkeit.
Jedoch ist die Prüfung der Wiederholbarkeit, die
eine wesentliche Voraussetzung der Information ist,
praktisch nur in endlichen Zeiträumen machbar.
For repeatable transformations the existence of
following transformations is confirmed wholly by the
repeatability, if there exists a repeatable initial
allocation. The Information I
e
= {X} is defined as set
of transformations with certain characteristics,
completely independent of the number of that
transformations, so that the question of infinity
cannot simply be denied.
But the validation of the repeatability as essential
requirement of information is effectively doable only
in finite timeframes.
37
Grundlegende Begriffe
D7 (Länge/Length)
s. Physik der Information, ISBN 3-935031-03-3, S. 139
Die minimale Anzahl von verknüpften
Transformationen X
i
(e|w), die von einem
Anfangswert w einer Eigenschaft e zu einem
Endwert w' führen, heißt Länge zwischen den
beiden Werten unabhängig von der
Transformationsrichtung.
The minimum number of linked transformations X
i
(e|
w) from initial value w of element of quality e to end
value w' is called length between both values
independent of the direction of the transformation.
(s. D2, Transformationsverknüpfung/Linkage of transformations)
Länge =!=
Länge L
e
(e|w,e|w') =!= Länge L
e
(w,w') =!= d
e
(e|w,e|
w') =!= d(e|w,e|w') =!= d
e
(w,w') =!= d(w,w') =!=
d(w',w)
Length =!=
Length L
e
(e|w,e|w') =!= Length L
e
(w,w') =!= d
e
(e|
w,e|w') =!= d(e|w,e|w') =!= d
e
(w,w') =!= d(w,w') =!=
d(w',w)
D7(1) =!= 0
w = w'
D7(2) =!= 1
X(e|w) = e|w' v X'(e|w') = e|w, w <> w'
D7(3) =!= min(i)
{X | i > 1, X
i
(e|w) = e|w' v X
i
(e|w') = e|w
X(e|w) = e|w' X(e|w') = e|w }
e
M, w,w` W, X
i
(e|w
0
) =/D2.1/= X
i
(...X
2
(X(e|w))) = e|w
i
,
X
j
(e|w
j-1
) = e|w
j
Diese Länge ist keine stetige Funktion, da sie nur
Werte entsprechend den natürlichen Zahlen
annehmen kann:
L
e
|N
This length has only values which belongs to the
natural numbers, so it is not a continuous function:
L
e
|N
(s. D7.3, unten/below)
38
Grundlegende Begriffe
K
Die Zählung der Indizes i beginnt mit 2, um eine
Verwechslung mit der Eins-Transformation (zu
vermeiden.
The numbering of thes indizes i starts with 2 to avoid
confusion with the Unit Transformation.
(s. D3, Eins-Transformation/Unit transformation)
Die erste oder einzige Transformation wird deshalb
auch nicht mit einem Index versehen, sondern als
X(e|w) = e|w' geschrieben.
Therefore the first or only transformation is written
without index as X(e|w) = e|w'.
Eine Länge d(w,w') = 0 bedeutet, dass es sich um
die Eins-Transformation handelt, dass also keine
Veränderung stattgefunden hat.
A length d(w,w') = 1 means the Unit Transformation,
so in fact there is no change of allocations or values.
(s. D3, Eins-Transformation/Unit transformation)
D7.1
Alle zusammenhängende Transformationen weisen
wohldefinierte Längen zueinander auf.
All coherent transformations have well defined
lengths.
(s. B9, Zusammenhang/Coherence)
X(e|w) = e|w` e M, w,w` W
w=w'
d(w,w') =/D7(1)/= 0
w <> w'
X(e|w) =/
,D2.1/= X
i
(...X
2
(X(e|w)))
e|w` =/D7(1),D7(2)/=> i > 0 ==>
min(i) > 0 => d(w,w') > 0
D7.2
Die Länge ist eindeutig definiert, solange die
Zuordnungen und verknüpfenden Transformation
existieren.
The length is uniquely defined, as long as
allocations and connective transformations exist and
are repeatable.
?
w,w'
d(w,w') <> d(w',w)
e M, w,w` W, X
i
(e|w
0
) =/D2.1/= X
i
(...X
2
(X(e|w))) = e|w
i
,
X
j
(e|w
j-1
) = e|w
j
d=0
/D7(1)/=> w = w' =/D0/= e|w = e|w'
=> d(w,w') = 0 = d(w',w)
d=1
w, w'
w <> w'
X(e|w) = e|w' =/D7(1)/ = d(w,w') = 1
X(e|w') = e|w =/D7(1)/ = d(w',w) = 1 = d(w,w')
d >1
w, w'
w <> w'
X(e|w) = e|w'
39
Grundlegende Begriffe
X(e|w') = e|w
X(e|w) = X
i
(e|w) = e|w'
X(e|w') =X
o
(e|w') = e|w
X
con
(w,w') = { i > 1 | X
i
(e|w) = e|w' } U { o > 1 | X
o
(e|w') = e|w } =/B0.8/=
{ i,o > 1 | X
i
(e|w) = e|w' v X
o
(e|w') = e|w } =/D7(3)/=>
d(w,w') = min(i,o)
X
con
(w',w) = { o > 1 | X
o
(e|w') = e|w } U { i > 1 | X
i
(e|w) = e|w' } =/B0.8/=
{ o,i > 1 | X
o
(e|w') = e|w v X
i
(e|w) = e|w' } =/D7(3)/=>
d(w',w) = min(o,i)
d(w,w') = min(i,o) = min(o,i) = d(w',w)
K
Trotz der grundsätzlichen Gerichtetheit der
Transformationen (Anfangszuordnung ->
Endzuordnung) ist die ungerichtete Länge
wohldefiniert über das Minimum über alle
Transformationsketten zwischen den Zuordnungen
e|w und e|w', unabhängig von deren Richtung.
Despite of the basic directedness of transformations
(initial allocation -> final allocation), the undirected
length is well defined because of the minimum of all
chains of transformations between the allocations e|
w and e|w' independent of their direction.
D7.3
Die Länge separiert die Menge derjenigen
Zuordnungen bzw. Werte, die über
Transformationsketten mit e|w bzw. w verbunden
sind, in eine Vereinigung disjunkter Mengen über die
einzelnen Längenwerte.
The length divides the set of allocations resp. value,
connected via chain of transformations with e|w
resp. w into the union of disjoint sets based on the
different values of the length.
?
M
con,n
= { e|w', j = 0,...n >= 0 | d(e|w,e|w') = j }
= U
0<=j<=n
{ e|w' | d(e|w,e|w') = j }
W
con,n
= { w', j = 0,...n >= 0 | d(w,w') = j }
= U
0<=j<=n
{ w' | d(w,w') = j }
e M, w,w` W, X(e|w) = e|w`,U
0<=j<=n
=/B0.8/= { x | x
A
j
}
A
j
= { e|w' | d(e|w,e|w') = j } v { w' | d(w,w') = j
},
/B0.9, B0.10/
A
j
A
l
= A
j
j = l
A
j
A
l
= Ø
j <> l
1)
A
j
= { e|w' | d(e|w,e|w') = j } =/B0.8/=>
U
0<=j<=n
= { e|w' , j = 0,...n >= 0 | e|w'
A
j
} =/A
j
/= { e|w', j = 0,...n >= 0 | d(e|w,e|w') = j} = M
con,n
2)
A
j
A
l
=/B0.9/= { x | x
A
i
x A
l
} =/A
j
/= { e|w' | d(e|w,e|w') = j
d(e|w,e|w') = l}
=/D7.2/= j = l
40
Grundlegende Begriffe
D7.4 (Minimalkette/Minimal Chain)
Eine Transformationskette, die die Bedingungen der
Länge d(w,w') = d(w',w') erfüllt, heißt Minimalkette
zwischen w und w'.
A chain of transformation complying the conditions
of the length d(w,w') = d(w',w') is called Minimal
Chain between w and w'.
Minimalkette =!= Minimal Chain =!=
X
(d(w,w')
(e|w) = e|w'
v
X
(d(w,w')
(e|w') = e|w
e M, w,w` W, X
i
(e|w
0
) =/D2.1/= X
i
(...X
2
(X(e|w))) = e|w
i
,
X
j
(e|w
j-1
) = e|w
j
K
Die Eindeutigkeit der Länge d(w,w') für gegebene
Transformationen bedeutet nicht, dass die
eindeutige Länge zu eindeutigen Mimimalketten
führen muss.
Existiert die Inverse beispielsweise, so gibt es bei
d(w,w') = 1 bereits zwei Minimalketten: X(e|w) = e|w'
und X
-1
(e|w') = e|w.
The uniqueness of the length d(w,w') of given
transformations does not mean, that the unique
length is equivalent to unique minimal chains.
If for instance the inverse exist, for d(w,w') = 1 there
are already two minimal chains: X(e|w) = e|w' and X
-
1
(e|w') = e|w.
Die Länge d(w,w') ist höchstens die größte Anzahl
der verschiedenen Werte w in der
Transformationskette X
i
, die von einem Anfangswert
w einer Eigenschaft e zu einem Endwert w' führen.
The length d(w,w') is no more than the biggest
number of different values of the chain of
transformation X
i
from initial value w of element of
quality e to end value w'.
?
d(w=w
0
,w'=w
i
) <= i
w
0
,w
i
W
i
= { w
j
| X
j
(e|w
0
) = e|w
i
, 0 < j,m <= i, w
j
<> w
m
<> w
0
} U {w
0
}
e M, w
0
,w
j
,w
m
W, X
j
(e|w
j-1
) = e|w
j
, X
j
(e|w) =/D2.1/= X
i
(...X
2
(X(e|w
0
))) = X
i
(...X
2
(e|w
1
)) = X
i
(e|w
i-1
) = e|w
i
,
U
i>=0
=/B0.8/= { x | x
A
i
}
i=0
w W
0
= {w
0
}
==> d(w
0
,w
0
) =/D7(1)/= 0
i = 1
w <> w' W
1
= { w
1
| X(e|w
0
) = e|w
1
, w
1
<> w
0
} U {w
0
}
==> d(w,w') =D7(2)/= 1
i = n+1
d(w
0
,w
n
) <= n, w
0
,w
n
W
n
= { w
j
| X
j
(e|w
0
) = e|w
n
, 0 < j,m <= n, w
j
<> w
m
<> w
0
} U { w
0
}
w <> w'
W
n+1
= { w
j
| X
j
(e|w
0
) = e|w
n+1
, 0 < j,m <= n+1, w
j
<> w
m
<> w
0
} U {w
0
}
==>
W
n+1
= { w
j
| X
j
(e|w
0
) = e|w
n
, 0 < j,m <= n, w
j
<> w
m
<> w
0
} U { w
n+1
| X
n+1
X
j
(e|w
0
) = e|w
n+1
, 0 < j <= n, w
n+1
<> w
j
<> w
0
} U {w
0
}
j = n ==> X
n
(e|w
0
) = e|w
n
X
j
(e|w
j-1
) = e|w
j
==> X
n+1
X
n
(e|w
0
) = X
n+1
(e|w
n
) = e|w
n+1
=/D7(2)/==> d(w
n
,w
n+1
) = 1
=/D7(3)/==>
d(w
0
,w
n+1
) <= d(w
0
,w
n
) + d(w
n
,w
n+1
) + d(w
0
,w
0
) <= n + 1 + 0
41
Grundlegende Begriffe
D7.5 (Elementare Transformation/Elementary Transformation)
Eine Transformation der Länge 1 wird elementar
genannt
A transformation of length 1 is called elementary.
Elementare Transformation =!=
Elementary Transformation =!=
X(e|w) = e|w
d(w,w') = 1
Eine Länge d(w,w') > 1 bedeutet, dass es keine
elementare Transformation zwischen dem
Anfangszuordnung e|w und der Endzuordnung e|w'
oder umgekehrt gibt.
A length d(w,w') > 1 means, that there does not exist
an elementary transformation between the initial
allocation e|w and the final allocation e|w and vice
versa.
d(w,w') > 1 =/D7(3)/==> X
i
(...X
2
(X(e|w))) = e|w', i > 0
X(e|w) = e|w' X(e|w') = e|w
Existiert die Inverse zu der elementaren
Transformation X(e|w) = e|w', so bedeutet d(w,w') =
1, dass auch die Inverse X
-
'(e|w') = e|w elementar
ist.
Do the inverse transformation exist for the
elementary transformation in X(e|w) = e|w', does
d(w,w') = 1 mean, that the inverse X
-
'(e|w') = e|w is
also elementary.
(s. D4, D7(2), Inverse, Definition d(w',w')
D7.6 (Länge = Anzahl elementarer Transformationen/Length = Number of Elementary
Transformations)
Die Länge d(w,w') ist die Anzahl der verschiedenen
elementaren Transformationen in der
Transformationskette X
i
, die von einem Anfangswert
w einer Eigenschaft e zu einem Endwert w' führen.
The length d(w,w') is the number of different
elementary transformations of the chain of
transformation X
i
from initial value w of element of
quality e to end value w'.
?
d(w=w
0
,w'=w
i
) = i
X
i
(e|w
0
) = e|w
i
e M, w= w
0
,w`=w
i
W, X
i
(e|w
0
) =/D2.1/= X
i
(...X
2
(X(e|w))) = e|w
i
,
X
j
(e|w
j-1
) = e|w
j
d(w
j-1
,w
j
) = 1
0 < j <= i, X
1
(e|w) = e|w
i = 0
i = 0
D7(1)
==> 0
i = 1
D7(2), D2.2
==> 1
i = n+1
X
j
(e|w
j-1
) = e|w
j
0 < j <= n+1
d(w
0
,w
n
) = n
X
n
(e|w
0
) =/D2.1/= X
n
(...X
2
(X(e|w))) = e|w
n
d(w
j-1
,w
j
) = 1
0 < j <= n
X
m
(e|w
0
)
0 < m <= n d(w
m
,w
0
) <= n
42
Grundlegende Begriffe
d(w
0
,w
n+1
) = n+1
X
n+1
(e|w
0
) =/D2.1/= X
n+1
(X
n
(...X
2
(X(e|w)))) = e|w
n+1
,
X
j
(e|w
j-1
) = e|w
j
0 < j <= n+1
1)
=
/X
m
(e|w
0
)
0 < m <= n d(w
0
,w
m
) <= n/=>
d(w
0
,w
n+1
) > n
=/D7(3)/==>
d(w
0
,w
n+1
) <= d(w
0
,w
n
) + d(w
n
,w
n+1
)
2)
j = n ==> X
n
(e|w
0
) = e|w
n
X
j
(e|w
j-1
) = e|w
j
==> X
n+1
X
n
(e|w
0
) = X
n+1
(e|w
n
) = e|w
n+1
=/D7(2)/==> d(w
n
,w
n+1
) = 1
d(w
0
,w
n+1
) <= d(w
0
,w
n
) + d(w
n
,w
n+1
) <= n + 1
d(w
0
,w
n+1
) > n
==> d(w
0
,w
n+1
) <= d(w
0
,w
n
) + d(w
n
,w
n+1
) = n + 1
Die Minimalkette zwischen w und w' ist deshalb eine
Transformation von ausschließlich elementaren
Transformationen.
The minimal chain between w and w' therefore is a
transformation of only elementary transformations.
Existiert die Inverse zu jeder elementaren
Transformation in X
i
(e|w) = e|w', so bedeutet d(w,w')
> 1, dass auch keine elementare Inverse X
-
'(e|w') =
e|w existiert.
Do inverse transformations exist for every
elementary transformation in X
i
(e|w) = e|w', does
d(w,w') > 1 mean, that also no elementary inverse
X
-
'(e|w') = e|w exist.
(s. D4, D7(3), Inverse, Definition d(w',w')
43
Grundlegende Begriffe
D7.7 Transformationsmenge zu n, Basismenge zu n/Transformation Set to n Basis Set to n
Die Menge der Transformationen, die die
Transformationsketten der Länge <= n ausgehend
von einer Anfangszuordnung bzw. einem
Anfangswert von e bilden, heißt
Transformationsmenge von e|w bzw. w zu n.
The set of transformations of which the
transformation chains of length <= n from initial
allocation e|w resp. initial value w of e are formed is
called transformation set of e|w resp. w to n.
T(e|w)
n
=!= { X | X
i
(...X
2
(X(e|w))) = e|w, d(w,w') <= n }
e M, w,w`, w'' W, X(e|w) =/D2.1/= X
i
(...X
2
(X(e|w))) = e|w`,
d(w,w') = n > 0
Die Untermenge der elementaren Transformationen
in der Transformationsmenge von e|w bzw. w zu n
heißt Basismenge von e|w bzw. w zu n.
The subset of elementary transformations in the set
of transformations of e|w resp. w to n is called basis
set of e|w resp. w to n
B(e|w)
n
=!= { X | X
X
n
, X
j
(e|w
j
) = e|w
j+1
d(w
j
,w
j+1
) = 1 }
T(e|w)
n
e M, w,w`, w'' W, X(e|w) = e|w`, X
j
(e|w
j
) = e|w
j+1
, X
n
= { X | X
i
(...X
2
(X(e|w))) = e|w, d(w,w') = j, 0 <= i <=
n }
Die Anzahl der Elemente der
Transformationsmenge ist stets >= der Anzahl der
Elemente der Basismenge.
The number of elements of the transformation set is
always >= the number of elements of the basis set.
|T(e|w)
n
| >= |B(e|w)
n
|
44
Grundlegende Begriffe
A2 (Metrik/Metric)
Die Definition der Länge erfüllt für eine Menge {X
z
}
zusammenhängender Transformationen die
mathematischen Anforderungen an eine
Distanzfunktion (Metrik), sodass diese mit der Länge
d zu einem metrischen Raum (X
z
;d) wird.
Insbesondere trifft dies für die Information I
e
= {X}
zu.
The definition of the length provides the
mathematical requirements of a distance function
(Metric) for a set of coherent transformations {X
z
} so
that it becomes a metric space (X
z
;d) with length d.
This is especially true for the information I
e
= {X}.
(s. B2, B9, Information, Zusammenhang/Coherence)
1. d(w,w') = 0
w = w'
2. d(w,w') = d(w',w)
3. d(w,w') <= d(w,w'') + d(w'', w')
Pkt (1) wird erfüllt von der Längendefinition für
gleiche Zuordnungen bzw. Werte.
Pkt (2) wird erfüllt von der Definition der Länge als
Minimalkette zwischen Anfangszuordnung e|w und
Endzuordnung e|w' unabhängig von der Richtung.
Pkt (3) folgt ebenso aus der Definition der kürzesten
Verbindung, unabhängig davon, wieviele
Zwischenschritte möglich sein können.
Item (1) is given by the definition of the length for
equal allocations resp. values.
Item (2) is given by the definition of the length als
minimal chain between initial allocation e|w and final
allocation e|w' independent of the direction.
Item (3) is a consequence of the definition als
shortest connection regardless of how many
intermediate steps possibly can be involved.
ad 1:
d(w,w') =/D7(1)/=
d(w,w) = 0
ad 2:
d(w,w') =/D7(2),D7(3),D7.2/=
d(w',w)
ad 3:
i = 0
=/D7(1/=
w = w'
==> d(w,w') = 0 <= d(w,w'') + d(w'',w') d(w,w''), d(w'',w') >= 0
i = 1, j = 0
=/D7(1),D7(2)/=
w <> w', w = w'' v w' = w''
==> d(w,w') = 1, d(w,w'') = 0 v d(w'',w') = 0
d(w,w') = 1<= d(w,w'') + d(w'',w') = 0 + 1
v
d(w,w') = 1<= d(w,w'') + d(w'',w') = 1 + 0
i, j = 1
=/D7(1),D7(2)/=
w <> w' <> w''
==> d(w,w') = d(w,w'') = d(w'',w') = 1
==> d(w,w') = 1 <= 1 + 1
i, j > 1
d(w,w') =/D7(3)/= min(i)
{X | i > 1, X
i
(e|w) = e|w' v X
i
(e|w') = e|w
X(e|w) = e|w' X(e|w') = e|w }
e M, w,w` W, X
i
(e|w
0
) =/D2.1/= X
i
(...X
2
(X(e|w))) = e|w
i
,
X
j
(e|w
j-1
) = e|w
j
d(w,w') (( X(e|w) = e|w'' X(e|w'') = e|w') v (X(e|w') = e|w'' X(e|w'') = e|w) )
=/D7(3)/=>
min(i)
{X | i > 1, X
i
(e|w) = e|w' v X
i
(e|w') = e|w
X(e|w) = e|w' X(e|w') = e|w }
<=
45
Grundlegende Begriffe
min(i)
{
{X | i > 1, X
i
(e|w) = e|w' v X
i
(e|w') = e|w
X(e|w) = e|w' X(e|w') = e|w }
U
{ X(e|w) = e|w'' , X(e|w'') = e|w'}
=/D7(3)/=>
min(i)
{X | i > 1, X
i
(e|w) = e|w' v X
i
(e|w') = e|w
X(e|w) = e|w' X(e|w') = e|w }
<=
min(i)
{
{X | i > 1, X
i
(e|w) = e|w' v X
i
(e|w') = e|w
X(e|w) = e|w' X(e|w') = e|w }
U
{ X(e|w') = e|w'', X(e|w'') = e|w }
K
Zusammenhang und Längenrelationen beziehen
sich auf eine Menge gegebener Transformationen -
auf nichts sonst.
