In dieser Facharbeit wird zunächst erklärt, was eine Differentialgleichung ist und welche Arten von Differentialgleichungen es gibt. Anschließend werden die gebräuchlichsten Lösungsmethoden vorgestellt. Im Anschluss werden diese Methoden verwendet, um diverse Fragestellungen aus den Naturwissenschaften zu beantworten.
Diese ausgewählten Beispiele verdeutlichen den enormen Nutzen von Differentialgleichungen und der zuvor besprochenen Lösungsmethoden. Sie spielen nämlich eine zentrale Rolle in der Formulierung von Naturgesetzen und der mathematischen Modellierung einer Vielzahl von Prozessen in den unterschiedlichsten Bereichen (Physik, Chemie, Biologie, Sozialwissenschaften, etc.).
Der Autor absolvierte nach dem Abitur ein Physikstudium an der ETH Zürich und promoviert heute an der University of Cambridge über Entscheidungsprozesse im menschlichen Gehirn. Differentialgleichungen spielten auf seinem akademischen Weg stets eine wichtige Rolle.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Differentialgleichungen
- Definition einer Differentialgleichung
- Ordnung einer Differentialgleichung
- Allgemeine und partikuläre Lösung
- Anfangswertprobleme
- Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
- Lösungsverfahren für Differentialgleichungen
- Lösung durch Integration
- Trennung der Variablen
- Substitution
- Graphische Darstellung der Lösung
- Zeichnen einiger ausgewählter Funktionsgraphen
- Das Richtungsfeld
- Numerische Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen
- Das Euler-Cauchy-Verfahren
- Andere numerische Verfahren
- Anwendungsbeispiele
- Die Selbstinduktion
- Selbstinduktion beim Einschalten
- Selbstinduktion beim Ausschalten
- Die harmonische Schwingung
- Die elastische Verformung
- Das Fadenpendel
- Elektrischer Schwingkreis
- Bemerkungen zu diesen Modellen
- Schwellenwert einer Epidemie
- Die Selbstinduktion
- Schlusswort
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Facharbeit befasst sich mit ausgewählten Verfahren zur Lösung von einfachen Differentialgleichungen und deren Anwendung in den Naturwissenschaften. Ziel ist es, die grundlegenden Konzepte der Differentialgleichungen zu erläutern und anhand konkreter Beispiele ihre Bedeutung für die Modellierung von Naturphänomenen zu verdeutlichen.
- Definition und Eigenschaften von Differentialgleichungen
- Lösungsmethoden für Differentialgleichungen, insbesondere die analytische und numerische Lösung
- Anwendungen von Differentialgleichungen in verschiedenen Naturwissenschaftsbereichen, wie der Elektrizitätslehre, Mechanik und Epidemiologie
- Veranschaulichung der Modellierung von naturwissenschaftlichen Problemen mittels Differentialgleichungen
- Untersuchung der Grenzen und Möglichkeiten von Differentialgleichungen bei der Beschreibung von naturwissenschaftlichen Prozessen
Zusammenfassung der Kapitel
- Einleitung: Die Einleitung führt in das Thema der Differentialgleichungen ein und stellt die Bedeutung dieser mathematischen Werkzeuge in den Naturwissenschaften heraus.
- Differentialgleichungen: Dieses Kapitel definiert den Begriff der Differentialgleichung und beleuchtet wichtige Eigenschaften wie die Ordnung und die Unterscheidung zwischen allgemeinen und partikulären Lösungen.
- Lösungsverfahren für Differentialgleichungen: Dieses Kapitel stellt verschiedene Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen vor, darunter die analytischen Verfahren der Integration, Trennung der Variablen und Substitution sowie die numerischen Verfahren, wie das Euler-Cauchy-Verfahren.
- Anwendungsbeispiele: Dieses Kapitel zeigt die praktische Relevanz von Differentialgleichungen auf, indem es verschiedene Anwendungsbeispiele aus den Naturwissenschaften diskutiert, wie die Selbstinduktion, die harmonische Schwingung und die Modellierung von Epidemien.
Schlüsselwörter
Die Facharbeit beschäftigt sich mit den Themen Differentialgleichungen, Lösungsmethoden, Anwendungen in der Physik, Chemie und Biologie, Modellierung von Naturphänomenen, analytische und numerische Verfahren, Selbstinduktion, harmonische Schwingung, Epidemien.
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- M.Sc. Gunther Klobe (Autor), 2009, Einfache Differentialgleichungen in den Naturwissenschaften, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/364604
