Einfache Differentialgleichungen in den Naturwissenschaften

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung.. 4

2 Differentialgleichungen.. 5

2.1 Definition einer Differentialgleichung.. 5

2.2 Ordnung einer Differentialgleichung.. 6

2.3 Allgemeine und partikuläre Lösung.. 6

2.4 Anfangswertprobleme.. 6

2.5 Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.. 7

3 Lösungsverfahren für Differentialgleichungen.. 7

3.1 Lösung durch Integration.. 7

3.2 Trennung der Variablen.. 8

3.3 Substitution.. 9

3.4 Graphische Darstellung der Lösung.. 12

3.4.1 Zeichnen einiger ausgewählter Funktionsgraphen.. 12

3.4.2 Das Richtungsfeld.. 12

3.5 Numerische Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen.. 13

3.5.1 Das Euler-Cauchy-Verfahren.. 13

3.5.2 Andere numerische Verfahren.. 15

4 Anwendungsbeispiele.. 16

4.1 Die Selbstinduktion.. 16

4.1.1 Selbstinduktion beim Einschalten.. 16

4.1.2 Selbstinduktion beim Ausschalten.. 19

4.2 Die harmonische Schwingung.. 21

4.2.1 Die elastische Verformung.. 21

4.2.2 Das Fadenpendel.. 23

4.2.3 Elektrischer Schwingkreis.. 24

4.2.4 Bemerkungen zu diesen Modellen.. 26

4.3 Schwellenwert einer Epidemie.. 26

5 Schlusswort.. 31

1 Einleitung

Bereits im Mathematikunterricht der Grundschule, der größtenteils aus Kopfrechnen besteht, löst man eigentlich Gleichungen, z.B. 3+4 = x oder 6·2= x. Diese Gleichungen sind besonders trivial, da sie bereits nach der einzigen Unbekannten aufgelöst sind und außerdem nur Grundrechenarten vorkommen.

Später lernt man dann auch, Probleme wie x^2 +2 · x − 3 = 0 zu lösen.

In der Kollegstufe beschäftigt man sich mitunter mit noch deutlich komplizierteren Gleichungen, aber eines hat sich nicht geändert: Gesucht sind Zahlen.

In Differentialgleichungen hingegen sind die Unbekannten keine Zahlen, sondern Funktionen!

Für einen Schüler mag das ungewohnt sein. Es ist jedoch alles andere als mathematische Spielerei, sich mit Differentialgleichungen zu beschäftigen, denn sie haben einen starken Bezug zur Realität:

Viele Naturgesetze kann man mittels Differentialgleichungen ausdrücken. Das ist aber noch längst nicht alles, denn andersherum und allgemeiner gesagt kann man mit Differentialgleichungen mathematische Modelle aufstellen, die nicht nur in Naturwissenschaften wie Physik, Chemie oder Biologie nützlich sind, sondern auch dafür geeignet sind, wirtschaftliche Prozesse oder Vorgänge in der Gesellschaft zu beschreiben.

2 Differentialgleichungen

Die Aufgabe bei einer Differentialgleichung mit der unbekannten Funktion y(x) besteht also darin, eben diese Funktionen y(x) zu bestimmen, die - in die Gleichung eingesetzt - eine wahre Aussage liefern.

Aus Gründen der Übersichtlichkeit in den Rechnungen wird diese Funktion y(x) in der einschlägigen Literatur - und ab hier auch in dieser Arbeit - einfach nur mit y bezeichnet.

Als erstes Beispiel sei die Differentialgleichung

y' = y

gegeben.

Gesucht ist also eine Funktion, deren Ableitung in jedem Punkt gleich dem eigentlichen Funktionswert ist. Aus der Schule ist bekannt: Nur Funktionen der Bauart

[Formel in dieser Leseprobe nicht enthalten]

besitzen diese Eigenschaft, erfüllen also die Gleichung und stellen somit die Lösung des Problems dar.

Das war ein einfaches Beispiel, man konnte die Lösung erraten. Das ist aber nicht zwingend notwendig, man kann bestimmte Differentialgleichungen auch mit passenden Methoden lösen, diese hier z.B. mit dem in 3.2 vorgestellten Verfahren.

Schwierige Differentialgleichungen sind auf analytischem Wege allerdings oft nicht mehr lösbar oder besitzen sogar nachweislich gar keine sogenannte allgemeine Lösung [1].

2.1 Definition einer Differentialgleichung

Ganz allgemein hat eine Differentialgleichung die Form:

F (x, y, y', y'' , ..., y(n)) = 0

Das Charakteristikum einer Differentialgleichung ist, dass mindestens eine Ableitung der gesuchten Funktion in ihr auftaucht. Es können - müssen aber nicht zwangsläufig - auch Terme, die von derselben oder denselben Variablen x wie die gesuchte Funktion y abhängen, oder die Funktion y selbst auftauchen.

2.2 Ordnung einer Differentialgleichung

Wenn y(n) die höchste in einer Differentialgleichung vorkommende Ableitung ist, so spricht man von einer Differentialgleichung n-ter Ordnung.

[...]

[1] siehe 2.3