Sind diese Transformationen alle wiederholbar, so
können diese Relationen "wiederverwendet"
werden, auch wenn die erforderliche Menge der
maßgeblichen Transformationen zu anderen
Zeitpunkten nicht vollständig bekannt sein sollte.
Coherence and relations of length refer to a set of
given transformations - to nothing else.
In case, these transformations are repeatable, the
relations can be "reused", even if the required set of
transformations at different times is not fully known.
46
Grundlegende Begriffe
Danksagung:
Das Folgende wäre niemals niedergeschrieben worden ohne Herrn Dr. Dr. Fröhlich.
Allerherzlichsten Dank dafür!
B10 (abgeschlossene Kugel, Radius, Ursprung/Closed sphere, radius, root)
Abgeschlossene Kugel
=!=
Closed Sphere
=!=
K
n
[e|w] =!= { e|w', n >= 0,
d(w,w') = n | d(w,w') <= n } =!= { e|w', j = 0,..., n >= 0 | d(w,w') = j }
K
n
[w]
=!= { w', n >= 0,
d(w,w') = n | d(w,w') <= n } = { w', j = 0,..., n >= 0 | d(w,w') = j }
e M, w,w` W, X(e|w) = e|w`
Der Maximalwert n
max
der Längen von
Transformationen der Kugel K
n
wird Radius der
Kugel um e|w bzw. w genannt, X
1
(e|w) bzw. w der
Ursprung.
The maximum length n
max
of sphere K
n
is called
radius of the sphere around e|w resp. w, X
1
(e|w)
resp. w the root.
(s. D3, Eins-Transformation/Unit transformation)
K
Wegen der diskreten Metrik (Längen j
|N )
existieren nur abgeschlossene Kugeln, da die
entsprechenden Definitionen für offene Mengen
immer durch eine abgeschlossene Kugel mit einem
Radius j-1 ersetzt werden kann.
Um diese Diskretheit zu unterstreichen, wurde auch
die formale Schreibweise K[] statt K() gewählt.
Eine Offene-Kugel-Definition würde lauten:
Because of the discrete Metric (lengths j
|N), only
closed sets make sense, for the corresponding
definition of open spheres can always be replaced
by a closed set with a radius j-1.
To emphasize this discreteness, the formal notation
K[] was chosen instead of K().
An Open-Sphere-Definition would have been:
K
n
(e|w) =!= { e|w', n > 0 | d(e|w,e|w') < n } = { e|w' j = 1,..., n > 0 | d(e|w,e|w') = j }
K
n
(w) =!= { w', n > 0 | d(w, w') < n } = { w', j = 1,..., n > 0 | d(w, w') = j }
Die Definition mit n>= 0 der abgeschlossenen Kugel
stellt sicher, dass die Eins-Transformation X
1
(e|w)
bzw. der Wert w in der Kugel enthalten ist.
Using n>= 0 the definition of the closed sphere
ensures, that the Unit Transformation X
1
(e|w) resp.
value w belongs to the sphere.
(s. D3, Eins-Transformation/Unit transformation)
K
Die aufzählende Schreibweise j = 0,..., n >= 0 zeigt
besser, dass die Bedingung d(w,w') <= n nicht zu
einer sinnentlernten Definition für n > n
max
führen
darf.
The enumerative notation j = 0,..., n >= 0 shows
better, that the condition d(w,w') < n may not lead to
a meaningless definition for n > n
max
.
B10.1
Die abgeschlossene Kugel mit Radius n ist die
Vereinigungsmenge der Mengen der Zuordnungen
bzw. Werte der unterschiedlichen Abstände.
The closed sphere of radius n is the union of the
sets of allocations resp. values of different lengths.
?
K
n
[e|w] = { e|w', j = 0,..., n >= 0 | d(e|w,e|w') = j }
= U
0<=j<=n
{ e|w' | d(e|w,e|w') = j }
K
n
[w]
= { w', j = 0,..., n >= 0
| d(w,w') = j }
= U
0<=j<=n
{ w' | d(w,w') = j }
e M, w,w` W, X(e|w) = e|w`
K
n
[e|w] = { e|w', j = 0,...n >= 0 | d(e|w,e|w') = j } = X
con,n
=/D7.3/= U
0<=j<=n
{ e|w' | d(e|w,e|w') = j }
47
Grundlegende Begriffe
B10.2 j-Schale, j-Dichte, näher, Dichtegradient/j-Shell, j-density, nearer, density gradient
Die Menge der Zuordnungen bzw. Werte, die von
Transformationen der Länge j von der
Anfangszuordnung e|w erreicht werden können,
heißt j-Schale von e|w.
The set of allocations resp. values, reachable by
transformations of length j from initial allocation e|w,
is called j-Shell of e|w.
S(e|w)
j
=!= { e|w' | d(e|w,e|w') = j }
S(w)
j
=!= { w' | d(w, w') = j }
e M, w,w` W, X(e|w) = e|w`
K
Wie bei allen Mengen handelt es sich bei den
Elementen der j-Schale um eindeutige, also
unterschiedliche Zuordnungen bzw. Werte.
As in all sets the elements of the j-shell are unique,
therefore different allocations resp. values.
Eine j-Schale heißt näher als eine j'-Schale, wenn
ihr Index j kleiner als j' ist.
The number of allocations resp. values of a j-shell is
called j-density.
näher
=!=
nearer =!=
S(e|w)
j
, S(e|w)
j'
j < j'
Die Anzahl von Zuordnungen bzw. Werten in der j-
Schale heißt j-Dichte.
The number of allocations resp. values of a j-shell is
called j-density.
j
=!= |S(e|w)
j
| =!= |S(w)
j
|
e M, w,w` W, X(e|w) = e|w`
Das Dichte-Verhältnis von zwei j-Schalen heißt
Dichtegradient.
The relationship of densities two j-shells is called
density gradient.
j,j'
=!=
j'
/
j
j
> 0
j,j'
=!=
0
j
= 0
j < j', , e M, w,w` W, X(e|w) = e|w`
K
Der Dichtegradient ist wegen j < j' auf den Ursprung
hin orientiert, wegen des Verhältnisses
j'
/
j
aber
so ausgelegt, dass bei höheren Dichten am
Ursprung ein abfallender Verlauf des Dichtegrades
erreicht wird.
Because of j < j' the density gradient is root oriented,
but due to the relationship
j'
/
j
the curve gets
declining in case of higher densities at the root.
48
Grundlegende Begriffe
B11 (Beschränktheit, Grenze, Innen /Boundedness, limit, inside)
Beschränktheit
=!=
Boundedness =!=
n > 0
{ e|w, n > 0 | K
n
[e|w] <> Ø }
{ w, n > 0 | K
n
[w] <> Ø }
K
n+1
[e|w] <> Ø
e M, w
W, X(e|w) = e|w`
{ p
m
=
(e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
, ..., e|w
m
), n > 0 | K
n
[e|w] <> Ø }
{ p
m
=
(w
1
, w
2
, w
3
, ..., e|w
m
), n > 0 | K
n
[w] <> Ø }
e M, w
i
W, X(e|w) = e|w`
Liegt eine Menge oder eine Folge von Zuordnungen
bzw. Werten ganz in einer Kugel K
n
, so heißt sie
beschränkt mit der Grenze n.
Die Zuordnungen bzw. Werte der Menge oder Folge
werden auch innen bzgl. der Grenze n genannt.
A set or sequence of allocations or values totally
belonging to a sphere K
n
is called bounded with limit
n.
Allocations resp. values of the set or sequence are
also called inside with reference to the limit n.
(s. B0.6, Folgen/Sequences)
K
Zu beachten ist, dass Beschränktheit sich nur auf
gegebene Transformationen einer einzigen
Eigenschaft e beziehen.
Da eine Transformation als physikalische
Wertveränderung immer mit Energiefluss zu tun
haben, muss es also auch für diese Eigenschaft e
Transformationsketten geben, die über diese
Grenzen hinausgehen, die von anderen
Eigenschaften stammen und Endzuordnungen
dieser Eigenschaften erzeugen, die
Anfangszuordnungen von e sind oder
Endzuordnungen von e als Anfangszuordnungen
aufnehmen.
Please not, that boundedness only refers to given
transformations of a single element of quality e.
Because transformations as physical changes of
values always have to do with energy flow, there
has to have chains of transformations beyond this
limitation, stemming from other elements of quality,
creating final allocations, used as initial allocations
of e, or picking final allocations of e as initial
allocations.
49
Grundlegende Begriffe
B11.1 (Abkapselung/Encapsulation)
Existiert ein Index n mit der Eigenschaft, dass der
Dichtegradient für alle Indizes > n echt kleiner als 1
wird, so wird dies Abkapselung von e|w bei n
genannt.
If an index n exists, so that the density gradient of
any index > n becomes strictly less than 1, this is
called encapsulation of e|w at n.
(s. B10.2, Dichtgradient/Density gradient)
Abkapselung =!=
Encapsulation =!=
n > 0
j,j'
, < 1
e M, w,w` W, X(e|w) = e|w`, 0 < n <= j < j'
B12 (Umgebung, Topologie/Neighbourhood, topology)
Umgebung
=!=
Neighbourhood
=!=
U[e|w] =!= { j = 1, ... n >0 | K
j
[e|w] <> Ø }
U[w]
=!= { j = 1, ... n >0 | K
j
[w] <> Ø }
e M, w
W
K
Die Umgebung stellt die Menge aller
abgeschlossenen Kugeln von e|w bzw. w dar.
Sie ist also die Menge aller Transformationen, die
mit dem Ursprung zusammenhängen bzgl. W' = w,
w'
K
j
[w]
i = 0,...n > 0
The neighbourhood is the set of all closed spheres
of e|w bzw. w.
Therefore, it is the set of all coherent
transformations related to W' = w, w'
K
j
[w]
i =
0,...n > 0 of the root.
(s. B9, Zusammenhang/Coherence)
Eine abgeschlossene Kugel wird deshalb auch n-
Umgebung genannt.
Therefore, a closed sphere is also called an n-
neighbourhood.
B12.1
Für Transformationen einer einzigen Eigenschaft e
ist die Information I
e
= {X} die umfangreichste
Umgebung eines beliebigen e|w, ihr Wertebereich
W(e|w) damit auch die umfangreichste Umgebung
eines beliebigen w von e.
For transformations of a single element of quality e
the information I
e
= {X} is the most extensive
neighbourhood of e|w, its value area W(e|w)
therefore the most extensive neighbourhood of any
w of e.
(s. D2.5, Wertebereich/Value Area)
=/B9/=
X(e|w') = e|w'' e M,
w,w`,w''
W X(e|w) = e|w', X(e|w'') = e|w'''
=/B2/=>
K
j
[e|w] <> Ø
0 < j <= d(w,w')
max
w,w` W(e|w) X(e|w) = e|w'
==>
w
m
W(e|w) X(e|w) = e|w
m
d(w,w
m
) <> 0
e|w
m
K
o
[e|w] <> Ø
o <> j, 0 < j <= d(w,w')
max
50
Grundlegende Begriffe
B12.2
Die Umgebung erfüllt die folgenden
Umgebungsaxiome für zusammenhängende
Wertebereiche, insbesondere für die Information I
e
=
{X}.
The neighbourhood fufills the following
neighbourhood axioms for coherent value areas,
particularly for the information I
e
= {X}..
(s. D2.5, B9, Wertebereich/Value Area, Zusammenhang/Coherence)
U1)
K
n
[e|w]
U[e|w] ==> e|w K
n
[e|w]
K
n
[w]
U[w]
==> w K
n
[e|w]
U2)
K
n
[e|w]
U[e|w] K
n
[e|w]
Y T
e
==> Y U[e|w]
K
n
[w]
U[w] K
n
[w]
Y T
w
==> Y U[w]
U3)
K
n
[e|w]
U[e|w] K
m
[e|w]
U[e|w]
==> K
n
[e|w]
K
m
[e|w]
U[e|w]
K
n
[w]
U[w] K
m
[w]
U[w]
==> K
n
[w]
K
m
[w]
U[w]
e M, w,w` W(e|w), X(e|w) = e|w`, T
e
= { e|w | X(e|w) = e|w' } U {e|w}, T
w
= { w | X(e|w) = e|w' } U {w}
U1: Jede geschlossene Kugel eines Punktes enthält
den Punkt.
U2: Jede Obermenge einer geschlossenen Kugel
eines Punktes ist wieder eine geschlossene Kugel
des Punktes.
U3: Die Schnittmenge zweier geschlossenen Kugeln
eines Punktes ist wieder eine geschlossene Kugel
des Punktes.
U1: The point is element of each closed sphere of
the point
U2: Supersets of closed spheres are a closed
sphere itself.
U3: The intersection of closed spheres is also a
closed sphere.
Pkt U1 wird erfüllt von der Definition der
abgeschlossenen Kugel für j =0.
Pkt U2 wird erfüllt von der Voraussetzung des
Zusammenhangs und der Bedingung der Definition
der abgeschlossenen Kugel, nur wohldefinierte
Abstände zu berücksichtigen: d(w,w') = j.
Pkt U3 folgt aus B10.1.
Item U1 is given by the definition of the closed
sphere for j=0.
Item (2) is given by the requirement of the
coherence and the definition of the closed sphere,
creating only well defined lengths: d(w,w') = j
Item U3 is a consequence of B10.1.
K
n
[e|w] =/B10/= { e|w', j = 0,..., n >= 0 | d(w,w') = j }
ad U1:
j = 0
=/B10.1/=
> K
0
[e|w] = { e|w'| d(w,w') = 0}
K
n
[e|w]
n |N
0
=/D7(1)/=
>
d(w,w') = 0
==> w = w' =/D0.1/=> e|w = e|w' ==> e|w K
0
[e|w] }
K
n
[e|w]
n |N
0
==> e|w K
n
[e|w]
n |N
0
ad U2:
K
n
[e|w]
Y
==> e|w Y
Y
T
e
= { e|w' | X(e|w) = e|w' } U {e|w}
==> Y = { e|w' | X(e|w) = e|w' } w,w` W(e|w)
=
/D7.1/=> Y = { e|w' | X(e|w) = e|w' d(w,w') >= 0 }
/D7.4/= d(w=w
0
,w'=w
i
) <= i
d(w,w') <= |T
w
|
==> Y = { e|w' | X(e|w) = e|w'
0 <= d(w,w') <= |T
w
|
=/B10/=> Y = K[e|w]
n'<=|Tw|
U[e|w]
ad U3:
K
n
[e|w] =/B10.1/= U
0<=j<=n
{ e|w' | d(e|w,e|w') = j }
51
Grundlegende Begriffe
K
m
[e|w] =/B10.1/= U
0<=j<=m
{ e|w' | d(e|w,e|w') = j }
K
n
[e|w]
K
m
[e|w] =/B0.9/= K
p
[e|w] = { e|w' | e|w'
K
n
[e|w]
e|w' K
n
[e|w] }
=/B10.1/= U
0<=j<=p
{ e|w' | d(e|w,e|w') = j }
U[e|w]
p = min(m,n)
B12.3
Topologie
Topology
Der metrische Raum (X
z
;d) wird mit dem System
aller Obermengen der abgeschlossenen Kugeln um
e|w bzw. w die Topologie der Menge der
Zuordnungen bzw. der Menge der Werte genannt.
The metric space (X
z
;d) together with the system of
all supersets of closed spheres around e|w resp. w
is called topology of the set of allocations reps. the
set of values.
e M, w,w` W(e|w), X(e|w) = e|w`, T
e
= { e|w | X(e|w) = e|w' } U {e|w}, T
w
= { w | X(e|w) = e|w' } U {w}
K
Im Gegensatz zu den üblichen mathematischen
Verwendungen des Begriffs "Topologie" ist
Stetigkeit und die Existenz offener Mengen definitiv
nicht gegeben. Näherungen aus bestehenden
Topologie-Modellen sind jedoch denkbar für
Eigenschaften mit einer hohen Zahl von
Transformationen X(e|w) und Werten, wenn also
eine Quasi-Stetigkeit angesetzt werden kann.
Contrary to the common mathematical definitions of
the term "topology" continuity and the existence of
open sets is definitely not given. Approximations
from existing models of topology are imaginable as
long as elements of quality with high numbers of
transformations and values, so that a quasi-
continuity can be appointed.
52
Grundlegende Begriffe
==================================================================================
=====
Verschiedene Eigenschaften/Different elements of quality
Bisher wurden nur Transformationen und deren
Wertemengen einer einzigen Eigenschaft betrachtet
(Ausnahme: B4).
Deshalb waren Einschränkungen für die
Transformationen meist nebensächlich, sie mussten
nur existieren und die jeweiligen Bedingungen
erfüllen.
Das bedeutet, dass auch "mehrdeutige"
Transformationen im Wertebereich W(e|w) vorliegen
können, ohne dessen Charakter zu zerstören. Auch
für den Zusammenhang oder die topologischen
Betrachtungen war vor allem die Existenz
maßgeblich.
Until now, only transformations of a single element
of quality are considered (Exception: B4).
Therefore restrictions for the transformations were
mostly negligible, they only have to exist and fulfill
the current requirements.
That means, that even "ambiguous" transformations
may belong to the value area W(e|w) without
annihilating it. Likewise coherence or the topological
considerations depend mainly on the existence.
(s. D2.5, B9, D7ff Wertebereich/Value Area, Zusammenhang/Coherence, Länge ff/Length et seq.)
Generelle Voraussetzungen/Preconditions
Im Folgenden gewinnt jedoch die Beziehung
zwischen diversen Eigenschaften an Bedeutung.
Eine solche Beziehung betrifft nicht notwendig alle
Zuordnungen und ihre Veränderungen, sodass
Mehrdeutigkeit zu unterschiedlichen Resultaten in
den Relationen führen kann.
Deshalb werden weiterhin nur noch wiederholbare
Transformationen betrachtet.
In the following the relationship between different
elements of quality become more important. Such a
relationship does not necessarily affect every
allocation or transformation, so that ambiguity may
lead to different results.
Therefore only repeatable transformations will be
considered hereafter.
(s. B1 Wiedderholbarkeit/Repeatability)
V0 =!=
X(e|w) = e|w' X(e|w) = e|w'' =/B1/=> e|w' = e|w'' w'=w''
X(e|w) = e|w', X(e|w) = e|w'', w, w',w'' W
e M
Auch sind bei mehreren Eigenschaften
Einzeltransformationen weniger bedeutsam als
Verknüpfungen, sodass zukünftig nur von
zusammenhängenden Transformationen
ausgegangen wird.
Furthermore, in case of different elements of quality
single transformations are less important, so that
from now on only coherent transformations will be
considered.
(s. B9 Zusammenhang/Coherence)
V1 =!=
/B9/=>
X(e|w) = e|w` w,w` W
e M
K
Sollte Zusammenhang oder Wiederholbarkeit nicht
für alle Werte w,w'
W vorliegen, so wird die größte
Teilmenge von W, für die die Bedingungen gültig
sind, herangezogen.
Do the requirements of coherence or repeatability
not exist for all values w,w'
W, the maximum
subset of W fulfilling this will be used.
53
Grundlegende Begriffe
B13 Einzelne Eigenschaft/Single element of quality
B13.1 (Wertebereich/Value Area)
Die Menge W
e
, für die Zusammenhang und
Wiederholbarkeit für alle Transformationen von e
vorliegt, heißt Wertemenge oder Wertebereich von
e.
The set W
e
, providing coherence and repeatability
for all transformations of e, is called set of values or
value area of e.
Wertebereich =!=
Value Area =!=
W
e
= {w, w' | e
M, w <> w' W ,V0, V1 }
= {w, w' | e
M, w <> w' W X(e|w) = e|w' X(e|w) = e|w' X(e|w) = e|w'' => w'=w'' }
K
Dass für jede Wertekombination w,w'
W
e
eine
Transformation existiert, bedeutet jedoch nicht, dass
diese die Länge 1 haben müssen.
The requirement, that a transformation has to exist
for for every pairing of w,w'
W
e
does not mean, that
this transformation has to have the length 1.
(s. D7 Länge/Length)
B13.2 (Realisierungsbereich/Realization Area)
Die Menge der Zuordnungen von e zu Werten aus
W
e
wird Realisierungsmenge oder
Realisierungsbereich von e genannt.
The set of allocations of e with values W from W
e
is
called realisation set or realization area of e.
Realisierungsbereich =!=
Realization Area =!=
R
e
= {e|w | e
M, w W
e
}
Der Wertebereich W
e
ist damit auch der
Wertebereich zu jeder Zuordnung e|w des
Realisierungsbereichs.
The value area is therefore also the value area of
every allocation e|w of the realization area.
(s. D2.5 Wertebereich/Value)
W(e|w) =/D2.5= {w` |
j <=i X
j
(e|w) = e|w' , e
M , w,w` W} =/V1/= {w` | j <=i X
j
(e|w) = e|w' , e
M
, w,w` W} =/D2/= {w` | X(e|w) = e|w' , e M , w,w` W) =/B13/= W
e
B13.3 (Veränderlichkeit/Variability)
Die Mächtigkeit von W
e
, also die Anzahl der Werte
im Wertebereich von e wird Veränderlichkeit von e
genannt.
The cardinality of W
e
, means the number of
elements of the value area of e is called variability of
e.
Veränderlichkeit=!=
Variability =!=
V
e
= | W
e
|
Da die Information I
e
auf ihrem Wertebereich
vollständig ist, ist sie die Menge aller
wiederholbaren Transformationen mit ihren ebenso
wiederholbaren Inversen auf W
e
und R
e
zzgl. der
Eins-Transformationen.
Because the information is complete on its value
area, it is the set of all repeatable transformations
and their likewise repeatable inverses on W
e
and R
e
together with the unit transformations.
(s. B2.1, F0 Vollständigkeit der Information/Completeness of the information,Wiederholbarkeit der Inversen/Repeatability of the inverse)
I
e
=/B2/= { X | X(e|w) = e|w', X(e|w') = e|w
w<>w` W
e
V0: X(e|w) = e|w' X(e|w) = e|w'' => w'=w'' } U
{ X
1
| X
1
(e|w) = e|w
w W
e
}
54
Grundlegende Begriffe
B13.4 (Potenzial/Potential)
Die Menge der wiederholbaren und
zusammenhängenden Transformationen auf W
e
heißt Potenzial
The set of all repeatable and coherent
transformations on is called potential W
e
.
Potenzial =!=
Potential =!=
P
e
= { X | X(e|w) = e|w', e
M, w<>w' W
e
} = { X | V1: X(e|w) = e|w'
w<>w` W
e
V0: X(e|w) = e|w'
X(e|w) = e|w'' => w'=w''
}
Bei Vorliegen aller Inversen ist das Potenzial die
Untermenge echter Transformationen von I
e
und
enthält deshalb auch alle Inversen.
If all inverses exist, the potential is the subset of true
transformations of I
e
, including all inverses.
P
e
= I
e
\ { X
1
} = { X | X(e|w) = e|w', X(e|w') = e|w
w<>w` W
e
V0: X(e|w) = e|w' X(e|w) = e|w'' =>
w'=w''
}
B13.5 (Skript/Script)
Die wegen der Wiederholbarkeit eindeutigen
Translationen des Potenzials werden Skript von e
genannt.
The set of (due to the repeatability unique)
translations of the potential is called script of e.
(s. D1.1, B1 Translation, Wiederholbarkeit/Repeatability)
Skript =!=
Script =!=
S
e
= { x | x(w) = w'
X(e|w) = e|w' P
e
}
Wegen des Zusammenhangs (= Vollständigkeit) ist
das Skript eine eindeutige Abbildung auf dem
Wertebereich von e.
Because of the coherence (= completeness) the
script is a unique map on the value area of e.
(s. B1.1 Äquivalenz von Eindeutigkeit und Wiederholbarkeit /
Equivalence of uniqueness and repeatability)
B14 Mehrere Eigenschaften/Different elements of quality
B14.1 (Eigenschaftsmenge/EQ Set)
Eine Menge von Elementen e, die
als unveränderlicher Anteil in
veränderlichen Zuordnungen
existieren, heißt
Eigenschaftsmenge E.
A set of set-elements being the
constant part of allocations is
called EQ Set E.
Eigenschaftsmenge =!=
EQ Set =!=
E = { e | e
M, X(e|w) = e|w', w<>w` W }
B14.2 (Wertebereich/Value Area)
Der Wertebereich von E ist die Menge der
Wertebereiche der einzelnen Eigenschaften, für die
wiederholbare und zusammenhängende
Transformationen vorliegen.
The valua are of E is the set of value areas of the
different elements of quality, having repeatable and
coherent transformations.
Wertebereich =!=
Value Area =!=
W
E
= U
e
E
{ W
e
} = { w | e
E, w W
e
}
55
Grundlegende Begriffe
B14.3 (Realisierungsbereich/Realization Area)
Der Realisierungsbereich von E ist die Menge der
Realisierungsbereiche der einzelnen Eigenschaften
The realization area of E is the set of realization
areas of the different elements of quality.
Realisierungsbereich =!=
Realization Area =!=
R
E
= U
e
E
{ R
e
} = { e|w | e
E, e|w R
e
} =/B13/= { e|w | e
E, w W
e
}
B14.4 (Veränderlichkeit/Variability)
Die Mächtigkeit von W
E
, also die Anzahl der Werte
im Wertebereich von E wird Veränderlichkeit von E
genannt.
The cardinality of W
E
, means the number of
elements of the value area of E is called variability of
E.
Veränderlichkeit=!=
Variability =!=
V
E
= | W
E
|
B14.5 (Potenzial/Potential)
Das Potenzial von E ist die Vereinigungsmenge der
Potenziale der einzelnen Eigenschaften
The potential of E is the union of potentials of the
different elements of quality.
Potenzial =!=
Potential =!=
P
E
= U
e
E
{ P
e
} = { X | e
E, V0, V1 }
= { X | e
E, X(e|w) = e|w', X(e|w') = e|w w<>w` W
e
X(e|w) = e|w' X(e|w) = e|w'' => w'=w''}
B14.6 (Skript/Script)
Das Skript von E ist die Menge der Skripte der
einzelnen Skripte.
The script of E is the set of scripts of the different
elements of quality.
(s. D1.1 Translation)
Skript =!=
Script =!=
S
E
= U
e
E
{ S
e
} = { x | x(w) = w'
X(e|w) = e|w' P
E
}
Da die Translation keinen direkten Bezug zu einer
Eigenschaft hat, ist trotz der Wiederholbarkeit der
Transformationen die Eindeutigkeit der
Translationsabbildung nicht mehr gewährleistet.
Due to the fact that the translation does not have a
direct relationship to an element of quality,
uniqueness of the translation map is no longer
ensured despite of the repeatability of the
transformations.
K
Es ist zu beachten, dass außer der
Eigenschaftsmenge, die unabhängig von
Wiederholbarkeit oder Zusammenhang bestimmt
wird (w,w'
W), alle obigen Begriffe über W
e
bestimmt sind. Auch im Falle mehrerer
Eigenschaften wird so sichergestellt, dass nur
wiederholbare und zusammenhängende
Transformationen betrachtet werden.
Please note, that except for the EQ set, defined
without repeatability and coherence (w,w'
W), the
other terms depend on W
e
. So even in case of
different elements of quality it is ensured, that only
repeatable and coherent transformations are
considered.
56
Grundlegende Begriffe
B15 Verhaltensgruppierung von Eigenschaften/Behavioral Grouping of elements of quality
B15.1 (Potenzialgleichheit/ Potential equality)
Potentiale zweier Eigenschaften werden gleich
genannt, wenn ihre Skripte gleich sind. Dann sind
auch ihre Wertebereiche gleich.
Potentials of two elements of quality are called
equal, if the scripts are equal. So the valua area is
also equal.
Potenzialgleichheit =!=
Potential equality =!=
e <>e' E
P
e
= P
e'
<==> S
e
= S
e'
<==> { x | x(w) = w'
X(e|w) = e|w' P
e
X(e'|w) = e'|w' P
e'
}
B15.2 (Eigenschaftsgruppe/EQ group)
Die Menge der Eigenschaften mit gleichem
Potenzial wird Eigenschaftsgruppe von P genannt,
die einzelne Eigenschaft Instanz von P.
The set of elements of quality with equal potentials
is called EQ group of P, the single element of quality
is called instance.
Eigenschaftsgruppe =!=
EQ group =!=
E
P
= { e | e <> e'
E, P
e
= P
e'
}
B15.3 (Instanz/Instance)
Instanz =!=
Instance =!=
e
E
P
Da sich die Potenzialgleichheit über Translationen
bestimmt, die keine direkte Beziehung zu
Eigenschaften haben, bedeuten gleiche Potenziale
nicht notwendig gleiche Instanzen, sondern nur
gleiches Verhalten.
Because equality of potentials is defined via
translations without direct relationship to elements of
quality, equal potentials does not necessarily mean
equal instances, but only equal behavior.
B15.4 (Gruppenpozential/Group potential)
Das Potenzial einer Eigenschaftsgruppe wird
Gruppenpotenzial und geeignet für jede seiner
Instanzen genannt.
The potential of an EQ group is called group
potential and appropriate for every of its instances.
Gruppenpotenzial =!=
Group potential =!=
P
e
= P
e
e E
P
B15.5 (Eignung/Appropriateness)
Eignung =!=
Appropriateness =!=
P
e
= P
e
e E
P
B15.6 (Realisierung/Realization)
Ein Gruppenpotential wird realisiert genannt, wenn
es wenigstens eine Instanz aufweist, also
wenigstens eine Zuordnung e|w vorliegt.
A group potential is called realized, if there exists at
least one instance, so that at least one allocation e
exists.
57
Grundlegende Begriffe
Realisierung =!=
Realization =!=
| E
P
| > 0
v
P
e
e E
P
e|w
K
Bisher wurden einzelne Eigenschaften mit ihren
Transformationen betrachtet. Dabei wurde nichts
über die Komplexität dieser Eigenschaften
vorausgesetzt. Die Aussagen treffen deshalb sowohl
für sehr einfache Eigenschaften mit wenig Werten
als auch für sehr differenzierte Strukturen zu.
Until now single elements of quality together with
their transformations are considered. In doing so
complexity was not an issue. Therefore the
statements apply to very elementary elements of
quality with only a few values as well as to very
sophisticated configurations.
Eigenschaften mit ihren Transformationen sind
jedoch dann, wenn sie Information sind, physikalisch
von Bedeutung, da jede physikalische Formel, jedes
Naturgesetz Information ist, wiederholbares und
zusammenhängendes Verhalten, das in der Physik
in den allermeisten Fällen tatsächlich zeitinvariant ist
(Inverse).
Noethers Theorem führt genau darüber bei
geschlossenen Systemen auf den fundamentalen
Energieerhaltungssatz.
Anyway, elements of quality with their
transformations are in case of information physically
important, because every physical formula, every
law of nature is information, is repeatable and
coherent behavior, actually in physics mostly time-
invariant (inverse).
By time invariance and closed systems Noethers
Theorem leads exactly to the fundamental
conservation of energy.
(s. B2 Information)
Mehr noch: Informative Eigenschaften bieten mit der
Messbarkeit ihrer Werte und der Wiederholbarkeit
ihrer Transformationen Vorhersehbarkeit ein. Sie
erlauben für ihr Verhalten einen Blick in die Zukunft,
sie bieten Prognostizierbarkeit
Moreover, informative elements of quality with their
measurable values and repeatable transformations
offer predictability. For their behavior they allow a
flash forward, they offer prognosability.
Vorhersehbarkeit ist die Voraussetzung für die
Nützlichkeit von Entscheidungen und damit die
Voraussetzung für die Existenz von
Informationsverarbeitungen - wie Leben.
Predictability is the precondition for the usefuleness
of decisions and therefore the precondition for the
existence of information processing systems - like
life.
Leben muss freilich immer Information vorfinden, die
es zu seinen Gunsten verwerten kann. Dafür muss
es die Information aus seiner Umgebung bestimmen
können, um aus diesem Wissen heraus deren
"nächsten Schritt" vorherzusehen, um seine
Entscheidung für die eigene Reaktion danach
auszurichten.
Of cource, life always depends on information to use
it for its benefit. So, it has to detect information out
of its environment to predict its "next step" to orient
its decisions for the own reaction on that.
Im Gegensatz zur Mathematik, die Eigenschaften
als Mengenelemente unabhängig von ihrer
Komplexität betrachten kann, steht das Leben vor
einem Chaos von Werten ohne direkten Bezug zu
den verursachenden Eigenschaften.
Für vernünftige Entscheidungen muss es freilich aus
diesen Werten Rückschlüsse auf das wiederholbare
und damit nützliche Verhalten ermitteln.
Dabei kann es aufgrund seiner eigenen
Begrenztheit in keinem Fall davon ausgehen, dass
es die komplexeste "Über-Eigenschaft", die alle
Werte und Wertveränderungen in seiner Umgebung
hervorruft, überhaupt erfassen kann.
Opposite to mathematics able to consider elements
of as elements of sets independent of their
complexity, life is challenged by a chaos of
surrounding values without direct relationship to the
causative elements of quality.
However, to be able to make reasonable decisions it
has to infer the repeatable and therefore useful
behavior from these values.
Because of its own limitedness it must not assume
to be able to detect the "Uber-Eigenschaft"
generating all the values und transformations of its
surrounding.
58
Grundlegende Begriffe
Leben muss deshalb immer mit den einfachsten
Bausteinen anfangen, um sein Wissen aufzubauen.
So life always has to start with the simplest
components to construct its knowledge.
Deshalb wurde mit B14 der Focus der Betrachtung
von einer Eigenschaft auf mehrere gerichtet.
Bei der Betrachtung von mehreren Eigenschaften
wurde denn auch eines bereits deutlich: Eine
offensichtlich Korrelation von Transformation und
Translation ging verloren, sodass das Augenmerk
sich auf die Transformationen richten musste.
Therefore, B14 switched the focus of the
consideration from a single element of quality to
different ones.
And considering different elements it becomes clear,
that an obvious correlation of transformation and
translation no longer exists, so that the focus had to
shift on the transformations.
(s. B14 Mehrere Eigenschaften/Different elements of quality)
Eine weitere Frage drängt sich dabei auf:
Veränderungen kommen nicht aus dem Nirgendwo,
sie werden über physikalische Vorgänge
hervorgerufen. Bisher wurde diese Frage ignoriert,
weil nur die "inneren" Wertveränderungen der
Eigenschaften, die Transformationen eigner Werte
betrachtet wurden.
By that, another issue pops up:
Values do not change without any reason, physical
processes are always the cause.
Until now this question was ignored because only
the "inner" changes of the elements of quality were
considered, the transformations of own values.
Im Falle mehrerer Eigenschaften ist die Frage des
Zusammenspiels jedoch nicht mehr
vernachlässigbar.
So in case of different elements of quality the
question of interaction is no longer negligible.
D8 Kopplung von Eigenschaften/Coupling of elements of quality
D8.1 (Kommunikationsbereich/Communication area)
Kommunikationsmenge oder -bereich werden die
gemeinsamen Werte zweier Eigenschaften genannt,
die Werte daraus Kommunikationswerte.
The set of shared of values, belonging to allocations
of two elements of quality, are called communication
area.
Kommunikationsbereich =!=
Communication area =!=
K
e,e'
= {w | e <> e'
E, w W
e
w W
e'
) =/B0.9/= W
e
W
e'
D8.2 (Kommunikationswert/Communication value)
Kommunikationswert =!=
Communication value =!=
w
K
e,e'
D8.3 (Kontakt/Contact)
Existiert für einen gegebenen Kommunikationswert
w'' eine Möglichkeit für Transformationen der ersten
Eigenschaft e, Transformationen der zweiten
Eigenschaft e' anzustoßen, so heißt dies Kontakt
von e und e' bei w''.
If for a given communication value w'' there is a
possibility for a transformation of the first element of
quality e to initiate transformations of the second
element of quality e', this is called contact of e and e'
at w''.
Kontakt =!=
Contact =!=
X(e|w) = e|w'', X(e'|w'') = e'|w'
K(e|w'') = e'|w'' ==> X
w''
(e|w) = e'|w'
Wie Transformationen ist der Kontakt grundsätzlich Like transformations the contact is basically
59
Grundlegende Begriffe
gerichtet.
directed.
K
Diese "Richtung" des Kontakts bedeutet, dass der
Wert (oder Zustand) der beiden Eigenschaften zwar
gleich sein muss, für die erste jedoch der Endwert
ihrer Transformation, für die zweite dagegen der
Anfangswert ist.
This "direction" of the contact means, that the value
(or state) of both elements of quality has to be
equal, but for the first one it is the final value of its
transformation, for the second the initial value.
D8.4 (Kontakt-Transformation/Contact Transformation)
Die Verknüpfung von wiederholbaren Elementar-
Transformationen beider Eigenschaften über einen
Kontakt heißt Kontakt-Transformation bei w''.
The linkage of repeatable elementary
transformations of both elements of quality with the
assistance of a contact is called contact
transformation at w''.
Kontakt-Transformation =!=
Contact Transformation =!=
X
w''
(e|w) =!= X(e|w) = e'|w'
e, e' E, X(e|w) = e|w'', X(e'|w'') = e'|w', d(w,w'') = 1, d(w'',w') = 1, K(e|w'') =
e'|w'', w
W(e|w
any
), w'
W(e'|w
any
), w''
K
e,e'
, V0
K
Die resultierende Veränderung von Zuordnung ist
streng genommen keine Transformation nach D1,
da sich diese nur auf eine einzige Eigenschaft
bezieht. Sie verhält sich jedoch genauso: Sie ändert
die Werte von Zuordnungen von Eigenschaften.
Deshalb wird auch in diesem Fall die vereinfachte
Schreibweise X(e|w) = e'|w' angeboten, wenn es
dadurch nicht zu Missverständnissen kommen kann.
The resulting change of allocations is not a
transformation in the strict definition of D1, because
such a transformation is related to a single element
of quality. But it behaves like that: it changes values
of allocations of elements of quality.
Therefore the simplified notation X(e|w) = e'|w' is
also offered, if misunderstandings are excluded.
D8.5 (Länge der Kontakt-Transformation/Length of the Contact Transformation)
Die Länge einer Kontakt-Transformation wird im
Sinne der Längendefinition D7 als die Summe der
Längen der beiden beteiligten Transformationen
angesetzt.
Within the meaning of the definition of the length D7
the length of a contact transformation is set to the
sum of the length of both participathing
transformations.
(s. D7 Länge/Length)
Länge der Kontakt-Transformation =!=
Length of the Contact Transformation =!=
d(w,w') = d(w,w") + d(w'',w') = 2
D8.6 (Transformationsketten durch w''/Chain of Transformations through w'')
Da eine Kontakt-Transformation aus
Transformationen zweier Eigenschaften aufgebaut
ist, kann sie über Transformationsverknüpfung und
Kontakt bei w'' in
übergreifendeTransformationsketten integriert
werden.
Due to the fact, that a contact transformation is built
of transformations of two elements of quality, it can
be integrated in overlapping transformation chains
with linkage of transformations and contact at w''.
(s. D2 Transformationsverknüpfung/Linkage of Transformations, Transformationskette/Chain of transformations)
Transformationsketten durch w'' =!=
Chain of Transformations through w'' =!=
X(e'|w'')K
w''
X(e|w) =!= X
e'
K
w''
X(e|w) =!= X
w''
(e|w) =!= X(e|w) = e'|w'
e, e' E, X(e|w) = e|w'', X(e'|w'') = e'|w', K(e|w'') = e'|w'', w W(e|w
any
), w'
W(e'|w
any
), w''
K
e,e'
X
i
(e|w) = X
i
(...(X
1
(e|w)) = e|w'', X
i'
(e'|w'') = X
i'
(...(X
1
(e'|w'')) = e'|w', e, e'
E, w W(e|w
any
), w'
W(e'|w
any
), w''
K
e,e'
60
Grundlegende Begriffe
K(e|w'') = e'|w''
==> X
i+i'
(e|w) = e'|w'
X
i+i'
(e|w) =/D2.1,K/= X
i'
X
i
= X
i'
(X
i
(e|w))= X
i'
(e'|w'')= e'|w'
Dies bedeutet, dass jede übergreifende
Transformationskette durch w'' aus zwei an sich
getrennten Transformationsketten der beiden
beteiligten Eigenschaften aufgebaut ist.
This menas, that every overlapping chain of
transformation through w'' is build of two in principle
separated chains of transformations of the both
participating elements of quality.
D8.7 (Länge/Length)
Die Länge der Transformationskette durch w'' ist
gleich der Summe der Länge der
eigenschaftsbezogenen Längen und bleibt dabei
ganz im Sinne der Längendefinition 7 die minimale
Anzahl von verknüpften Transformationen.
The length of the chain of transformations through
w'' is the sum of the lengths of the eq related lengths
and remains the minimum number of linked
transformations within the meaning of the definition
of the length D7.
(s. D7.6, A2, Länge = Anzahl elementarer Transformationen/Length = Number of Elementary Transformations, Metrik/Metric)
Länge =!=
Length =!=
d
w''
(w,w') =!= d(w,w') = d(w,w'') + d(w'',w)
X
i
(e|w) = e'|w'
=/A2(3)/=> d(w,w') <= d(w,w'') + d(w'',w)
=/D8.6/=> X
i
(e|w) = XK
w''
X(e|w) = X
i'
X
i
X
i
d(w,w''), X
i'
d(w'',w'),
=/D7(3)/=> X
p
d(w,w'')
p
< d(w,w'')
i
, X
p'
d(w'',w')
p'
< d(w'',w')
i'
=/D8.3:
w''/=> d(w,w')
p
< d(w,w'') + d(w'',w)
==> d(w,w') = d(w,w'') + d(w'',w)
K
Die Länge der Transformationskette durch w'' kann
wegen der Bedingung, dass w'' Teil beider
Transformationsketten sein muss, nicht kleiner als
die Summen der beiden eigenschaftsbezogenen
Transformationen werden, da deren Länge per
definitionem das Minimum darstellen, die deshalb
nicht unterschritten werden können.
Auch hier wird die vereinfachte Schreibweise d(w,w')
erlaubt, wenn Missverständnisse ausgeschlossen
sind.
The length of the chain of transformations through
w'' cannot be less than the sums of the eq related
lengths, because the connection between those eq
related chains requires w'' as part of both chains,
and the definition of the length as minimum cannot
be undercut.
Here, too, the simplified notation d(w,w') is allowed,
if misunderstandings are excluded.
D8.8 Gültigkeit von D7.1-D7.7/Validity of D7.1-D7.7
Da die Länge der Transformationskette durch w''
wegen der Anschlussbedingung w'' für beide Ketten
additiv verhält, sind die Begriffsbestimmungen und
Aussagen von D7.1-D7.4 und D7.6, D7.7 auch für
die erweiterte Länge nach D8.7 gültig.
Because of the additivity of the length of the chain of
transformations through w'' the statements of D7.1-
D7.4 and D7.6, D7.7 remain valid for the extended
length according to D8.7.
K
D7.5 ist die Bestimmung der elementaren
Transformation, die immer nur für eine Eigenschaft
gelten kann, was sich in der Länge 2 der Kontakt-
Transformation niederschlägt.
D7.5 is the definition of the elementary
transformation, which is always related to a single
element of quality, reflected in the length 2 of the
contact transformation.
61
Grundlegende Begriffe
D8.9 (Einflussbereich/Range of Influence)
Bei Vorliegen eines Kontakts von e und e' wird der
Realisierungsbereich R
e'
der Eigenschaft e'
Einflussbereich von e genannt und vice versa.
On existence of a contact of e and e' the realization
area R
e'
of the element of quality e' is called range of
influence of e and vice versa.
D8.10 (Metrik/Metric)
Die auf die Transformationsketten durch w''
erweiterte Längendefinition erlaubt eine Metrik für
die Vereinigungsmenge {X
z
}
e
U {X
z
}
e'
der
zusammenhängenden Transformationen zweier
Eigenschaften, für die ein Kontakt bei w'' existiert.
The definition of length extended for chains of
transformations through w'' provides a metric for the
union {X
z
}
e
U {X
z
}
e'
of the coherent transformations of
two elements of quality, having a contact at w''.
(s. D7 Länge/Length)
Metrik
=!=
Metric
=!=
1. d(w,w') = 0
w = w'
2. d(w,w') = d(w',w)
3. d(w,w') <= d(w,w
any
) + d(w
any
,w')
X = {X
z
}
e
U {X
z
}
e'
K(e|w'') = e'|w''
ad 1:
d(w,w') =/D7(1)/=> d(w,w) = 0
e, e', w, w' W
{e,e'}
ad 2:
X
i
(e|w) = e|w' =/A.2/=> d(w,w') = d(w',w)
X
i
(e'|w''') = e|w''''=/A.2/=> d(w''',w'''') = d(w'''',w''')
X(e|w) =/D8.6/= e'|w' =/D8.7/=> d(w,w') = d(w,w'') + d(w'', w') =/A.2/= d(w'',w) + d(w',w'')
X(e'|w') =/D8.6/= e|w =/D8.7/=> d(w',w) = d(w'',w) + d(w',w'')=/A.2/= d(w'',w) + d(w',w'') = d(w,w')
ad 3:
X
i
(e|w) = e|w' =/A.2/=> d(w,w') < d(w',w
any
) + d(w
any
,w')
X
i
(e'|w''') = e|w''''=/A.2/=> d(w''',w'''') < d(w'''', w
any
) + d(w
any
,w''')
X(e|w) =/D8.6/= e'|w' w
any
W
e
=/D8.6/=> d(w,w') = d(w,w'') + d(w'', w') =/A.3/=> d(w,w') <= d(w,w
any
) +
d(w
any
,w'') + d(w'',w')
X(e|w) =/D8.6/= e'|w' w
any
W
e'
=/D8.6/=> d(w,w') = d(w,w'') + d(w'', w') =/A.3/=> d(w,w') <= d(w,w'') +
d(w'',w
any
) + d(w
any
,w')
Dies trifft insbesondere für die Potenzial P
{e,e'}
der
beiden Eigenschaften zu.
This is particularly true in the case of the potential
P
{e,e'}
of the both elements of quality.
D8.11 (Zweiseitigkeit/Bilaterality)
Ist der Kontakt auch in die gegensätzliche Richtung
wirksam, so heißt er zweiseitig.
If the contact also works in the opposite direction, it
is called bilateral.
Zweiseitigkeit
=!=
Bilaterality
=!=
X(e'|w') = e'|w'', X(e|w'') = e|w
K(e'|w'') = e|w'' ==> X(e'|w') = e|w
v
K(e|w'') = e'|w'' K(e'|w'') = e|w'' w'' K
e,e'
62
Grundlegende Begriffe
Bei zweiseitige Kontakte müssen die Inversen zu
den beteiligten Transformationen existieren.
Bilateral contacts demand the inverses of the
participating transformations.
K
Der Kontakt ist selbst keine Wertveränderung, er ist
nur imstande, die Wertveränderung, die bei der
ersten Eigenschaft e den Endzustand w erreicht, auf
die zweite Eigenschaft e' zu weiterzuleiten, sodass
dort w der Anfangszustand der nächsten
Transformation, diesmal aber von e', werden kann.
The contact is not a transformation itself, it only is
able to forward the transformation, leading to the
final value w of the first element of quality e, to the
second element of quality, so that w can become the
initial value of the following transformation, this time
of e'.
D8.12 (Kopplung/Coupling)
Sind die an einem Kontakt beteiligten Elementar-
Transformation wiederholbar, so heißen das Paar
Kopplung von e mit e' bei w'', die Eigenschaften
gekoppelt bei w''.
If the elementary transformations, participating in a
contact, are repeatable, this pair is called coupling of
e with e' at w'', the elements of quality coupled at w''.
Kopplung
=!=
Coupling
=!=
X
w''
(e|w) =!=X(e|w) = e'|w'
X(e|w) = e|w'', X(e'|w'') = e'|w', d(w,w'') = d(w',w'') = 1, V0, K(e|w'')
= e'|w''
D8.13 (Zweiseitige Kopplung/ Bilateral Coupling)
Eine Kopplung ist zweiseitig, wenn der Kontakt
zweiseitig ist und die Inversen existieren. Dann sind
letztere auch wiederholbar.
The coupling is bilateral, if the contact is bilateral
and the inverses exist. Then the latter are also
repeatable.
(s. F0 Wiederholbarkeit der Inversen/Repeatability of the inverse)
Zweiseitige Kopplung
=!=
Bilateral Coupling
=!=
X(e|w) = e'|w', X(e|w) = e|w'', X(e'|w'') = e'|w', d(w,w'') = d(w',w'') = 1, V0, K(e|w'') = e'|w''
X(e'|w') = e|w
X(e'|w') = e'|w'', X(e|w'') = e|w, V0, K(e'|w'') = e|w''
Da die zweite Kopplung die erste aufheben kann, ist
sie die Inverse der ersten.
Because the second coupling can reverse the first, it
is the inverse of the first.
X
-1
(e'|w') =!= X(e'|w') = e|w
D8.14 (Einseitige Schnittstelle/Unilateral Interface)
Die Menge von Kontakten zwischen e und e' heißt
einseitige Schnittstelle zwischen e und e', die Menge
zweiseitiger Kontakten heißt Schnittstelle zwischen
e und e'
The set of contacts between e and e' is called
unilateral interface between e and e', the set of
bilateral contacts is called interface between e and
e'.
Einseitige Schnittstelle
=!=
Unilateral Interface
=!=
e->e'
= { K |
K(e|w) = e'|w w K
e,e'
}
e'->e
= { K |
K(e'|w) = e|w w K
e,e'
}
D8.15 (Schnittstelle/Interface)
Schnittstelle
=!=
Interface
=!=
{e',e}
= { K |
K(e|w) = e'|w K(e'|w) = e|w w K
e,e'
} =
e->e'
U
e'->e
63
Grundlegende Begriffe
K
Von Bedeutung ist, dass Kontakt und Schnittstelle
unabhängig von den (Gruppen-)Potenzialen der
beiden Eigenschaften sind.
It is important to note, that contact and interface are
independent of the (group) potentials of both
elements of quality.
F3 (Zusammenhang bei zweiseitig gekoppelten Eigenschaften/Coherence of bilateral coupled
elements of quality)
Sind die Transformationen zweiseitig gekoppelter
Eigenschaften zusammenhängend, so existieren
Transformationsketten zwischen allen Werten der
vereinigten Wertemengen: Die Menge der
gemeinsamen Transformationen wird deshalb
ebenfalls als zusammenhängend bezeichnet.
Bilateral coupled elements of quality with coherent
transformations have chains of transformations for
every value of the united value areas: Therefore the
union of the transformations is also called coherent.
(s. B14, B11 Potenzial/Potential, Zweiseitiger Kontakt/Bilateral Contact)
P
{e',e''}
=/B14.5/= U
e
{e,e'}
{ P
e
} = { X | e
{e',e''}, X(e|w) = e|w', X(e|w') = e|w w<>w` W
e
X(e|w) = e|w'
X(e|w) = e|w''' => w'=w'''}
/D8.11/:
K(e|w'') = e'|w'' K(e'|w'') = e|w'' w'` W
e
w'` W
e'
?
X(e|w) = e'|w' w W
e
<> w`
W
e'
X(e'|w') = e|w w' W
e'
<> w
W
e
ad X(e|w) = e'|w':
X
P
{e',e''}
==>
X(e|w)= e|w
any
w <> w
any
W
e
w'' = w
any
=/D2.1/=>
X
j
(e|w) = e|w''
X
P
{e',e''}
==>
X(e'|w
any
)= e|w'
w' <> w
any
W
e'
w'' = w
any
=/D2.1/=
X
j'
(e'|w'') = e'|w''
/D8.6/=> X(e|w) = X
i'
(X
i
(e|w))
=/K(e|w'') = e'|w''/=
X
i'
(X
i
(e|w) = e'|w'' ) = X
i'
(e'|w'')= e|w
ad X(e'|w') = e|w
(vice versa)
B16 Strukturierung von Eigenschaften/Structuring of elements of quality
B16.1 (Vernetzung/Interconnection)
Existieren für eine Eigenschaftsmenge E mit
zusammenhängenden, wiederholbaren
Transformationen aller Eigenschaften zweiseitig
gekoppelte Eigenschaften derart, dass
Transformationsketten zwischen allen Werte des
gemeinsamen Wertebereichs vorliegen, so heißt die
Eigenschaftsmenge vernetzt.
An EQ set E with coherent, repeatable
transformations of all elements is called
interconnected if there exists coupled elements of
quality in such a way, that chains of transformations
exist between all values of the combined value area.
(s. B14.1, B14.2 Eigenschaftsmenge/EQ Set, Wertebereich/Value Area)
Vernetzung =!=
Interconnection =!=
X(e|w) = e'|w`, X(e'|w') = e|w e, e' E, w,w` W
E
64
Grundlegende Begriffe
B16.2 (Netz)
Eine vernetzte Eigenschaftsmenge wird Netz
genannt.
A cohesive EQ set is called net
.
Netz =!=
Net =!=
=!= E X(e|w) = e'|w`, X(e'|w') = e|w e, e' E, w,w` W
E
B16.3 (Information des Netzes/Information of the Net)
Bei Vorliegen aller Inversen ist die Information für
alle Eigenschaften eines Netzes
gegeben. Die
Information des Netzes ist dann die Vereinigung der
Informationen der einzelnen Eigenschaften
If every inverse exist, the information is given for
every element of quality. In that case the information
of the net
is the union of the informations of the
different elements of quality.
(s. B2 Information)
Information
=!=
Information
=!=
=!= U
e
{ I
e
} =!= { X | X(e|w) = e|w', X(e|w') = e|w
e , w<>w` W
e
V0: X(e|w) = e|w' X(e|w) = e|
w'' => w'=w''
} U { X
1
| X
1
(e|w) = e|w
e , w W
e
}
=/B13.4/= U
e
P
e
U { X
1
} =/B0.8/= P
U { X
1
| X
1
(e|w)
= e|w
e , w W
e
}
K
Die Notation "
e , w<>w` W
e
" stellt klar, dass
Zuordnungen und Transformationen
eigenschaftsbezogen sind und bleiben und dass
nicht jede Eigenschaft jeden Wert des gesamten
Wertebereiches W
E
einnehmen kann.
The Notation "
e , w<>w` W
e
" makes clear,
that allocations and transformations still are related
to an element of quality and that not every element
of quality can accept every value of the cumulative
value area W
E
.
B16.4
Die Information des Netzes ist mathematisch eine
Gruppe mit der Verknüpfung
"Transformationsverknüpfung" nach D2, D8.6.
The information of the net is mathematically seen a
group with the operation "linkage of transformations"
according to D2, D8.6.
ad 1: neutrales Element/neutral Element
=/B16.2/=> { X
1
| X
1
(e|w)
= e|w
e , w W
e
}
ad 2: Inverse
?
X
-1
(e'|w') = e|w
X(e|w) = e'|w'
n=1:
X(e|w) = e
1
|w' =/D8.6/=> X(e
1
|w'')K
w''
X(e|w) = e
1
|w'
=/B16.2/=>
X
-1
(e
1
|w') = e
1
|w'', X
-1
(e|w) = e|w''
e, e
1
, w W
e
, w'
W
e
1
, w''
K
e,e'
=/B16.1, D8.11/=>
K(e|w'') = e
1
|w''
K(e
1
|w'') = e|w''
w'' K
e,e'
==>
X
-1
(e|w'')K
w''
X
-1
(e
1
|w'') = e|w
n=n+1:
X
-1
(e
n
|w'') = e|w
X(e|w) = e
n
|w''
X(e|w) = e
n+1
|w' =/D8.6/=> X(e
n+1
|w'')K
w''
X(e|w) = e
n+1
|w'
=/B16.2/=>
X
-1
(e
n+1
|w') = e
n+1
|w'', X
-1
(e
n
|w'') =/
/= e|w e, e
n
, e
n+1
, w W
{e, ...e
n
}
, w'
W
e
n+1
, w''
K
e, e
n+1
=/B16.1, D8.11/=>
K(e
n
|w'') = e
n+1
|w''
K(e
n+1
|w'') = e
n
|w''
w'' K
e
n
,e
n+1
65
Grundlegende Begriffe
==>
X
-1
(e
n+1
|w')K
w''
X
-1
(e
n
|w'') = e|w
ad 2: Assoziativität/Associativity
X
I
= X(e|w) = e
1
|w
1
, X
II
= X(e
1
|w
1
) = e
2
|w
2
, X
III
= X(e
2
|w
2
) = e
3
|w
3
1) X
III
X
II
X
I
= X
III
X
II
X(e|w) =/
/= X
III
X(e
1
|w
1
) =/
/= X(e
2
|w
2
) = e
3
|w
3
2) X
III
(X
II
X
I
)
X
II
X
I
=/
/= X
II
X(e|w) =/
/= X(e
1
|w
1
) = e
2
|w
2
X
III
=/
/= X(e
2
|w
2
) = e
3
|w
3
3) (X
III
X
II
)X
I
X
III
X
II
=/
/= X
III
X(e
1
|w
1
) = X(e
2
|w
2
) = e
3
|w
3
X
I
=/
/= X(e|w) = e
1
|w
1
==> (X
III
X
II
)X
I
= e
3
|w
3
K
Die Assoziativität der wiederholbaren
Transformationen bedeutet, dass es für eine
Verlinkung von wiederholbaren Transformationen
über Kontakte nicht von Bedeutung ist, von welcher
Zuordnung in der Kette aus die weitere
Transformation verfolgt wird.
Wie bei den Transformationen über eine einzige
Eigenschaft wird die Assoziativität nur über die
Wiederholbarkeit gesichert, die es verhindert, dass
bei verschiedenen Anläufen ausgehend von
derselben Anfangszuordnung unterschiedliche
Ergebnisse herauskommen..
The associativity of repeatable transformations
means, that it is of no importance for a linkage of
repeatable transformations via contacts, which
allocation of the chain is used as initial allocation for
the further transformation.
As with the transformations of a single element of
quality the associativity is only ensured by the
repeatability preventing that different attempts
starting from the same initial allocation result in
different final allocations.
(s. A0 Assoziativität der Transformationsverknüpfung bei Wiederholbarkeit/Associativity of linkages of transformations in case of
repeatibility)
B17 Folgenschreibweise für Transformationsketten/Sequence notation of chains of transformations
Da häufig die einzelnen Schritte von
Transformationsketten von Bedeutung sind, wird die
Folgenschreibweise eingeführt.
Often the single steps of transformation chains are
interesting, therefore the sequence notation of
chains is introduced.
B17.1
Um die Folgenschreibweise lesbarer zu gestalten,
soll folgende Schreibweise für Transformationen
und Translationen gelten:
To make the sequence notation more readable, the
following notation for transformation and translations
is used:
(s. D1.1 Translation)
X(e|w) = e|w
1
, X
2
=!= X(e|w
1
) = e|w
2
, X
3
=!= X(e|w
2
) = e|w
3
. X
i
=!= X(e|w
i-1
) = e|w
i
X'(e'|w') = e'|w'
1
, X'
2
=!= X(e'|w'
1
) = e'|w'
2
, X'
3
=!= X(e'|w'
2
) = e'|w'
3
, X'
i'
=!= X(e'|w'
i'-1
) = e'|w'
i'
x(w) = w
1
, x
2
=!= x(w
1
) = w
2
, x
3
=!= x(w
2
) = w
3
. x
i
=!= x(w
i-1
) = w
i
x'(w') = w'
1
, x'
2
=!= x(w'
1
) = w'
2
, x'
3
=!= x(w'
2
) = w'
3
, x'
i'
=!= x(w'
i'-1
) = w'
i'
B17.2 (Summe einer Folge/Sum of a sequence)
Als Summe von Teilfolgen wird die
zusammengesetzte Folge bezeichnet.
The composite of subsequences is called sum.
66
Grundlegende Begriffe
Summe einer Folge =!=
Sum of a sequence =!=
p
1
= (a
1
, a
2
, a
3
,..., a
n
), p
2
= (b
1
, b
2
, b
3
,..., b
n'
), p
3
= (c
1
, c
2
, c
3
,..., c
n''
), ..., p
o
= (g
1
, g
2
, g
3
,..., g
n*
)
p
1
p
2
=!= (a
1
, a
2
, a
3
,..., a
n
, b
1
, b
2
, b
3
,..., b
n'
)
p
=!=
1<=l<=o
p
l
=!=
(p
1
,p
2
,...p
o
)
=!=
(a
1
, a
2
, a
3
,..., a
n
, b
1
, b
2
, b
3
,..., b
n'
, c
1
, c
2
, c
3
,..., c
n''
,..., g
1
, g
2
, g
3
,..., g
n*
)
p = (p
1
, p
2
, p
3
,..., p
o
)
l
(lx)
p
l
=!=
l
(l1,l2, ...ll')
p
l
=!= p
l1
p
l2
...
p
ll'
K
Wird für die Indexfolge (lx) beispielsweise die Folge
(2, o) gewählt, so ergibt sich mit den obigen Folgen
als Summe
l
(2,o)
p
l
= (
b
1
, b
2
, b
3
,..., b
n'
, g
1
, g
2
, g
3
,..., g
n*
)
F.e., if the index sequence (lx) is set to the
sequence (2, o), using the sequences above the
sum
l
(2,o)
p
l
= (
b
1
, b
2
, b
3
,..., b
n'
, g
1
, g
2
, g
3
,..., g
n*
)
Wichtig: Diese Summe ist nicht kommutativ, die
Reihenfolge der Teilfolgen kann deshalb nicht
geändert werden, ohne die Reihenfolge in der
zusammengesetzten Folge zu beeinflussen.
Important: This sum is not commutative, so that the
order of the subsequences can not be changed
without also changing the order in the composed
sequence.
Diese Summe ist zwar nicht kommutativ, aber
assoziativ.
This sum may not be commutative, but it is
associative.
p
1
= (a
1
, a
2
, a
3
,..., a
n
), p
2
= (b
1
, b
2
, b
3
,..., b
n'
), p
3
= (c
1
, c
2
, c
3
,..., c
n''
)
1) p
1
p
2
p
3
=
(p1,p2,p3)
= (a
1
, a
2
, a
3
,..., a
n
, b
1
, b
2
, b
3
,..., b
n'
, c
1
, c
2
, c
3
,..., c
n''
)
2) (p
1
p
2
)
p
3
= (a
1
, a
2
, a
3
,..., a
n
, b
1
, b
2
, b
3
,..., b'
n
)
(c
1
, c
2
, c
3
,..., c
n''
)
= (a
1
, a
2
, a
3
,..., a
n
, b
1
, b
2
, b
3
,..., b
n'
, c
1
, c
2
, c
3
,..., c
n''
)
3) p
1
(p
2
p
3
) = (a
1
, a
2
, a
3
,..., a
n
)
(b
1
, b
2
, b
3
,..., b
n'
, c
1
, c
2
, c
3
,..., c
n''
)
= (a
1
, a
2
, a
3
,..., a
n
, b
1
, b
2
, b
3
,..., b
n'
, c
1
, c
2
, c
3
,..., c
n''
)
Summenfolge von p1, p2, p3 =!=
Sum sequence of p1, p2, p3=!=
p
p = p
1
p
2
p
3
Summanden von p =!=
Summands of p=!=
p
1
, p
2
, p
3
p = p
1
p
2
p
3
B17.3 (Länge einer Folge/Length of a sequence)
Als Länge einer Folge wird die Anzahl der
Folgenglieder bezeichnet.
The number of members of a sequence is called
length of the sequence.
Länge einer Folge =!=
Length of a sequence =!=
|p| = n
p = (a
1
, a
2
, a
3
,..., a
n
),
67
Grundlegende Begriffe
B17.4 (Transformationsfolge/Transformation sequence)
Eine Transformationskette, die als mathematische
Folge dargestellt wird, heißt Transformationsfolge.
A chain of transformations represented as
mathematical sequence is called transformation
sequence.
(s. B0.6, D2, D8.6 Folge, Transformationskette, durch w''/Sequence, Chain of transformations, through w'')
Transformationsfolge =!=
Transformations sequence =!=
1)
X
(e|w) =/D2/= e|w
i
X
e
(i) =!= (X, X
2
, X
3
,..., X
i
)
2)
X(e'|w'')K
w''
X(e|w)
=/D8.6/= e'|w
i+j
= X
i+i'
(e|w), K(e|w'') =/D8.3/= e'|w''
X
(e,e')
(i+j) =!= (X, X
2
, X
3
,..., X
i
, X', X'
2
, X'
3
,..., X'
j
) = (X, X
2
, X
3
,..., X
i
)
(X', X'
2
, X'
3
,..., X'
j
) = X
e
(i)
X
e'
(j)
=!= (X, X
2
, X
3
,..., X
i
, X
i+1
, X
i+2
, X
i+3
,..., X
i+j
) = (X, X
2
, X
3
,..., X
i
)
(X
i+1
, X
i+2
, X
i+3
,..., X
i+j
)
w'' = w
i
3)
X(e''|w''')K
w'''
...X(e'|w'')K
w''
X(e|w)
=/D8.6/= e''|w
i+i'+...+i''
= X
i+i'+...+i''
(e|w),
K(e
x
|w
z
) =/D8.3/= e
y
|w
z
e
x
, e
y
(e,e',...e'')
X
(e,e',..., e'')
(i+i'+...+i'') =!= (X, X
2
, X
3
,..., X
i
, X', X'
2
, X'
3
,..., X'
i'
,..., X'', X''
2
, X''
3
,..., X''
i''
)
= (X, X
2
, X
3
,..., X
i
)
(X', X'
2
, X'
3
,..., X'
i'
)
(X'', X''
2
, X''
3
,..., X''
i''
)
= X
e
(i)
X
e'
(i')
...
X
e''
(i'')
=!= (X, X
2
, X
3
,..., X
i'
, X
i'+1
, X
i'+2
, X
i'+3
,..., X
i+i'
,..., X
i+i'+...+1
, X
i+i'+...++2
, X
i+i'+...+3
,..., X
i+i'+...+i''
)
= (X, X
2
, X
3
,..., X
i
)
(X
i+1
, X
i+2
, X
i+3
,..., X
i+i'
)
... (
X
i+i'+...+1
, X
i+i'+...++2
, X
i+i'+...+3
,..., X
i+i'+...+i''
)
=!=
l
(e,e',...e'')
X
l
(i
l
)
w'' = w
i
, ..., w''' = w
i+i'+...
i
l=e
= i, i
l=e'
= i',..., i
l=e''
= i'',
Hier ist zu beachten, dass kein Kontakt von e
x
und
e
y
bei w
z
in der Transformationsfolge einen
besonderen Niederschlag findet.
Der Kontakt muss zwar existieren, um die
Fortsetzung der Transformationskette zu
ermöglichen, wird dabei aber nicht wirklich
offenkundig in der Folge.
Please note, that no contact of e
x
and e
y
at w
z
does
manifest itself in the transformation sequence.
Despite the fact, that the contact has to exist to
allow the continuation of the transformation chain it
is not really obvious in the sequence.
(s. D8.3 Kontakt/Contact)
K
Hier wird die Nicht-Kommutativität der
Folgensumme bedeutsam, denn auch
Transformationsketten sind nicht kommutativ.
Hier the Non-Commutativity of the sum of
sequences becomes important, because chain of
transformations also are not commutative.
B17.5 (Realisierungsfolge/Realization sequence)
Die Folge der End-Zuordnungen einer durch eine
Transformationsfolge repräsentierten
Transformationskette wird Realisierungsfolge zur
Anfangszuordnung der Transformationskette e|w
genannt.
The sequence of the final allocations of a chain of
transformations represented by a transformation
sequence is called realization sequence to the initial
allocation of the transformation chain e|w.
68
Grundlegende Begriffe
Realisierungsfolge zu e|w =!=
Realization sequence to e|w =!=
1)
X
e
(i) = (X, X
2
, X
3
,..., X
i
)
R
e
(i:e|w) =!= (e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
,..., e|w
i
)
2)
X
(e,e')
(i+j) = (X, X
2
, X
3
,.. X
i
)
(X
i+1
, X
i+2
, X
i+3
,.. X
i+j
)
w'' = w
i
R
(e,e')
(i+j:e|w) =!= (e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
,..., e|w
i
, e'|w'
1
, e'|w'
2
, e'|w'
3
,..., e'|w'
j
)
= (e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
,..., e|w
i
)
(e'|w'
1
, e'|w'
2
, e'|w'
3
,..., e'|w'
j
)
=!= (e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
,..., e|w
i
, e'|w
i+1
, e'|w
i+2
, e'|w
i+3
,..., e'|w
i+j
)
= (e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
,..., e|w
i
)
(e'|w
i+1
, e'|w
i+2
, e'|w
i+3
,..., e'|w
i+j
)
= R
e
(i:e|w)
R
e'
(j:e'|w
i
)
w'
1
= w
i+1
, w'
2
= w
i+2
,..., w'
j
= w
i+j
3)
l
(e,e',...e'')
X
l
(i
l
)
w'' = w
i
, ..., w''' = w
i+i'+...
R
(e,e', ...,e'')
( i+i'+...+i'':e|w)
=!= (e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
,..., e|w
i
, e'|w'
1
, e'|w'
2
, e'|w'
3
, .., e'|w'
i'
, e''|w''
1
, e''|w''
2
, e'|w''
3
, .., e''|w''
i''
)
= (e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
,..., e|w
i
)
(e'|w'
1
, e'|w'
2
, e'|w'
3
,..., e'|w'
i'
) )
(e''|w''
1
, e''|w''
2
, e''|w''
3
,..., e''|w''
i''
)
= R
e
(i:e|w)
R
e'
(i':e'|w
i
)
...
R
e''
(i'':e'|w
i+i'+...
)
=!= (e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
,..., e|w
i
, e'|w
i
, e'|w
i+1
, e'|w
i+2
, e'|w
i+3
,..., e'|w
i+i'
,
e''|w
i+i'+...+1
, e''|w
i+i'+...+2
, e''|w
i+i'+...+3
,..., e''|w
i+i'+...i+i'
)
=!=
l
(e,e',...e'')
R
l
(i
l
:l|w
l
)
w'
1
= w
i+1
, w'
2
= w
i+2
,..., w'
i'
= w
i+i'
, w''
1
= w
i+i'+...+1
, w''
2
= w
i+i'+...+2
,..., w''
i''
= w
i+i'+...+i''
w
l=e
= w, w'' = w
i
= w
l=e'
,..., w''' = w
i+i'+...
= w
l=e''
i
l=e
= i, i
l=e'
= i',..., i
l=e''
= i'',
K
Die Namensgebung R
e
erfolgte, da die Zuordnungen
in der Folge Elemente des Realisierungsbereichs
sind.
The naming R
e
depends on the fact, that the
allocations of the sequence are elements of the
realization area.
(s. B13.2,
B14.3 Realisierungsbereich/Realization Area)
B17.6 (Schrittfolge/Step sequence)
Die Folge der Translationen einer durch eine
Transformationsfolge repräsentierten
Transformationskette wird Schrittfolge der
Transformationskette genannt.
The sequence of the translations of a chain of
transformations represented by a transformation
sequence is called step sequence.
(s. D1.1 Translation)
Schrittfolge =!=
Step sequence =!=
1)
X
e
(i) = (X, X
2
, X
3
,..., X
i
)
S
e
(i) = (x, x
2
, x
3
,..., x
i
)
2)
X
(e,e')
(i+j) = (X, X
2
, X
3
,.. X
i
)
(X
i+1
, X
i+2
, X
i+3
,.. X
i+j
)
w'' = w
i
S
(e,e')
(i+j) =!= (x, x
2
, x
3
,..., x
i
, x', x'
2
, x'
3
,..., x'
j
) = (x, x
2
, x
3
,..., x
i
)
(x', x'
2
, x'
3
,..., x'
j
) = S
e
(i)
S
e'
(j)
=!= (x, x
2
, x
3
,..., x
i
, x
i+1
, x
i+2
, x
i+3
,..., x
i+j
) = (x, x
2
, x
3
,..., x
i
)
(x
i+1
, x
i+2
, x
i+3
,..., x
i+j
)
69
Grundlegende Begriffe
3)
l
(e,e',...e'')
X
l
(i
l
)
w'' = w
i
, ..., w''' = w
i+i'+...
i
l=e
= i, i
l=e'
= i',..., i
l=e''
= i'',
S
(e,e',..., e'')
(i+i'+...+i'') =!= (x, x
2
, x
3
,..., x
i
, x', x'
2
, x'
3
,..., x'
i'
,..., x'', x''
2
, x''
3
,..., x''
i''
)
= (x, x
2
, x
3
,..., x
i
)
(x', x'
2
, x'
3
,..., x'
i'
)
(x'', x''
2
, x''
3
,..., x''
i''
)
= S
e
(i)
S
e'
(i')
...
S
e''
(i'')
=!= (x, x
2
, x
3
,..., x
i'
, x
i'+1
, x
i'+2
, x
i'+3
,..., x
i+i'
,..., x
i+i'+...+1
, x
i+i'+...++2
, x
i+i'+...+3
,..., x
i+i'+...+i''
)
= (x, x
2
, x
3
,..., x
i
)
(x
i+1
, x
i+2
, x
i+3
,..., x
i+i'
)
... (
x
i+i'+...+1
, x
i+i'+...++2
, x
i+i'+...+3
,..., x
i+i'+...+i''
)
=!=
l
(e,e',...e'')
S
l
(i
l
)
K
Die Namensgebung S
e
erfolgte, da die
Translationen in der Folge Elemente des Skripts
sind.
The naming S
e
depends on the fact, that the
translations of the sequence are elements of the
script.
(s. B13.5,
B14.6 Skript/Script)
B17.7 (Wertfolge/Value sequence)
Die Folge der Werte der Realisierungsfolge zu e|w
wird Wertfolge zum w genannt.
The sequence of the values of the realization
sequence to e|w is called value sequence to w.
(s. B17.5 Realisierungsfolge/Realization sequence)
Wertfolge zu w =!=
Value sequence to w =!=
1)
R
e
(i:e|w) =!= (e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
,..., e|w
i
)
W
e
(i:w) =!= (w
1
, w
2
, w
3
,..., w
i
)
2)
R
(e,e')
(i+j:e|w) = (e|w
1
, e|w
2
, e|w
3
,..., e|w
i
)
(e'|w
i+1
, e'|w
i+2
, e'|w
i+3
,..., e'|w
i+j
)
w'' = w
i
W
(e,e')
(i+j:w) =!= (w
1
, w
2
, w
3
,..., w
i
, w'
1
, w'
2
, w'
3
,..., w'
j
)
= (w
1
, w
2
, w
3
,..., w
i
)
(w'
1
, w'
2
, w'
3
,..., w'
j
)
=!= (w
1
, w
2
, w
3
,..., w
i
, w
i+1
, w
i+2
, w
i+3
,..., w
i+j
)
= (w
1
, w
2
, w
3
,..., w
i
)
(w
i+1
, w
i+2
, w
i+3
,..., w
i+j
)
= W
e
(i:w)
W
e'
(j:w
i
)
w'
1
= w
i+1
, w'
2
= w
i+2
,..., w'
j
= w
i+j
3)
l
(e,e',...e'')
R
l
(i
l
:l|w
l
)
w'' = w
i
, ..., w''' = w
i+i'+...
W
(e,e', ...,e'')
( i+i'+...+i'':w)
=!= (w
1
, w
2
, w
3
,..., w
i
, w'
1
, w'
2
, w'
3
, .., w'
i'
, w''
1
, w''
2
, w''
3
, .., w''
i''
)
= (w
1
, w
2
, w
3
,..., w
i
)
(w'
1
, w'
2
, w'
3
,..., w'
i'
) )
(w''
1
, w''
2
, w''
3
,..., w''
i''
)
= W
e
(i:w)
W
e'
(i':w
i
)
...
W
e''
(i'':w
i+i'+...
)
=!= (w
1
, w
2
, w
3
,..., w
i
, w
i
, w
i+1
, w
i+2
, w
i+3
,..., w
i+i'
,
w
i+i'+...+1
, w
i+i'+...+2
, w
i+i'+...+3
,..., w
i+i'+...i+i'
)
=!=
l
(e,e',...e'')
R
l
(i
l
:l|w
l
)
w'
1
= w
i+1
, w'
2
= w
i+2
,..., w'
i'
= w
i+i'
, w''
1
= w
i+i'+...+1
, w''
2
= w
i+i'+...+2
,..., w''
i''
= w
i+i'+...+i''
w
l=e
= w, w'' = w
i
= w
l=e'
,..., w''' = w
i+i'+...
= w
l=e''
i
l=e
= i, i
l=e'
= i',..., i
l=e''
= i'',
70
Grundlegende Begriffe
D9 Querverbindungen/Cross Connections
Querverbindungen zwischen Mengen werden über
das kartesische Produkt der Mengen abgebildet,
zwischen Folgen analog.
Cross connections between sets are depicted by the
cartesian product of the sets, between sequences
alike.
(s. B0.13 Kartesisches Produkt/Cartesian Product)
D9.1 (Fröhlich-Fläche/Fröhlich-Area)
Die Querverbindung zwischen zwei
Transformationsmengen A und B wird Fröhlich-
Fläche AB genannt.
The cross connection between two transformation
sets A and B is called Fröhlich Area AB.
Fröhlich-Fläche =!=
Fröhlich Area =!=
AB =!= { (X,X') |
X A, X' e B }
A = {X}, B = {X'}
Die Mengen A und B müssen nicht ungleich sein.
The sets A and B does not have to be distinct.
K
Die Transformationsmengen, für die eine Fröhlich-
Fläche Sinn macht, sind nur solche mit
wiederholbaren Transformationen wie die Potenziale
oder die Informationen.
For a Fröhlich area the transformations of the sets
should be repeatable like potentials or informations
to make sense.
D9.2 (Fröhlich-Band, Synchronisation/Fröhlich-Belt, Synchronization)
Die Querverbindung zwischen zwei
Transformationsfolgen p
1
und p
2
wird Fröhlich-Band
p
1
p
2
genannt.
Die Länge des Bandes richtet sich dabei nach der
kürzeren Ausgangsfolge.
The cross connection between two transformation
sequences p
1
und p
2
is called Fröhlich Belt p
1
p
2
.
The length of the belt is determined by the length of
the shorter sequence.
(s. B17.3 Länge einer Folge/Length of a sequence))
Fröhlich-Band =!=
Fröhlich Belt =!=
p
1
p
2
=!= ( (X,X'), (X
2
, X'
2
), (X
3
,X'
3
), ... (X
i
,X'
i
))
i <= j
p
1
p
2
=!= ( (X,X'), (X
2
, X'
2
), (X
3
,X'
3
), ... (X
j
,X'
j
))
j< i
p
1
= (X, X
2
, X
3
,..., X
i
) , p
2
= (X', X'
2
, X'
3
,..., X'
i
)
Die beiden Folgen in p
1
p
2
heißen synchronisiert.
The sequences in p
1
p
2
are called synchronized.
K
Selbstverständlich ist die Definition auch gültig für
Teilfolgen.
Of course, the definition is also valid for
subsequences.
D9.3 (Fröhlich-Ebene/Fröhlich Plane)
Die Querverbindung zwischen zwei
Eigenschaftsmengen E und E' wird Fröhlich-Ebene
EE' genannt.
The cross connection between two EQ sets E and E'
is called Fröhlich Plane EE'.
71
Grundlegende Begriffe
Fröhlich-Ebene =!=
Fröhlich Plane =!=
EE' =!= { (e,e'') |
e E, e' E' }
E = {e}, E' = {e'}
==================================================================================
=====
Verwendung/Usage
Wie bereits erwähnt, bietet die Wiederholbarkeit mit
ihrem deterministischen Ablauf Vorhersehbarkeit in
einer veränderlichen Welt.
As previously mentioned the repeatability along with
its deterministic process offers predictability in a
volatile world.
Vorhersehbarkeit ist die grundlegendste aller
Voraussetzungen für Entscheidbarkeit und das ist
die grundlegendste Voraussetzung für
Informationsverarbeitungen - wie Leben.
Predictability is the most basic precondition for
decidability and that is the most basic precondition
for information processing systems - like life.
Deshalb wird nun das Augenmerk von der
Information weg hin zur Informationsverarbeitung
gerichtet werden.
Und hier ist die allererste Frage die nach der
Gewinnung der Information, wie Wissen über die
Struktur und das Verhalten der Umgebung
aufgebaut und an die ständige Fortentwicklung
angepasst wird.
Therefore the focus is switched away from
information and placed onto information processing.
And here the first question ever is how to determine
information, how to construct knowledge about the
structure and behavior of the surrounding and how
to adjust it to the permanent advancement.
V0 (7-Schritt-Evaluierung/7 Step Evaluation)
V0.1 (Kategorisierung, Realität, Universalzuordnung, Zufall
Categorization, Reality, Universal Allocation, Randomness)
Kategorisierung ist die Erst-Gewinnung von
Information aus den chaotischen Eingangssignalen
einer Informationsverarbeitung aufgrund der
andauernden Veränderung der Umgebung.
Categorization is the first determination of
information from the chaotic input signals onto an
information processing system due to the perpetual
changes of the surrounding.
Das über physikalische Wechselwirkungen
verknüpfte Universum ist dabei für jede
Informationsverarbeitung die oberste Ebene einer
komplexen Hierarchie von Eigenschaften, deren
Verhalten zusammen die im Raumzeitpunkt der
Informationsverarbeitung chaotisch wirkenden
Eingangssignale produzieren und damit das
erzeugen, was Realität genannt wird. Jeder
beobachtete, sprich irgendwann gemessene Wert w
W ist oder war Wert dieses Universums, also ein
realer Wert. Deshalb wird diese generelle
Zuordnung Universalzuordnung genannt.
For each information processing system, the
universe linked by physical interactions is the
topmost level of a complex hierarchy of elements of
quality, whose behavior together produces the
chaotic looking input signals in the point of the
information processing system in spacetime called
Reality. Therefore, each observed, that is, at some
time, measured value w
W is or was a value of the
universe, thus a real value. This is why this general
allocation is called universal allocation
(s. D0 Wert/Value)
Realität =!=
Reality =!=
r =!=
r|w w W
Universalzuordnung =!=
Universal Allocation =!=
r|w
72
Grundlegende Begriffe
w W
Zufall werden solche Wertveränderungen genannt,
für die nur die Universalzuordnung feststellbar ist.
Changes of values with only the universal allocation
to be determined are called random.
(s. D0, D1, D1.1 Wert/Value, Transformation, Translation)
Zufall =!=
Randomness =!=
w, w' W, x(w) = w', E = { e | X(e|w) = w' }
E =!= { r }
K
Für die Kategorisierung können keinerlei
Voraussetzungen verlangt werden.
Weder darf erwartet werden, dass überhaupt
Information oder wenigstens Wiederholbarkeit
vorliegt, noch kann davon ausgegangen werden,
dass nur eine einzige Eigenschaft existiert oder
dass nur eine einzige Instanz im Fall einer
Eigenschaftsgruppe vorkommt oder dass ein
Kontakt zwischen bestimmten Eigenschaften
erkennbar wird.
Deshalb ist nur die unvoreingenommene
Bestandsaufnahme der Vorgänge aussichtsreich,
um die Information als regelmäßiges und damit
prognostizierbares Verhalten zu ermitteln.
For the categorization no assumptions are allowed.
After all, neither information or at least repeatability
can be expected, nor can a single element of quality
be anticipated or a single instance in case of an EQ
group or that a contact between specific elements of
quality is observable.
Therefore, only the unprejudiced survey of the
events promises success in detecting information as
consistent and therefore predictable behavior.
(s. D0, B1, B2, B15.2, B15.3, D8.3 Eigenschaft/Element of quality, Wiederholbarkeit/Repeatability, Information, Eigenschaftsgruppe/EQ
group, Instanz/Instance, Kontakt/Contact)
73
Grundlegende Begriffe
V0.2 S1: Wertsegment, Schrittsegment, Fokus, Möglichkeitsmenge
Value segment, step segment, Focus, Set of Options
Da jede Informationsverarbeitung endlich ist
gegenüber einem gigantischen Universum, steht sie
einer faktisch unendlichen Anzahl von
(Teil-)Eigenschaften gegenüber, bei der ihr nur die
eigenen Ziele eine Auswahl auf eine machbare
Anzahl von Transformationen ermöglichen, die sie
aus dem Angebot an Eingangssignalen in einer
annehmbaren Zeit aufnehmen und verwerten kann.
Because every information processing system is
finite against a gigantic universe, it faces a factual
infinity of (partial) elements of quality. This factual
infinity can only be handled by the selection via its
own objectives, lowering the number of
transformations from the offered input to a workable
amount to be acceptet and utilized in a reasonable
time frame.
Da jedes Eingangssignal nur Wert nach D0 ist, heißt
Wertsegment die Beschränkung auf einen
wohldefinierten Satz von Werten, Schrittsegment
dagegen die Beschränkung auf eine wohldefinierte
Anzahl von Transformationen, erkennbar über ihre
Translationen nach D1.1. Wert- und Schrittsegment
zusammen werden als Focus (n,m) bezeichnet, die
Menge der Translationen, die den paarweisen
Kombinationen aller Werte des Wertesegments
entsprechen, wird Möglichkeitsmenge genannt.
Due to the fact, that every input signal is a value
according to D2, value segment means the limitation
of values and step segment the limitation of the
number of transformations observable by their
translations according to D1.1 to a well-defined
amount. Value segment and step segment together
are called focus (n,m), the set of translations related
to every pairwise combination of values of the value
segment is called set of options.
(s. D0, D1, D1.1 Wert/Value, Transformation, Translation)
Wertsegment =!=
Value segment =!=
W
n
=!= {w
i
| w
i
W, i = 1,...n }
Schrittsegment =!=
Step segment =!=
0 < k <= m
k, m |N
0
Fokus =!=
Focus =!=
F(n,m) =!= (W
n
, m)
Möglichkeitsmenge im Fokus =!=
Set of Options in focus =!=
W
n
=!= {w
i
| w
i
W, i = 1,...n }
M
n
=!= { x(w
i
) = w
i
' |
w
i
, w
i
'
W
n
}
Da die Möglichkeitsmenge auch die Nicht-
Veränderung, also die Paarung gleicher Elemente
enthält, ist die Mächtigkeit von M
n
n
2
.
The set of options includes the pairing of equal
elements, therefore the cardinality of M
n
is n
2
.
| M
n
| = n
2
K
Wert- und Schrittsegmente sind in der Praxis des
Alltagslernens räumlich und zeitlich realisiert. Das
Wertsegment entspricht dabei einem Raum-
Ausschnitt, den die Informationsverarbeitung
überblicken kann, das Schrittsegment einem
Zeitfenster der Beobachtung.
Im physikalischen Experiment dagegen lässt sich
das Wert- und Schrittsegment sehr viel präziser
festlegen.
In the field of daily life learning value segment and
step segment are spatially and temporally realized.
The value segment corresponds with a segment of
space, which can be surveyed by an information
processing system, the step segment relates to the
timeframe of theobservation.
However, in a physical experiment value segment
and step segment can be determined much more
precise.
74
Grundlegende Begriffe
V0.3 S2: Protokoll, Messung, Schritt, Ereignismenge/Protocol, Measurement, Step, Set of Events
Die Folge von Anfangs- und Endwerten der
aufgetretenen Wertveränderung des Wertsegments
für das vorgegebene Schrittsegment heißt Protokoll,
die zugehörige Folge der Wertveränderungen heißt
Messung, der übereinstimmende Index k der beiden
Folgen Schritt, die Richtung von k Zeitpfeil.
Da die Translationen nach D1.1 keinen Bezug zur
Eigenschaft der verursachenden Transformation
aufweisen, können sie auch ohne erkennbare
Eigenschaften zur Darstellung von
Wertveränderungen verwendet werden.
The sequence of inital and final values of the
occurring changes of values of the value segment
for the given step segment is called protocol, the
related sequence of changes of values is called
measurement, the consistent index k of both
sequences step, the direction of k arrow of time.
The translations according to D1.1 do not have a
direct reference to the element of quality of the
causing transformation, so they can be used to
describe any change of values.
(s. B0.6, D1.1 V0.1, B17.3 Folge/Sequence, Translation, Wertsegment/Value segment, Schrittsegment/Step segment, Länge einer
Folge/Length of a sequence)
Protokoll der Messung =!=
Protocol of the measurement =!=
p
i,k
=!= ( (w
i
,w
i
')
k
)
1 <=k<=m
=!= ( (w
i
,w
i
'
), (w
i'
,w
i'
'
),..., (w
i''
,w
i''
') )
| p
i,k
| = m
=!= ( (w
i
->w
i
')
k
)
1 <=k<=m
=!= ( w
i
->w
i
'
, w
i'
->w
i'
'
,..., w
i''
->w
i''
' )
| p
i,k
| = m
w
i
, w
i
'
, w
i'
, w
i'
'
, w
i''
, w
i''
'
W
n
, 0 < k <= m
Das Protokoll ist keine Wertfolge im Sinne von
B17.7, da diese eine bestimmte
Transformationskette, repräsentiert durch eine
Transformationsfolge, betrifft.
Im Fall einer Messung kann jedoch nicht von
vorneherein davon ausgegangen werden, dass die
gemessenen Wertveränderungen durch eine einzige
Transformationskette verursacht wurden.
The protocol is not a value sequence in the meaning
of B17.7, because a value sequence relates to a
given chain of transformation represented by a
transformation sequence.
In the case of measuring it cannot a priori be
assumed, that measured changes of values are
caused by a single transformation chain.
(s. B17.7 Wertfolge/Value sequence)
K
Bei einer Kategorisierung darf nichts vorausgesetzt
werden, deshalb sind Anfangsgegebenheiten einer
Messung nur insoweit zu berücksichtigen, als sie die
Anfangswerte der in Wert- und Schrittsegment
begrenzten zu protokollierenden
Wertveränderungen darstellen.
In case of categorizing nothing should be assumed,
so the initial conditions of a measurement are only
to be considered insofar they offer the initial values
of the changes of values to be protocolled, restricted
by the value and step segment.
(s. V0., V0.2 Kategorisierung/Categorization, Wertsegment/Value segment, Schrittsegment/Step segment)
Messung =!=
Measurement =!=
p
i,k
= ( (w
i
,w
i
')
k
)
1 <=k<=m
= ( (w
i
,w
i
'
), (w
i'
,w
i'
'
),..., (w
i''
,w
i''
') )
| p
i,k
| = m
m
i,k
=!= ( x(w
i
)
k
)
1 <=k<=m
=!= (x(w
i
), x(w
i'
),..., x(w
i''
) )
|m
i,k
| = m
x
i
(w) =/D1.1/= w
i
', x(w
i'
) = w
i'
'
, x(w
i''
) = w
i''
'
Schritt innerhalb der Messung =!=
Step within the measurement =!=
k
m
i,k
= ( x(w
i
))
k
), p
i,k
= ( (w
i
,w
i
')
k
)
Zeitpfeil der Messung =!=
Arrow of Time of the measurement =!=
t
k, k'
=!= k-k'
k, k' <= m
75
Grundlegende Begriffe
K
Die Schreibweise für die Indizierung "i,k" wurde
gewählt, um zu unterstreichen, dass es sich um
Segmente handelt, denn während die Schritte k alle
ihre Werte bis zur Grenze m durchlaufen müssen,
ist das bei den Wert-Indizes i aus dem Wertsegment
nicht erforderlich, soll heißen, es müssen bei einer
Messung nicht alle Werte aus dem Wertsegment
vorgefunden werden, während andererseits die
gemessenen Werte auch mehrfach vorkommen
können.
The notation for the indexing "i,k" was chosen to
emphasize, that is about segments. While the steps
k have to run through all their values upto the limit
m, this is not required for the values of indices i of
the value segment. That means, a measurement
does not have to discover each and every value of
the value segment, while on the other hand the
measured values may occur more than once.
Die Geschehnis- oder Ereignismenge einer
Messung ist die Menge der unterschiedlichen
Translationen, die gemessen wurden.
The set of events of a measurement is the set of the
different translations measured.
Ereignismenge der Messung =!=
Set of events of the measurement =!=
m
i,k
= ( x(w
i
)
k
)
1 <=k<=m
= (x(w
i
), x(w
i'
),..., x(w
i''
) )
|m
i,k
| = m
G
i
=!= { x, x' | x(w
i
)
k
<> x'(w
i'
)
k'
x,x' m
i,k
} =!= { x, x' | x(w
i
)
= w
i
' <> x'(w
i'
)
= w
i'
'
x,x' m
i,k
w
i
,w
i
',w
i'
,w
i'
'
W
n
}
K
Zu beachten ist, dass G
i
keinen Bezug mehr zu k
enthält, da es nur auf die Gleichheit der
Translationen Wert legt, nicht jedoch auf deren
Reihenfolge in der Messung.
Please note, that G
i
does no longer has a reference
to k, because only the equality of translations is
interesting, not its order in the measurement.
76
Grundlegende Begriffe
V0.4 S3: Transformationsreihe, Transformationsmenge/Transformation series, transformation set
Um von den Translationen auf Transformationen zu
kommen, wird die Realität r selbst verwendet, die
als umfassendste Eigenschaft alle anderen
Eigenschaften enthält, es wird also die
Universalzuordnung angesetzt.
Mit diesem Ansatz sind Translationen äquivalent zu
Transformationen. Die Reihe der Transformationen,
die den Translationen der Messung m
i,k
entsprechen, wird Transformationsreihe der
Messung genannt, die aus den Translationen der
Ereignismenge gewonnenen Transformationen
bilden die Transformationsmenge der Messung.
To get from translations to transformations, the
reality r itself is used, which as most comprehensive
element of quality includes all the other elements of
quality, so the universal allocation is specified.
With this ansatz, the translations are equivalent to
transformations. The sequence of transformations
according to the translations of the measurement is
called transformation series of the measurement,
the transformations according to the set of events is
called transformation set of the measurement.
(s. D1, D1.1, V0.1, V0.3 Transformation, Translation, Universalzuordnung/Universal allocation, Schritt/Step, Ereignismenge/Set of
events)
Transformationsreihe der Messung =!=
Transformation series of the measurement =!=
m
i,k
= ( x(w
i
)
k
)
1 <=k<=m
= (x(w
i
), x(w
i'
),..., x(w
i''
) )
|m
i,k
| = m
X(r|w
i
)
k
=/D1/= r|w
i
'
T
i,k
=!= ( X
i,k
)
1 <=k<=m
=!= (X(r|w
i
)
k
)
1 <=k<=m
=!= (X(r|w
i
), X(r|w
i'
),..., X(r|w
i''
) )
|T
i,k
| = m
Indexfolge der Transformationsreihe =!=
Index sequence of the transformation series =!=
T
i,k
= (X(r|w
i
)
k
)
1 <=k<=m
= (X(r|w
i
), X(r|w
i'
),..., X(r|w
i''
) )
|T
i,k
| = m
TS
i,k
=!= ( X
i,k
, k
i
)
1 <=k<=m
=!= (X(r|w
i
)
k
, k
i
)
1 <=k<=m
=!= ( (X(r|w
i
),1), (X(r|w
i'
),2), ...( X(r|w
i''
),m))
|TS
i,k
| = m
Transformationsmenge der Messung =!=
Transformation set of the measurement =!=
T
i,k
= (X(r|w
i
)
k
)
1 <=k<=m
= (X(r|w
i
), X(r|w
i'
),..., X(r|w
i''
) )
|T
i,k
| = m
T
i
=!= { X
i
| X
i
= X(r|w
i
) = r|w
i
'
x(w
i
) = w
i
'
x G
i
}
|T
i
| = |G
i
|
Die Anzahl der Elemente von T
i
muss aufgrund der
Herleitung von T
i
gleich der Anzahl der Elemente
von G
i
sein.
Wie bei G
i
ist bei T
i
wird jedoch der Bezug zu k nicht
beibehalten.
Because of the derivation of T the number of
elements of T
i
has to be equal to the number
elements of G
i
.
Like G
i
T
i
has no longer a reference to k.
Die Teilfolge der Indexfolge der
Transformationsreihe T
i,k
für eine wohldefinierte
Transformation X' aus der Transformationsmenge T
i
heißt Indexfolge der Transformation, die einzelnen
Indizes in der Anordnung der Indexfolge und damit
der Messung m
i,k
heißt Schrittreihe der
Transformation.
The subsequence of the index sequence of the
transformation series T
i,k
related to a well defined
transformation X' of the transformation set T
i
is
called index sequence of the transformation, die
different indizes in the order of the index sequence
and hence of the measurement m
i,k
is called step
series of the transformation.
(s. B0.14 Teilfolge/Subsequence)
Indexfolge der Transformation X' =!=
Index sequence of the transformation X'=!=
TS
i,k
= (X(r|w
i
)
k
, k
i
)
1 <=k<=m
= ( (X(r|w
i
),1), (X(r|w
i'
),2), ...( X(r|w
i''
),m))
|TS
i,k
| = m
x =/B0.14/= f(i) = X
i
= X'
X
i
,X'
T
i
77
Grundlegende Begriffe
TS
i,k
(X') =!= TS
i,k
x = TS
i,k
(X
i,k
= X') =!= (X
i,k
, k
i
)
Xi.k=X'
X'
Ti
|TS
i,k
(X')| = m
Schrittreihe der Transformation X' =!=
Step series of the transformation X'=!=
S
i,k
(X') =!= (k
i
)
Xi,k=X'
TS
i,k
(X') = (X
i.k
, k)
Xi,k=X'
X'
Ti
|S
i,k
(X')| = m
V0.5 S4: Basismenge, Wiederholbarkeit, Wahrscheinlichkeit/Basis set, repeatability, propability
Die Menge der Paare der Transformationen der
Transformationsmenge T
i
zusammen mit der
Schrittreihe der jeweiligen Transformation heißt
Basismenge der Messung.
Die Länge der Schrittreihe ist die Anzahl der
Vorkommen einer Transformation und heißt
Wiederholbarkeit in der Messung, die
Wiederholbarkeit bezogen auf den Grenzwert des
Schrittsegments m heißt Wahrscheinlichkeit im
Focus (n,m) für die Transformation.
The set of pairs of transformations of the
transformation set T
i
together with a step series of
the related transformation is called basis set of the
measurement.
The length of the step series is the number of
occurrences of a transformation and is called
repeatability in measurement the repeatability
related to the limit of the step segment m is called
probability of the transformation in the focus (n,m).
(s. V0.2 Fokus/Focus)
Basismenge der Messung =!=
Basis set of the measurement =!=
T
i
= { X
i
| X
i
(r|w
i
) = r|w
i
'
x(w
i
) = w
i
'
x G
i,k
}
S
i,k
(X') = (k
i
)
Xi,k=X'
TS
i,k
(X') = (X
i.k
, k)
Xi,k=X'
X
i.k
, X'
X
i,k
B
i,k
=!= { (X',(k
i
)) | X'
(k
i
)
= (k
i
)
Xi,k=X'
= S
i,k
(X')
X
i,k
,X'
T
i
} =!= { (X
i
,(k
i
)) | X
i
(k
i
)
= (k
i
)
X =Xi
= S
i,k
(X
i
)
X,X
i
T
i
}
|B
i,k
| = |T
i
| = |G
i
|
Wiederholbarkeit in der Messung =!=
Repeatability in measurement =!=
| X
i
|
n,m
=!= |(k
i
)|
Xi
Ti
| X
i
|
n,m
= m
(X
i
,(k
i
))
B
i,k
, F(n,m) =/V0.2/= (W
n
, m)
Wahrscheinlichkeit in der Messung =!=
Probability in measurement =!=
P(X
i
)
n,m
=!= 0
X
i
T
i,
P(X
i
)
n,m
=!= |X
i
|
n,m
/ m = |(k
i
)| / m
Xi
Ti
P(X
i
)
n,m
= 1
(X
i
,(k
i
))
B
i,k
, F(n,m) = (W
n
, m)
78
Grundlegende Begriffe
K
Ein sicheres Ereignis gemäß der
Wahrscheinlichkeitstheorie lässt sich über diese
Wahrscheinlichkeitsdefinition aus einer Messung mit
nur einer Wertveränderung x(w) = w' für alle 0 < k
<=m Schritte bestimmten.
Nach der Vorgabe der Messung ist die obige m
i,k
-
Folge jedoch nur dann möglich, wenn alle Werte der
Messung von unterschiedlichen Instanzen derselben
Eigenschaftsgruppe stammen, da alle Werte der
Messung aus dem Wertsegment stammen sollen,
also auch der Anfangswert w der zweiten und
weiteren Messungen.
Ein sicheres Ereignis kann es deshalb immer nur
dann geben, wenn keine Wertveränderungen
einzelner Eigenschaften gemessen werden oder nur
Resultate ("Ergebnis" in der Sprache der
Wahrscheinlichkeitstheorie) und insbesondere wenn
alle Vorgänge, die dieses Resultat auslösen, in ihren
Vorstufen ignoriert werden.
The certain event according to the probability theory
is the only event in the sample space. Insofar the
definition of the probability in the focus (n,m) leads
to a certain event in case only one single change of
value x(w) = w' is measured for all 0 < k <= m steps.
However, according to the specification of the
measurement, the sequence m
i,k
above is only
possible in case that each value originates from a
different instance of an EQ group, because every
value of the measurement has to belong to the value
segment, so the initial value of the second and
further measurments would have to appear.
A certain event therefore can only be, if no changes
of values of particular elements of quality are
measured or only outcomes ("events" in the
parlance of probability theory), in particular if every
procedure, leading to the outcome, is ignored in its
preliminary stages.
(s. B15.2, B15.3 Eigenschaftsgruppe/EQ group, Instanz/Instance)
V0.6 S5: Transformationsfolgen/Transformation Sequences
Da die Information bzgl. e vollständig und damit
zusammenhängend auf ihrem Wertebereich ist,
lassen sich zwischen zwei beliebigen Werten
Transformationsketten finden.
Dasselbe gilt für die Information eines Netzes.
Because the information related to e is complete
and hence coherent on its value area, it is possible
to detect chains of transformations between any pair
of values.
The same is valid for the information of a net.
(s. D2.5, B2, B2.1, B9, F3, B16.2, B16.3 Wertebereich/Value Area, Information, Vollständigkeit/Completeness,
Zusammenhang/Coherence, Zusammenhang bei zweiseitig gekoppelten Eigenschaften/Coherence of bilateral coupled elements of
quality, Netz/Net, Information des Netzes/Information of the net)
Ansatz:
Ziel jeder Messung ist es, die Information im
beobachteten Raumzeit-Ausschnitt der Realität zu
evaluieren, deshalb wird folgender Ansatz gewählt:
Die gemessenen Transformationen werden als
Teile der Transformationsketten eines Netzes
angesehen.
Ansatz:
The goal of each measurement is to detect the
information in the observed Spacetime segment,
therefore the following ansatz is chosen:
The measured transformations are viewed als
part of chains of transformations of a net.
Dafür müssen die gemessenen Transformationen zu
Transformationsketten in der Darstellung von
Transformationsfolgen verknüpft werden, soweit
möglich, um sie vergleichen zu können.
Therefore, the measured transformations have to be
linked to chains represented by transformation
sequences, if possible, to be able to compare them.
(s. D2, B17.4 Transformationskette/Chain of Transformations, Transformationsfolge/Transformation sequence)
K
Sollten die Messergebnisse keine oder zu wenig
Transformationsketten erlauben, muss der Fokus
(n,m) korrigiert werden, also entweder das
Wertsegment verkleinert oder das Schrittsegment
vergrößert werden.
If the results of the measurement do not include
transformation chains or includes too few, the focus
(n,m) has to be adjusted, so either the value
segment has to be decreased or the step segment
to be increased.
Da Werte die einzige Ausgangsbasis für die
Messung sind, können auch nur wertbezogene
Schlussfolgerungen getroffen werden, also über den
Wertebereich und die Relationen zwischen Werten
möglicher Eigenschaften.
Because values are the only base of the
measurement, nothing but value related conclusions
can be made, that means about the value area and
the relation between values of possible elements of
quality.
79
Grundlegende Begriffe
Ausschluss 1:
Mehrfache Instanzen eines Gruppenpotenzials
werden ignoriert, da ein Gruppenpotential sich durch
gleiche Translationen definiert, es wird also nur eine
einzige Eigenschaft dieses Potenzials
angenommen.
Exclusion 1:
Multiple instances of a group potential are ignoriert,
because a group potential is defined by equal
translations, so only one element of quality of that
potential is assumed.
(s. B15.4, Gruppenpotenzial/Group potential)
Ausschluss 2:
Gemessene Inverse werden bei die Erstellung der
Ketten der vorangegangenen Transformation nicht
berücksichtigt, da sie sich nur durch die
Vertauschung von Anfangs- und Endwert von der
invertierten Transformation unterscheiden.
Exclusion 2:
If inverses are measured, they will be ignored in
generating the chains of the preceding
transformation, because they differ only in the
commutation of inital value and final value.
K
Obwohl die Inverse Rückschlüsse auf die
Symmetrie des Potenzials erlauben, da sie als
Spiegelbild der invertierten Transformation gesehen
werden können, sind sie für die wertbezogene
Struktur einer Eigenschaft nicht von Bedeutung, weil
bei Information grundsätzlich von der Existenz der
Inversen ausgegangen wird und es deshalb genügt,
nur die eine "Hälfte des Spiegels" zu untersuchen.
Even though the inverse allows inferences about the
symmetry of the potential, because they can be
seen as mirror image of the inverted transformation,
they are of no use for the value related structure of
an element of quality. For information is basically
depending on inverses, it is sufficient to examine
just one "side of the mirror".
Transformationsfolge der Messung =!=
Transformation sequence of the measurement
=!=
B
i,k
= { (X
i
,(k
i
)) | X
i
(k
i
)
X =Xi
X,X
i
T
i
}
X
i
B
i,k
=/V0.4/= X(r|w
i
) = r|w
i
'
x(w
i
) =/V0.3/= w
i
'
X
r
(j) =/B17.4/= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
,..., X
i
j
)
X(r|w) =/D2/= r|w
j
X
i
j
B
i,k
= X(r|w
i
j
) = r|w
i
j
'
1 < j' <= j
X
i
j
<> (X
i
j-1
)
-1
=/D4/= X(r|w
i
j-1'
) = r|w
i
j-1
i
=!= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
,..., X
i
j
) =!= (X
i
j'
)
1 <=j'<=j
X
i
= (X
i
j'
)
j'=1
K
X
i
= (X
i
j'
)
j'=1
ist nur der Hinweis darauf, dass die
Schreibweise X
1
für eine normale Transformation
vermieden werden soll, um keine Verwechselung
mit der Eins-Transformation zu riskieren.
X
i
= (X
i
j'
)
j'=1
is used as a hint to show, that the
notation X
1
for a regular transformation should be
avoided to not confuse it with the unit
transformation.
(s. D3 Eins-Transformation/Unit Transformation)
80
Grundlegende Begriffe
Eine Transformationsfolge mit mehr als 1 Element
kann als Summenfolge in der folgenden Form
geschrieben werden:
A transformation sequence with more than one
element can be written in the following notation:
(s. B17.2 Summe einer Folge, Summenfolge, Summand/Sum of a sequence, Sum sequence, Summand)
Transformationsfolge als Summenfolge =!=
Transformation sequence as sum sequence =!=
i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j
, X
i
= (X
i
j'
)
j'=1
,
X
i
j
T
i
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
,..., X
i
j
)
j >= 2, 2 <= l <= j
i
=!=
l
i
,
l
=!=
l
(X
i
l''
)
(
l'-1)+1 <=l''<=l'
=!=
(1, 2, 3.., l)
(X
i
l''
)
(
l'-1)+1<=l'<=l'
X
i
= (X
i
l'
)
l'=1,
0
= 0
l
= (
l'
)
1<=l'<=l
= (
1
,
2
,
3
..,
l
)
1 <= l' <= l 1 <=
l'
<= j
l
= j
l'
<
l''
l' < l''
Die Aufteilung der Summanden wird über die Folge
l
gesteuert, die die Indizes der
Transformationsfolge kennzeichnet, bei der die
Folgensumme (s. B17.2) ausgeführt werden soll.
j >=2 und 2 <= l <= j stellen sicher, dass mindestens
zwei und maximal j Summanden für die
Summendarstellung herangezogen werden. In
letzterem Fall enthält jede Summandenfolge nur ein
Element.
Für l = 2 wird die Transformationsfolge also in 2
Summanden, für l = 3 in 3 Summanden aufgeteilt.
Der Index (
l'-1)+1 <=l''<=l' bei (X
i
l''
) ist so zu lesen,
dass der Index l', der den Index von
l
bezeichnet,
von dem Wert von
l'-1
+ 1 ( = 1 für l' = 1 wegen
0
=
0) bis zum Maximal-Index der betreffenden
Summandenfolge
l'
reicht.
The segmentation of the summands is controlled by
the sequence
l
containing the indices of the
transformation sequence, where the sum of the
sequence (s. B17.2) should be implemented.
j >=2 und 2 <= l <= j ensures, that at least two and
at most j summands are used for the representation
of the transformation sequence as sum. In the last
case each summand sequence includes just one
element.
Therefore, with l = 2 the transformation sequence is
divided in 2 summands, with l = 3 in 3.
The index (
l'-1)+1 <=l''<=l' for (X
i
l''
) is to be read so
that the index l', referring to the index of
l
, ranges
from the value of
l'-1
+ 1 ( = 1 for l' = 1 because of
0
= 0) to the maximal index of the related summand
sequence
l'
.
K
Eine Transformationsfolge
i
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
, X
i
4
) lässt
so sich für l = 2 mit
2
= (
1
,
2
) darstellen als:
mit
2
= (1, 4):
i
=
i,1
i,4
= (X
i
)
(
X
i
2
, X
i
3
, X
i
4
)
oder
mit
2
= (2, 4):
i
=
i,2
i,4
= (X
i
, X
i
2
)
( X
i
3
, X
i
4
)
oder
mit
2
= (3, 4):
i
=
i,3
i,4
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
)
(X
i
4
).
So, a transformation sequence
i
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
, X
i
4
)
can be described for l = 2 with
2
= (
1
,
2
):
with
2
= (1, 4):
i
=
i,1
i,4
= (X
i
)
(
X
i
2
, X
i
3
, X
i
4
)
or
with
2
= (2, 4):
i
=
i,2
i,4
= (X
i
, X
i
2
)
( X
i
3
, X
i
4
) or
with
2
= (3, 4):
i
=
i,3
i,4
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
)
(X
i
4
).
Enthält eine Transformationskette, dargestellt durch
eine Transformationsfolge, eine Transformation
mehrfach, so heißt dies, dass die vorangegangene
Folge sich wiederholen muss, da von
wiederholbaren Transformationen ausgegangen
wird (s. Ansatz).
Gleich ist dabei eine Transformation, wenn ihre
Werte gleich sind, da dann ihre Zuordnungen gleich
sind. Bei einer wiederholbaren Transformation
genügt es also, wenn die Werte der
Anfangszuordnung gleich sind.
Eine solche Kette heißt dann Zyklus und wird nur für
eine Wiederholung gewertet.
If the chain of transformations represented by a
transformation sequence includes a transformation
more than once, that means, that the preceding
sequence will be repeated because of the assumed
repeatability of the transformations (s. Ansatz).
Transformations are equal, if their values are equal,
because then their allocations are equal. So in case
of repeatable transformations it is sufficient, if the
values of the initial allocations are equal.
Such a chain is called cyle and is only considered
for one iteration.
(s. D0, B1 Zuordnung/Allocation, Wiederholbarkeit/Repeatability)
81
Grundlegende Begriffe
Zyklus in der Messung =!=
Cycle in the measurement =!=
i
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
,..., X
i
j
)
i
=!= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
,..., X
i
o
)
1 < o <= j X
i
= X
i
o
X(r|w
i
) = r|w
i
', X(r|w
i
o
) = r|w
i
o
'
w
i
o
= w
i
, w
i
' = w
i
o
'
i
=!= ()
1 < o <= j X
i
= X
i
o
X(r|w
i
) = r|w
i
', X(r|w
i
o
) = r|w
i
o
'
w
i
o
= w
i
, w
i
' = w
i
o
'
Das Gewicht einer Transformationsfolge der
Messung ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten
der Folgenelemente im Focus. Bei Zyklen werden
nur die Transformationen des Zyklus gezählt.
The weight of a transformation sequence of the
measurement is the sum of the probabilities in the
focus. In case of cycles only the transformation of
the cycles are considered.
(s. V0.5 Wahrscheinlichkeit in der Messung/Probability in measurement)
Gewicht der Transformationsfolge der Messung
=!=
Weight of transformation sequence of the
measurement =!=
i
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
,..., X
i
j
)
P(X
i
j'
)
n,m
=/V0.5/= |X
i
j'
|
n,m
/ m = |(k
i
j'
)| / m
i
=!=
1<=j'<=j
P(X
i
j'
)
n,m
i
= ()
i
=!=
1<=j'<=o
P(X
i
j'
)
n,m
i
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
,..., X
i
o
)
K
Gewicht, Länge, Fläche, Kette - es ist nicht
verwunderlich, dass die Begriffe und Vorstellungen
denjenigen der ML-Methode ähneln.
Doch während die ML-Methode von einer
gegebenen Aufgabenstellung, also grob gesagt von
festen Werten bei einer Mannigfaltigkeit von
erwünschten Wertrelationen ausgeht, für die die
effizienteste Struktur gesucht wird, ist bei der
Informationsgewinnung aus Messdaten die Struktur
des beobachteten Netzes gegeben, muss freilich
wegen der meist nur bruckstückhaften Erfassung
durch die Messung möglist vollständig rekonstruiert
werden.
Weight, Length, Area, Chain - it is not surprising,
that the terms and concepts here look like those of
the ML method.
But while the ML method has to determine the most
efficient structure for a given task, broadly speaking
for fixed values with a great diversity of wished
relations between them, the structure of the
observed net is given in case of information
gathering from measurement data, but has to be
completed as far as possible from the mostly only
fragmented collection of measuring.
s. Die Fliege - oder - Das Handwerk der Datenbank-Programmierung, ISBN 3-935031-02-5, S. 14ff
82
Grundlegende Begriffe
V0.7 S6: Transformations-Matrix, Signifikanz, Komponente
Transformation Matrix, Significance, Components
Als Transformationsmatrix wird die Darstellung von
Transformationsfolgen der Messung bezeichnet, bei
der nur signifikante Folgen berücksichtigt werden.
Eine signifikante Folge ist dabei eine Folge, die in
einer Summendarstellung immer einen Summanden
hat, der in keiner anderen Folge vorkommt.
Verglichen wird dabei gegen die
Transformationsfolgen der Messung für alle
Transformationen aus der Transformationsmenge T
i
,
bei Zyklen auf die verdoppelten Zyklen im Falle
einer Summandenlänge > 1.
Tritt ein Summand einer signifikanten Folgen in
einer anderen signifikanten Folge auf, so heißt
dieser Summand Komponente beider Folgen.
Liegen Komponenten vor, so wird die signifikante
Folge in Summendarstellung in der
Transformationsmatrix vermerkt.
The transformation matrix is the representation of
transformation sequences of the measurement
considering nothing else than significant sequences,
in with a significant sequence is a sequence, for
which a sum representation declares as summand
occuring in no other sequence.
The comparison is made with the transformation
sequences of the measurement for all
transformations of the transformation set T
i
, for
cylces with the doubled cycle in case of the length of
the summand > 1.
If a summand of a significant sequence occurs in
some other significant sequence, this summand is
called a component of both sequences.
If components exist, the significant sequence is
represented as sum in the transformation matrix.
(s. B17.2, V0.4, V0.6 Summe einer Folge/Sum of a sequence, Summenfolge/Sum sequence, Summand,
Transformationsmenge/Transformation set, Transformationsfolgen der Messung/Transformation sequences of the measurement,
Transformationsfolge als Summenfolge/Transformation sequence as sum sequence)
Signifikante Folge in der Messung =!=
Significant sequence in measurement =!=
i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j
i'
= (X
i'
j''
)
1 <j''<=j'''
, X
i
= (X
i
j''
)
j''=1
,
X
i'
j'''
T
i
= (X
i'
, X
i'
2
, X
i'
3
,..., X
i'
j''
)
i'
= ()
i'
=
i
i
i
<> ()
i' <> i
X
i
, X
i'
T
i
1)
|
i
| = 1 <==>
i
= ( X
i
)
i'
X
i
i'
i' <> i X
i'
T
i
i
=!=
i
X
i
T
i
2)
|
i
| > 1 =>
i
=
l
i
,
l
l',
l'
i'
=
'l''
i'
,
'l''
i
,
l'
=
i'
,
'l''
2 <= l'' <= j
i'
i' <> i X
i'
B
i,k
i
=!=
i
X
i
T
i
3)
i'
X
i
i'
, |
i
| = 1
v
i'
=
'l''
i'
,
'l''
i
,
l'
=
i'
,
'l''
, |
i
| > 1
i
=!= ()
X
i
T
i
83
Grundlegende Begriffe
Komponentenfolge von
i
,
i'
in der Messung =!= Component sequence of
i
,
i'
in measurement =!
=
i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j
,
i
<> ()
i'
= (X
i'
j''
)
1 <j''<=j'''
, X
i
= (X
i
j''
)
j''=1
,
X
i'
j'''
T
i
= (X
i'
, X
i'
2
, X
i'
3
,..., X
i'
j''
)
i'
= ()
,
i
<> ()
i'
=
i
i
i
<> ()
,
i'
<> ()
i' <> i
X
i
, X
i'
T
i
l',
l'
i
=
l
i
,
l
l'',
l''
i'
=
'l''
i'
,
'l''
i
,
l'
=
i'
,
'l''
i,i'
=!=
i
,
l'
=
i'
,
'l''
Transformations-Matrix =!=
Transformation Matrix =!=
X
i
T
i
i
<> ()
i
=
i,i
i,i'
i,i'
<> ()
v
i
i,i'
= ()
i,k
=!= (
i
)
i
<> ()
84
Grundlegende Begriffe
V0.8 S7: Eigenschaftshypothese/EQ hypothesis
Ansatz (s. V0.6):
Die gemessenen Transformationen werden als Teile
der Transformationsketten eines Netzes angesehen.
Es gilt:
Die Information des Netzes
= U I
e
ist die Menge
der zusammenhängenden, wiederholbaren
Transformationen von Eigenschaften (inkl. Inversen
und Eins-Transformationen).
Deshalb werden die signifikanten Folgen der
Transformations-Matrix als Transformationsketten in
Folgendarstellung von Eigenschaften interpretiert.
Im Falle von Komponenten werden die einzelnen
Summanden als Transformationsketten von
Eigenschaften gesehen, die über die zweiseitigen
Kontakt gekoppelt sind.
Signifikante Folgen der Länge 1 werden Zufall
genannt und somit nur über die Universalzuordnung
als realisiert angesehen.
Ansatz (s. V0.6):
The measured transformations are viewed als part
of chains of transformations of a net.
It is:
The Information of the net as
= U I
e
is the set of
the coherent, repeatable transformations of
elements of quality (incl. inverses and unit
transformations).
Therefore, the significant sequences of the
transformation matrix are viewed as chain of
transformations represented by sequences of
elements of quality. In case of components the
different summands are viewed as chains of
transformations of elements of quality, coupled by
bilateral contacts.
Significant sequences with length 1 are called
random, therefore only realized by the universal
allocation.
(s. B2, D8.3, D8.11, D8.13, B16.2, B16.3, V0.1, V0.6, V0.7 Information, Kontakt/Contakt, Zweiseitigkeit/Bilaterality, Zweiseitige
Kopplung/Bilateral Coupling, Netz/Net, Information des Netzes/Information of the net, Universal-Zuordnung/Universal Allocaiton,
Zufall/Randomness, Ansatz, Signifikante Folge/Significant Sequence, Transformation Matrix)
Zufall in der Messung =!=
Randomness in measurement =!=
i
<> ()
X
i
T
i
|
i
| = 1
z
i
=!= ( X
i
)
Eigenschaftshypothese aus der Messung =!=
Hypothesis of element of quality from
measurement =!=
1)
i,k
= (
i
)
i
i,i'
= ()
h
i
=!= { X | X
i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j,i
,
X
i
j'
, X
i
T
i
i
} =!= { X(e
hi
|w) | X
i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j.i
,
X
i
j'
, X
i
T
i
i
}
E
i
= { e | X
h
i
} = { r, e
hi
}
2)
i,k
= (
i
)
i
=
i,i
i,i'
i,i'
<> ()
h
i,i
=!= { X | X
i,i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j,ii
,
X
i
j'
, X
i
T
i
i,i
} =!= { X(e
hii
|w) | X
i,i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j,ii
,
X
i
j'
, X
i
T
i
i,i
}
E
i,i
= { e | X
h
i,i
} = { r, e
hii
}
h
i,i'
=!= { X | X
i,i'
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j,ii'
,
X
i
j'
, X
i
T
i
i,i'
} =!= { X(e
hii'
|w) | X
i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j,ii'
,
X
i
j'
, X
i
T
i
i,i'
}
E
i,i'
= { e | X
h
i,i'
} = { r, e
hii'
}
85
Grundlegende Begriffe
Hypothese aus der Messung =!=
Hypothesis from measurement =!=
H
i,k
=!= { z
i
} U { h
i
, h
i,i
, h
i,i'
}
i,k
= (
i
),
z
i
, h
i
, h
i,i
, h
i,i'
V0.9 (Perspektive/Perspective)
Als Perspektive wird die Menge der
Randbedingungen F(n,m), die Basismenge der
Messwerte sowie die Hypothese der Messung
bezeichnet.
The set of boundary conditions F(n,m), the basis set
of the measurement data and the hypothesis form
measurement is called perspective.
(s. V02, V0.5, V0.8 Fokus/Focus, Basismenge/Basis set, Hypthese aus der Messung/Hypothesis from measurement
Perspektive der Messung =!=
Perspective of measurement =!=
i,k
=!= { F(n,m), B
i,k
, H
i,k
}
V0.10 (Konsolidierung/Consolidation)
Konsolidierung ist Erweiterung und Korrektur von
bereits bekannter Information aus den chaotischen
Eingangssignalen einer Informationsverarbeitung
aufgrund der andauernden Veränderung der
Umgebung.
Das bedeutet, dass der Focus der Messung F(n,m)
erweitert wird um Werte und/oder um Schritte,
sodass die Basismenge ergänzt und die
Transformationsketten aus der Messung überprüft
werden müssen.
Consolidation is the extension and adjustment of
already known information from the chaotic input
signals onto an information processing system due
to the perpetual changes of the surrounding.
That means, that the focus of the measurement
F(n,m) is broadened, adding values and or steps, so
that the basis set has to be completed and the
chains of transformations of the measurement has
to be checked.
(s. V02, V0.5, V0.6 Fokus/Focus, Basismenge/Basis set, Transformationsketten der Messung/Chain of transformations of the
measurement)
86
Grundlegende Begriffe
V1 Beispiel 7-Schritt-Evaluierung/Example 7 Step Evaluation
Da die 7-Schritt-Evaluierung eine Methodik
repräsentiert, soll ein sehr einfach gehaltenes
Beispiel die einzelnen Schritte verdeutlichen.
For the 7 Step Evaluation represents a
methodology, a very simple example shall illustrate
the different steps.
V1.1 Kategorisierung/Categorization
Es ist bisher noch keine Perspektive vorhanden.
Until now, no perspective is given.
(s. V09 Perspektive/Perspectve)
i,k
= { (), {}, {} }
F(n,m) = (), B
i,k
= {}, H
i,k
= {}
V1.2 Versuchsanordnung 1. Schritt: Wertsegment, Schrittsegment/
Experimental arrangement 1st step: Value segment, step segment
Für das Wertsegment werden natürliche Zahlen bis
100 herangezogen, das Schrittsegment soll m = 30
Schritte beinhalten.
The value segment is declared as natural numbers
from 1 to 100, the step segment should be m = 30.
W
n
= {w
i
| w
i
W, i = 1,...n }
W
100
= {i | 1 <= i <= 100 }
0 < k <= m
0 < k <= 30
Fokus / Focus F(n,m) = (W
n
, m)
F(100,20) = (W
100
, 30)
Möglichkeitsmenge / Set of Options M
n
= { x(w
i
) = w
i
' |
w
i
, w
i
'
W
n
}
M
100
= { x(i) = i' | 1 <= i, i' <= 100 }
= {
x
1
(1}=1, x(1)=2, x(1)=3,..., x(1)=100,
x(2)=1, x
1
(2}=2, x(2)=3,... x(2)=100,
...
x(100)=1, x(100}=2, x(100)=3,... x
1
(100)=100 }
V1.3 Versuchsanordnung 2. Schritt: Messung/Experimental arrangement 2nd step: Measurement
Folgende Wertveränderungen sollen gemessen
worden sein.
The following changes of values are thought to be
measured..
p
i,k
= ( (w
i
,w
i
'
), (w
i'
,w
i'
'
),..., (w
i''
,w
i''
') )
| p
i,k
| = m
p
i,k
= ( 13->23, 77->17, 77->78, 33->13, 17->37, 66->24, 72->77, 23->33, 78->76, 77->78,
44->11, 37->47, 17->37, 72->77, 17->77, 23->33, 13->23, 77->78, 77->17, 23->33,
4->47, 33->23, 77->17, 17-77, 23->33, 72->77, 13->23, 77->78, 33->13, 37->47 )
m
i,k
= (x(w
i
), x(w
i'
),..., x(w
i''
) )
|m
i,k
| = m
m
i,k
= ( x(13)=23, x(77)=17, x(77)=78, x(33)=13,..., x(77)=78, x(33)=13, x(37)=47), | m
i,k
| = 30
Ereignismenge der Messung / Set of events of the measurement
G
i
= { x, x' | x(w
i
)
= w
i
' <> x'(w
i'
)
= w
i'
'
x,x' m
i,k
w
i
,w
i
',w
i'
,w
i'
'
W
n
}
G
i
= { x(13)=23, x(23)=33, x(33)=13, x(33)=23, x(77)=17, x(17)=37, x(37)=47, x(17)=77, x(77)=78,
x(78)=76, x(72)=77, x(66)=24, x(44)=11, x(4)=47 }, | G
i
| = 14
87
Grundlegende Begriffe
V1.4 Versuchsanordnung 3. Schritt: Transformationsreihe, Transformationsmenge
Experimental arrangement 3rd step: Tansformation series, transformation set
Transformationsreihe der Messung / Transformation series of the measurement
T
i,k
= (X(r|w
i
), X(r|w
i'
),..., X(r|w
i''
) )
|T
i,k
| = m
T
i,k
(X(r|13)= r|23, X(r|77)= r|17, X(r|77)= r|78, X(r|33)= r|13,..., X(r|77)= r|78, X(r|33)= r|13, X(r|37)= r|
47 )
| T
i,k
| = 30
Indexfolge der Transformationsreihe / Index sequence of the transformation series
TS
i,k
= ( (X(r|w
i
),1), (X(r|w
i'
),2), ...( X(r|w
i''
),m))
|TS
i,k
| = m
TS
i,k
= ( (X(r|13)= r|23, 1) , (X(r|77)= r|17, 2) , (X(r|77)= r|78, 3) , (X(r|33)= r|13, 4),...,
(X(r|77)= r|78, 28), (X(r|33)= r|13, 29), (X(r|37)= r|47, 30) ), | TS
i,k
| = 30
Transformationsmenge der Messung/Transformation Set of the Measurement
T
i
= { X
i
| X
i
= X(r|w
i
) = r|w
i
'
x(w
i
) = w
i
'
x G
i
}
|T
i
| = |G
i
|
T
i
= { X(r|13)= r|23, X(r|23)= r|33, X(r|33)= r|13, X(r|33)= r|23, X(r|77)= r|17, X(r|17)= r|37, X(r|37)= r|
47,
X(r|17)= r|77, X(r|77)= r|78, X(r|78)= r|76, X(r|72)= r|77, X(r|66)= r|24, X(r|44)= r|11, X(r|4)= r|
47 }
| T
i
| = 14
Indexfolge einer bestimmten Transformation X' / Index sequence of a given transformation X'
TS
i,k
(X') = (X
i,k
, k
i
)
Xi.k=X'
X'
Ti
|TS
i,k
(X')| = m
TS
i,k
(X'
= X(r|77)= r|78
) = ( (X(r|77)= r|78, 3), (X(r|77)= r|78, 10), (X(r|77)= r|78, 18), (X(r|77)= r|78,
28) )
Schrittreihe einer bestimmten Transformation X' / Step series of a given transformation X'
S
i,k
(X') = (k
i
)
Xi,k=X'
S
i,k
(X'
= X(r|77)= r|78
) = (3, 10, 18, 28)
V1.5 Versuchsanordnung 4. Schritt Basismenge, Wiederholbarkeit, Wahrscheinlichkeit
Experimental arrangement 4th step: Basis set, repeatability, propability
Basismenge der Messung/Basis set of the measurement
B
i,k
= { (X
i
,(k
i
)) | X
i
(k
i
)
= (k
i
)
X =Xi
= S
i,k
(X
i
)
X,X
i
T
i
}
|B
i,k
| = |T
i
| = |G
i
|
B
i,k
= { ( (X(r|13)= r|23, (1, 17, 27) ),
( X(r|23)= r|33, (8, 16, 20, 25) ),
( X(r|33)= r|13, (4, 29) ),
( X(r|33)= r|23, (22)
( X(r|77)= r|17, (1, 19, 23) ) ,
( X(r|17)= r|37, (5, 13) ),
( X(r|37)= r|47, (12, 30) ),
( X(r|17)= r|77, (15, 24) ),
( X(r|77)= r|78, (3, 10, 18, 28) ),
( X(r|78)= r|76, (9) ),
( X(r|72)= r|77, (7, 14, 26) ),
( X(r|66)= r|24, (6) ),
( X(r|44)= r|11, (11) ),
( X(r|4)= r|47, (21) )
}, | B
i,k
| = | G
i
| = 14
Wiederholbarkeit in der Messung/ Repeatability in measurement
| X
i
|
n,m
=!= |(k
i
)|
Xi
Ti
| X
i
|
n,m
= m
| X(r|13)= r|23 |
100,30
= | (1, 17, 27) |
= 3
88
Grundlegende Begriffe
| X(r|23)= r|33 |
100,30
= | (8, 16, 20, 25) | = 4
...
| X(r|44)= r|11 |
100,30
= | (11) |
= 1
| X(r|3)= r|47 |
100,30
= | (21) |
= 1
30
Wahrscheinlichkeit in der Messung/ Probability in measurement
P(X
i
)
n,m
=!= |X
i
|
n,m
/ m = |(k
i
)| / m
Xi
Ti
P(X
i
)
n,m
= 1
P( X(r|13)= r|23 )
100,30
= | (1, 17, 27) | /30
= 3/30 = 0,1
P( X(r|23)= r|33 )
100,30
= | (8, 16, 20, 25) | /30
= 4/30 = 0,1333
...
P( X(r|44)= r|11 )
100,30
= | (11) | /30
= 1/30 = 0,0333
P( X(r|3)= r|47 )
100,30
= | (21) | /30
= 1/30
= 0,0333
30/30 = 1
V1.6 Versuchsanordnung 5. Schritt: Transformationsfolgen
Experimental arrangement 5th step:Transformation Sequences
T
i
= { X(r|13)= r|23, X(r|23)= r|33, X(r|33)= r|13, X(r|33)= r|23, X(r|77)= r|17, X(r|17)= r|37, X(r|37)= r|
47,
X(r|17)= r|77, X(r|77)= r|78, X(r|78)= r|76, X(r|72)= r|77, X(r|66)= r|24, X(r|44)= r|11, X(r|4)= r|
47 }
i
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
,..., X
i
j
),
Zyklus/Cycle
i
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
,..., X
i
o
) v ()
Gewicht/Weight
i
=
1<=j'<=j
P(X
i
j'
)
n,m
i
= () v
i
=
1<=j'<=o
P(X
i
j'
)
n,m
i
= (X
i
, X
i
2
, X
i
3
,..., X
i
o
)
13->23
= ( X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13, X(r|13)=r|23 )
13->23
= ( X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13 ),
i
= 0,3
23->33
= ( X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13, X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33 )
23->33
= ( X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13, X(r|13)=r|23 ),
i
= 0,3
33->13
= ( X(r|33)=r|13, X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13 )
33->13
= ( X(r|33)=r|13, X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33 ),
i
= 0,3
als Inverse ignoriert/ignored as inverse: X(r|33)=r|23
33->23
= ( X(r|33)=r|23 ),
i
= 0,333
33->23
= ()
als Inverse ignoriert/ignored as inverse: X(r|23)=r|33
77->17
= ( X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 ),
i
= 0,233
77->17
= ()
als Inverse ignoriert/ignored as inverse: X(r|17)=r|77
17->37
= (X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 ),
i
= 0,133
17->37
= ()
37->47
= (X(r|37)=r|47 ),
i
= 0,333
37->47
= ()
...
17->77
= ( X(r|17)=r|77, X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76) =
( X(r|17)=r|77 )
( X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76),
i
= 0,233
als Inverse ignoriert/ignored as inverse: X(r|77)=r|17
89
Grundlegende Begriffe
...
72->77
= ( X(r|72)=r|77, X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 ) =
( X(r|72)=r|77 )
( X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 ),
i
= 0,333
72->77
= ( X(r|72)=r|77, X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76) =
( X(r|72)=r|77 )
( X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76),
i
= 0,266
72->77
= ()
als Inverse ignoriert/ignored as inverse: X(r|17)=r|77
66->24
= (X(r|66)=r|24 ),
i
= 0,333
66->24
= ()
44->11
= (X(r|44=r|11 ),
i
= 0,333
44->11
= ()
4->47
= (X(r|4)=r|47 ),
i
= 0,333
4->47
= ()
V1.7 Versuchsanordnung 6. Schritt: Transformations-Matrix, Signifikanz, Komponente
Experimental arrangement 6th step:
Transformation Matrix, Significance, Components
Ermittlung der signifikanten Folgen/Determination of the significant sequences
i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j
,
i'
=
i
i
i
<> ()
i
=
'l'
i
,
'l'
,
i'
=
i
v ()
i' = 13-23, i = 23->33
13->23
13->23
= ( X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13, X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13 )
= ( X(r|13)=r|23 )
( X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13, X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33 )
( X(r|33)=r|13 )
= ( X(r|13)=r|23 )
23->33
( X(r|33)=r|13 )
i' = 13-12, i = 33->13
13->23
13->23
= ( X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33 )
33->13
13->23
=
13->23
= ( X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13)
23->33
= ()
33->13
= ()
i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j
,
i'
=
i'
i
= ()
i
=
'l'
i
,
'l'
,
i'
=
i'
v ()
77->17
= ( X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 ) =
( X(r|77)=r|17 )
(X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 ) = ( X(r|77)=r|17)
17->37
=
( X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37 )
(X(r|37)=r|47 ) = ( X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37 )
37->47
17->37
= ()
37->47
= ()
...
17->77
= ( X(r|17)=r|77, X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76) =
( X(r|17)=r|77 )
( X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76) = ( X(r|17)=r|77 )
77->78
...
72->77
= ( X(r|72)=r|77, X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 ) =
90
Grundlegende Begriffe
( X(r|72)=r|77 )
( X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 ) =
( X(r|72)=r|77 )
77->17
72->77
= ( X(r|72)=r|77, X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76) =
( X(r|72)=r|77 )
( X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76) = ( X(r|72)=r|77 )
77->78
72->77
(1) = ( X(r|72)=r|77, X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 )
72->77
(2) = ( X(r|72)=r|77, X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 )
77->17
= ()
77->78
= ()
i
= (X
i
), |
i
| = 1
,
i'
= (X
i
)
X
i
(X
i'
) v
i'
= ()
X
i
(X
i'
)
33->23
= ( X(r|33)=r|23 )
66->24
= (X(r|66)=r|24 )
44->11
= (X(r|44=r|11 )
4->47
= (X(r|4)=r|47 )
Transformations-Matrix/Transformation Matrix
i,k
= (
i
)
i
<> ()
i,k
= (
13->23
,
72->77
(1),
72->77
(2),
33->23
,
66->24
,
44->11
,
4->47
) =
(
( X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13),
( X(r|72)=r|77, X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 ),
( X(r|72)=r|77, X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76 ),
( X(r|17)=r|77, X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76 ),
( X(r|33)=r|23 ),
( X(r|66)=r|24 ),
( X(r|44=r|11 ),
( X(r|4)=r|47 )
)
91
Grundlegende Begriffe
V1.8 Versuchsanordnung 7. Schritt: Eigenschaftshypothese
Experimental arrangement 7th step:
EQ hypothesis
Zufall in der Messung/Randomness in measurement |
i
| = 1
|
i
| = 1
33->23
= ( X(r|33)=r|23 )
66->24
= (X(r|66)=r|24 )
44->11
= (X(r|44=r|11 )
4->47
= (X(r|4)=r|47
Eigenschaftshypothese aus der Messung/Hypothesis of element of quality from measurement
h
i
= { X | X
i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j
,
X
i
j'
, X
i
T
i
}
v
h
i,i
= { X | X
i,i
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j
,
X
i
j'
, X
i
T
i
}
v
h
i,i'
= { X | X
i,i'
= (X
i
j'
)
1 <j'<=j
,
X
i
j'
, X
i
T
i
}
13->23
==>
h
13->23
= { X(e
h13->23
)|w) | X
{X(r|13)=r|23, X(r|23)=r|33, X(r|33)=r|13} }
72->77
(1)
==>
h
77->17
= { X(e
h77->17
)|w) | X
{ X(r|77)=r|17, X(r|17)=r|37, X(r|37)=r|47 } }
72->77
(1),(2)
==>
h
72->77
= { X(e
h72->77
)|w) | X
{ X(r|72)=r|77 } }
17->77
==>
h
17->77
= { X(e
h17->77
)|w) | X
{ X(r|17)=r|77 } }
72->77
(2)
17->77
==>
h
77->78
= { X(e
h77->78
)|w) | X
{ X(r|77)=r|78, X(r|78)=r|76} }
Hypothese aus der Messung/Hypothesis from measurement:
H
i,k
= { z
i
, h
i
, h
i,i
, h
i,i'
|
i,k
= (
i
),
z
i
, h
i
, h
i,i
, h
i,i'
}
H
i,k
= {
33->23
,
66->24
,
44->11
,
4->47
} U { h
13->23
, h
77->17
, h
72->77
, h
17->77
, h
77->78
}
Perspektive der Messung/Perspective of measurement
i,k
= { F(n,m), B
i,k
, H
i,k
}
i,k
= { F(100,20) = (W
100
, 30) ,
B
i,k
= { ( (X(r|13)= r|23, (1, 17, 27) ),
( X(r|23)= r|33, (8, 16, 20, 25) ),
( X(r|33)= r|13, (4, 29) ),
( X(r|33)= r|23, (22)
( X(r|77)= r|17, (1, 19, 23) ) ,
( X(r|17)= r|37, (5, 13) ),
( X(r|37)= r|47, (12, 30) ),
( X(r|17)= r|77, (15, 24) ),
( X(r|77)= r|78, (3, 10, 18, 28) ),
( X(r|78)= r|76, (9) ),
( X(r|72)= r|77, (7, 14, 26) ),
( X(r|66)= r|24, (6) ),
( X(r|44)= r|11, (11) ),
( X(r|4)= r|47, (21) ) },
H
i,k
= {
33->23
,
66->24
,
44->11
,
4->47
} U { h
13->23
, h
77->17
, h
72->77
, h
17->77
, h
77->78
}
}
92
Häufig gestellte Fragen
Was beinhaltet die Informationsmathematik (IM) gemäß diesem Dokument?
Dieses Dokument ist eine umfassende Sprachvorschau, die Titel, Inhaltsverzeichnis, Ziele und Schlüsselthemen, Kapitelzusammenfassungen und Schlüsselwörter enthält. Es behandelt grundlegende Konzepte der Informationsmathematik, darunter Zuordnung, Transformation, Wiederholbarkeit, Information, Zusammenhang und verwandte Themen.
Welche grundlegenden Definitionen (B0) werden in diesem Dokument behandelt?
Das Dokument legt grundlegende Definitionen fest, darunter:
- Abbildung (Mapping)
- Eindeutigkeit einer Abbildung
- Eineindeutigkeit einer Abbildung
- Eins-Abbildung (Unit Map)
- Folgen und Konvergenz von Folgen
- Vereinigung und Schnittmenge von Mengen
- Disjunkte Mengen
- Teilmengen
- Mengendifferenz
- Kartesisches Produkt
- Teilfolge
Was sind die zentralen Themen in den Definitionen (D1-D4) für Transformationen?
Die zentralen Themen umfassen:
- Transformationen als Erzeugung einer Zuordnung aus einer bestehenden Zuordnung.
- Translationen als Veränderung von Werten innerhalb einer Transformation.
- Wiederholbarkeit von Transformationen.
- Inverse Transformationen.
- Transformationsverknüpfung.
- Die Definition der Länge, derer Verwendungsweise und Validität.
Was sind interessante Aussagen bezüglich wiederholbarer Transformationen und Information?
Wiederholbare Transformationen sind prognostizierbar, was die Effektivität des Lernens durch Erinnerung erklärt. Ihre Translationsabbildungen sind Funktionen aus der Wertemenge W, was die Effektivität der Physik bei der Beschreibung dynamischer Vorgänge unterstützt. Information bzgl. einer Eigenschaft e kann als eine Gruppe betrachtet werden.
Welche Symbole und Schreibweisen werden im Dokument verwendet?
Das Dokument verwendet spezielle Symbole und Schreibweisen, die im Detail erläutert werden. Dazu gehören unter anderem die Definitionen von Mengenoperationen (Vereinigung, Schnittmenge, kartesisches Produkt), Quantoren (für alle, es existiert), Implikationen und Symbole für grundlegende Begriffe wie Zuordnung, Eigenschaft und Wert.
Was bedeutet die „7-Schritt-Evaluierung" (V0) und welche Schritte umfasst sie?
Die 7-Schritt-Evaluierung ist eine Methode zur Analyse und Kategorisierung von Informationen. Die Schritte umfassen:
- Kategorisierung, Realität, Universalzuordnung, Zufall.
- Wertsegment, Schrittsegment, Fokus, Möglichkeitsmenge.
- Protokoll, Messung, Schritt, Ereignismenge.
- Transformationsreihe, Transformationsmenge.
- Basismenge, Wiederholbarkeit, Wahrscheinlichkeit.
- Transformationsfolgen.
- Transformations-Matrix, Signifikanz, Komponente.
Was ist eine Eigenschaftshypothese (EQ hypothesis)?
Eine Eigenschaftshypothese ist der letzte Schritt der 7-Schritt-Evaluierung. Es bezieht sich auf die aufgestellte Hypothese der verschiedenen Eigenschaften von Informationen aus den 6 vorherigen Schritten.
Was ist eine Fröhlich-Fläche, ein Fröhlich-Band und eine Fröhlich-Ebene?
Das sind Arten von Querverbindungen, die in diesem Dokument verwendet werden, um die Beziehung zwischen verschiedenen Eigenschaften darzustellen.
Was bedeutet die Kopplung von Eigenschaften (Coupling of elements of quality)?
Es beschreibt wie Eigenschaften miteinander verknüpft sind, einschließlich Konzepte wie Kommunikationsbereich, Kommunikationswert und Kontakt.
Excerpt out of 92 pages
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- F.F. Bevier (Author), 2012, Grundlagen der Informationsmathematik. Eine Einführung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/364535
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